八年级数学下册勾股定理知识点和典_中学教育-中考.pdf

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1、学习必备 欢迎下载 勾股定理 基础知识 勾股定理 2 2 2a b c.勾股定理的证明 常见方法如下：方法一：4EFGHS S S 正方形 正方形 ABCD，2 214()2ab b a c，化简可证 方法二：四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积 四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为 大正方形面积为2 2 2()2 S a b a ab b 所以2 2 2a b c 方法三：1()()2S a b a b 梯形，21 12S 22 2ADE ABES S ab c 梯形，化简得证.勾股定理的适用范围 勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系，它只适用于直角三角

2、形 4.勾股定理的逆定理 如果三角形三边长 a，b，c 满足2 2 2a b c，那么这个三角形是直角三角形.勾股数 1 记住常见的勾股数可以提高解题速度，如 3,4,5；6,8,10；5,12,13；7,24,25 等 bacbaccabcababccbaEDC BA学习必备 欢迎下载 2 用含字母的代数式表示 n 组勾股数：2 21,2,1 n n n（2,n n 为正整数）；2 22 1,2 2,2 2 1 n n n n n（n 为正整数）2 2 2 2,2,m n mn m n（,m n m，n 为正整数）7、互逆命题的概念 如果一个命题的题设和结论分别是另一个命题的结论和题设，这样

3、的两个命题叫做互逆命题。如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题。考点题型 题型一：直接考查勾股定理 例.在 ABC 中，90 C 已知 6 AC，8 BC 求 AB 的长 已知 17 AB，15 AC，求 BC 的长 题型二：利用勾股定理测量长度 例题 1 如果梯子的底端离建筑物 9 米，那么 15 米长的梯子可以到达建筑物的高度是多少米？例题 2 如图（8），水池中离岸边 D点 1.5 米的 C 处，直立长着一根芦苇，出水部分 BC的长是 0.5 米，把芦苇拉到岸边，它的顶端 B 恰好落到 D点，并求水池的深度 AC.四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积四个直

4、角三角形的面积与小正方形面积的和为大正方形面积为所以方法三梯形梯形化简得证勾股定理的适用范围勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关 的勾股数可以提高解题速度如等学习必备欢迎下载用含字母的代数式表示组勾股数为正整数为正整数为正整数互逆命题的概念如果一个命题的题设和结论分别是另一个命题的结论和题设这样的两个命题叫做互逆命题如果把其中一个 用勾股定理测量长度例题如果梯子的底端离建筑物米那么米长的梯子可以到达建筑物的高度是多少米例题如图水池中离岸边点米的处直立长着一根芦苇出水部分的长是米把芦苇拉到岸边它的顶端恰好落到点求水池的深度题型三勾股学习必备 欢迎下载 题型三：勾股定理和逆定理并用 例

5、题 3 如图 3，正方形 ABCD 中，E 是 BC边上的中点，F 是 AB上一点，且AB FB41那么 DEF是直角三角形吗？为什么？题型四：利用勾股定理求线段长度 例题 4 如图 4，已知长方形 ABCD 中 AB=8cm,BC=10cm,在边 CD上取一点 E，将 ADE折叠使点 D恰好落在 BC边上的点 F，求 CE的长.注：本题接下来还可以折痕的长度和求重叠部分的面积。题型五：利用勾股定理逆定理判断垂直 例题 5 如图 5，王师傅想要检测桌子的表面 AD边是否垂直与 AB边和 CD边，他测得 AD=80cm，AB=60cm，BD=100cm，AD边与 AB边垂直吗？怎样去验证 AD边

6、与 CD边是否垂直？例题 6 有一个传感器控制的灯，安装在门上方，离地高 4.5 米的墙上，任何东西只要移至 5 米以内，灯就自动打开，一个身高 1.5 米的学生，要走到离门多远的地方灯刚好打开？四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为大正方形面积为所以方法三梯形梯形化简得证勾股定理的适用范围勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关 的勾股数可以提高解题速度如等学习必备欢迎下载用含字母的代数式表示组勾股数为正整数为正整数为正整数互逆命题的概念如果一个命题的题设和结论分别是另一个命题的结论和题设这样的两个命题叫做互逆命题如果把其中一

7、个 用勾股定理测量长度例题如果梯子的底端离建筑物米那么米长的梯子可以到达建筑物的高度是多少米例题如图水池中离岸边点米的处直立长着一根芦苇出水部分的长是米把芦苇拉到岸边它的顶端恰好落到点求水池的深度题型三勾股学习必备 欢迎下载 题型六：旋转问题：1：如图，P 是等边三角形 ABC内一点，PA=2,PB=2 3,PC=4,求 ABC 的边长.分析：利用旋转变换，将 BPA 绕点 B逆时针选择 60，将三条线段集中到同一个三角形中，根据它们的数量关系，由勾股定理可知这是一个直角三角形.2、如图，ABC 为等腰直角三角形，BAC=90，E、F是 BC 上的点，且 EAF=45，试探究2 2 2BE C

8、F EF、间的关系，并说明理由.题型七：关于翻折问题 例 1、如图，矩形纸片 ABCD的边 AB=10cm，BC=6cm，E 为 BC 上一点，将矩形纸片沿 AE折叠，点 B 恰好落在 CD边上的点 G 处，求 BE的长.题型八：关于勾股定理在实际中的应用：例 1、如图，公路 MN 和公路 PQ 在 P 点处交汇，点 A 处有一所中学，AP=160 米，点 A 到公路 MN 的距离为 80米，假使拖拉机行驶时，周围 100 米以内会受到噪音影响，那么拖拉机在公路 MN 上沿 PN方向行驶时，学校是否会受到影响，请说明理由；如果受到影响，已知拖拉机的速度是 18千米/小时，那么学校受到影响的时间

9、为多少？四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为大正方形面积为所以方法三梯形梯形化简得证勾股定理的适用范围勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关 的勾股数可以提高解题速度如等学习必备欢迎下载用含字母的代数式表示组勾股数为正整数为正整数为正整数互逆命题的概念如果一个命题的题设和结论分别是另一个命题的结论和题设这样的两个命题叫做互逆命题如果把其中一个 用勾股定理测量长度例题如果梯子的底端离建筑物米那么米长的梯子可以到达建筑物的高度是多少米例题如图水池中离岸边点米的处直立长着一根芦苇出水部分的长是米把芦苇拉到岸边它的顶端恰好落到点求水

10、池的深度题型三勾股学习必备 欢迎下载 题型九：关于最短性问题 例 5、如右图 1 19，壁虎在一座底面半径为 2 米，高为 4 米的油罐的下底边沿 A 处，它发现在自己的正上方油罐上边缘的 B 处有一只害虫，便决定捕捉这只害虫，为了不引起害虫的注意，它故意不走直线，而是绕着油罐，沿一条螺旋路线，从背后对害虫进行突然袭击结果，壁虎的偷袭得到成功，获得了一顿美餐请问壁虎至少要爬行多少路程才能捕到害虫?（取 3.14，结果保留 1 位小数，可以用计算器计算）变式：如图为一棱长为 3cm 的正方体，把所有面都分为 9 个小正方形，其边长都是 1cm，假 设 一只蚂蚁每秒爬行 2cm，则它从下地面 A

11、点沿表面爬行至右侧面的 B 点，最少要花几秒钟？2.如图，一个无盖的正方体盒子的棱长为 10cm，得到1C处有一只昆虫甲，在盒子的内部有一只昆虫乙（盒壁的 忽略不计）（1）假设昆虫甲在顶点1C处静止不动，如图 a，在盒子的内部我们先取棱1BB的中点 E，再连结 AE、1EC，昆虫乙如果沿途径1C E A 爬行，那么可以在最短的时间内捕捉到昆虫甲，仔细体会其中的道理，并在图 b 中画一条路径，使昆虫乙从顶点 A 沿这条路爬行，同样可以在最短的时间内捕捉到昆虫甲。（2）如图 b，假设昆虫甲从点1C以 1 厘米/秒的速度在盒子的内部沿C C1向下爬行，同时昆虫乙从顶点 A 以 2 厘米/秒的速度在盒

12、壁上爬行，那么昆虫乙至少需要多少时间才能捕捉到昆虫甲？图 b图 aADCBA1B1C1D1D1C1B1A1BCDA 四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为大正方形面积为所以方法三梯形梯形化简得证勾股定理的适用范围勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关 的勾股数可以提高解题速度如等学习必备欢迎下载用含字母的代数式表示组勾股数为正整数为正整数为正整数互逆命题的概念如果一个命题的题设和结论分别是另一个命题的结论和题设这样的两个命题叫做互逆命题如果把其中一个 用勾股定理测量长度例题如果梯子的底端离建筑物米那么米长的梯子可以到达建筑物的

13、高度是多少米例题如图水池中离岸边点米的处直立长着一根芦苇出水部分的长是米把芦苇拉到岸边它的顶端恰好落到点求水池的深度题型三勾股学习必备 欢迎下载 3.如图，一块砖宽 AN=5，长 ND=10，CD上的点 F 距地面的高 FD=8，地面上 A处的一只蚂蚁到 B 处吃食，要爬行的最短路线是 cm 3.如图，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为 20dm、3dm、2dm，A 和 B 是这个台阶两相对的端点，A点有一只昆虫想到 B 点去吃可口的食物，则昆虫沿着台阶爬到 B 点的最短路程是 分米？4.如图，一只蚂蚁沿边长为 a 的正方体表面从点 A 爬到点 B，则它走过的路程最短为（）A.a 3

14、 B.a 2 1 C.a 3 D.a 5 BAQNMP 四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为大正方形面积为所以方法三梯形梯形化简得证勾股定理的适用范围勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关 的勾股数可以提高解题速度如等学习必备欢迎下载用含字母的代数式表示组勾股数为正整数为正整数为正整数互逆命题的概念如果一个命题的题设和结论分别是另一个命题的结论和题设这样的两个命题叫做互逆命题如果把其中一个 用勾股定理测量长度例题如果梯子的底端离建筑物米那么米长的梯子可以到达建筑物的高度是多少米例题如图水池中离岸边点米的处直立长着一根芦苇出水部分的长是米把芦苇拉到岸边它的顶端恰好落到点求水池的深度题型三勾股