2012北京市中考数学真题及答案.pdf

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1、2 0 1 2 北 京 市 中 考 数 学 真 题 及 答 案一、选 择 题（本 题 共 3 2 分，每 小 题 4 分）下 面 各 题 均 有 四 个 选 项，其 中 只 有 一 个 是 符 合 题 意 的 1 9 的 相 反 数 是A 19 B 19C 9 D 92 首 届 中 国（北 京）国 际 服 务 贸 易 交 易 会（京 交 会）于 2 0 1 2 年 6 月 1 日 闭 幕，本 届 京 交会 期 间 签 订 的 项 目 成 交 总 金 额 达 6 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 美 元，将 6 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 用 科 学 记数 法 表 示 应 为A

2、 96.011 10 B 960.11 10 C 106.011 10 D 110.6011 10 3 正 十 边 形 的 每 个 外 角 等 于A 1 8 B 36 C 45 D 60 4 右 图 是 某 个 几 何 体 的 三 视 图，该 几 何 体 是A 长 方 体B 正 方 体C 圆 柱D 三 棱 柱5 班 主 任 王 老 师 将 6 份 奖 品 分 别 放 在 6 个 完 全 相 同 的 不 透 明 礼 盒 中，准 备 将 它 们 奖 给 小英 等 6 位 获“爱 集 体 标 兵”称 号 的 同 学 这 些 奖 品 中 3 份 是 学 习 文 具，2 份 是 科 普 读 物，1 份

3、是 科 技 馆 通 票 小 英 同 学 从 中 随 机 取 一 份 奖 品，恰 好 取 到 科 普 读 物 的 概 率 是A 16B 13C 12D 236 如 图，直 线 A B，C D 交 于 点 O，射 线 O M 平 分 A O C，若 76 B O D，则 B O M 等 于A 38 B 1 0 4 C 142 D 144 7 某 课 外 小 组 的 同 学 们 在 社 会 实 践 活 动 中 调 查 了 2 0 户 家 庭 某 月 的 用 电 量，如 下 表 所 示：用 电 量（度）1 2 0 1 4 0 1 6 0 1 8 0 2 0 0户 数 2 3 6 7 2则 这 2 0

4、户 家 庭 该 月 用 电 量 的 众 数 和 中 位 数 分 别 是A 1 8 0，1 6 0 B 1 6 0，1 8 0 C 1 6 0，1 6 0 D 1 8 0，1 8 08 小 翔 在 如 图 1 所 示 的 场 地 上 匀 速 跑 步，他 从 点 A 出 发，沿 箭 头 所 示 方 向 经 过 点 B 跑 到点 C，共 用 时 3 0 秒 他 的 教 练 选 择 了 一 个 固 定 的 位 置 观 察 小 翔 的 跑 步 过 程 设 小 翔 跑步 的 时 间 为 t（单 位：秒），他 与 教 练 的 距 离 为 y（单 位：米），表 示 y 与 t 的 函 数 关 系的 图 象 大

5、 致 如 图 2 所 示，则 这 个 固 定 位 置 可 能 是 图 1 中 的A 点 M B 点 N C 点 P D 点 Q二、填 空 题（本 题 共 1 6 分，每 小 题 4 分）9 分 解 因 式：26 9 m n m n m 1 0 若 关 于 x 的 方 程22 0 x x m 有 两 个 相 等 的 实 数 根，则 m 的 值 是 1 1 如 图，小 明 同 学 用 自 制 的 直 角 三 角 形 纸 板 D E F 测 量 树 的 高 度A B，他 调 整 自 己 的 位 置，设 法 使 斜 边 D F 保 持 水 平，并 且 边D E 与 点 B 在 同 一 直 线 上 已

6、知 纸 板 的 两 条 直 角 边40 c m D E，20 c m E F，测 得 边 D F 离 地 面 的 高 度1.5m A C，8m C D，则 树 高 A B m 1 2 在 平 面 直 角 坐 标 系 x O y 中，我 们 把 横、纵 坐 标 都 是整 数 的 点 叫 做 整 点 已 知 点 0 4 A，点 B 是 x 轴正 半 轴 上 的 整 点，记 A O B 内 部（不 包 括 边 界）的整 点 个 数 为 m 当 3 m 时，点 B 的 横 坐 标 的 所 有可 能 值 是；当 点 B 的 横 坐 标 为 4 n（n 为正 整 数）时，m（用 含 n 的 代 数 式 表

7、 示）三、解 答 题（本 题 共 3 0 分，每 小 题 5 分）1 3 计 算：10 1 3 18 2 s i n 458.1 4 解 不 等 式 组：4 34 2 1.x xx x，1 5 已 知 02 3a b，求 代 数 式 2 25 224a ba ba b 的 值 1 6 已 知：如 图，点 E A C，在 同 一 条 直 线 上，A B C D，A B C E A C C D，求 证：B C E D.1 7 如 图，在 平 面 直 角 坐 标 系 x O y 中，函 数 40 y xx 的 图 象 与 一 次 函 数y k x k 的 图 象 的 交 点 为 2 A m，.（1）

8、求 一 次 函 数 的 解 析 式；（2）设 一 次 函 数 y k x k 的 图 象 与 y 轴 交 于 点 B，若 P 是 x 轴 上 一 点，且 满 足 P A B 的 面 积 是 4，直 接 写 出 点 P 的 坐 标 1 8 列 方 程 或 方 程 组 解 应 用 题：据 林 业 专 家 分 析，树 叶 在 光 合 作 用 后 产 生 的 分 泌 物 能 够 吸 附 空 气 中 的 一 些 悬 浮 颗 粒 物，具 有 滞 尘 净 化 空 气 的 作 用 已 知 一 片 银 杏 树 叶 一 年 的 平 均 滞 尘 量 比 一 片 国 槐 树 叶 一 年 的 平均 滞 尘 量 的 2

9、倍 少 4 毫 克，若 一 年 滞 尘 1 0 0 0 毫 克 所 需 的 银 杏 树 叶 的 片 数 与 一 年 滞 尘 5 5 0 毫克 所 需 的 国 槐 树 叶 的 片 数 相 同，求 一 片 国 槐 树 叶 一 年 的 平 均 滞 尘 量 四、解 答 题（本 题 共 2 0 分，每 小 题 5 分）1 9 如 图，在 四 边 形 A B C D 中，对 角 线 A C B D，交 于 点 E，90 45 30 2 B A C C E D D C E D E，2 2 B E 求 C D 的 长 和 四 边 形 A B C D 的 面 积 2 0 已 知：如 图，A B 是 O 的 直

10、径，C 是 O 上 一 点，O D B C 于 点 D，过 点 C 作 O 的 切 线，交 O D 的 延 长 线 于 点 E，连 结 B E（1）求 证：B E 与 O 相 切；（2）连 结 A D 并 延 长 交 B E 于 点 F，若 9 O B，2s i n3A B C，求 B F的 长 2 1 近 年 来，北 京 市 大 力 发 展 轨 道 交 通，轨 道 运 营 里 程 大 幅 增 加，2 0 1 1 年 北 京 市 又 调 整 修订 了 2 0 1 0 至 2 0 2 0 年 轨 道 交 通 线 网 的 发 展 规 划 以 下 是 根 据 北 京 市 轨 道 交 通 指 挥 中

11、心发 布 的 有 关 数 据 制 作 的 统 计 图 表 的 一 部 分 请 根 据 以 上 信 息 解 答 下 列 问 题：（1）补 全 条 形 统 计 图 并 在 图 中 标 明 相 应 数 据；（2）按 照 2 0 1 1 年 规 划 方 案，预 计 2 0 2 0 年 北 京 市 轨 道 交 通 运 营 里 程 将 达 到 多 少 千 米？（3）要 按 时 完 成 截 至 2 0 1 5 年 的 轨 道 交 通 规 划 任 务，从 2 0 1 1 到 2 0 1 5 这 4 年 中，平 均每 年 需 新 增 运 营 里 程 多 少 千 米？2 2 操 作 与 探 究：（1）对 数 轴

12、上 的 点 P 进 行 如 下 操 作：先 把 点 P 表 示 的 数 乘 以13，再 把 所 得 数 对 应 的 点向 右 平 移 1 个 单 位，得 到 点 P 的 对 应 点 P.点 A B，在 数 轴 上，对 线 段 A B 上 的 每 个 点 进 行 上 述 操 作 后 得 到 线 段 A B，其 中 点A B，的 对 应 点 分 别 为 A B，如 图 1，若 点 A 表 示 的 数 是 3，则 点 A 表 示 的 数是；若 点 B 表 示 的 数 是 2，则 点 B 表 示 的 数 是；已 知 线 段 A B 上北 京 市 轨 道 交 通 已 开 通 线 路相 关 数 据 统 计

13、 表（截 至 2 0 1 0 年 底）开 通 时 间 开 通 线 路运 营 里 程(千 米)1 9 7 1 1 号 线 3 11 9 8 4 2 号 线 2 32 0 0 31 3 号 线 4 1八 通 线 1 92 0 0 7 5 号 线 2 82 0 0 88 号 线 51 0 号 线 2 5机 场 线 2 82 0 0 9 4 号 线 2 82 0 1 0房 山 线 2 2大 兴 线 2 2亦 庄 线 2 3昌 平 线 2 11 5 号 线 2 0的 点 E 经 过 上 述 操 作 后 得 到 的 对 应 点 E 与 点 E 重 合，则 点 E 表 示 的 数 是；（2）如 图 2，在

14、平 面 直 角 坐 标 系 x O y 中，对 正 方 形 A B C D 及 其 内 部 的 每个 点 进 行 如 下 操 作：把 每 个 点 的 横、纵 坐 标 都 乘 以 同 一 种 实 数 a，将 得 到 的 点 先 向 右 平 移 m 个 单 位，再 向 上 平 移 n 个 单 位（0 0 m n，），得 到 正 方 形 A B C D 及 其 内 部 的 点，其 中 点A B，的 对 应 点 分 别 为 A B，。已 知 正 方 形 A B C D 内 部 的 一 个 点 F经 过 上 述 操 作 后 得 到 的 对 应 点 F 与 点 F 重 合，求 点 F 的 坐 标。五、解

15、答 题（本 题 共 2 2 分，第 2 3 题 7 分，第 2 4 题 7 分，第 2 5 题 8 分）2 3 已 知 二 次 函 数23(1)2(2)2y t x t x 在 0 x 和 2 x 时 的 函 数 值 相 等。（1）求 二 次 函 数 的 解 析 式；（2）若 一 次 函 数 6 y k x 的 图 象 与 二 次 函 数 的图 象 都 经 过 点(3)A m，求 m 和 k 的 值；（3）设 二 次 函 数 的 图 象 与 x 轴 交 于 点 B C，（点B 在 点 C 的 左 侧），将 二 次 函 数 的 图 象 在 点B C，间 的 部 分（含 点 B 和 点 C）向 左

16、 平 移(0)n n 个 单 位 后 得 到 的 图 象 记 为 G，同 时 将（2）中 得 到 的 直 线 6 y k x 向上 平 移 n 个 单 位。请 结 合 图 象 回 答：当 平 移 后 的 直 线 与 图 象 G 有 公 共 点 时，n的 取 值 范 围。2 4 在 A B C 中，B A B C B A C，M 是 A C 的 中 点，P 是 线 段 B M 上 的 动 点，将 线段 P A 绕 点 P 顺 时 针 旋 转 2 得 到 线 段 P Q。（1）若 且 点 P 与 点 M 重 合（如 图 1），线 段 C Q 的 延 长 线 交 射 线 B M 于 点 D，请 补

17、全 图 形，并 写 出 C D B 的 度 数；（2）在 图 2 中，点 P 不 与 点 B M，重 合，线 段 C Q 的 延 长 线 与 射 线 B M 交 于 点 D，猜 想 C D B 的 大 小（用 含 的 代 数 式 表 示），并 加 以 证 明；（3）对 于 适 当 大 小 的，当 点 P 在 线 段 B M 上 运 动 到 某 一 位 置（不 与 点 B，M 重 合）时，能 使 得 线 段 C Q 的 延 长 线 与 射 线 B M 交 于 点 D，且 P Q Q D，请 直 接 写 出 的 范 围。2 5 在 平 面 直 角 坐 标 系 x O y 中，对 于 任 意 两 点

18、1 1 1()P x y，与2 2 2()P x y，的“非 常 距 离”，给 出 如 下 定 义：若1 2 1 2|x x y y，则 点1P 与 点2P 的“非 常 距 离”为1 2|x x；若1 2 1 2|x x y y，则 点1P 与 点2P 的“非 常 距 离”为1 2|y y.例 如：点1(1 2)P，点2(3 5)P，因 为|1 3|2 5|，所 以 点1P 与 点2P 的“非 常 距 离”为|2 5|3，也 就 是 图 1 中 线 段1P Q 与 线 段2P Q 长 度 的 较 大 值（点 Q 为 垂 直 于 y 轴的 直 线1P Q 与 垂 直 于 x 轴 的 直 线2P

19、Q 的 交 点）。（1）已 知 点1(0)2A，B 为 y 轴 上 的 一 个 动 点，若 点 A 与 点 B 的“非 常 距 离”为 2，写 出 一 个 满 足 条 件 的 点 B 的 坐 标；直 接 写 出 点 A 与 点 B 的“非 常 距 离”的 最 小 值；（2）已 知 C 是 直 线334y x 上 的 一 个 动 点，如 图 2，点 D 的 坐 标 是（0，1），求 点 C 与 点 D 的“非 常 距 离”的 最 小 值 及 相应 的 点 C 的 坐 标；如 图 3，E 是 以 原 点 O 为 圆 心，1 为 半 径 的 圆 上 的 一 个 动 点，求 点 C 与 点 E 的“非

20、 常 距 离”的 最 小 值 及 相 应 的 点 E 和 点 C 的 坐 标。2 0 1 2 年 北 京 中 考 数 学 试 卷 分 析一、各 个 知 识 板 块 所 占 分 值二、各 个 知 识 板 块 考 查 的 难 易 程 度三、试 卷 整 体 难 度 特 点 分 析2 0 1 2 年 北 京 中 考 数 学 刚 刚 结 束,今 年 试 卷 整 体 呈 现 出“新 颖”的 特 点，与 近 几 年 中 考 试 题以 及 今 年 一 模、二 模 试 题 有 比 较 大 的 差 异。总 体 难 度 与 去 年 持 平，但 是 最 难 的 题 目 难 度 并没 有 去 年 高。考 生 做 起 来

21、 会 感 觉 不 太 顺 手，此 份 试 卷 对 于 优 秀 学 生 的 区 分 度 将 会 比 去 年 大，而 对 于 中 当 学 生 的 区 分 度 将 不 会 有 太 大 变 化。此 份 试 卷 呈 现 出 以 下 几 个 特 点：1.题 目 的 背 景 和 题 型 都 比 较 新 颖。例 如 选 择 题 的 第 8 题、解 答 题 第 2 5 题，尤 其 是 2 5 题 第一 次 在 代 数 题 目 中 用 到 了 定 义 新 运 算，题 目 很 新 颖，知 识 点 融 合 度 较 高。考 察 的 方 式 都是 平 常 同 学 们 很 少 见 到 的 题 型。2.填 空 题 第 1 2

22、 题 试 题 结 构 与 往 年 不 同，考 察 观 察 能 力 和 精 确 作 图 能 力。本 试 卷 的 填 空 题第 1 2 题，需 要 同 学 们 在 试 卷 上 画 出 比 较 精 确 的 线 段 才 能 很 好 的 发 现 其 中 的 规 律，而 所体 现 的 规 律 本 身 并 不 复 杂，是 一 个 等 差 数 列 问 题。3.弱 化 了 对 于 梯 形 的 考 察。解 答 题 第 1 9 题 并 没 有 像 之 前 一 样 是 一 道 题 型 的 问 题，取 而 代之 的 是 一 道 四 边 形 的 题 目。难 度 并 不 大。4.与 圆 有 关 的 题 目 增 多，例 如

23、选 择 题 第 8 题、解 答 题 第 2 0 题。解 答 题 第 2 4 题 第 二 问 也 可以 通 过 构 造 辅 助 圆 来 解 决。5.考 察 学 生 对 于 知 识 点 的 深 入 理 解 能 力。解 答 题 第 2 3 题 第 三 小 问，重 点 考 察 直 线 与 抛 物线 位 置 关 系 的 深 入 理 解，难 度 较 大。四、试 题 重 点 题 目 分 析（2 0 1 2 年 北 京 中 考 第 2 3 题）2 3 已 知 二 次 函 数23(1)2(2)2y t x t x 在 0 x 和 2 x 时 的 函 数 值 相 等。（4）求 二 次 函 数 的 解 析 式；（5

24、）若 一 次 函 数 6 y k x 的 图 象 与 二 次 函 数 的图 象 都 经 过 点(3)A m，求 m 和 k 的 值；（6）设 二 次 函 数 的 图 象 与 x 轴 交 于 点 B C，（点B 在 点 C 的 左 侧），将 二 次 函 数 的 图 象 在 点B C，间 的 部 分（含 点 B 和 点 C）向 左 平 移(0)n n 个 单 位 后 得 到 的 图 象 记 为 G，同 时 将（2）中 得 到 的 直 线 6 y k x 向上 平 移 n 个 单 位。请 结 合 图 象 回 答：当 平 移 后 的 直 线 与 图 象 G 有 公 共 点 时，n的 取 值 范 围。【

25、解 析】由 题 意 可 知 依 二 次 函 数 图 象 的 对 称 轴 为 1 x 则 2 212 1tt。32t 232 2y x x 1 因 二 次 函 数 图 象 必 经 过 A 点 2 1 33 3 62 2m 又 一 次 函 数 6 y k x 的 图 象 经 过 A 点 3 6 6 k，4 k 由 题 意 可 知，点 B C，间 的 部 分 图 象 的 解 析 式 为 13 12y x x，1 3 x 则 向 左 平 移 后 得 到 的 图 象 C 的 解 析 式 为 3 12y x n x n 11 3 n x n 此 时 平 移 后 的 解 析 式 为 4 6 y x n 由

26、图 象 可 知，平 移 后 的 直 线 与 图 象 C 有 公 共 点，则 两 个 临 界 的 交 点 为 1 0 n，与 3 0 n，则 0 4 1 6 n n 23n 0 4 3 6 n n 6 n 263n【评 价】前 两 问 都 比 较 简 单，第 三 问 有 一 定 难 度，考 察 学 生 对 于 函 数 图 象 平 移 的 理 解，以 及 对 于 直 线 与 抛 物 线 位 置 关 系 的 运 用。此 题 的 关 键 在 于 临 界 点 讨 论 需 要 同 学 们 能 够 表 示出 临 界 点 的 坐 标，带 入 直 线 解 析 式 即 可 得 到 n 的 取 值 范 围。A（-3

27、，-6）此 为 两 个 函 数 的 切 点坐 标 为（-n-1,0）坐 标 为（3-n,0）（2 0 1 2 年 北 京 中 考 第 2 4 题）2 4 在 A B C 中，B A B C B A C，M 是 A C 的 中 点，P 是 线 段 B M 上 的 动 点，将 线段 P A 绕 点 P 顺 时 针 旋 转 2 得 到 线 段 P Q。（1）若 且 点 P 与 点 M 重 合（如 图 1），线 段 C Q 的 延 长 线 交 射 线 B M 于 点 D，请 补 全 图 形，并 写 出 C D B 的 度 数；（2）在 图 2 中，点 P 不 与 点 B M，重 合，线 段 C Q 的

28、 延 长 线 与 射 线 B M 交 于 点 D，猜 想 C D B 的 大 小（用 含 的 代 数 式 表 示），并 加 以 证 明；（3）对 于 适 当 大 小 的，当 点 P 在 线 段 B M 上 运 动 到 某 一 位 置（不 与 点 B，M 重 合）时，能 使 得 线 段 C Q 的 延 长 线 与 射 线 B M 交 于 点 D，且 P Q Q D，请 直 接 写 出 的 范 围。【解 析】，3 0 C D B 连 接 P C A D，易 证 A P D C P D A P P C A D B C D B P A D P C D 又 P Q P A 2 P Q P C A D C

29、 C D B，P Q C P C D P A D 180 P A D P Q D P Q C P Q D 3 6 0 1 8 0 A P Q A D C P A D P Q D 180 180 2 A D C A P Q 2 1 8 0 2 C D B 9 0 C D B 90 C D B，且 P Q Q D 2 180 2 P A D P C Q P Q C C D B 点 P 不 与 点 B M，重 合 B A D P A D M A D 2 1 8 0 2 4 5 6 0【评 价】此 题 并 没 有 考 察 常 见 的 动 点 问 题，而 是 将 动 点 问 题 和 几 何 变 换 结

30、合 在 一 起，应 用一 个 点 构 造 2 倍 角。需 要 同 学 们 注 意 图 形 运 动 过 程 中 的 不 变 量，此 题 可 以 用 倒 角（上 述 答案 的 方 法）或 是 构 造 辅 助 圆 的 方 法 解 决。2 0 1 3 年 2 4 在 A B C 中，A B=A C，B A C=（6 0 0），将 线 段 B C 绕 点 B 逆 时 针 旋转 6 0 得 到 线 段 B D。图 1 图 2（1）如 图 1，直 接 写 出 A B D 的 大 小（用 含 的 式 子 表 示）；（2）如 图 2，B C E=1 5 0，A B E=6 0，判 断 A B E 的 形 状 并

31、 加 以 证 明；（3）在（2）的 条 件 下，连 结 D E，若 D E C=4 5，求 的 值。2 4（本 小 题 满 分 7 分）解：（1）30-.2A B D 1 分（2）A B E 是 等 边 三 角 形 2 分证 明：连 结 A D，C D D B C=6 0，B D=B C，B D C 是 等 边 三 角 形，B D C=6 0，B D=D C 3 分又 A B=A C，A D=A D，A B D A C D A D B=A D C，A D B=1 5 0 4 分 A B E=D B C=6 0，A B D=E B C 又 B D=B C，A D B=E C B=1 5 0，A

32、B D E B C A B=E B A B E 是 等 边 三 角 形 5 分（3）解：B D C 是 等 边 三 角 形，B C D=6 0 D C E=B C E-B C D=9 0 又 D E C=4 5，C E=C D=B C 6 分 E B C=1 5 E B C=A B D=3 0-2，=3 0 7 分2 0 1 4 年 2 4 在 正 方 形 A B C D 外 侧 作 直 线 A P，点 B 关 于 直 线 A P 的 对 称 点 为 E，连 接 B E，D E，其 中 D E 交 直 线 A P 于 点 F（1）依 题 意 补 全 图 1；（2）若 P A B=2 0，求 A

33、 D F 的 度 数；（3）如 图 2，若 4 5 P A B 9 0，用 等 式 表 示 线 段 A B，F E，F D 之 间 的 数 量 关 系，并 证明 解：（1）补 全 图 形 如 图 所 示：（2 0 1 2 年 北 京 中 考 第 2 5 题）2 5 在 平 面 直 角 坐 标 系 x O y 中，对 于 任 意 两 点1 1 1()P x y，与2 2 2()P x y，的“非 常 距 离”，给 出 如 下 定 义：若1 2 1 2|x x y y，则 点1P 与 点2P 的“非 常 距 离”为1 2|x x；若1 2 1 2|x x y y，则 点1P 与 点2P 的“非 常

34、 距 离”为1 2|y y.例 如：点1(1 2)P，点2(3 5)P，因 为|1 3|2 5|，所 以 点1P 与 点2P 的“非 常 距 离”为|2 5|3，也 就 是 图 1 中 线 段1P Q 与 线 段2P Q 长 度 的 较 大 值（点 Q 为 垂 直 于 y 轴的 直 线1P Q 与 垂 直 于 x 轴 的 直 线2P Q 的 交 点）。（1）已 知 点1(0)2A，B 为 y 轴 上 的 一 个 动 点，若 点 A 与 点 B 的“非 常 距 离”为 2，写 出 一 个 满 足 条 件 的 点 B 的 坐 标；直 接 写 出 点 A 与 点 B 的“非 常 距 离”的 最 小

35、值；（2）已 知 C 是 直 线334y x 上 的 一 个 动 点，如 图 2，点 D 的 坐 标 是（0，1），求 点 C 与 点 D 的“非 常 距 离”的 最 小 值 及 相应 的 点 C 的 坐 标；如 图 3，E 是 以 原 点 O 为 圆 心，1 为 半 径 的 圆 上 的 一 个 动 点，求 点 C 与 点 E 的“非 常 距 离”的 最 小 值 及 相 应 的 点 E 和 点 C 的 坐 标。【解 析】0 2，或 0 2，21 设 C 坐 标0 0334x x，当0 0324x x 此 时087x 距 离 为87此 时8 1 57 7C，.3 45 5E，0 03 3 435

36、 4 5x x 085x 8 95 5C，最 小 值 1。CCQQ C C QQ P P D【评 价】此 题 是 第 一 次 在 代 数 题 目 中 用 到 了 定 义 新 运 算，题 目 很 新 颖。知 识 点 融 合 度 较 高。需 要 同 学 们 有 较 强 的 阅 读 理 解 题 目 的 能 力 和 数 形 结 合 能 力。计 算 并 不 复 杂，关 键 在 于 对 于几 何 图 形 最 值 问 题 的 探 讨。在 A B C 中，B A B C B A C，M 是 A C 的 中 点，P 是 线 段 B M 上 的 动 点，将 线 段 P A绕 点 P 顺 时 针 旋 转 2 得 到

37、 线 段 P Q。（1）若 且 点 P 与 点 M 重 合（如 图 1），线 段 C Q 的 延 长 线 交 射 线 B M 于 点 D，请 补 全 图 形，并 写 出 C D B 的 度 数；（2）在 图 2 中，点 P 不 与 点 B M，重 合，线 段 C Q 的 延 长 线 与 射 线 B M 交 于 点 D，猜 想 C D B 的 大 小（用 含 的 代 数 式 表 示），并 加 以 证 明；（3）对 于 适 当 大 小 的，当 点 P 在 线 段 B M 上 运 动 到 某 一 位 置（不 与 点 B，M 重 合）从 第 二 题 第 一 问 的 作 图 中 可 以 发 现，过 C

38、点 向 x、y 轴 作 垂 线，当 C P 和 C Q 长 度 相等 的 时 候“非 常 距 离”最 短，理 由 是，如 果 向 下（如 左 图）或 向 上（如 右 图）移 动 C点 到 达 C 点，其 与 点 D 的“非 常 距 离”都 会 增 大。故 而 C、D 为 正 方 形 相 对 的 两 个 顶点 时 有 最 小 的 非 常 距 离。发 现 这 一 点 对 于 同 学 们 更 好 的 理 解 题 意 十 分 重 要。P P DO时，能 使 得 线 段 C Q 的 延 长 线 与 射 线 B M 交 于 点 D，且 P Q Q D，请 直 接 写 出 的 范 围。在 A B C 中，B

39、 A B C B A C，M 是 A C 的 中 点，P 是 线 段 B M 上 的 动 点，将 线 段 P A绕 点 P 顺 时 针 旋 转 2 得 到 线 段 P Q。（1）若 且 点 P 与 点 M 重 合（如 图 1），线 段 C Q 的 延 长 线 交 射 线 B M 于 点 D，请 补 全 图 形，并 写 出 C D B 的 度 数；（2）在 图 2 中，点 P 不 与 点 B M，重 合，线 段 C Q 的 延 长 线 与 射 线 B M 交 于 点 D，猜 想 C D B 的 大 小（用 含 的 代 数 式 表 示），并 加 以 证 明；（3）对 于 适 当 大 小 的，当 点 P 在 线 段 B M 上 运 动 到 某 一 位 置（不 与 点 B，M 重 合）时，能 使 得 线 段 C Q 的 延 长 线 与 射 线 B M 交 于 点 D，且 P Q Q D，请 直 接 写 出 的 范 围。