2012年安徽高考理科数学试题及答案.pdf

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1、2 0 1 2 年 安 徽 理 科 数 学 试 题 及 答 案本 试 卷 分 第 卷（选 择 题）和 第 卷（非 选 择 题）两 部 分，第 卷 第 1 至 第 2 页，第 卷 第3 页 至 第 4 页。全 卷 满 分 1 5 0 分，考 试 时 间 1 2 0 分 钟。考 生 注 意 事 项：答 题 前，务 必 在 试 题 卷、答 题 卡 规 定 填 写 自 己 的 姓 名、座 位 号，并 认 真 核 对 答 题 卡 上 所 粘 贴 的 条形 码 中 姓 名、座 位 号 与 本 人 姓 名、座 位 号 是 否 一 致。务 必 在 答 题 卡 背 面 规 定 的 地 方 填 写 姓 名 和 座

2、位 号 后 两 位。答 第 卷 时，每 小 题 选 出 答 案 后，用 2 B 铅 笔 把 答 题 卡 上 对 应 题 目 的 答 案 标 号 涂 黑。如 需 改 动，用橡 皮 擦 干 净 后，再 选 涂 其 他 答 案 标 号。答 第 卷 时，必 须 使 用 0.5 毫 米 的 黑 色 墨 水 签 字 笔 在 答 题 卡 上 书 写，要 求 字 体 工 整、笔 迹 清 晰。作 图 题 可 先 用 铅 笔 在 答 题 卡 规 定 的 位 置 绘 出，确 认 后 再 用 0.5 毫 米 的 黑 色 墨 水 签 字 笔 描 清 楚。必须 在 题 号 所 指 示 的 答 题 区 域 作 答，超 出

3、书 写 的 答 案 无 效，在 试 题 卷、草 稿 纸 上 答 题 无 效。考 试 结 束 后，务 必 将 试 题 卷 和 答 题 卡 一 并 上 交。参 考 公 式：如 果 事 件 A 与 B 互 斥；则()()()P A B P A P B 如 果 事 件 A 与 B 相 互 独 立；则()()()P A B P A P B 如 果 A 与 B 是 事 件，且()0 P B；则()()()P A BP A BP B第 卷（选 择 题 共 5 0 分）一、选 择 题：本 大 题 共 1 0 小 题，每 小 题 5 分，共 5 0 分，在 每 小 题 给 出 的 四 个 选 项 中，只 有 一

4、 项是 符 合 题 目 要 求 的。（1）复 数 z 满 足：()(2)5 z i i；则 z（）()A 2 2 i()B 2 2 i()C i()D i【解 析】选 D5 5(2)()(2)5 2 22(2)(2)iz i i z i z i ii i i（2）下 列 函 数 中，不 满 足：(2)2()f x f x 的 是（）()A()f x x()B()f x x x()C()f x x()D()f x x【解 析】选 C()f x k x 与()f x k x 均 满 足：(2)2()f x f x 得：,A B D 满 足 条件（3）如 图 所 示，程 序 框 图（算 法 流 程

5、图）的 输 出 结 果 是（）()A 3()B 4()C()D【解 析】选 Bx1 2 4 8y1 2 3 44.公 比 为32 等 比 数 列 na 的 各 项 都 是 正 数，且3 1116 a a，则（）()A 4()B 5()C()D【解 析】选 B2 93 11 7 7 16 7 2 1616 16 4 32 l og 5 a a a a a a q a 5.甲、乙 两 人 在 一 次 射 击 比 赛 中 各 射 靶 5 次，两 人 成 绩 的 条 形 统 计 图 如 图 所 示，则()A 甲 的 成 绩 的 平 均 数 小 于 乙 的 成 绩 的 平 均 数()B 甲 的 成 绩

6、的 中 位 数 等 于 乙 的 成 绩 的 中 位 数()C 甲 的 成 绩 的 方 差 小 于 乙 的 成 绩 的 方 差()D 甲 的 成 绩 的 极 差 小 于 乙 的 成 绩 的 极 差【解 析】选 C1 1(4 5 6 7 8)6,(5 3 6 9)65 5x x 乙 甲甲 的 成 绩 的 方 差 为2 21(2 2 1 2)25，乙 的 成 绩 的 方 差 为2 21(1 3 3 1)2.45（6）设 平 面 与 平 面 相 交 于 直 线 m，直 线 a 在 平 面 内，直 线 b 在 平 面 内，且 b m 则“”是“a b”的（）()A 充 分 不 必 要 条 件()B 必

7、要 不 充 分 条 件()C 充 要 条 件()D 即 不 充 分 不 必 要 条 件【解 析】选 A,b m b b a 如 果/a m；则 a b 与 b m 条 件 相 同（7）2 521(2)(1)xx 的 展 开 式 的 常 数 项 是（）()A 3()B 2()C()D【解 析】选 D第 一 个 因 式 取2x，第 二 个 因 式 取21x得：1 451(1)5 C 第 一 个 因 式 取 2，第 二 个 因 式 取5(1)得：52(1)2 展 开 式 的 常 数 项 是 5(2)3（8）在 平 面 直 角 坐 标 系 中，(0,0),(6,8)O P，将 向 量 O P 按 逆

8、时 针 旋 转34后，得 向 量 O Q 则 点 Q 的 坐 标 是（）()A(7 2,2)()B(7 2,2)()C(4 6,2)()D(4 6,2)【解 析】选 A【方 法 一】设3 4(10 c os,10 s i n)c os,s i n5 5O P 则3 3(10 c os(),10 s i n()(7 2,2)4 4O Q【方 法 二】将 向 量(6,8)O P 按 逆 时 针 旋 转32后 得(8,6)O M 则1()(7 2,2)2O Q O P O M（9）过 抛 物 线24 y x 的 焦 点 F 的 直 线 交 抛 物 线 于,A B 两 点，点 O 是 原 点，若 3

9、A F；则 A O B 的 面 积 为（）()A22()B 2()C3 22()D 2 2【解 析】选 C设(0)A F x 及 B F m；则 点 A 到 准 线:1 l x 的 距 离 为 3得：13 2 3 c os c os3 又2 32 c os()1 c os 2m m m A O B 的 面 积 为1 1 3 2 2 3 2s i n 1(3)2 2 2 3 2S O F A B（1 0）6 位 同 学 在 毕 业 聚 会 活 动 中 进 行 纪 念 品 的 交 换，任 意 两 位 同 学 之 间 最 多 交 换 一 次，进 行 交换的 两 位 同 学 互 赠 一 份 纪 念 品

10、，已 知 6 位 同 学 之 间 共 进 行 了 1 3 次 交 换，则 收 到 4 份 纪 念 品的 同 学 人 数 为（）()A 1 或 3()B 1 或 4()C 2 或 3()D 2 或 4【解 析】选 D2613 15 13 2 C 设 仅 有 甲 与 乙，丙 没 交 换 纪 念 品，则 收 到 4 份 纪 念 品 的 同 学 人 数 为 2 人 设 仅 有 甲 与 乙，丙 与 丁 没 交 换 纪 念 品，则 收 到 4 份 纪 念 品 的 同 学 人 数 为 4 人第 I I 卷（非 选 择 题 共 1 0 0 分）考 生 注 意 事 项：请 用 0.5 毫 米 黑 色 墨 水 签

11、 字 笔 在 答 题 卡 上 作 答，在 试 题 卷 上 答 题 无 效.二 填 空 题：本 大 题 共 5 小 题，每 小 题 5 分，共 2 5 分.把 答 案 填 在 答 题 卡 的 相 应 位 置.（1 1）若,x y 满 足 约 束 条 件：02 32 3xx yx y；则 x y 的 取 值 范 围 为 _ _ _ _ _【解 析】x y 的 取 值 范 围 为 _ _ _ _ _ 3,0 约 束 条 件 对 应 A B C 边 际 及 内 的 区 域：3(0,3),(0,),(1,1)2A B C则 3,0 t x y（1 2）某 几 何 体 的 三 视 图 如 图 所 示，该

12、几 何 体 的 表 面 积 是 _ _ _ _ _【解 析】表 面 积 是 _ _ _ _ _ 92该 几 何 体 是 底 面 是 直 角 梯 形，高 为 4 的 直 四 棱 柱几 何 体 的 表 面 积 是2 212(2 5)4(2 5 4 4(5 2)4 922S（1 3）在 极 坐 标 系 中，圆 4 s i n 的 圆 心 到 直 线()6R 的 距 离 是 _【解 析】距 离 是 _ _ _ _ _ 3圆2 24 s i n(2)4 x y 的 圆 心(0,2)C直 线:()3 06l R x y；点 C 到 直 线 l 的 距 离 是0 2 332（1 4）若 平 面 向 量,a

13、b 满 足：2 3 a b；则 a b 的 最 小 值 是 _ _ _ _ _【解 析】a b 的 最 小 值 是 _982 22 22 3 4 9 494 4 4 9 4 48a b a b a ba b a b a b a b a b a b（1 5）设 A B C 的 内 角,A B C 所 对 的 边 为,a b c；则 下 列 命 题 正 确 的 是 _ _ _ _ _ 若2ab c；则3C 若 2 a b c；则3C 若3 3 3a b c；则2C 若()2 a b c ab；则2C 若2 2 2 2 2()2 a b c a b；则3C【解 析】正 确 的 是 _ _ _ _ _

14、 2 2 222 1c os2 2 2 3a b c ab abab c C Cab ab 2 2 2 2 2 24()()12 c os2 8 2 3a b c a b a ba b c C Cab ab 当2C 时，2 2 2 3 2 2 3 3c a b c a c b c a b 与3 3 3a b c 矛 盾 取 2,1 a b c 满 足()2 a b c ab 得：2C 取 2,1 a b c 满 足2 2 2 2 2()2 a b c a b 得：3C三、解 答 题：本 大 题 共 6 小 题，共 7 5 分，解 答 应 写 出 文 字 说 明、证 明 过 程 或 演 算 步

15、骤.解 答 写 在答 题 卡 的 制 定 区 域 内.（1 6）(本 小 题 满 分 1 2 分)设 函 数22()c os(2)s i n2 4f x x x（I）求 函 数()f x 的 最 小 正 周 期；（I I）设 函 数()g x 对 任 意 x R，有()()2g x g x，且 当 0,2x 时，1()()2g x f x；求 函 数()g x 在,0 上 的 解 析 式。【解 析】22 1 1 1()c os(2)s i n c os 2 s i n 2(1 c os 2)2 4 2 2 2f x x x x x x 1 1s i n 22 2x（I）函 数()f x 的 最

16、 小 正 周 期22T（2）当 0,2x 时，1 1()()s i n 22 2g x f x x 当,02x 时，()0,2 2x 1 1()()s i n 2()s i n 22 2 2 2g x g x x x 当,)2x 时，()0,)2x 1 1()()s i n 2()s i n 22 2g x g x x x 得：函 数()g x 在,0 上 的 解 析 式 为1s i n 2(0)2 2()1s i n 2()2 2x xg xx x（1 7）（本 小 题 满 分 1 2 分）某 单 位 招 聘 面 试，每 次 从 试 题 库 随 机 调 用 一 道 试 题，若 调 用 的 是

17、 A 类 型 试 题，则 使 用 后该 试 题 回 库，并 增 补 一 道 A 类 试 题 和 一 道 B 类 型 试 题 入 库，此 次 调 题 工 作 结 束；若 调 用的 是 B 类 型 试 题，则 使 用 后 该 试 题 回 库，此 次 调 题 工 作 结 束。试 题 库 中 现 共 有 n m 道试 题，其 中 有 n 道 A 类 型 试 题 和 m 道 B 类 型 试 题，以 X 表 示 两 次 调 题 工 作 完 成 后，试题 库 中 A 类 试 题 的 数 量。（）求 2 X n 的 概 率；（）设 m n，求 X 的 分 布 列 和 均 值（数 学 期 望）。【解 析】（I）

18、2 X n 表 示 两 次 调 题 均 为 A 类 型 试 题，概 率 为12n nm n m n（）m n 时，每 次 调 用 的 是 A 类 型 试 题 的 概 率 为12p 随 机 变 量 X 可 取,1,2 n n n 21()(1)4P X n p，1(1)2(1)2P X n p p，21(2)4P X n p Xn1 n 2 n P1412141 1 1(1)(2)14 2 4E X n n n n 答：（）2 X n 的 概 率 为12n nm n m n（）求 X 的 均 值 为 1 n（1 8）（本 小 题 满 分 1 2 分）平 面 图 形1 1 1A B B A C C

19、 如 图 4 所 示，其 中1 1B B C C 是 矩 形，12,4 B C B B，2 A B A C，1 1 1 15 A B A C。现 将 该 平 面 图 形 分 别 沿 B C 和1 1B C 折 叠，使 A B C 与1 1 1A B C 所 在 平 面 都与 平 面1 1B B C C 垂 直，再 分 别 连 接1 1 1,A A B A C A,得 到 如 图 2 所 示 的 空 间 图 形，对 此 空 间 图 形 解 答下 列 问 题。（）证 明：1A A B C；（）求1A A 的 长；（）求 二 面 角1A B C A 的 余 弦 值。【解 析】（I）取1 1,B C

20、B C 的 中 点 为 点1,O O，连 接1 1 1 1,A O O O A O A O则 A B A C A O B C，面 A B C 面1 1B B C C A O 面1 1B B C C同 理：1 1A O 面1 1B B C C 得：1 1 1 1/,A O A O A O A O 共 面又1 1,O O B C O O A O O B C 面1 1 1A O O A A A B C（）延 长1 1A O 到 D，使1O D O A 得：1 1/O D O A A D O O 1O O B C，面1 1 1A B C 面1 1B B C C1O O 面1 1 1A B C A D

21、面1 1 1A B C2 2 2 214(2 1)5 A A A D D A（）1 1,A O B C A O B C A O A 是 二 面 角1A B C A 的 平 面 角在1 1R t O O A 中，2 2 2 21 1 1 14 2 2 5 A O O O A O 在1R t O A A 中，2 2 21 1115c os2 5A O A O A AA O AA O A O 得：二 面 角1A B C A 的 余 弦 值 为55。（1 9）（本 小 题 满 分 1 3 分）K 设1()(0)xxf x ae b aae（I）求()f x 在 0,)上 的 最 小 值；（I I）设

22、曲 线()y f x 在 点(2,(2)f 的 切 线 方 程 为32y x；求,a b 的 值。【解 析】（I）设(1)xt e t；则2 22 21 1 1 a ty at b y aat at at 当 1 a 时，0 y 1y at bat 在 1 t 上 是 增 函 数得：当 1(0)t x 时，()f x 的 最 小 值 为1a ba 当 0 1 a 时，12 y at b bat 当 且 仅 当11(,l n)xat t e x aa 时，()f x 的 最 小 值 为 2 b（I I）1 1()()x xx xf x ae b f x aeae ae 由 题 意 得：22 22

23、21 2(2)3 331 3 1(2)22 2f ae b aae efae bae（2 0）（本 小 题 满 分 1 3 分）如 图，1 2(,0),(,0)F c F c 分 别 是 椭 圆2 22 2:1(0)x yC a ba b 的 左，右 焦 点，过 点1F 作 x 轴 的 垂 线 交 椭 圆 的 上 半 部 分 于 点 P，过 点2F 作 直 线2P F 的 垂 线 交 直 线2axc 于 点 Q；（I）若 点 Q 的 坐 标 为(4,4)；求 椭 圆 C 的 方 程；（I I）证 明：直 线 P Q 与 椭 圆 C 只 有 一 个 交 点。【解 析】（I）点1 1(,)(0)P

24、 c y y 代 入2 22 21x ya b 得：21bya21 204 014baP F Q Fc c c 又24ac 2 2 2(,0)c a b a b c 由 得：2,1,3 a c b 既 椭 圆 C 的 方 程 为2 214 3x y（I I）设22(,)aQ yc；则221 2 2 2001 2byaP F Q F y aa c ccc 得：222P Qbacaka acc 22 2 222 22 2 222 221bxx y bay b x ya b abb xa 过 点 P 与 椭 圆 C 相 切 的 直 线 斜 率x c P Qck y ka 得：直 线 P Q 与 椭

25、圆 C 只 有 一 个 交 点。（2 1）（本 小 题 满 分 1 3 分）数 列 nx 满 足：2*1 10,()n n nx x x x c n N（I）证 明：数 列 nx 是 单 调 递 减 数 列 的 充 分 必 要 条 件 是 0 c（I I）求 c 的 取 值 范 围，使 数 列 nx 是 单 调 递 增 数 列。【解 析】（I）必 要 条 件当 0 c 时，21 n n n nx x x c x 数 列 nx 是 单 调 递 减 数 列充 分 条 件数 列 nx 是 单 调 递 减 数 列2 21 2 1 1 10 x x x x c c x 得：数 列 nx 是 单 调 递

26、减 数 列 的 充 分 必 要 条 件 是 0 c（I I）由（I）得：0 C 当 0 c 时，10na a，不 合 题 意 当 0 c 时，22 1 3 2,2 0 1 x c x x c c x c c 2 21 10 1 0n n n n nx x c x x c x x c 2 22 1 1 1 1 1()()()(1)n n n n n n n n n nx x x x x x x x x x 当14c 时，1 2 111 02n n n n nx c x x x x 与1 n nx x 同 号，由2 1 2 10 0n n n nx x c x x x x 21l i m l i m()l i mn n n nn n nx x x c x c 当14c 时，存 在 N，使1 2 1112N N N N Nx x x x x 与1 N Nx x 异 号与 数 列 nx 是 单 调 递 减 数 列 矛 盾得：当104c 时，数 列 nx 是 单 调 递 增 数 列.