2011年湖北省随州市中考数学真题及答案.pdf

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1、20112011 年湖北省随州市中考数学真题及答案年湖北省随州市中考数学真题及答案一、选择题（A，B，C，D 四个答案中，有且只有一个是正确的，每小题 4 分，共 40 分）1、（2011随州）cos30=（）A、B、C、D、考点：特殊角的三角函数值。专题：计算题。分析：直接根据 cos30=进行解答即可解答：解：因为 cos30=，所以 C 正确故选 C点评：本题考查的是特殊角的三角函数值，熟记各特殊角的三角函数值是解答此题的关键2、（2011随州）计算22+（2）2（）1的正确结果是（）A、2B、2C、6D、10考点：负整数指数幂；有理数的乘方。分析：根据负整数指数幂和有理数的乘方计算即可

2、解答：解：原式=4+4+2=2故选 A点评：本题考查了有理数的乘方以及负整数指数幂的知识，当底数是分数时，只要把分子、分母颠倒，负指数就可变为正指数3、（2011随州）如图，矩形 ABCD 的对角线 AC=10，BC=8，则图中五个小矩形的周长之和为（）A、14B、16C、20D、28考点：平移的性质；勾股定理。分析：根据题意可知五个小矩形的周长之和正好能平移到大矩形的四周，即可得出答案解答：解：根据题意可知五个小矩形的周长之和正好能平移到大矩形的四周，故即可得出答案：AC=10，BC=8，AB=6，图中五个小矩形的周长之和为：6+8+6+8=28故选 D点评：此题主要考查了勾股定理以及平移的

3、性质，得出五个小矩形的周长之和正好能平移到大矩形的四周是解决问题的关键4、（2011随州）一个几何体的三视图如下：其中主视图和左视图都是腰长为 4，底边为 2 的等腰三角形，则这个几何体侧面展开图的面积为（）A、2B、C、4D、8考点：圆锥的计算；由三视图判断几何体。专题：计算题。分析：由几何体的主视图和左视图都是等腰三角形，俯视图是圆，可以判断这个几何体是圆锥解答：解：依题意知母线长 l=4，底面半径 r=1，则由圆锥的侧面积公式得 S=rl=14=4故选 C点评：本题主要考查三视图的知识和圆锥侧面面积的计算；解决此类图的关键是由三视图得到立体图形；学生由于空间想象能力不够，找不到圆锥的底面

4、半径，或者对圆锥的侧面面积公式运用不熟练，易造成错误5、（2011随州）如图，AB 为O 的直径，PD 切O 于点 C，交 AB 的延长线于 D，且 CO=CD，则PCA=（）A、30B、45 C、60D、67.5考点：切线的性质。专题：常规题型。分析：根据图形利用切线的性质，得到COD=45，连接 AC，ACO=22.5，所以PCA=9022.5=67.5解答：解：如图：PD 切O 于点 C，OCPD，又OC=CD，COD=45，连接 AC，AO=CO，ACO=22.5，PCA=9022.5=67.5故选 D点评：本题考查的是切线的性质，利用切线的性质得到 OCPD，然后进行计算求出PCA

5、的度数6、（2011随州）如图，把 RtABC 放在直角坐标系内，其中CAB=90，BC=5，点 A、B 的坐标分别为（1，0）、（4，0），将ABC 沿 x 轴向右平移，当点 C 落在直线 y=2x6 上时，线段 BC 扫过的面积为（）A、4B、8C、16D、考点：一次函数综合题；一次函数图象上点的坐标特征；平行四边形的性质；平移的性质。专题：计算题。分析：根据题目提供的点的坐标求得点 C 的坐标，当向右平移时，点 C 的坐标不变，代入直线求得点平 C的横坐标，进而求得其平移 的距离，计算平行四边形的面积即可解答：解：点 A、B 的坐标分别为（1，0）、（4，0），AB=3，BC=5，CAB

6、=90，AC=4，点 C 的坐标为（1，4），当点 C 落在直线 y=2x6 上时，令 y=4，得到 4=2x6，解得 x=5，平移的距离为 51=4，线段 BC 扫过的面积为 44=16，故选 C点评：本题综合考查了一次函数与几何知识的应用，题中运用圆与直线的关系以及直角三角形等知识求出线段的长是解题的关键7、（2011随州）下列说法中一个角的两边分别垂直于另一角的两边，则这两个角相等数据 5，2，7，1，2，4 的中位数是 3，众数是 2等腰梯形既是中心对称图形，又是轴对称图形RtABC 中，C=90，两直角边 a、b 分别是方程 x27x+7=0 的两个根，则 AB 边上的中线长为正确命

7、题有（）A、0 个B、1 个 C、2 个D、3 个考点：根与系数的关系；垂线；直角三角形斜边上的中线；勾股定理；等腰梯形的性质；中位数；众数。专题：常规题型。分析：一个角的两边分别垂直于另一个角的两边，这两个角互补在这组数据中，中位数是 2 和 4 的平均数，出现次数最多的数是 2，可以求出中位数和众数等腰梯形是轴对称，而不是中心对称利用根与系数的关系得到 a+b=7，ab=7，然后利用勾股定理求出斜边 AB，得到斜边中线的长解答：解：一个角的两边垂直于另一个角的两边，这两个角互补，而不是相等，所以错误数据 1，2，2，4，5，7，中位数是（2+4）=3，其中 2 出现的次数最多，众数是 2，

8、所以正确等腰梯形只是轴对称图形，而不是中心对称图形，所以错误根据根与系数的关系有：a+b=7，ab=7，a2+b2=（a+b）22ab=4914=35，即：AB2=35，AB=AB 边上的中线的长为所以正确故选 C点评：本题考查的是根与系数的关系，利用基本概念对每个命题进行分析，作出正确的判断8、（2011随州）若关于的二元一次方程组的解满足 x+y2，则 a 的取值范围为（）A、x4B、x4C、x4D、x4考点：解一元一次不等式；解二元一次方程组。专题：探究型。分析：先把先把两式相加求出 x+y 的值，再代入 x+y2 中得到关于 a 的不等式，求出的取值范围即可解答：解：，+得，x+y=1

9、+，x+y2，1+2，解得 a4故选 A点评：本题考查的是解二元一次方程组及解二元一次不等式组，解答此题的关键是把 a 当作已知条件表示出 x、y 的值，再得到关于 a 的不等式9、（2011随州）如图，在ABC 中 E 是 BC 上的一点，BC=2BE，点 D 是 AC 的中点，设ABC，ADF，BEF的面积分别为 SABC，SADF，SBEF，且 SABC=12，则 SADFSBEF=（）A、1B、2C、3D、4考点：三角形的面积。分析：本题需先分别求出 SABD，SABE再根据 SADFSBEF=SABDSABE即可求出结果解答：解：SABC=12，BC=2BE，点 D 是 AC 的中点

10、，SABE=4，SABD=6，SABDSABE，=SADFSBEF，=64，=2故选 B点评：本题主要考查了三角形的面积计算，在解题时要能根据已知条件求出三角形的面积并对要求的两个三角形的面积之差进行变化是本题的关键10、（2011随州）已知函数，若使 y=k 成立的 x 值恰好有三个，则 k 的值为（）A、0B、1C、2D、3考点：二次函数的图象。专题：数形结合。分析：首先在坐标系中画出已知函数的图象，利用数形结合的方法即可找到使 y=k 成立的 x 值恰好有三个的 k 值解答：解：函数的图象如图：，根据图象知道当 y=3 时，对应成立的 x 有恰好有三个，k=3故选 D点评：此题主要考查了

11、利用二次函数的图象解决交点问题，解题的关键是把解方程的问题转换为根据函数图象找交点的问题二、填空 ffi（共 5 道题，每小题 4 分，共 20 分）11、（2011随州）的倒数是2考点：倒数。分析：根据倒数的定义直接解答即可解答：解：（）（2）=1，的倒数是2点评：本题考查倒数的基本概念，即若两个数的乘积是 1，我们就称这两个数互为倒数属于基础题12、（2011随州）分解因式：8a22=2（2a+1）（2a1）考点：提公因式法与公式法的综合运用。分析：先提取公因式 2，再根据平方差公式进行二次分解即可求得答案解答：解：8a22，=2（4a21），=2（2a+1）（2a1）故答案为：2（2a+

12、1）（2a1）点评：本题考查了提公因式法，公式法分解因式注意分解要彻底13、（2011随州）要使式子有意义，则 a 的取值范围为a2 且 a0考点：二次根式有意义的条件。专题：计算题。分析：根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于或等于 0，分母不等于 0，可以求出 x 的范围解答：解：根据题意得：a+20 且 a0，解得：a2 且 a0故答案为：a2 且 a0点评：本题考查的知识点为：分式有意义，分母不为 0；二次根式的被开方数是非负数14、（2011随州）如图：点 A 在双曲线上，AB 丄 x 轴于 B，且AOB 的面积 SAOB=2，则 k=4考点：反比例函数系数 k 的几何意义。专

13、题：探究型。分析：先根据反比例函数图象所在的象限判断出 k 的符号，再根据 SAOB=2 求出 k 的值即可解答：解：反比例函数的图象在二、四象限，k0，SAOB=2，|k|=4，k=4故答案为：4点评：本题考查的是反比例系数 k 的几何意义，即在反比例函数的图象上任意一点象坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是，且保持不变15、（2011随州）如图，ABC 的外角ACD 的平分线 CP 与内角ABC 平分线 BP 交于点 P，若BPC=40，则CAP=50考点：角平分线的性质；三角形内角和定理；三角形的外角性质。分析：根据外角与内角性质得出BAC 的度数，再利用角平分线

14、的性质以及直角三角形全等的判定，得出CAP=FAP，即可得出答案解答：解：延长 BA，做 PNBD，PFBA，PMAC，设PCD=x，CP 平分ACD，ACP=PCD=x，PM=PN，BP 平分ABC，ABP=PBC，PF=PN，PF=PM，BPC=40，ABP=PBC=（x40），BAC=ACDABC=2x（x40）（x40）=80，CAF=100，在 RtPFA 和 RtPMA 中，PA=PA，PM=PF，RtPFARtPMA，FAP=PAC=50故答案为：50点评：此题主要考查了角平分线的性质以及三角形外角的性质和直角三角全等的判定等知识，根据角平分线的性质得出 PM=PN=PF 是解决

15、问题的关键三、解答题（共 9 进大题，共 90 分）16、（2011随州）解方程：考点：解分式方程。专题：计算题。分析：观察可得最简公分母是 x（x+3），方程两边乘最简公分母，可以把分式方程转化为整式方程求解解答：解：方程两边同乘以 x（x+3），得 2（x+3）+x2=x（x+3），2x+6+x2=x2+3x，x=6检验：把 x=6 代入 x（x+3）=540，原方程的解为 x=6点评：（1）解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解；（2）解分式方程一定注意要验根17、（2011随州）为了加强食品安全管理，有关部门对某大型超市的甲、乙两种品牌食用油共抽取 18 瓶进

16、行检测，检测结果分成“优秀“、“合格“和“不合格”三个等级，数据处理后制成以下折线统计图和扇形统计图（1）甲、乙两种品牌食用油各被抽取了多少瓶用于检测？（2）在该超购买一瓶乙品牌食用油，请估计能买到“优秀”等级的概率是多少？考点：折线统计图；扇形统计图；概率公式。专题：图表型；数形结合。分析：（1）读折线统计图可知，不合格等级的有 1 瓶，读扇形统计图可知甲种品牌有不合格的，且只有 1瓶，由此可求出甲种品牌的数量，据此解答即可（2）根据随机事件概率大小的求法，找准两点：符合条件的情况数目；全部情况的总数；二者的比值就是其发生的概率的大小解答：解：（1）110%=10，1810=8，即甲种品牌有

17、 10 瓶，乙种品牌有 8 瓶（2）优秀瓶数为 10（1060%）=4 瓶，乙种品牌共有 8 瓶，能买到“优秀”等级的概率是=点评：本题考查的是扇形统计图和折线统计图的综合运用读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键18、（2011随州）如图，在等腰直角三角形 ABC 中，ABC=90，D 为 AC 边上中点，过 D 点 DE 丄 DF，交AB 于 E，交 BC 于 F，若 AE=4，FC=3，求 EF 长考点：勾股定理；全等三角形的判定与性质。专题：几何综合题。分析：首先连接 BD，由已知等腰直角三角形 ABC，可推出 BDAC 且 BD=CD=AD，ABD=45再由 DE

18、 丄 DF，可推出FDC=EDB，又等腰直角三角形 ABC 可得C=45，所以EDBFDC，从而得出 BE=FC=3，那么AB=7，则 BC=7，BF=4，再根据勾股定理求出 EF 的长解答：解：连接 BD，等腰直角三角形 ABC 中，D 为 AC 边上中点，BDAC，BD=CD=AD，ABD=45，C=45，又 DE 丄 DF，FDC=EDB，EDBFDC，BE=FC=3，AB=7，则 BC=7，BF=4，在直角三角形 EBF 中，EF2=BE2+BF2=32+42，EF=5答：EF 的长为 5点评：此题考查的知识点是勾股定理及全等三角形的判定，关键是由已知先证三角形全等，求得 BE 和 B

19、F，再由勾股定理求出 EF 的长19、（2011随州）有 3 张扑克牌，分別是红桃 3、红桃 4 和黑桃 5把牌洗匀后甲先抽取一张，记下花色和数字后将牌放回，洗匀后乙再抽取一张（1）先后两次抽得的数字分别记为 s 和 t，求|st|l 的概率（2）甲、乙两人做游戏，现有两种方案A 方案：若两次抽得相同花色则甲胜，否则乙胜B 方案：若两次抽得数字和为奇数则甲胜，否则乙胜请问甲选择哪种方案胜率更高？考点：列表法与树状图法。分析：（1）依据题意先用列表法或画树状图法分析所有等可能的出现结果，然后根据概率公式求出该事件的概率（2）分别求得两个方案中甲获胜的概率，比较其大小，哪个大则甲选择哪种方案好解答

20、：解：（1）画树状图得：列表：红桃 3红桃 4黑桃 5红桃 3（红 3，红 3）（红 3，红 4）（红 3，黑 5）红桃 4（红 4，红 3）（红 4，红 4）（红 4，黑 5）黑桃 5（黑 5，红 3）（黑 5，红 4）（黑 5，黑 5）一共有 9 种等可能的结果，|st|l 的有（3，4），（3，5），（4，3），（4，5），（5，3），（5，4）共 6 种，|st|l 的概率为：=；（2）两次抽得相同花色的有 5 种，两次抽得数字和为奇数有 4 种，A 方案：P（甲胜）=；B 方案：P（甲胜）=；甲选择 A 方案胜率更高点评：本题考查的是用列表法或画树状图法求概率列表法或画树状图法可以不

21、重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比20、（2011随州）今年我省干旱灾情严重，甲地急需抗旱用水 15 万吨，乙地 13 万吨现有两水库决定各调出 14 万吨水支援甲、乙两地抗旱从 A 地到甲地 50 千米，到乙地 30 千米；从 B 地到甲地 60 千米，到乙地 45 千米（1）设从 A 水库调往甲地的水量为 x 万吨，完成下表调入地水量/万吨调出地甲乙总计AX14B14总 计151328（2）请设计一个调运方案，使水的调运总量尽可能小（调运量=调运水的重量调运的距离，单位：万吨千米）考点：一次函数的应用。分析：（1）根据由 A

22、到甲和乙的综和是 14 吨，即可表示出由 A 到乙是 14x 吨，再根据到甲的总和是 15吨，即可表示；（2）首先用 x 表示出调运量的和，根据一次函数的性质，即可确定 x 的值，进而确定方案解答：解：（1）调入地水量/万吨调出地甲乙总计AX14x14B15xx114总 计151328（2）设调运量是 y=50 x+30（14x）+60（15x）+45（x1），即 y=5x+1275，又，解得：1x14，y 随 x 的增大而增大当 x=1 时，y 最小则由 A 到甲 1 吨，到乙 13 吨；由 B 到甲 14 吨，到乙 0 吨点评：本题主要考查了一次函数的应用，正确把调运量表示成 x 的函数是

23、解题的关键21、（2011随州）如图，防洪大堤的横断面是梯形，背水坡 AB 的坡比 i=1：（指坡面的铅直高度与水平宽度的比），且 AB=20m身高为 1.7m 的小明站在大堤 A 点，测得髙压电线杆顶端点 D 的仰角为 30已知地面 CB 宽 30m，求髙压电线杆 CD 的髙度（结果保留三个有效数字，1.732）考点：解直角三角形的应用-坡度坡角问题；解直角三角形的应用-仰角俯角问题。分析：由 i 的值求得大堤的高度 h，以及点 A 到点 B 的水平距离 a，从而求得 MN 的长度，由仰角求得 DN 的高度，从而由 DN，AM，h 求得高度 CD解答：解：设大堤的高度 h，以及点 A 到点

24、B 的水平距离 a，坡 AB 与水平的角度为 30，即得 h=10m，即得 a=，MN=BC+a=（30+10）m，测得髙压电线杆顶端点 D 的仰角为 30，解得：DN=10+1027.32（m），CD=DN+AM+h=27.32+1.7+10=39.0239.0（m）答：髙压电线杆 CD 的髙度约为 39.0 米点评：本题考查了直角三角形在坡度上的应用，由由 i 的值求得大堤的高度和点 A 到点 B 的水平距离，求得 MN，由仰角求得 DN 高度，进而求得总高度22、（2011随州）如图，在圆内接四边形 ABCD 中，CD 为BCA 的外角的平分线，F 为上一点，BC=AF，延长 DF 与

25、BA 的延长线交于 E（1）求证：ABD 为等腰三角形（2）求证：ACAF=DFFE考点：圆周角定理；全等三角形的判定与性质；圆内接四边形的性质；相似三角形的判定与性质。专题：证明题。分析：（1）CD 为BCA 的外角的平分线得到MCD=ACD，求出MCD=DAB 推出DBA=DAB 即可；（2）由 BC=AF 推出 CD=DF 和CDB=ADF，证CDAFDB，得到 AC=BF，根据 C D F B 四点共圆和 A F DB 四点共圆，推出FAE=BDF 和EFA=DFB，证DBFAEF，得到=即可推出答案解答：（1）证法一：连 CF、BF，ACD=MCD=CDB+CBD=CFB+CFD=D

26、FB，而ACD=DFB=DAB 又ACD=DBA，DAB=DBA，ABD 为等腰三角形证法二：由题意有MCD=ACD=DBA，又MCD+BCD=DAB+BCD=180，MCD=DAB，DAB=DBA 即ABD 为等腰三角形（2）由（1）知 AD=BD，BC=AF，则弧 AFD=弧 BCD，弧 AF=弧 BC，弧 CD=弧 DF，弧 CD=弧 DF又 BC=AF，BDC=ADF，BDC+BDA=ADF+BDA，即CDA=BDF，而FAE+BAF=BDF+BAF=180，FAE=BDF=CDA，同理DCA=AFE在CDA 与FDE 中，CDA=FAE，DCA=AFE，CDAFAE，即 CDEF=A

27、CAF，又由有 ACAF=DFEF 命题即证点评：本题主要考查对圆内接四边形，全等三角形的性质和判定，相似三角形的性质和判定，圆周角定理等知识点的理解和掌握，能综合运用这些性质进行推理是证此题的关键23、（2011随州）我市某镇的一种特产由于运输原因，长期只能在当地销售当地政府对该特产的销售投资收益为：每投入 x 万元，可获得利润 P=（万元）当地政府拟在“十二五”规划中加快开发该特产的销售，其规划方案为：在规划前后对该项目每年最多可投人 100 万元的销售投资，在实施规划 5 年的前两年中，每年都从 100 万元中拨出 50 万元用于修建一条公路，两年修成，通车前该特产只能在当地销售；公路通

28、车后的 3 年中，该特产既在本地销售，也在外地销售在外地销售的投资收益为：每投入x万元，可获利润（万元）（1）若不进行开发，求 5 年所获利润的最大值是多少？（2）若按规划实施，求 5 年所获利润（扣除修路后）的最大值是多少？（3）根据（1）、（2），该方案是否具有实施价值？考点：二次函数的应用。专题：销售问题。分析：（1）由可获得利润 P=（x60）2+41（万元），即可知当 x=60 时，P 最大，最大值为 41，继而求得 5 年所获利润的最大值；（2）首先求得前两年的获利最大值，注意前两年：0 x50，此时因为 P 随 x 的增大而增大，所以 x=50时，P 值最大；然后后三年：设每年获

29、利 y，设当地投资额为 x，则外地投资额为 100 x，即可得函数 y=P+Q=（x60）2+41+x2+x+160，整理求解即可求得最大值，则可求得按规划实施，5 年所获利润（扣除修路后）的最大值；（3）比较可知，该方案是具有极大的实施价值解答：解：（1）每投入 x 万元，可获得利润 P=（x60）2+41（万元），当 x=60 时，所获利润最大，最大值为 41 万元，若不进行开发，5 年所获利润的最大值是：415=205（万元）；（2）前两年：0 x50，此时因为 P 随 x 的增大而增大，所以 x=50 时，P 值最大，即这两年的获利最大为：2（5060）2+41=80（万元），后三年：

30、设每年获利 y，设当地投资额为 x，则外地投资额为 100 x，y=P+Q=（x60）2+41+x2+x+160=x2+60 x+165=（x30）2+1065，当 x=30 时，y 最大且为 1065，这三年的获利最大为 10653=3195（万元），5 年所获利润（扣除修路后）的最大值是：80+3495502=3175（万元）（3）规划后 5 年总利润为 3175 万元，不实施规划方案仅为 205 万元，故具有很大的实施价值 点评：此题考查了二次函数的实际应用问题解题的关键是理解题意，找到合适函数取得最大值，是解此题的关键，还要注意后三年的最大值的求解方法24、（2011随州）如图所示，过

31、点 F（0，1）的直线 y=kx+b 与抛物线交于 M（x1，y1）和 N（x2，y2）两点（其中 x10，x20）（1）求 b 的值（2）求 x1x2的值（3）分别过 M，N 作直线 l：y=1 的垂线，垂足分别是 M1和 N1判断M1FN1的形状，并证明你的结论（4）对于过点 F 的任意直线 MN，是否存在一条定直线 m，使 m 与以 MN 为直径的圆相切如果有，请求出这条直线 m 的解析式；如果没有，请说明理由考点：二次函数综合题。专题：代数几何综合题。分析：（1）把点 F 的坐标代入直线可以确定 b 的值（2）联立直线与抛物线，代入（1）中求出的 b 值，利用根与系数的关系可以求出 x

32、1x2的值（3）确定 M1，N1的坐标，利用两点间的距离公式，分别求出 M1F2，N1F2，M1N12，然后用勾股定理判断三角形的形状（4）根据题意可知 y=1 总与该圆相切 解答：解：（1）直线 y=kx+b 过点 F（0，1），b=1；（2）直线 y=kx+b 与抛物线交于 M（x1，y1）和 N（x2，y2）两点，可以得出：kx+b=x2，整理得：x2kx1=0，x1x2=4；（3）M1FN1是直角三角形（F 点是直角顶点）理由如下：设直线 l 与 y 轴的交点是 F1，FM12=FF12+M1F12=x12+4，FN12=FF12+F1N12=x22+4，M1N12=（x1x2）2=x

33、12+x222x1x2=x12+x22+8，FM12+FN12=M1N12，M1FN1是以 F 点为直角顶点的直角三角形（4）符合条件的定直线 m 即为直线 l：y=1过 M 作 MHNN1于 H，MN2=MH2+NH2=（x1x2）2+（y1y2）2，=（x1x2）2+（kx1+1）（kx2+1）2，=（x1x2）2+k2（x1x2）2，=（k2+1）（x1x2）2，=（k2+1）（16k2+16），=16（k2+1）2，MN=4（k2+1），分别取 MN 和 M1N1的中点 P，P1，PP1=（MM1+NN1）=（y1+1+y2+1）=（y1+y2）+1=k（x1+x1）+2=2k2+2，PP1=MN即线段 MN 的中点到直线 l 的距离等于 MN 长度的一半以 MN 为直径的圆与 l 相切点评：本题考查的是二次函数的综合题，（1）由点 F 的坐标求出 b 的值（2）结合直线与抛物线的解析式，利用根与系数的关系求出代数式的值（3）用两点间的距离公式，判断三角形的形状（4）根据点与圆的位置判断直线与圆的位置