2013年安徽高考理科数学试题及答案.pdf

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1、2 0 1 3 年 安 徽 高 考 理 科 数 学 试 题 及 答 案本 试 卷 分 第 卷 和 第 I I 卷（非 选 择 题）两 部 分，第 卷 第 1 至 第 2 页，第 I I 卷 第 3 至 第 4 页。全 卷 满 分 1 5 0 分，考 试 时 间 为 1 2 0 分 钟。参 考 公 式：如 果 事 件 A 与 B 互 斥，那 么()()()P A B P A P B 如 果 事 件 A 与 B 相 互 独 立，那 么()()()P A B P A P B 第 卷（选 择 题 共 5 0 分）一 选 择 题：本 大 题 共 1 0 小 题，每 小 题 5 分，共 5 0 分，在 每

2、 小 题 给 出 的 四 个 选 项 中，只 有 一 项是 符 合 题 目 要 求 的。（1）设 i 是 虚 数 单 位，_z 是 复 数 z 的 共 轭 复 数，若|()0 I x f x+2=2z z i，则 z=（A）1+i（B）1 i（C）1+i（D）1-i【答 案】A【解 析】设2bi 2a 2)i b(a 2 bi)i-a(bi)+a(2 2 z bi.z-a=z.bi,+a=z 2 2 z i 则i zbaa 1112 22b b a 2 2所 以 选 A（2）如 图 所 示，程 序 框 图（算 法 流 程 图）的 输 出 结 果 是（A）16（B）2524（C）34（D）111

3、2【答 案】D【解 析】.1211,1211122 3 66141210 s s,所 以选 D（3）在 下 列 命 题 中，不 是 公 理 的 是（A）平 行 于 同 一 个 平 面 的 两 个 平 面 相 互 平 行（B）过 不 在 同 一 条 直 线 上 的 三 点，有 且 只 有 一 个 平 面（C）如 果 一 条 直 线 上 的 两 点 在 一 个 平 面 内，那 么 这 条 直 线 上 所 有 的 点 都 在 此 平 面 内（D）如 果 两 个 不 重 合 的 平 面 有 一 个 公 共 点，那 么 他 们 有 且 只 有 一 条 过 该 点 的 公 共 直 线【答 案】A【解 析】

4、B,C,D 说 法 均 不 需 证 明，也 无 法 证 明，是 公 理；A 选 项 可 以 推 导 证 明，故 是 定 理。所 以 选 A（4）0 a“是 函 数()=(-1)f x ax x 在 区 间(0,+)内 单 调 递 增”的（A）充 分 不 必 要 条 件（B）必 要 不 充 分 条 件（C）充 分 必 要 条 件（D）既 不 充 分 也 不 必 要 条 件【答 案】C【解 析】当 a=0 时，时，且 上单调递增；当，在 x ax x f x a x f y x x f)1()(0 0)0()(|)(.)0()(0 所以a.)0()(上单调递增的充分条件，在 是 上单调递增，在 x

5、 f y x f y0 a)0()(上单调递增，在 相反，当 x f y,.)0()(0 a 上单调递增的必要条件，在 是 x f y故 前 者 是 后 者 的 充 分 必 要 条 件。所 以 选 C（5）某 班 级 有 5 0 名 学 生，其 中 有 3 0 名 男 生 和 2 0 名 女 生，随 机 询 问 了 该 班 五 名 男 生 和 五 名 女 生在 某 次 数 学 测 验 中 的 成 绩，五 名 男 生 的 成 绩 分 别 为 8 6,9 4,8 8,9 2,9 0，五 名 女 生 的 成 绩 分 别 为8 8,9 3,9 3,8 8,9 3.下 列 说 法 一 定 正 确 的 是

6、（A）这 种 抽 样 方 法 是 一 种 分 层 抽 样（B）这 种 抽 样 方 法 是 一 种 系 统 抽 样（C）这 五 名 男 生 成 绩 的 方 差 大 于 这 五 名 女 生 成 绩 的 方 差（D）该 班 级 男 生 成 绩 的 平 均 数 小 于 该 班 女 生 成 绩 的 平 均 数【答 案】C【解 析】对 A 选 项，分 层 抽 样 要 求 男 女 生 总 人 数 之 比=男 女 生 抽 样 人 数 之 比，所 以 A 选 项 错。对 B 选 项，系 统 抽 样 要 求 先 对 个 体 进 行 编 号 再 抽 样，所 以 B 选 项 错。对 C 选 项，男 生 方 差 为 4

7、 0，女 生 方 差 为 3 0。所 以 C 选 项 正 确。对 D 选 项，男 生 平 均 成 绩 为 9 0，女 生 平 均 成 绩 为 9 1。所 以 D 选 项 错。所 以 选 C（6）已 知 一 元 二 次 不 等 式()0 f x 的 解 集 为 1|2x x x 或，则(10)0 xf 的 解 集 为（A）|lg2 x x x 或（B）|-1-lg2 x x（D）|-lg2 x x【答 案】D【解 析】由 题 知，一 元 二 次 不 等 式 2 ln211-),21(-1,的解集为 0)(x e xx即所 以 选 D。（7）在 极 坐 标 系 中，圆=2cos p 的 垂 直 于

8、 极 轴 的 两 条 切 线 方 程 分 别 为（A）=0()cos=2 R 和（B）=()cos=22R 和（C）=()cos=12R 和（D）=0()cos=1 R 和【答 案】B【解 析】在 极 坐 标 系 中，圆 心 坐 标232.1 0 1 或 故左切线为，半径，r.2 cos2:.2 cos2cos 和 即切线方程为 右切线满足所 以 选 B（8）函 数=()y f x 的 图 像 如 图 所 示，在 区 间,a b 上 可 找 到(2)n n 个 不 同 的 数1 2,.,nx x x 使 得1 21 2()()()=,nnf x f x f xx x x则 n 的 取 值 范

9、围 是（A）3,4（B）2,3,4（C）3,4,5（D）2,3【答 案】B【解 析】由 题 知，过 原 点 的 直 线 y=x 与 曲 线=()y f x 相 交 的 个 数 即 n 的 取 值.用 尺 规 作 图，交 点可 取 2,3,4.所 以 选 B（9）在 平 面 直 角 坐 标 系 中，o 是 坐 标 原 点，两 定 点,A B 满 足 2,O A O B O A O B 则 点 集,1,|P O P O A O B R 所 表 示 的 区 域 的 面 积 是（A）2 2（B）2 3（C）4 2（D）4 3【答 案】D【解 析】考 察 三 点 共 线 向 量 知 识:1,其中 是线外

10、一点则 三点共线 若 P C P B P A P C B A.在 本 题 中，32 cos 4 cos|O B O A O B O A.建 立 直 角 坐 标 系，设A(2,0),).(1 0,0).3 1(含边界 内 在三角形 时，则当 O A B P B 3 4 4 的面积 三角形 的面积 根据对称性，所求区域 O A B S所 以 选 D（1 0）若 函 数3()=+b+f x x x c 有 极 值 点1x，2x，且1 1()=f x x，则 关 于 x 的 方 程213()+2()+=0 f x f x b 的 不 同 实 根 个 数 是（A）3（B）4（C）5（D）6【答 案】A【

11、解 析】使 用 代 值 法。设 c x x x x f x x x x x f 623)(6 3 3)2)(1(3)(2 3 2.，令29)(2,1 0)(1 1 2 1 c x x f x x x f1)1()1 2()2,()(上单调递增，极小值为，上单调递减，在，上单调递增，在 在 x f.3)()(0)(2 1个根 解得有一个根，共 解得有二个根，由 x x f x x f x f f 所 以 选 A2 0 1 3 普 通 高 等 学 校 招 生 全 国 统 一 考 试（安 徽 卷）数 学（理 科）第 卷（非 选 择 题 共 1 0 0 分）考 生 注 意 事 项：请 用 0.5 毫

12、米 黑 色 墨 水 签 字 笔 在 答 题 卡 上 作 答，在 试 题 卷 上 答 题 无 效。二.填 空 题：本 大 题 共 5 小 题，每 小 题 5 分，共 2 5 分。把 答 案 填 在 答 题 卡 的 相 应 位 置。（1 1）若83axx 的 展 开 式 中4x 的 系 数 为 7，则 实 数 a _ _ _21_ _ _。【答 案】21【解 析】通 项217,3 4348)(3 38388388 a a C r r x a Cxax Crrr r r r r所 以21（1 2）设 A B C 的 内 角,A B C 所 对 边 的 长 分 别 为,a b c。若 2 b c a，

13、则 3sin 5sin,A B 则角 C _ _ 32_ _ _.【答 案】32【解 析】3sin 5sin,A B 32212cos 2,5 32 2 2 Cabc b aC a c b b a所 以 32（1 3）已 知 直 线 y a 交 抛 物 线2y x 于,A B 两 点。若 该 抛 物 线 上 存 在 点 C，使 得 A B C 为 直角，则 a 的 取 值 范 围 为 _ _ _),1 _ _ _ _ _。【答 案】),1【解 析】B C A C x x C m m B m m A 则 根据题意不妨),(),(),(2 2 20)()1 2(0)(),(),(4 2 2 2 4

14、 2 2 2 2 2 2 2 2 2 x x m x m m x m x m x m x m x m x),1 1 0)1(-2 2 2 2 2 2 x m x m x m）（.所 以),1 a（1 4）如 图，互 不-相 同 的 点1 2,nA A X 和1 2,nB B B 分 别 在 角 O 的 两 条 边 上，所 有n nA B相 互 平 行，且 所 有 梯 形1 1 n n n nA B B A 的 面 积 均 相 等。设.n nO A a 若1 21,2,a a 则 数 列 na 的通 项 公 式 是 _ _ _ _ _*,2 3 N n n an _ _ _ _。【答 案】*,2

15、 3 N n n an【解 析】221001 1 0 1 1)(aaS SSS A B B A S O B An n n n 的面积为，梯形 的面积为 设.41)(,32210 aaS S.)(1 32 32.)(3 43 1)()1(21221 22100 nnnnnnaannaannaaS n SnS S种情况得 由上面1 31)(1 311 32 31077441)()()()()(211 211 21243 232 221 n aan nnaaaaaaaaaan n nn*,2 3 1,1 31 1N n n a a n an n 且（1 5）如 图，正 方 体1 1 1 1A B C

16、 D A B C D 的 棱 长 为 1，P 为 B C 的 中 点，Q 为 线 段1C C 上 的 动 点，过点 A,P,Q 的 平 面 截 该 正 方 体 所 得 的 截 面 记 为 S。则 下 列 命 题 正 确 的 是 _ _ _ _ _（写 出 所 有 正确 命 题 的 编 号）。当102C Q 时，S 为 四 边 形 当12C Q 时，S 为 等 腰 梯 形 当34C Q 时，S 与1 1C D 的 交 点 R 满 足1 113C R 当314C Q 时，S 为 六 边 形 当 1 C Q 时，S 的 面 积 为62【答 案】【解 析】C Q D T P Q A T P Q A T

17、 T D D 2 2/1 且，则 相交于 设截面与.对，时 当210.C Q,则.1 0 D T 所 以 截 面 S 为 四 边 形，且 S 为 梯 形.所 以 为 真.对,1=DT,21.时 当 C Q 重合 与1,D T，截 面 S 为 四 边 形.,1 1Q D A P A P Q D 所以 截 面 S 为 等腰 梯 形.所 以 为 真.对,时 当43.C Q.31.21,23,411 1 1 1 R C T D D T Q C 利用三角形相似解得 所 以 为真.对,2 DT23,143.时 当 C Q.截 面 S 与 线 段1 1 1 1C D,D A 相 交，所 以 四 边 形 S

18、为 五 边 形.所以 为 假.对,A G A P C G D A S C C Q1 1 1 1 1 1,Q 1.即为菱形 相交于中点 与线段 截面 重合 与 时，当.对角 线 长 度 分 别 为.263 2 的面积为，和 S 所 以 为 真.综 上，选 三.解 答 题：本 大 题 共 6 小 题，共 7 5 分。解 答 应 写 出 文 字 说 明、证 明 过 程 或 演 算 步 骤。解 答 写 在答 题 卡 上 的 指 定 区 域 内。（1 6）（本 小 题 满 分 1 2 分）已 知 函 数()4cos sin(0)4f x x x 的 最 小 正 周 期 为。（）求 的 值；（）讨 论()

19、f x 在 区 间 0,2 上 的 单 调 性。【答 案】（）1（）.2 8 8,0)(上单调递减，上单调递增；在 在 x f y【解 析】（）2)42 sin(2)1 2 cos 2(sin 2)cos(sin cos 2 2 x x x x x x122.所 以 1,2)42 sin(2)(x x f（）；解得，令 时，当8 2 42 4,4)42(2,0 x x x x所 以.2 8 8,0)(上单调递减，上单调递增；在 在 x f y（1 7）（本 小 题 满 分 1 2 分）设 函 数2 2()(1)f x ax a x，其 中 0 a，区 间|()0 I x f x（）求 的 长

20、度（注：区 间(,)的 长 度 定 义 为）；（）给 定 常 数(0,1)k，当 时，求 l 长 度 的 最 小 值。【答 案】（）21 aa.（）2)1(11kk【解 析】（）)1,0(0)1()(22aax x a a x x f.所 以 区 间 长 度 为21 aa.（）由（）知，aaaal1112恒成立 令 已知 kkk kkk a k k-1110-111.1-1 0),1,0(2。2 2)1(11)1(1111)(kkkkl k aaa a g 这时 时取最大值 在所 以2)1(111kkl k a 取最小值 时，当.（1 8）（本 小 题 满 分 1 2 分）设 椭 圆2 22

21、2:11x yEa a 的 焦 点 在 x 轴 上（）若 椭 圆 E 的 焦 距 为 1，求 椭 圆 E 的 方 程；（）设1 2,F F 分 别 是 椭 圆 的 左、右 焦 点，P 为 椭 圆 E 上 的 第 一 象 限 内 的 点，直 线2F P 交 y 轴 与点 Q，并 且1 1F P F Q，证 明：当 a 变 化 时，点 p 在 某 定 直 线 上。【答 案】（）138582 2 x x.（）0 1 y x【解 析】（）13858851,1 2,12 22 2 2 2 2 2 x xa c a a c a a，椭圆方程为：.（）),(),),0(),(),0,(),0,(2 2 2

22、1m c Q F y c x P F m Q y x P c F c F（则 设.由)1,0(),1,0()1,0(0 12 y x a a.0)()(,/).,(),(1 1 2 2 1 1m y c x cy c x c mQ F P F Q F P F m c Q F y c x P F 得：由解 得 联 立 2 2 22 2 222222 2 2 2111.)(c a ac y xayaxc y x y c x c xy x y x y xy xyy xx 1)1,0(),1,0(.)1(112122 22 222 22所 以 动 点 P 过 定 直 线 0 1 y x.（1 9）（本

23、 小 题 满 分 1 3 分）如 图，圆 锥 顶 点 为 p。底 面 圆 心 为 o，其 母 线 与 底 面 所 成 的 角 为 2 2.5。A B 和 C D 是 底 面 圆 O上 的 两 条 平 行 的 弦，轴 O P 与 平 面 P C D 所 成 的 角 为 6 0，（）证 明：平 面 P A B 与 平 面 P C D 的 交 线 平 行 于 底 面；（）求 cos C O D。【答 案】（）见 下.（）2 12-17【解 析】（）m A B P C D A B P C D C D C D A B m C 直线 面 面 且 直线 面 设面/,D P PAB A B C D m A B

24、 C D A B 面 直 线 面/.所 以,ABCD D P PAB 的公共交线平行底面 与面 面 C.(证 毕)（）rP OO P F F C D r 5.22 tan.60,由题知，则 的中点为 线段 设底面半径为.5.22 tan 15.22 tan 245 tan,2cos 5.22 tan 60 tan 60 tan,2C O DrO FP OO F.)2 2 3(3),1-2(3 21 cos,1-2 5.22 tan 12cos 2 cos2 2 C O D C O DC O D2 12-17 cos.2 12-17 cos C O D C O D 所以.(完)（2 0）（本 小

25、 题 满 分 1 3 分）设 函 数2 22 2 2()1(,)2 3nnnx x xf x x x R n Nn，证 明：（）对 每 个nn N，存 在 唯 一 的2,13nx，满 足()0n nf x；（）对 任 意np N，由（）中nx 构 成 的 数 列 nx 满 足10n n px xn。【答 案】（）见 下.（）见 下.【解 析】（）2 24232224 3 21)(0nx x x xx x fnxy xnnn 是单调递增的 时，当 是 x 的 单 调递 增 函 数,也 是 n 的 单 调 递 增 函 数.0 1 1)1(,0 1)0(n nf f 且.0 1 0)(,1,0(3

26、2 1 n n n nx x x x x f x，且 满足 存在唯一xxxxx xxx x x xx x f xn nn 114111412 2 2 21)(,).1,0(2 1 22 242322 时 当 1,32 0)2 3)(2(1141)(02 n n nnnn n nx x xxxx x f综 上，对 每 个nn N，存 在 唯 一 的2,13nx，满 足()0n nf x；(证 毕)（）由 题 知 04 3 21)(,0 12 242322 nx x x xx x f x xnn n n nn n n p n n0)()1(4 3 21)(2 212 242322 p nxnxnx

27、 x x xx x fp np nnp nnp n p n p n p np n p n p n 上式 相 减：2 212 2423222 242322)()1(4 3 2 4 3 2 p nxnxnx x x xxnx x x xxp np nnp nnp n p n p n p np nnn n n nn）（）（2 212 24 423 322 2)()1(-4-3-2-p nxnxnx x x x x x x xx xp np nnp nnnnp n n p n n p n n p np n n nx xn p n np n n1-1 1 1.(证 毕)（2 1）（本 小 题 满 分 1

28、 3 分）某 高 校 数 学 系 计 划 在 周 六 和 周 日 各 举 行 一 次 主 题 不 同 的 心 理 测 试 活 动，分 别 由 李 老 师 和 张 老 师 负责，已 知 该 系 共 有 n 位 学 生，每 次 活 动 均 需 该 系 k 位 学 生 参 加（n 和 k 都 是 固 定 的 正 整 数）。假 设李 老 师 和 张 老 师 分 别 将 各 自 活 动 通 知 的 信 息 独 立、随 机 地 发 给 该 系 k 位 学 生，且 所 发 信 息 都 能 收到。记 该 系 收 到 李 老 师 或 张 老 师 所 发 活 动 通 知 信 息 的 学 生 人 数 为 x（）求

29、该 系 学 生 甲 收 到 李 老 师 或 张 老 师 所 发 活 动 通 知 信 息 的 概 率；（）求 使()P X m 取 得 最 大 值 的 整 数 m。【答 案】（）2)(2nknk.（）.)(22-1 0 取最大值 时 时，当 m f k mnk 取最大值 时 时 当)(2,2122-1 m P k mnk 取最大值 时 时，当 当)(121m P n mnk【解 析】（）nkA PnkA P A-1)()(，师的通知信息，则 表示：学生甲收到李老 设事件.)()(),()(A P B P A P B P B 师的通知信息，则 表示：学生甲收到张老 设事件.师或张老师的通知信息 表示：学生甲收到李老 设事件 C.则2 2)(2)1(1)B P()A P(-1=P(C)nknknk.所 以，2)(2nknk 老师的通知信息为 学生甲收到李老师或张.（）（本 问 自 己 无 法 给 出 解 答，抱 歉，敬 请 参 考 网 上 答 案）