解决“含参数不等式的恒成立”问题的基本方法_中学教育-高考.pdf

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1、学习必备 欢迎下载 解决“含参数不等式的恒成立”问题的基本方法 “含参数不等式的恒成立”的问题，是近几年高考的热点，它往往以函数、数列、三角函数、解析几何为载体具有一定的综合性，解决这类问题，主要是运用等价转化的数学思想：即一般的，若函数 xf在定义域为 D，则当 xD 时，有 Mxf恒成立 Mxfmin；Mxf恒成立 Mxfmax.因而,含参数不等式的恒成立问题常根据不等式的结构特征,恰当地构造函数,等价转化为含参数的函数的最值讨论.例一 已知函数 1112xxxxf.求 xf的反函数 xf1;若不等式 xaaxfx 11对于41,161x恒成立,求实数 a 的取值范围.分析：本题的第二问将

2、不等式 xaaxfx 11转化成为关于 t 的一次函数 211atatg在21,41t恒成立的问题.那么，怎样完成这个转化呢？转化之后又应当如何处理呢？【解析】略解 10111xxxxf 由题设有 xaaxxx111,xaax21,即 0112axa对于41,161x恒成立.显然,a-1 令xt,由41,161x可知21,41t 则 0112atatg对于21,41t恒成立.由于 211atatg是关于 t 的一次函数.（在21,41t的条件下 211atatg表示一条线段，只要线段的两个端点在 x 轴上方就可以保证 0112atatg恒成立）学习必备 欢迎下载 451011210114102

3、104122aaaaagg 例二 定义在 R 上的函数 xf既是奇函数，又是减函数，且当2,0时，有 022sin2cos2mfmf恒成立，求实数 m 的取值范围.分析:利用函数的单调性和奇偶性去掉映射符号 f，将“抽象函数”问题转化为常见的含参的二次函数在区间(0，1)上恒为正的问题.而对于 xf0 在给定区间a，b上恒成立问题可以转化成为 xf在a，b上的最小值问题，若 xf中含有参数，则要求对参数进行讨论。【解析】由022sin2cos2mfmf得到：22sin2cos2mfmf 因为 xf为奇函数，故有22sin2cos2mfmf恒成立，又因为 xf为 R 减函数，从而有22sin2c

4、os2mm对2,0恒成立 设tsin，则01222mmtt对于1,0t恒成立，在设函数 1222mmtttg,对称轴为mt.当0mt时，0120 mg，即21m，又0m 021m(如图1)当1,0mt，即10m时,012442mmm,即0122 mm,2121m,又1,0m,10m(如图 2)当1mt时，0212211mmg恒成立.1m(如图 3)t g(t)o 1 图 1 t g(t)o 1 图 2 t g(t)o 1 图 3 t=m t=m t=m 它往往以函数数列三角函数解析几何为载体具有一定的综合性解决这类问题主要是运用等价转化的数学思想即一般的若函数在定义域为则当时有恒成立恒成立因而

5、含参数不等式的恒成立问题常根据不等式的结构特征恰当地构造函数二问将不等式转化成为关于的一次函数在恒成立的问题那么怎样完成这个转化呢转化之后又应当如何处理呢解析略解由题设有即对于恒成立显然令由可知则对于恒成立由于的条件下示一条线段只要线段的两个端点在轴上方就可以保实数的取值范围分析利用函数的单调性和奇偶性去掉映射符号将抽象函数问题转化为常见的含参的二次函数在区间上恒为正的问题而对于在给定区间上恒成立问题可以转化成为在上的最小值问题若中含有参数则要求对参数进行讨论学习必备 欢迎下载 故由可知：21m.例三 定义在 R 上的单调函数 f(x)满足 f(3)=log23 且对任意 x，yR 都有 f(

6、x+y)=f(x)+f(y)(1)求证 f(x)为奇函数；(2)若 02933xxxfkf对任意 xR 恒成立，求实数 k 的取值范围 分析:问题(1)欲证 f(x)为奇函数即要证对任意 x 都有 f(-x)=-f(x)成立在式子 f(x+y)=f(x)+f(y)中，令 y=-x可得 f(0)=f(x)+f(-x)于是又提出新的问题，求 f(0)的值 令 x=y=0 可得 f(0)=f(0)+f(0)即 f(0)=0，f(x)是奇函数得到证明问题(2)的上述解法是根据函数的性质f(x)是奇函数且在xR 上是增函数，把问题转化成二次函数 f(t)=t2-(1+k)t+20 对于任意 t0 恒成立

7、对二次函数 f(t)进行研究求解【解析】(1)证明：f(x+y)=f(x)+f(y)(x，yR)，令 x=y=0，代入式，得 f(0+0)=f(0)+f(0)，即 f(0)=0 令 y=-x，代入式，得 f(x-x)=f(x)+f(-x)，又 f(0)=0，则有 0=f(x)+f(-x)即 f(-x)=-f(x)对任意 xR 成立，所以 f(x)是奇函数(2)解：f(3)=log230，即 f(3)f(0)，又 f(x)在 R 上是单调函数，所以 f(x)在 R 上是增函数，又由(1)f(x)是奇函数 2932933xxxxxffkf，2933xxxk 即 023132xxk对于任意Rx恒成立

8、.令 t=3x0，问题等价于 0212tkt对于任意0t恒成立.令 212tkttf,其对称轴为直线21kx 当021 k,即1k时,020f恒成立,符合题意,故1k;当021 k时,对于任意0t,0tf恒成立 02410212kk，解得2211k 综上所述,当221k时,02933xxxfkf对于任意Rx恒成立.它往往以函数数列三角函数解析几何为载体具有一定的综合性解决这类问题主要是运用等价转化的数学思想即一般的若函数在定义域为则当时有恒成立恒成立因而含参数不等式的恒成立问题常根据不等式的结构特征恰当地构造函数二问将不等式转化成为关于的一次函数在恒成立的问题那么怎样完成这个转化呢转化之后又应

9、当如何处理呢解析略解由题设有即对于恒成立显然令由可知则对于恒成立由于的条件下示一条线段只要线段的两个端点在轴上方就可以保实数的取值范围分析利用函数的单调性和奇偶性去掉映射符号将抽象函数问题转化为常见的含参的二次函数在区间上恒为正的问题而对于在给定区间上恒成立问题可以转化成为在上的最小值问题若中含有参数则要求对参数进行讨论学习必备 欢迎下载 本题还可以应用分离系数法,这种解法更简捷.分离系数,由2933xxxk得1323xxk.由于Rx,所以03 x,故1221323xxu,即 u 的最小值为122.要使对于Rx不等式1323xxk恒成立,只要122k 说明:上述解法是将 k 分离出来，然后用平

10、均值定理求解，简捷、新颖 例四 已知向量a=(2x，x+1)，b=(1-x，t)。若函数baxf)(在区间（-1，1）上是增函数，求 t 的取值范围。（2005 年湖北卷第 17 题）分析：利用导数将“函数)(xf在区间（-1，1）上是增函数”的问题转化为“0)(xf在（-1，1）上恒成立”的问题，即转化成为“二次函数023)(2txxxf在区间（-1，1）上恒成立”，利用分离系数法将 t 分离出来，通过讨论最值来解出 t 的取值范围。【解析】依定义ttxxxxtxxxf232)1()1()(。则txxxf23)(2，若)(xf在（-1，1）上是增函数，则在（-1，1）上可设0)(xf恒成立。

11、0)(xfxxt232在（-1，1）上恒成立。考虑函数xxxg23)(2，（如图 4）由于)(xg的图象是对称轴为31x，开口向上的抛物线，故要使xxt232在（-1，1）上恒成立)1(gt，即5t。而当5t时，)(xf 在（-1，1）上满足)(xf 0，即)(xf在（-1，1）上是增函数。故 t 的取值范围是5t.数学思想方法是解决数学问题的灵魂，同时它又离不开具体的数学知识在解决含参数不等式的恒成立的数学问题中要进行一系列等价转化因此，更要重视转化的数学思想 图 4 o x 1 -1 y g(x)31x 它往往以函数数列三角函数解析几何为载体具有一定的综合性解决这类问题主要是运用等价转化的数学思想即一般的若函数在定义域为则当时有恒成立恒成立因而含参数不等式的恒成立问题常根据不等式的结构特征恰当地构造函数二问将不等式转化成为关于的一次函数在恒成立的问题那么怎样完成这个转化呢转化之后又应当如何处理呢解析略解由题设有即对于恒成立显然令由可知则对于恒成立由于的条件下示一条线段只要线段的两个端点在轴上方就可以保实数的取值范围分析利用函数的单调性和奇偶性去掉映射符号将抽象函数问题转化为常见的含参的二次函数在区间上恒为正的问题而对于在给定区间上恒成立问题可以转化成为在上的最小值问题若中含有参数则要求对参数进行讨论