2013辽宁考研数学二真题及答案.pdf
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1、2 0 1 3 辽 宁 考 研 数 学 二 真 题 及 答 案一、选 择 题：1 8 小 题，每 小 题 4 分，共 3 2 分，下 列 每 小 题 给 出 的 四 个 选 项 中，只 有 一 项符 合 题 目 要 求 的，请 将 所 选 项 前 的 字 母 填 在 答 题 纸 指 定 位 置 上.（1）设 c os 1 s i n()x x x，其 中()2x，则 当 0 x 时，()x 是（）（A）比 x 高 阶 的 无 穷 小（B）比 x 低 阶 的 无 穷 小（C）与 x 同 阶 但 不 等 价 的 无 穷 小（D）与 x 等 价 的 无 穷 小（2）设 函 数()y f x 由 方
2、程 c os()l n 1 x y y x 确 定，则2l i m()1nn fn（）（A）2（B）1（C）1（D）2（3）设 函 数s i n,0()=2,2x xf xx，0()()xF x f t dt，则（）（A）x 是 函 数()F x 的 跳 跃 间 断 点（B）x 是 函 数()F x 的 可 去 间 断 点（C）()F x 在 x 处 连 续 但 不 可 导（D）()F x 在 x 处 可 导（4）设 函 数111,1(1)()=1,l nx exf xx ex x，若 反 常 积 分1()f x dx 收 敛，则（）（A）2（B）2（C）2 0（D）0 2（5）设()yz f
3、 x yx，其 中 函 数 f 可 微，则x z zy x y（）（A）2()y f x y（B）2()y f x y（C）2()f x yx（D）2()f x yx（6）设kD 是 圆 域 2 2(,)|1 D x y x y 在 第 k 象 限 的 部 分，记()(1,2,3,4)kkDI y x dx dy k，则（）（A）10 I（B）20 I（C）30 I（D）40 I（7）设 矩 阵 A,B,C 均 为 n 阶 矩 阵，若,B A B C 则 可 逆，则（A）矩 阵 C 的 行 向 量 组 与 矩 阵 A 的 行 向 量 组 等 价（B）矩 阵 C 的 列 向 量 组 与 矩 阵
4、A 的 列 向 量 组 等 价（C）矩 阵 C 的 行 向 量 组 与 矩 阵 B 的 行 向 量 组 等 价（D）矩 阵 C 的 行 向 量 组 与 矩 阵 B 的 列 向 量 组 等 价（8）矩 阵1 11 1aa b aa 与2 0 00 b 00 0 0 相 似 的 充 分 必 要 条 件 为（A）a 0,b 2（B）为任意常数 b a,0（C）0,2 b a（D）为任意常数 b a,2 二、填 空 题：9 1 4 小 题，每 小 题 4 分，共 2 4 分，请 将 答 案 写 在 答 题 纸 指 定 位 置 上.(9)1l n(1)l i m(2)xxxx(1 0)设 函 数1()1
5、xtf x e d t，则()y f x 的 反 函 数1()x f y 在 0 y 处 的 导 数0 ydxdy(1 1)设 封 闭 曲 线 L 的 极 坐 标 方 程 为 c os 3()6 6r，则 L 所 围 成 的 平 面 图 形 的 面积 为(1 2)曲 线2a r c t a nl n 1x ty t 上 对 应 于 1 t 的 点 处 的 法 线 方 程 为(1 3)已 知3 21x xy e x e，22x xy e x e，23xy x e 是 某 二 阶 常 系 数 非 齐 次 线 性 微 分 方 程的 3 个 解，该 方 程 满 足 条 件00 xy01xy 的 解 为
6、 y（1 4）设i jA(a)是 三 阶 非 零 矩 阵，|A|为 A 的 行 列 式，i jA 为i ja 的 代 数 余 子 式，若i j i ja A 0(i,j 1,2,3),_ A 则三、解 答 题：1 5 2 3 小 题，共 9 4 分.请 将 解 答 写 在 答 题 纸 指 定 位 置 上.解 答 应 写 出 文 字 说 明、证 明 过 程 或 演 算 步 骤.（1 5）（本 题 满 分 1 0 分）当 0 x 时，1 c os c os 2 c os 3 x x x 与nax 为 等 价 无 穷 小，求 n 与 a 的 值。（1 6）（本 题 满 分 1 0 分）设 D 是 由
7、 曲 线13y x，直 线(0)x a a 及 x 轴 所 围 成 的 平 面 图 形，,x yV V 分 别 是 D 绕 x轴，y 轴 旋 转 一 周 所 得 旋 转 体 的 体 积，若 10y xV V，求 a 的 值。（1 7）（本 题 满 分 1 0 分）设 平 面 内 区 域 D 由 直 线 3,3 x y y x 及 8 x y 围 成.计 算2Dx dx dy。（1 8）（本 题 满 分 1 0 分）设 奇 函 数()f x 在 1,1 上 具 有 二 阶 导 数，且(1)1 f.证 明：（I）存 在 0,1（），使 得()1 f；（I I）存 在 0,1（），使 得()()1
8、f f。（1 9）（本 题 满 分 1 1 分）求 曲 线3 31(0,0)x x y y x y 上 的 点 到 坐 标 原 点 的 最 长 距 离 与 最 短 距 离。（2 0）（本 题 满 分 1 1 分）设 函 数1()l n f x xx，（I）求()f x 的 最 小 值（I I）设 数 列 nx 满 足1l n 1nnxx，证 明 l i mnnx 存 在，并 求 此 极 限.（2 1）（本 题 满 分 1 1 分）设 曲 线 L 的 方 程 为21 1l n(1)4 2y x x x e，（1）求 L 的 弧 长；（2）设 D 是 由 曲 线 L，直 线 1,x x e 及 x
9、 轴 所 围 平 面 图 形，求 D 的 形 心 的 横 坐 标。（2 2）（本 题 满 分 1 1 分）设1 0 1,1 0 1aA Bb，当,a b 为 何 值 时，存 在 矩 阵 C 使 得 A C C A B，并 求 所 有矩 阵 C。（2 3）（本 题 满 分 1 1 分）设 二 次 型 2 21 2 3 1 1 2 2 3 3 1 1 2 2 3 3,2 f x x x a x a x a x b x b x b x，记1 12 23 3,a ba ba b。（I）证 明 二 次 型 f 对 应 的 矩 阵 为 2T T；（I I）若,正 交 且 均 为 单 位 向 量，证 明 二
10、 次 型 f 在 正 交 变 化 下 的 标 准 形 为 二 次 型2 21 22 y y。参 考 答 案一、选 择 题：1 8 小 题，每 小 题 4 分，共 3 2 分，下 列 每 小 题 给 出 的 四 个 选 项 中，只 有 一 项符 合 题 目 要 求 的，请 将 所 选 项 前 的 字 母 填 在 答 题 纸 指 定 位 置 上.（1）设 c os 1 s i n()x x x，其 中()2x，则 当 0 x 时，()x 是（）（A）比 x 高 阶 的 无 穷 小（B）比 x 低 阶 的 无 穷 小（C）与 x 同 阶 但 不 等 价 的 无 穷 小（D）与 x 等 价 的 无 穷
11、 小【答 案】（C）【解 析】因 为20 0s i n()c os 1 1l i m l i m2x xx xx x，所 以0l i m s i n()0 xx，因 此 当 0 x 时，()0 x，所 以 s i n()()x x，所 以0 0s i n()()1l i m l i m2x xx xx x，所 以()x 是 与 x 同 阶 但 不 等 价 的 无 穷 小。（2）设 函 数()y f x 由 方 程 c os()l n 1 x y y x 确 定，则2l i m()1nn fn（）（A）2（B）1（C）1（D）2【答 案】（A）【解 析】由 于(0)1 f，所 以2()(0)2l
12、 i m()1 l i m 2 2(0)2 n nf fnn f fnn，对 此 隐 函 数 两 边 求 导 得()s i n()1 0yy x y x yy，所 以(0)1 f，故2l i m()1 2nn fn。（3）设 函 数s i n,0()=2,2x xf xx，0()()xF x f t dt，则（）（A）x 是 函 数()F x 的 跳 跃 间 断 点（B）x 是 函 数()F x 的 可 去 间 断 点（C）()F x 在 x 处 连 续 但 不 可 导（D）()F x 在 x 处 可 导【答 案】（C）【解 析】000s i n 1 c os,0()()s i n 2 2(1
13、),2xxxt dt x xF x f t dtt dt dt x x，由 于 l i m()l i m()2x xF x F x，所 以()F x 在 x 处 连 续；()()1 c osl i m l i m 0 x xF x F xx x，()()2()l i m l i m 2x xF x F xx x，所 以()F x 在 x 处 不 可 导。（4）设 函 数111,1(1)()=1,l nx exf xx ex x，若 反 常 积 分1()f x dx 收 敛，则（）（A）2（B）2（C）2 0（D）0 2【答 案】（D）【解 析】111,1(1)()=1,l nx exf xx
14、ex x 因 为1 1()()()eef x dx f x dx f x dx，当 1 x e 时，1 1 2 21 1 1 11 1 1 1 1 1()l i m l i m(1)(1)2(1)2(1)e e ef x d x d x d xx x e，要 使211 1l i m 2(1)存 在，需 满 足 2 0；当 x e 时，1 11 l n 1 1 1l i m()l n l n l ne ed xdxx x x，要 使1 1l i m()l n 存 在，需 满 足 0；所 以 0 2。（5）设()yz f x yx，其 中 函 数 f 可 微，则x z zy x y（）（A）2()
15、y f x y（B）2()y f x y（C）2()f x yx（D）2()f x yx【答 案】（A）【解 析】已 知()yz f x yx，所 以22()()z y yf x y f x yx x x，所 以1 1()()()()2()x z zf x y y f x y f x y y f x y y f x yy x y x x。（6）设kD 是 圆 域 2 2(,)|1 D x y x y 在 第 k 象 限 的 部 分，记()(1,2,3,4)kkDI y x dx dy k，则（）（A）10 I（B）20 I（C）30 I（D）40 I【答 案】（B）【解 析】令 c os,s
16、i n x r y r，则 有101()(s i n c os)(c os s i n)3kkDI y x dx dy r dr r r d 故 当 2 k 时，,2，此 时 有220.3I 故 正 确 答 案 选 B。（7）设 矩 阵 A,B,C 均 为 n 阶 矩 阵，若 A B C，且 C 可 逆，则（）（A）矩 阵 C 的 行 向 量 组 与 矩 阵 A 的 行 向 量 组 等 价（B）矩 阵 C 的 列 向 量 组 与 矩 阵 A 的 列 向 量 组 等 价（C）矩 阵 C 的 行 向 量 组 与 矩 阵 B 的 行 向 量 组 等 价（D）矩 阵 C 的 行 向 量 组 与 矩 阵
17、 B 的 列 向 量 组 等 价【答 案】（B）【解 析】由 A B C 可 知 C 的 列 向 量 组 可 以 由 A 的 列 向 量 组 线 性 表 示，又 B 可 逆，故 有1 C B A，从 而 A 的 列 向 量 组 也 可 以 由 C 的 列 向 量 组 线 性 表 示，故 根 据 向 量 组 等 价 的 定 义可 知 正 确 选 项 为（B）。（8）矩 阵1 11 1aa b aa 与2 0 00 b 00 0 0 相 似 的 充 分 必 要 条 件 为（A）0,2 a b（B）为任意常数 b a,0（C）0,2 b a（D）为任意常数 b a,2【答 案】(B)【解 析】由 于
18、1 11 1aa b aa 为 实 对 称 矩 阵，故 一 定 可 以 相 似 对 角 化，从 而1 11 1aa b aa 与2 0 00 b 00 0 0 相 似 的 充 分 必 要 条 件 为1 11 1aa b aa 的 特 征 值 为 0,2 b。又21 1()(2)2 1 1aE A a b a b aa，从 而 为任意常数 b a,0。二、填 空 题：9 1 4 小 题，每 小 题 4 分，共 2 4 分，请 将 答 案 写 在 答 题 纸 指 定 位 置 上.(9)1l n(1)l i m(2)xxxx【答 案】12e【解 析】原 式=0l n(1)l n(1 1)l i mx
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