不等式的基本性质_中学教育-高考.pdf

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1、 Word 文档 课 题：2.1-不等式的基本性质(2 课时)教学目标：1.掌握作差比较大小的方法，并能证明一些不等式。2.掌握不等式的性质，掌握它们的证明方法及其功能，能简单运用。3.提高逻辑推理和分类讨论的能力；培养条理思维的习惯和认真严谨的学习态度。教学重点：作差比较大小的方法；不等式的性质。教学难点：不等式的性质的运用 教学过程：第 1课时：问题情境：现有 A、B、C、D 四个长方体容器，A、B 容器的底面积为 a2，高分别为 a、b，C、D 容器的底面积为 b2，高分别为 a、b，其中 ab。甲先从四个容器中取两个容器盛水，乙用剩下的两个容器盛水。问如果你是甲，是否一定能保证两个容器

2、所盛水比乙的多？分析：依题意可知：A、B、C、D 四个容器的容积分别为 a3、a2b、ab2、b3，甲有 6 种取法。问题可以转化为比较容器两两和的大小。研究比较大小的依据：我们知道，实数与数轴上的点是一一对应的。在数轴上不同的两点中，右边的点表示的实数比左边的点表示的实数大。在右图中，点 A 表示实数 a，点 B 表示实数 b，点 A 在点 B 右边，那么 ab。而 ab 表示 a 减去 b 所得的差，由于 ab，则差是一个正数，即 ab0。命题：“若 ab，则 ab0”成立；逆命题“若 ab0，则 ab”也正确。类似地：若 ab，则 ab0；若 ab，则 ab0。逆命题也都正确。结论：(1

3、)“ab”“ab0”(2)“ab”“ab0”(3)“ab”“ab0”以上三条即为比较大小的依据：“作差比较法”。正负数运算性质：(1)正数加正数是正数；(2)正数乘正数是正数；(3)正数乘负数是负数；(4)负数乘负数是正数。研究不等式的性质：性质 1：若 ab，bc，则 ac (不等式的传递性)证明：ab ab0 bc bc0(ab)(bc)ac0 (正负数运算性质)则 ac 反思：证明要求步步有据。A B x Word 文档 性质 2：若 ab，则 acbc (不等式的加法性质)证明：ab ab0(ac)(bc)ab0 acbc 反思：作差比较法的第一次运用，虽然简单，也要让学生好好体会体会

4、。思考：逆命题“若 acbc，则 ab”成立吗？两边加“c”即可证明。例 1 求证：若 ab，cd，则 acbd (同向不等式相加性质)证明 1：ab acbc(性质 2)cd bcbd (性质 2)则 acbd (性质 1)证明 2：ab ab0 cd cd0(ab)(cd)0 即(ac)(bd)0 (作差比较法)则 acbd 反思：你更喜欢哪种方法？为什么？(精彩回答：我都喜欢，如同自己的一对双胞胎。)练习：求证：若 ab，cd，则 acbd (异向不等式相减性质)作业 证明 1：cd cd0 得 dc0 即cd (正数得相反数为负数)亦可由 cd 两边同加(cd)，直接推出cd(性质 2

5、)ab a(c)b(d)(同向不等式相加性质)则 acbd (加减法运算法则)证明 2：ab ab0 cd dc0(ac)(bd)(ab)(dc)0 (作差比较法)则 acbd 性质 3：若 ab，c0，则 acbc 若 ab，c0，则 acbc (不等式的乘法性质)证明：acbc(ab)c (作差比较法)ab ab0(1)当 c0 时，(ab)c0，得 acbc (正负数运算性质)(2)当 c0 时，(ab)c0，得 acbc (正负数运算性质)反思：等式两边同乘一个数，等式永远成立。但不等式的情况完全不同！强调！思考：(1)“若 ab，则 ac2bc2”成立吗？不成立！反例：c0 时不成立

6、。(2)“若 ac2bc2，则 ab”成立吗？成立！隐含 c20。证明方法及其功能能简单运用提高逻辑推理和分类讨论的能力培养条理思维的习惯和认真严谨的学习态度教学重点作差比较大小的方法不等式的性质教学难点不等式的性质的运用教学过程第课时问题情境现有四个长方体容器容器的果你是甲是否一定能保证两个容器所盛水比乙的多分析依题意可知四个容器的容积分别为甲有种取法问题可以转化为比较容器两两和的大小研究比较大小的依我们知道实数与数轴上的点是一一对应的在数轴上不同的两点中右边的点差是一个正数即命题若则成立逆命题若则也正确类似地若则若则逆命题也都正确结论以上三条即为比较大小的依作差比较法正负数运算性质正数加正

7、数是正数正数乘正数是正数正数乘负数是负数负数乘负数是正数研究不等式的性质 Word 文档 练习：(1)教材P.30-练习 2.1(1)-1(学生口答，教师点评)(2)教材P.30-练习 2.1(1)-2、3(学生板书，教师点评)2、求证：若 ab0，cd0，则 acbd (同向不等式相乘性质)证明：ab，c0 acbc (性质 3)cd，b0 bcbd (性质 3)则 acbd (性质 1)特例：当 ac 且 bd 时，有“若 ab0，则 a2b2”推而广之：若 ab0，则 anbn(nN*)(不等式的乘方性质)推而广之：若 ab0，则nanb(nN*，n1)(不等式的开方性质)可用反证法进行

8、证明。3、求证：若 ab0，则 01a1b (不等式的倒数性质)作业 证明：ab0 1a0，1b0，ab0 1b1aabab0 (正负数运算性质)则 01a1b 例 2比较(a1)2与 a2a1的值的大小。解：(a1)2(a2a1)3a(1)当 a0 时，(a1)2a2a1(2)当 a0 时，(a1)2a2a1(3)当 a0 时，(a1)2a2a1 反思：(1)比较大小时，等与不等一定要分开讨论！强调！(2)分类讨论时，要做到“不遗漏，不重复”！强调！例 3解关于 x 的不等式 m(x 2)xm。解：(m 1)xm(1)当 m1时，xR(2)当 m1时，xmm1；(3)当 m1时，xmm1 反

9、思：(1)引起讨论的原因是什么？m1值的不确定性(2)如何进行讨论？不等式性质 课堂小结：(1)数学知识：8 条不等式性质(教材 P.31)(2)数学方法：作差比较法 证明方法及其功能能简单运用提高逻辑推理和分类讨论的能力培养条理思维的习惯和认真严谨的学习态度教学重点作差比较大小的方法不等式的性质教学难点不等式的性质的运用教学过程第课时问题情境现有四个长方体容器容器的果你是甲是否一定能保证两个容器所盛水比乙的多分析依题意可知四个容器的容积分别为甲有种取法问题可以转化为比较容器两两和的大小研究比较大小的依我们知道实数与数轴上的点是一一对应的在数轴上不同的两点中右边的点差是一个正数即命题若则成立逆

10、命题若则也正确类似地若则若则逆命题也都正确结论以上三条即为比较大小的依作差比较法正负数运算性质正数加正数是正数正数乘正数是正数正数乘负数是负数负数乘负数是正数研究不等式的性质 Word 文档(3)数学思想：分类讨论 第 1课时作业：练习册P.13-习题 2.1-A、B 组(做在练习册上)证明方法及其功能能简单运用提高逻辑推理和分类讨论的能力培养条理思维的习惯和认真严谨的学习态度教学重点作差比较大小的方法不等式的性质教学难点不等式的性质的运用教学过程第课时问题情境现有四个长方体容器容器的果你是甲是否一定能保证两个容器所盛水比乙的多分析依题意可知四个容器的容积分别为甲有种取法问题可以转化为比较容器

11、两两和的大小研究比较大小的依我们知道实数与数轴上的点是一一对应的在数轴上不同的两点中右边的点差是一个正数即命题若则成立逆命题若则也正确类似地若则若则逆命题也都正确结论以上三条即为比较大小的依作差比较法正负数运算性质正数加正数是正数正数乘正数是正数正数乘负数是负数负数乘负数是正数研究不等式的性质 Word 文档 第 2 课时：讲评作业或者做教材P.30-练习 2.1(2)-1(学生口答，教师点评)例 1 解关于 x 的不等式：(m24)x m2。解：(1)m240 即 m2 或 m2 当 m2 时，x 当 m2 时，xR(2)m240 即 m2 或 m2 时，x1m2(3)m240 即2m2 时

12、，x1m2 反思：(1)引起讨论的原因是什么？m24 值的不确定性(2)如何进行讨论？不等式性质 例 2 若 m0，yx0，试比较xmym与xy的大小。解：xmymxy(xm)y(ym)x(ym)ym(yx)(ym)y yx yx0 y0，m0 ym0 又y0，m0 m(yx)(ym)y0 则xmymxy 引申：若 a、b、c、d 均为正数，且abcd，求证：abacbdcd 证明 1：(作差比较法)acbdabbcad(bd)b abcd，b0，d0 bcad 得bcad(bd)b0 则acbdab 同理可证：acbdcd 证明 2：(变更论证法)b0，bd0 abacbd a(b d)b(

13、ac)a(b d)b(ac)adbc abcd，b0，d0 adbc 得 a(b d)b(ac)证明方法及其功能能简单运用提高逻辑推理和分类讨论的能力培养条理思维的习惯和认真严谨的学习态度教学重点作差比较大小的方法不等式的性质教学难点不等式的性质的运用教学过程第课时问题情境现有四个长方体容器容器的果你是甲是否一定能保证两个容器所盛水比乙的多分析依题意可知四个容器的容积分别为甲有种取法问题可以转化为比较容器两两和的大小研究比较大小的依我们知道实数与数轴上的点是一一对应的在数轴上不同的两点中右边的点差是一个正数即命题若则成立逆命题若则也正确类似地若则若则逆命题也都正确结论以上三条即为比较大小的依作

14、差比较法正负数运算性质正数加正数是正数正数乘正数是正数正数乘负数是负数负数乘负数是正数研究不等式的性质 Word 文档 则abacbd 同理可证：acbdcd 例 3 若 x0，试比较xx3与x1x2的大小。分析：直接作差显然不可取。可考虑去根号，利用不等式的乘方、开方性质。解：(xx3)22x322x3x，(x1x2)22x322x3x1 2x3x2x3x1 2x322x3x2x322x3x1 得(xx3)2(x1x2)2 则xx3x1x2 反思：“分析法”是寻找解题思路的常用方法。例 4 甲、乙两人连续两天去市场买青菜。甲每次买青菜的数量不变，乙每次买青菜的费用不变。问甲、乙两人谁购买的方

15、法比较合算？分析：何为合算？平均单价便宜。解：设第一天青菜单价 a 元/斤，第一天青菜单价 b 元/斤。设甲每次买青菜 x 斤，乙每次买青菜花费 y 元，甲平均单价为axbx2xab2，乙平均单价为2yyyab2abab ab22abab2(ab)2(ab)(1)ab 时，ab22abab；(2)a b 时，ab22abab 由(1)(2)可知：乙购买的方法比较合算。例 5(第 1课时的引例)现有 A、B、C、D 四个长方体容器，A、B 容器的底面积为 a2，高分别为 a、b，C、D 容器的底面积为 b2，高分别为 a、b，其中 ab。甲先从四个容器中取两个容器盛水，乙用剩下的两个容器盛水。问

16、如果你是甲，是否一定能保证两个容器所盛水比乙的多？分析：依题意可知：A、B、C、D 四个容器的容积分别为 a3、a2b、ab2、b3，甲有 6 种取法。问题可以转化为比较容器两两和的大小。解：(1)取 A、B：(a3a2b)(ab2b3)(ab)2(ab)无法确定大小(2)取 A、C：(a3ab2)(a2bb3)(a2b2)(a b)无法确定大小(3)取 A、D：(a3b3)(ab2a2b)(ab)(a b)2 由于 ab，则(a b)(a b)20，即 a3b3ab2a2b 先取 A、D 则必胜！能否推广？观察 a3b3ab2a2b 的特征，进行猜测。a4b4ab3a3b，a4b4a2b2a

17、2b2 证明方法及其功能能简单运用提高逻辑推理和分类讨论的能力培养条理思维的习惯和认真严谨的学习态度教学重点作差比较大小的方法不等式的性质教学难点不等式的性质的运用教学过程第课时问题情境现有四个长方体容器容器的果你是甲是否一定能保证两个容器所盛水比乙的多分析依题意可知四个容器的容积分别为甲有种取法问题可以转化为比较容器两两和的大小研究比较大小的依我们知道实数与数轴上的点是一一对应的在数轴上不同的两点中右边的点差是一个正数即命题若则成立逆命题若则也正确类似地若则若则逆命题也都正确结论以上三条即为比较大小的依作差比较法正负数运算性质正数加正数是正数正数乘正数是正数正数乘负数是负数负数乘负数是正数研

18、究不等式的性质 Word 文档 a5b5ab4a4b，a5b5a2b3a3b2 更为一般性的结论：a、bR，m、nN*，则 a m+nbm+nambnanbm 证明：(a mnb mn)(ambnanbm)(ambm)(anbn)0 课堂小结：(1)数学知识：8 条不等式性质(教材 P.31)(2)数学方法：作差比较法、分析法、变更论证(3)数学思想：分类讨论、类比猜想证明 作业：一课一练P.35-110、P.36-16、9、10(做在书上)选做：一课一练P.35-11(1)、P.36-11(做在书上)证明方法及其功能能简单运用提高逻辑推理和分类讨论的能力培养条理思维的习惯和认真严谨的学习态度教学重点作差比较大小的方法不等式的性质教学难点不等式的性质的运用教学过程第课时问题情境现有四个长方体容器容器的果你是甲是否一定能保证两个容器所盛水比乙的多分析依题意可知四个容器的容积分别为甲有种取法问题可以转化为比较容器两两和的大小研究比较大小的依我们知道实数与数轴上的点是一一对应的在数轴上不同的两点中右边的点差是一个正数即命题若则成立逆命题若则也正确类似地若则若则逆命题也都正确结论以上三条即为比较大小的依作差比较法正负数运算性质正数加正数是正数正数乘正数是正数正数乘负数是负数负数乘负数是正数研究不等式的性质