解析几何第四版复习重点第四章柱面锥面旋转面与二次曲面_高等教育-理学.pdf

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1、学习必备 欢迎下载 第四章 柱面、锥面、旋转曲面与二次曲面 4.1 柱面 2、设柱面的准线为zxzyx222，母线垂直于准线所在的平面，求这柱面的方程。解：由题意知：母线平行于矢量2,0,1 任取准线上一点),(0000zyxM，过0M的母线方程为：tzzyytxxtzzyytxx22000000 而0M在准线上，所以：)2(2)2(22tztxtzytx 消去t，得到：010204254222zxxzzyx 此即为所求的方程。3、求过三条平行直线211,11,zyxzyxzyx与的圆柱面方程。解：过原点且垂直于已知三直线的平面为0zyx：它与已知直线的交点为)34,31,31(),1,0,1

2、(,0,0,0，这三点所定的在平面0zyx上的圆的圆心为)1513,1511,152(0M，圆的方程为：07598)1513()1511()152(222zyxzyx 此即为欲求的圆柱面的准线。又过准线上一点),(1111zyxM，且方向为 1,1,1的直线方程为：tzztyytxxtzztyytxx111111 将此式代入准线方程，并消去t得到：013112)(5222zyxzxyzxyzyx 学习必备 欢迎下载 此即为所求的圆柱面的方程。4.2 锥面 2、已知锥面的顶点为)2,1,3(，准线为0,1222zyxzyx，试求它的方程。解：设),(zyxM为要求的锥面上任一点，它与顶点的连线为

3、：221133zZyYxX 令它与准线交于),(000ZYX，即存在t，使 tzZtyYtxX)2(2)!(1)3(3000 将它们代入准线方程，并消去t得：044441026753222zyxxzyzxyzyx 此为要求的锥面方程。4、求以三坐标轴为母线的圆锥面的方程。解：（这里仅求、卦限内的圆锥面，其余类推）圆锥的轴l与kji,等角，故l的方向数为1:1:1 与l垂直的平面之一令为1zyx 平面1zyx在所求的锥面的交线为一圆，该圆上已知三点)1,0,0(),0,1,0(),0,0,1(，该圆的圆心为)31,31,31(，故该圆的方程为：1)32()31()31()31(2222zyxzy

4、x 它即为要求圆锥面的准线。对锥面上任一点),(zyxM，过M与顶点O的母线为：zZyYxX 令它与准线的交点为),(000ZYX，即存在t，使ztZytYxtX000,，将它们代入准线方程，并消去t得：0zxyzxy 的方程解由题意知母线平行于矢量任取准线上一点过的母线方程为而在准线上所以消去得到此即为所求的方程求过三条平行直线与的圆柱面方程解过原点且垂直于已知三直线的平面为它与已知直线的交点为这三点所定的在平面上的消去得到学习必备欢迎下载此即为所求的圆柱面的方程锥面已知锥面的顶点为准线为试求它的方程解设为要求的锥面上任一点它与顶点的连线为令它与准线交于即存在使将它们代入准线方程并消去得此为

5、要求的锥面方程求以三坐标为平面在所求的锥面的交线为一圆该圆上已知三点该圆的圆心为故该圆的方程为它即为要求圆锥面的准线对锥面上任一点过与顶点的母线为令它与准线的交点为即存在使将它们代入准线方程并消去得学习必备欢迎下载此即为要求的学习必备 欢迎下载 此即为要求的圆锥面的方程。5、求顶点为)4,2,1(，轴与平面022zyx垂直，且经过点)1,2,3(的圆锥面的方程。解：轴线的方程为：142221zyx 过点)1,2,3(且垂直于轴的平面为：0)1()2(2)3(2zyx 即：01122zyx 该平面与轴的交点为)937,920,911(，它与)1,2,3(的距离为：3116)1937()2920(

6、)3911(222d 要求圆锥面的准线为：011229116)937()920()911(222zyxzyx 对锥面上任一点),(zyxM，过该点与顶点的母线为：442211zZyYxX 令它与准线的交点为),(000ZYX，即存在t，使,)1(10txX,)2(20tyY tzZ)4(40 将它们代入准线方程，并消去t得：01299252516518525210412515122zyxzxyzxyzyx 4.3 旋转曲面 1、求下列旋转曲面的方程：（1）；111112xyz绕1112xyz 旋转（2）；12 11xyz 绕1112xyz 旋转（3）1133xyz绕z轴旋转；的方程解由题意知母

7、线平行于矢量任取准线上一点过的母线方程为而在准线上所以消去得到此即为所求的方程求过三条平行直线与的圆柱面方程解过原点且垂直于已知三直线的平面为它与已知直线的交点为这三点所定的在平面上的消去得到学习必备欢迎下载此即为所求的圆柱面的方程锥面已知锥面的顶点为准线为试求它的方程解设为要求的锥面上任一点它与顶点的连线为令它与准线交于即存在使将它们代入准线方程并消去得此为要求的锥面方程求以三坐标为平面在所求的锥面的交线为一圆该圆上已知三点该圆的圆心为故该圆的方程为它即为要求圆锥面的准线对锥面上任一点过与顶点的母线为令它与准线的交点为即存在使将它们代入准线方程并消去得学习必备欢迎下载此即为要求的学习必备 欢

8、迎下载（4）空间曲线2221zxxy 绕z轴旋转。解：（1）设1111(,)Mx y z是母线111112xyz上任一点，过1M的纬圆为：111222222111()()2()0(1)(1)(1)(2)xxyyzzxyzxyz 又1M在母线上。111111112xyz 从（1）（3）消去111,x y z，得到：22255224444480 xyzxyyzxzxyz 此为所求的旋转面方程。（2）对母线上任一点1111(,)Mx y z，过1M的纬圆为：111222222111()()2()0(1)(1)(1)(2)xxyyzzxyzxyz 因1M在母线上，1111211xyz (3)从（1）（

9、3）消去111,x y z，得到：2225523122424242446230 xyzxyyzxzxyz 此为所求的旋转面的方程。（3）对母线上任一点1111(,)Mx y z，过该点的纬圆为：1222222111(1)(2)zzxyzxyz 又1M在母线上，所以：1111133xyz （3）从（1）（3）消去111,x y z，得到：2229()10690 xyzz 此为所求的旋转面方程。（4）对母线上任一点1111(,)Mx y z，过1M的纬圆为：的方程解由题意知母线平行于矢量任取准线上一点过的母线方程为而在准线上所以消去得到此即为所求的方程求过三条平行直线与的圆柱面方程解过原点且垂直于

10、已知三直线的平面为它与已知直线的交点为这三点所定的在平面上的消去得到学习必备欢迎下载此即为所求的圆柱面的方程锥面已知锥面的顶点为准线为试求它的方程解设为要求的锥面上任一点它与顶点的连线为令它与准线交于即存在使将它们代入准线方程并消去得此为要求的锥面方程求以三坐标为平面在所求的锥面的交线为一圆该圆上已知三点该圆的圆心为故该圆的方程为它即为要求圆锥面的准线对锥面上任一点过与顶点的母线为令它与准线的交点为即存在使将它们代入准线方程并消去得学习必备欢迎下载此即为要求的学习必备 欢迎下载 1222222111(1)(2)zzxyzxyz 又1M在母线上，所以 2112211(1)1(2)zxxy 从（1

11、）（3）消去111,x y z，得到：221xy 211101zzxz 即旋转面的方程为：221xy (01)z 4.4 椭球面 2、设动点与点(1,0,0)的距离等于从这点到平面4x 的距离的一半，试求此动点的轨迹。解：设动点(,)M x y z，要求的轨迹为，则 2222221(,)(1)4344122M x y zxyzxxyz 即：2221433xyz 此即为的方程。3、由椭球面2222221xyzabc的中心（即原点），沿某一定方向到曲面上的一点的距离为r，设定方向的方向余弦分别为,，试证：22222221rabc 证明：沿定方向,到曲面上一点，该点的坐标为,rrr 该点在曲面上 2

12、222222221rrrabc 即22222221rabc 的方程解由题意知母线平行于矢量任取准线上一点过的母线方程为而在准线上所以消去得到此即为所求的方程求过三条平行直线与的圆柱面方程解过原点且垂直于已知三直线的平面为它与已知直线的交点为这三点所定的在平面上的消去得到学习必备欢迎下载此即为所求的圆柱面的方程锥面已知锥面的顶点为准线为试求它的方程解设为要求的锥面上任一点它与顶点的连线为令它与准线交于即存在使将它们代入准线方程并消去得此为要求的锥面方程求以三坐标为平面在所求的锥面的交线为一圆该圆上已知三点该圆的圆心为故该圆的方程为它即为要求圆锥面的准线对锥面上任一点过与顶点的母线为令它与准线的交

13、点为即存在使将它们代入准线方程并消去得学习必备欢迎下载此即为要求的学习必备 欢迎下载 4、由椭球面2222221xyzabc的中心，引三条两两相互垂直的射线，分别交曲面123,p pp，设112233,opr opr opr，试证：222222123111111rrrabc 证明：利用上题结果，有22222221(1,2,3)iiiiirabc 其中,iii是iop的方向余弦。若将(1,2,3)iop i 所在的直线看成新的坐标系的三个坐标轴，则123,是坐标矢量关于新坐标系的方向余弦，从而2221231，同理，2221231，2221231 所以，2222222221231231232222

14、22123222111111()()()111rrrabcabc 即：222222123111111rrrabc 4.5 双曲面 3、已知单叶双曲面2221494xyz，试求平面的方程，使这平面平行于yoz面（或xoz面）且与曲面的交线是一对相交直线。解：设所求的平面为xk，则该平面与单叶双曲面的交线为：（*）2221494xyzxk 亦即 2221944yzkxk 为使交线（*）为二相交直线，则须：2104k，即2k 所以，要求的平面方程为：2x 同理，平行于xoy的平面要满足它与单叶双曲面的交线为二相交直线，则该平面为：3y 的方程解由题意知母线平行于矢量任取准线上一点过的母线方程为而在准

15、线上所以消去得到此即为所求的方程求过三条平行直线与的圆柱面方程解过原点且垂直于已知三直线的平面为它与已知直线的交点为这三点所定的在平面上的消去得到学习必备欢迎下载此即为所求的圆柱面的方程锥面已知锥面的顶点为准线为试求它的方程解设为要求的锥面上任一点它与顶点的连线为令它与准线交于即存在使将它们代入准线方程并消去得此为要求的锥面方程求以三坐标为平面在所求的锥面的交线为一圆该圆上已知三点该圆的圆心为故该圆的方程为它即为要求圆锥面的准线对锥面上任一点过与顶点的母线为令它与准线的交点为即存在使将它们代入准线方程并消去得学习必备欢迎下载此即为要求的学习必备 欢迎下载 4、设动点与(4,0,0)的距离等于这

16、点到平面1x 的距离的两倍，试求这动点的轨迹。解：设动点(,)M x y z，所求轨迹为，则 2222222(,)(4)21(4)4(1)M x y zxyzxxyzx 亦即：222141212xyz 此为的轨迹方程。5、试求单叶双曲面22211645xyz与平面230 xz 的交线对xoy平面的射影柱面。解：题中所设的交线为：22211645230 xyzxz 从此方程中消去z，得到：2220241160 xyx 此即为要求的射影柱面方程。4.6 抛物面 2、适当选取坐标系，求下列轨迹的方程：（1）到一定点和一定平面距离之比为定常数的点的轨迹；（2）与两给定的异面直线等距离的点的轨迹，已知两

17、异面直线间的距离为a2，夹角为2。解：（1）取定平面为xoy面，过定点且垂直于xoy面的直线作为z轴，则定点的坐标设为),0,0(a，而定平面即为0z，设比值常数为c，并令所求的轨迹为，则 点czazyxzyxM222)(),(即02)1(22222aazzcyx 此为的方程。（2）取二异面直线的公垂线为轴，中点的坐标为原点；再取x轴，使其与二异面直线的夹角相等，则二异面直线的方程为：azxtgy0 与 azxtgy0 设所求的轨迹为，则 的方程解由题意知母线平行于矢量任取准线上一点过的母线方程为而在准线上所以消去得到此即为所求的方程求过三条平行直线与的圆柱面方程解过原点且垂直于已知三直线的平

18、面为它与已知直线的交点为这三点所定的在平面上的消去得到学习必备欢迎下载此即为所求的圆柱面的方程锥面已知锥面的顶点为准线为试求它的方程解设为要求的锥面上任一点它与顶点的连线为令它与准线交于即存在使将它们代入准线方程并消去得此为要求的锥面方程求以三坐标为平面在所求的锥面的交线为一圆该圆上已知三点该圆的圆心为故该圆的方程为它即为要求圆锥面的准线对锥面上任一点过与顶点的母线为令它与准线的交点为即存在使将它们代入准线方程并消去得学习必备欢迎下载此即为要求的学习必备 欢迎下载 222222221110011100),(tgtgyxxaztgazytgtgyxxaztgazyzyxM 即：22222222)

19、()()()()()(yxazaztgyxtgazaztg 经同解化简得：xyazcossin 此即所要求的轨迹方程。4.7 单叶双曲面与双叶双曲面的直母线 3、在双曲抛物面zyx41622上，求平行于平面0423zyx的直母线。解：双曲抛物面zyx41622的两族直母线为：zyxuuyx)24(24 及 zyxvvyx)24(24 第一族直母线的方向矢量为：,1,2u 第二族直母线的方向矢量为：,1,2v 据题意，要求的直母线应满足：204232104232vvuu 要求的直母线方程为：zyxyx24124 及 224224zyxyx 5、求与两直线11236zyx与214283zyx相交，

20、而且与平面0532 yx平的方程解由题意知母线平行于矢量任取准线上一点过的母线方程为而在准线上所以消去得到此即为所求的方程求过三条平行直线与的圆柱面方程解过原点且垂直于已知三直线的平面为它与已知直线的交点为这三点所定的在平面上的消去得到学习必备欢迎下载此即为所求的圆柱面的方程锥面已知锥面的顶点为准线为试求它的方程解设为要求的锥面上任一点它与顶点的连线为令它与准线交于即存在使将它们代入准线方程并消去得此为要求的锥面方程求以三坐标为平面在所求的锥面的交线为一圆该圆上已知三点该圆的圆心为故该圆的方程为它即为要求圆锥面的准线对锥面上任一点过与顶点的母线为令它与准线的交点为即存在使将它们代入准线方程并消

21、去得学习必备欢迎下载此即为要求的学习必备 欢迎下载 行的直线的轨迹。解：设动直线与二已知直线分别交于),(),(111000zyxzyx，则 11236000zyx，214283111zyx 又动直线与平面0532 yx平行，所以，0)(3)(21010yyxx 对动直线上任一点),(zyxM，有：010010010zzzzyyyyxxxx 从（1）（4）消去111000,zyxzyx，得到：zyx44922 的方程解由题意知母线平行于矢量任取准线上一点过的母线方程为而在准线上所以消去得到此即为所求的方程求过三条平行直线与的圆柱面方程解过原点且垂直于已知三直线的平面为它与已知直线的交点为这三点所定的在平面上的消去得到学习必备欢迎下载此即为所求的圆柱面的方程锥面已知锥面的顶点为准线为试求它的方程解设为要求的锥面上任一点它与顶点的连线为令它与准线交于即存在使将它们代入准线方程并消去得此为要求的锥面方程求以三坐标为平面在所求的锥面的交线为一圆该圆上已知三点该圆的圆心为故该圆的方程为它即为要求圆锥面的准线对锥面上任一点过与顶点的母线为令它与准线的交点为即存在使将它们代入准线方程并消去得学习必备欢迎下载此即为要求的