数学《函数的对称性与周期性》教案(新人教A版)1_中学教育-中学学案.pdf

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1、学习必备 欢迎下载 1函数对称性与周期性 知识归纳：一函数自身的对称性结论 结论 1.函数 y=f(x)的图像关于点 A(a,b)对称的充要条件是 f(x)+f(2a x)=2b 证明：（必要性）设点 P(x,y)是 y=f(x)图像上任一点，点 P(x,y)关于点 A(a,b)的对称点 P（2ax，2by）也在 y=f(x)图像上，2by=f(2a x)即 y+f(2a x)=2b 故 f(x)+f(2a x)=2b，必要性得证。（充分性）设点 P(x0,y0)是 y=f(x)图像上任一点，则 y0=f(x0)f(x)+f(2a x)=2bf(x0)+f(2a x0)=2b，即 2by0=f

2、(2a x0)。故点 P（2ax0，2by0）也在 y=f(x)图像上，而点 P 与点 P关于点 A(a,b)对称，充分性得征。推论：函数 y=f(x)的图像关于原点 O 对称的充要条件是 f(x)+f(x)=0 结论 2.若函数 y=f(x)满足 f(a+x)=f(b x)那么函数本身的图像关于直线 x=2ab对称，反之亦然。证明：已知对于任意的00,xy都有 f(a+0 x)=f(b 0 x)=0y 令 a+0 x=x,b0 x=x 则（x，0y），（x，0y）是函数 y=f(x)上的点 显然，两点是关于 x=2ab对称的。反之，若已知函数关于直线 x=2ab对称，在函数 y=f(x)上任

3、取一点（00,xy）那么P（00,xy）关于 x=2ab对称点P（a+b0 x,0y）也在函数上 故 f(0 x)=f(a+b 0 x)f(a+(0 x-a)=f(b-(0 x-a)所以有 f(a+x)=f(b x)成立。推论 1：函数 y=f(x)的图像关于直线 x=a 对称的充要条件是 f(a+x)=f(a x)即 f(x)=f(2ax)学习必备 欢迎下载 推论 2：函数 y=f(x)的图像关于 y 轴对称的充要条件是 f(x)=f(x)结论 3.若函数 y=f(x)图像同时关于点 A(a,c)和点 B(b,c)成中心对称（ab），则 y=f(x)是周期函数，且 2|ab|是其一个周期。若

4、函数y=f(x)图像同时关于直线x=a 和直线x=b 成轴对称（ab），则y=f(x)是周期函数，且 2|ab|是其一个周期。若函数 y=f(x)图像既关于点 A(a,c)成中心对称又关于直线 x=b 成轴对称（ab），则 y=f(x)是周期函数，且 4|ab|是其一个周期。的证明留给读者，以下给出的证明：函数 y=f(x)图像既关于点 A(a,c)成中心对称，f(x)+f(2a x)=2c，用 2bx 代 x 得：f(2bx)+f 2a(2bx)=2c（*）又函数 y=f(x)图像直线 x=b 成轴对称，f(2bx)=f(x)代入（*）得：f(x)=2c f 2(ab)+x（*），用 2（a

5、b）x 代 x 得 f 2(ab)+x=2c f 4(ab)+x 代入（*）得：f(x)=f 4(a b)+x,故 y=f(x)是周期函数，且 4|ab|是其一个周期。二不同函数的对称性结论 结论 4.函数 y=f(x)与 y=2bf(2ax)的图像关于点 A(a,b)成中心对称。结论 5.函数 y=f(x)与 y=f(2a x)的图像关于直线 x=a 成轴对称。函数 y=f(x)与 ax=f(a y)的图像关于直线 x+y=a 成轴对称。函数 y=f(x)与 xa=f(y+a)的图像关于直线 xy=a 成轴对称。定理 4 与定理 5 中的证明留给读者，现证定理 5 中的 设点 P(x0,y0

6、)是 y=f(x)图像上任一点，则 y0=f(x0)。记点 P(x,y)关于直线 xy=a的轴对称点为 P（x1，y1），则 x1=a+y0,y1=x0a，x0=a+y1,y0=x1a 代入 y0=f(x0)之中得 x1a=f(a+y1)点 P（x1，y1）在函数 xa=f(y+a)的图像上。同理可证：函数 xa=f(y+a)的图像上任一点关于直线 xy=a 的轴对称点也在函数 y=f(x)的图像上。故定理 5 中的成立。推论：函数 y=f(x)的图像与 x=f(y)的图像关于直线 x=y 成轴对称。三三角函数图像的对称性 是证明必要性设点是图像上任一点点关于点的对称点也在图像上即故必要性得证

7、充分性设点是图像上任一点则即故点也在图像上而点与点关于点对称充分性得征推论函数的图像关于原点对称的充要条件是结论若函数满足那么函数本数关于直线对称在函数上任取一点那么关于对称点也在函数上故所以有成立推论函数的图像关于直线对称的充要条件是即学习必备欢迎下载推论函数的图像关于轴对称的充要条件是结论若函数图像同时关于点和点成中心对称则是周点成中心对称又关于直线成轴对称则是周期函数且是其一个周期的证明留给读者以下给出的证明函数图像既关于点成中心对称用代得又函数图像直线成轴对称代入得用代得代入得故是周期函数且是其一个周期二不同函数的对称性结学习必备 欢迎下载 函 数 对称中心坐标 对称轴方程 y=sin

8、 x(k,0)x=k+/2 y=cos x(k+/2,0)x=k y=tan x(k/2,0)无 注：上表中 kZ 举例 例 1：定义在 R 上的非常数函数满足：f(10+x)为偶函数，且 f(5x)=f(5+x),则 f(x)一定是（）(A)是偶函数，也是周期函数 (B)是偶函数，但不是周期函数 (C)是奇函数，也是周期函数 (D)是奇函数，但不是周期函数 解：f(10+x)为偶函数，f(10+x)=f(10 x).f(x)有两条对称轴 x=5 与 x=10，因此 f(x)是以 10 为其一个周期的周期函数，x=0 即 y 轴也是 f(x)的对称轴，因此 f(x)还是一个偶函数。故选(A)例

9、 2：设定义域为 R 的函数 y=f(x)、y=g(x)都有反函数，并且 f(x1)和 g-1(x2)函数的图像关于直线 y=x 对称，若 g(5)=1999，那么 f(4)=（）。（A）1999；（B）2000；（C）2001；（D）2002。解：y=f(x 1)和 y=g-1(x2)函数的图像关于直线 y=x 对称，y=g-1(x2)反函数是y=f(x 1)，而y=g-1(x2)的反函数是:y=2+g(x),f(x1)=2+g(x),有 f(51)=2+g(5)=2001 故 f(4)=2001,应选（C）例 3.设 f(x)是定义在R 上的偶函数，且 f(1+x)=f(1 x),当1x0

10、 时，f(x)=21x，则 f(8.6)=_ 解：f(x)是定义在 R 上的偶函数x=0 是 y=f(x)对称轴；又f(1+x)=f(1 x)x=1 也是 y=f(x)对称轴。故 y=f(x)是以 2 为周期的周期函数，f(8.6)=f(8+0.6)=f(0.6)=f(0.6)=0.3 例 4.函数 y=sin(2x+25)的图像的一条对称轴的方程是（）是证明必要性设点是图像上任一点点关于点的对称点也在图像上即故必要性得证充分性设点是图像上任一点则即故点也在图像上而点与点关于点对称充分性得征推论函数的图像关于原点对称的充要条件是结论若函数满足那么函数本数关于直线对称在函数上任取一点那么关于对称

11、点也在函数上故所以有成立推论函数的图像关于直线对称的充要条件是即学习必备欢迎下载推论函数的图像关于轴对称的充要条件是结论若函数图像同时关于点和点成中心对称则是周点成中心对称又关于直线成轴对称则是周期函数且是其一个周期的证明留给读者以下给出的证明函数图像既关于点成中心对称用代得又函数图像直线成轴对称代入得用代得代入得故是周期函数且是其一个周期二不同函数的对称性结学习必备 欢迎下载(A)x=2 (B)x=4(C)x=8 (D)x=45 解：函数 y=sin(2x+25)的图像的所有对称轴的方程是 2x+25=k+2 x=2k,显然取 k=1 时的对称轴方程是 x=2 故选(A)例 5求证:若 fx

12、xR为奇函数，则方程 fx=0 若有根一定为奇数个。证:fx为奇函数 0f-0f=0f 2 0f=0 即x=0 是方程 fx=0 的根 若1x是 fx=0 的根，即1f x=0 由奇数定义得 1fx 1f x=0 1x也是方程的根 即方程的根除x=0 外成对出现。方程根为奇数个。练习：1 设 f(x)是定义在 R 上的奇函数，且 f(x+2)=f(x),当 0 x1 时，f(x)=x，则 f(7.5)=（）(A)0.5 (B)0.5 (C)1.5 (D)1.5 解：y=f(x)是定义在 R 上的奇函数，点（0，0）是其对称中心；又f(x+2)=f(x)=f(x)，即 f(1+x)=f(1 x)

13、，直线 x=1 是 y=f(x)对称轴，故 y=f(x)是周期为 2 的周期函数。f(7.5)=f(80.5)=f(0.5)=f(0.5)=0.5 故选(B)2知函数 y=f(x)对一切实数 x 满足 f(2-x)=f(4+x)，且方程 f(x)=0 有 5 个实根，则这 5 个实根之和为（C）A、5 B、10 C、15 D、18 3()f x是周期为 2 的奇函数，当01x 时，()lg.f xx63(),(),52afbf5(),2cf则（A）abc （B）bac （C）cba （D）cab 解：已知()f x是周期为 2 的奇函数，当01x 时，()lg.f xx 设644()()()5

14、55afff，311()()()222bfff，51()()22cff0，cab，选 D.4 定义在R上的函数 xf是奇函数又是以2为周期的周期函数,则 741fff等于 (B )A.-1 B.0 C.1 D.4 5用 mina,b 表示 a，b 两数中的最小值。若函数 f(x)=min|x|,|x+t|的图像关于直线 x=12是证明必要性设点是图像上任一点点关于点的对称点也在图像上即故必要性得证充分性设点是图像上任一点则即故点也在图像上而点与点关于点对称充分性得征推论函数的图像关于原点对称的充要条件是结论若函数满足那么函数本数关于直线对称在函数上任取一点那么关于对称点也在函数上故所以有成立推

15、论函数的图像关于直线对称的充要条件是即学习必备欢迎下载推论函数的图像关于轴对称的充要条件是结论若函数图像同时关于点和点成中心对称则是周点成中心对称又关于直线成轴对称则是周期函数且是其一个周期的证明留给读者以下给出的证明函数图像既关于点成中心对称用代得又函数图像直线成轴对称代入得用代得代入得故是周期函数且是其一个周期二不同函数的对称性结学习必备 欢迎下载 对称，则 t 的值为()A-2 B2 C-1 D1 6定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(x)=0),2()1(0),1(log2xxfxfxx，则 f（2010）的值为 (B )A.-1 B.0 C.1 D.2 解析 由已知得2(1)lo

16、g 21f ,(0)0f,(1)(0)(1)1fff ,(2)(1)(0)1fff,(3)(2)(1)1(1)0fff ,(4)(3)(2)0(1)1fff ,(5)(4)(3)1fff,(6)(5)(4)0fff,所以函数 f(x)的值以 6 为周期重复性出现.,所以 f（2010）=f（6）=0,故选 C.7 定义在 R 上的以 3 为周期的偶函数，且0)2(f，则方程)(xf=0 在区间（0，6）内解的个数的最小值是（）A5 B4 C3 D2 解析：由)(xf的周期性知，04115)2(fffff 即至少有根 1，2，4，5。故选择 B。8设函数 y=f(x)的定义域为 R，且满足 f(

17、x+1)=f(1-x)，则 y=f(x+1)的图象关于_y_对称。y=f(x)图象关于_x=1_对称。9设 y=f(x)的定义域为 R，且对任意 xR，有 f(1-2x)=f(2x)，则 y=f(2x)图象关于_对称，y=f(x)关于_对称。是证明必要性设点是图像上任一点点关于点的对称点也在图像上即故必要性得证充分性设点是图像上任一点则即故点也在图像上而点与点关于点对称充分性得征推论函数的图像关于原点对称的充要条件是结论若函数满足那么函数本数关于直线对称在函数上任取一点那么关于对称点也在函数上故所以有成立推论函数的图像关于直线对称的充要条件是即学习必备欢迎下载推论函数的图像关于轴对称的充要条件

18、是结论若函数图像同时关于点和点成中心对称则是周点成中心对称又关于直线成轴对称则是周期函数且是其一个周期的证明留给读者以下给出的证明函数图像既关于点成中心对称用代得又函数图像直线成轴对称代入得用代得代入得故是周期函数且是其一个周期二不同函数的对称性结学习必备 欢迎下载 10设函数 y=f(x)的定义域为 R，则下列命题中，若 y=f(x)是偶函数，则 y=f(x+2)图象关于 y 轴对称；若 y=f(x+2)是偶函数，则 y=f(x)图象关于直线 x=2 对称；若 f(x-2)=f(2-x)，则函数 y=f(x)图象关于直线 x=2 对称；y=f(x-2)与 y=f(2-x)图象关于直线 x=2

19、 对称，其中正确命题序号为_。11设 f(x)是定义在 R 上的奇函数，且 xfy 的图象关于直线21x对称，则 f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(5)=_.【考点分析】本题考查函数的周期性 解析：00ff 得 00f，假设 0f n 因为点（n，0）和点（1,0n）关于12x 对称，所以 10f nfnf n 因此，对一切正整数n都有：0f n 从而：123450fffff。本题答案填写：0 12函数 f x对于任意实数x满足条件 12f xf x，若 15,f 则 5ff_。【考点分析】本题考查函数的周期性与求函数值，中档题。解析：由 12f xf x得14()2f xf xf

20、x，所以(5)(1)5ff，则 115(5)(1)(12)5fffff 。【窥管之见】函数的周期性在高考考查中除了在三角函数中较为直接考查外，一般都比较灵活。本题应直观理解 12f xf x“只要加 2，则变倒数，加两次则回原位”则一通尽通也。13设函数 f x的定义域为 R，若 1f x与 1f x都是关于x的奇函数，则函数 yf x在区间0,100上至少有 个零点.答案：f(2k-1)=0，kZ.又可作一个函数 f x满足问题中的条件，且 f x的 一个零点恰为21xk，kZ.所以至少有 50 个零点.14设 f(x)=xx11，又记 f1(x)=f(x),)()(1xffxfkk,k=1

21、,2,则)(2010 xf=解：1121111,11fxfxfxxfx，323423111,111ffxfxfxxfxf，据此，414211,1nnxfxfxxx，4341,1nnxfxfxxx，因 2010 为 4n+2型，故选B.15已知偶函数 y=f(x)定义域为 R，且恒满足 f(x+2)=f(2-x)，若方程 f(x)=0 在0,4上只有三个实根，且一个根是 4，求方程在区间(-8,10中的根 是证明必要性设点是图像上任一点点关于点的对称点也在图像上即故必要性得证充分性设点是图像上任一点则即故点也在图像上而点与点关于点对称充分性得征推论函数的图像关于原点对称的充要条件是结论若函数满足

22、那么函数本数关于直线对称在函数上任取一点那么关于对称点也在函数上故所以有成立推论函数的图像关于直线对称的充要条件是即学习必备欢迎下载推论函数的图像关于轴对称的充要条件是结论若函数图像同时关于点和点成中心对称则是周点成中心对称又关于直线成轴对称则是周期函数且是其一个周期的证明留给读者以下给出的证明函数图像既关于点成中心对称用代得又函数图像直线成轴对称代入得用代得代入得故是周期函数且是其一个周期二不同函数的对称性结学习必备 欢迎下载 方程的根为-6,-4,-2,0,2,4,6,8,10 共 9 个根 16 设函数()f x在(,)上满足(2)(2)fxfx，(7)(7)fxfx，且在闭区间 0，7

23、上，只有(1)(3)0ff（）试判断函数()yf x的奇偶性；（）试求方程()f x=0 在闭区间-2005，2005上的根的个数，并证明你的结论【考点分析】本题考查函数的奇偶性与周期性 解析：由 f(2-x)=f(2+x),f(7-x)=f(7+x)得函数)(xfy 的对称轴为72xx和,从而知函数)(xfy 不是奇函数,由)14()4()14()()4()()7()7()2()2(xfxfxfxfxfxfxfxfxfxf)10()(xfxf,从而知函数)(xfy 的周期为10T 又0)7(,0)0()3(fff而,故函数)(xfy 是非奇非偶函数;(II)由)14()4()14()()4(

24、)()7()7()2()2(xfxfxfxfxfxfxfxfxfxf)10()(xfxf(II)又0)9()7()13()11(,0)0()3(ffffff 故 f(x)在0,10和-10,0上均有有两个解,从而可知函数)(xfy 在0,2005上有 402 个解,在-2005.0上有 400 个解,所以函数)(xfy 在-2005,2005上有 802 个解.17 fx定义域为 R，对于任意 x 都有 11fxfx 且 44fxfx 问 fx是否是周期函数？如是则周期是多少？解：如图可知 M（1，0），N（4，0）是对称中心，设0 x为 f x的任意一点，它的关于 M 的对称点是1x则：01

25、11,xx 设2x与1x关于 N 点对称则 41x=2x 4，206xx 由题意01,f xf x 12f xf x 20f xf x 即对于任意xR都有 6fxf x f x是周期函数，周期为 6.结论：若函数 fx()xR的图象为对称中心在 X 轴上的中心对称图形，则 fx为周期函数，周期为两对称中心距离的 2 倍。是证明必要性设点是图像上任一点点关于点的对称点也在图像上即故必要性得证充分性设点是图像上任一点则即故点也在图像上而点与点关于点对称充分性得征推论函数的图像关于原点对称的充要条件是结论若函数满足那么函数本数关于直线对称在函数上任取一点那么关于对称点也在函数上故所以有成立推论函数的图像关于直线对称的充要条件是即学习必备欢迎下载推论函数的图像关于轴对称的充要条件是结论若函数图像同时关于点和点成中心对称则是周点成中心对称又关于直线成轴对称则是周期函数且是其一个周期的证明留给读者以下给出的证明函数图像既关于点成中心对称用代得又函数图像直线成轴对称代入得用代得代入得故是周期函数且是其一个周期二不同函数的对称性结