三角函数及解三角形知识点总结_中学教育-中考.pdf

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1、1.任意角的三角函数的定义：设是任意一个角，P(,)x y是的终边上的任意一点（异于原点），它与原点的距离是220rxy，那么sin,cosyxrr，tan,0yxx 三角函数值只与角的大小有关，而与终边上点 P 的位置无关。2.三角函数在各象限的符号：（一全二正弦，三切四余弦）sin cos tan 3.同角三角函数的基本关系式：（1）平方关系：22221sincos1,1tancos（2）商数关系：sintancos（用于切化弦）平方关系一般为隐含条件，直接运用。注意“1”的代换 4.三角函数的诱导公式 roxya的终边P（x,y)诱导公式（把角写成2k形式，利用口诀：奇变偶不变，符号看象

2、限）xxkxxkxxktan)2tan(cos)2cos(sin)2sin(）xxxxxxtan)tan(cos)cos(sin)sin(）xxxxxxtan)tan(cos)cos(sin)sin(）xxxxxxtan)tan(cos)cos(sin)sin(）sin)2cos(cos)2sin(）sin)2cos(cos)2sin(5.特殊角的三角函数值 度 0 30 45 60 90 120 135 150 180 270 360 弧度 0 6 4 3 2 23 34 56 32 2 sin 0 12 22 32 1 32 22 12 0 1 0 角的大小有关而与终边上点的位置无关的终边

3、三角函数在各象限的符号一全二正弦三切四余弦同角三角函数的基本关系式平方关系商数关系用于切化弦平方关系一般为隐含条件直接运用注意的代换三角函数的诱导公式诱导公式把角义域值域最值周期性时当当时时当当既无最大值也无最小值时奇偶性奇函数偶函数奇函数单调性在上是增函数在上是减函数在上是增函数在上是减函数在上是增函数对称性对称中心对称轴对称中心对称轴对称中心无对称轴函数图象平移变换函数的图象与图象间的关系要特别注意若由得到个单位例以变换到的图象则向左或向右平移应平移为例向左平移个单位左加右减横坐标变为原来的倍纵坐标不变纵坐标变为原来的倍横坐标不变横坐标变为原来的倍纵坐标不 6.三角函数的图像及性质 sin

4、yx cosyx tanyx 图像 定义域 R R,2x xkkZ 值域 1,1 1,1 R 最值 当22xkkZ时，max1y；当22xkkZ时，min1y 当2xkkZ时，max1y；当2xk kZ时，min1y 既无最大值也无最小值 周期性 2 2 cos 1 32 22 12 0 12 22 32 1 0 1 tan 0 33 1 3 无 3 1 33 0 无 0 函 数 性 质 角的大小有关而与终边上点的位置无关的终边三角函数在各象限的符号一全二正弦三切四余弦同角三角函数的基本关系式平方关系商数关系用于切化弦平方关系一般为隐含条件直接运用注意的代换三角函数的诱导公式诱导公式把角义域值

5、域最值周期性时当当时时当当既无最大值也无最小值时奇偶性奇函数偶函数奇函数单调性在上是增函数在上是减函数在上是增函数在上是减函数在上是增函数对称性对称中心对称轴对称中心对称轴对称中心无对称轴函数图象平移变换函数的图象与图象间的关系要特别注意若由得到个单位例以变换到的图象则向左或向右平移应平移为例向左平移个单位左加右减横坐标变为原来的倍纵坐标不变纵坐标变为原来的倍横坐标不变横坐标变为原来的倍纵坐标不奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 单调性 在2,222kk kZ上是增函数；在32,222kk kZ上是减函数 在2,2kkkZ 上是增函数；在2,2kk kZ 上是减函数 在,22kk kZ上是增函数

6、对称性 对称中心,0kkZ 对称轴2xkkZ 对称中心,02kkZ 对称轴xkkZ 对称中心,02kkZ 无对称轴 7.函数sin()yAx图象的画法：“五点法”设Xx，令X0，3,222求出相应的x值，计算得出五点的坐标，描点后得出图象；图象变换法：这是作函数简图常用方法。角的大小有关而与终边上点的位置无关的终边三角函数在各象限的符号一全二正弦三切四余弦同角三角函数的基本关系式平方关系商数关系用于切化弦平方关系一般为隐含条件直接运用注意的代换三角函数的诱导公式诱导公式把角义域值域最值周期性时当当时时当当既无最大值也无最小值时奇偶性奇函数偶函数奇函数单调性在上是增函数在上是减函数在上是增函数在

7、上是减函数在上是增函数对称性对称中心对称轴对称中心对称轴对称中心无对称轴函数图象平移变换函数的图象与图象间的关系要特别注意若由得到个单位例以变换到的图象则向左或向右平移应平移为例向左平移个单位左加右减横坐标变为原来的倍纵坐标不变纵坐标变为原来的倍横坐标不变横坐标变为原来的倍纵坐标不 8.图像的平移变换：函数sin()yAxk的图象与sinyx图象间的关系：要特别注意，若由 sinyx得到sinyx的图象，则向左或向右平移应平移|个单位 例：以sinyx变换到4sin(3)3yx为例 sinyx向左平移3个单位（左加右减）s i n3yx 角的大小有关而与终边上点的位置无关的终边三角函数在各象限

8、的符号一全二正弦三切四余弦同角三角函数的基本关系式平方关系商数关系用于切化弦平方关系一般为隐含条件直接运用注意的代换三角函数的诱导公式诱导公式把角义域值域最值周期性时当当时时当当既无最大值也无最小值时奇偶性奇函数偶函数奇函数单调性在上是增函数在上是减函数在上是增函数在上是减函数在上是增函数对称性对称中心对称轴对称中心对称轴对称中心无对称轴函数图象平移变换函数的图象与图象间的关系要特别注意若由得到个单位例以变换到的图象则向左或向右平移应平移为例向左平移个单位左加右减横坐标变为原来的倍纵坐标不变纵坐标变为原来的倍横坐标不变横坐标变为原来的倍纵坐标不横坐标变为原来的13倍（纵坐标不变）sin 33y

9、x 纵坐标变为原来的 4 倍（横坐标不变）4sin 33yx sinyx横坐标变为原来的13倍（纵坐标不变）sin 3yx 向左平移9个单位（左加右减）sin39yxsin 33x 纵坐标变为原来的 4 倍（横坐标不变）4sin 33yx 注意：在变换中改变的始终是 x。9、三角恒等变换 1.两角和与差的正弦、余弦、正切公式：(1）cossincossin)sin(2）cossincossin)sin(3）sinsincoscos)cos(4）sinsincoscos)cos(5）tantan1tantan)tan(t ant ant an1t ant an (6）tantan1tantan)

10、tan(tantantan1 tantan (7)sincosab=22sin()ab(其中,辅助角所在象限由点(,)a b所在的象角的大小有关而与终边上点的位置无关的终边三角函数在各象限的符号一全二正弦三切四余弦同角三角函数的基本关系式平方关系商数关系用于切化弦平方关系一般为隐含条件直接运用注意的代换三角函数的诱导公式诱导公式把角义域值域最值周期性时当当时时当当既无最大值也无最小值时奇偶性奇函数偶函数奇函数单调性在上是增函数在上是减函数在上是增函数在上是减函数在上是增函数对称性对称中心对称轴对称中心对称轴对称中心无对称轴函数图象平移变换函数的图象与图象间的关系要特别注意若由得到个单位例以变换

11、到的图象则向左或向右平移应平移为例向左平移个单位左加右减横坐标变为原来的倍纵坐标不变纵坐标变为原来的倍横坐标不变横坐标变为原来的倍纵坐标不限决定,2222sin,cos,tanbabaabab，该法也叫合一变形).(8)4tan(tan1tan1 )4tan(tan1tan1 10、二倍角公式（1）（2）（3）11.降幂公式：（1）（2）12.升幂公式（1）2cos2cos12 （2）2sin2cos12（3）2)2cos2(sinsin1 （4）22cossin1（5）2cos2sin2sin 13.三角变换：函数名称变换：三角变形中常常需要变函数名称为同名函数。采用公式：其中，aaacos

12、sin22sin1cos2sin21sincos2cos2222aaaaaaaa2tan1tan22tan22cos1cos2aa22cos1sin2aa)sin(cossin22baba2222sin,cosbabbaa角的大小有关而与终边上点的位置无关的终边三角函数在各象限的符号一全二正弦三切四余弦同角三角函数的基本关系式平方关系商数关系用于切化弦平方关系一般为隐含条件直接运用注意的代换三角函数的诱导公式诱导公式把角义域值域最值周期性时当当时时当当既无最大值也无最小值时奇偶性奇函数偶函数奇函数单调性在上是增函数在上是减函数在上是增函数在上是减函数在上是增函数对称性对称中心对称轴对称中心对称

13、轴对称中心无对称轴函数图象平移变换函数的图象与图象间的关系要特别注意若由得到个单位例以变换到的图象则向左或向右平移应平移为例向左平移个单位左加右减横坐标变为原来的倍纵坐标不变纵坐标变为原来的倍横坐标不变横坐标变为原来的倍纵坐标不比如：xxycos3sin )cos)3(13sin)3(11()3(1222222xx )cos23sin21(2xx)3sincos3cos(sin2xx)3sin(2x 注意:“凑角”运用：，12 14、三角形中常用的关系：，常见数据：，3215tan,3275tan,15、正弦定理：在C中，a、b、c分别为角、C的对边，R为C的外接圆的半径，则有2sinsins

14、inabcRC（R是三角形外接圆半径）注：正弦定理的变形公式：2 sinaR，2 sinbR，2 sincRC；sin2aR，sin2bR，sin2cCR；:sin:sin:sina b cC 16、余弦定理：在C中，有)sin(sinCBA)cos(cosCBA2cos2sinCBA)(2sin2sinCBA)(2cos2cosCBA6262sin15cos75,sin75cos1544 角的大小有关而与终边上点的位置无关的终边三角函数在各象限的符号一全二正弦三切四余弦同角三角函数的基本关系式平方关系商数关系用于切化弦平方关系一般为隐含条件直接运用注意的代换三角函数的诱导公式诱导公式把角义域

15、值域最值周期性时当当时时当当既无最大值也无最小值时奇偶性奇函数偶函数奇函数单调性在上是增函数在上是减函数在上是增函数在上是减函数在上是增函数对称性对称中心对称轴对称中心对称轴对称中心无对称轴函数图象平移变换函数的图象与图象间的关系要特别注意若由得到个单位例以变换到的图象则向左或向右平移应平移为例向左平移个单位左加右减横坐标变为原来的倍纵坐标不变纵坐标变为原来的倍横坐标不变横坐标变为原来的倍纵坐标不2222cosabcbc，2222cosbacac，2222coscababC 注：余弦定理的推论：222cos2bcabc，222cos2acbac，222cos2abcCab 17、三角形面积公式

16、：111sinsinsin222CSbcabCac 两边夹角的正弦值两边之积21ABCS 高底21ABCS 注：（1）如果一个三角形两边的平方和等于第三边，那么第三边所对的角为直角；如果小于第三边的平方，那么第三边所对的角为钝角；如果大于第三边的平方，那么第三边所对角为锐角。（课本第 6 页右下角）例如a、b、c是C的角、C的对边，则：若222abc，则90C；若222abc，则18090C，C为钝角 若222abc，则900C；C为锐角（2）在三角形中一些重要的知识点；1.CBA,)0(,，CBA 2.任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。3.大角对大边，小角对小边，等角对等边。4

17、.在三角形中，如果某一边不是最大的边，那么这条边所对的角一定是锐角。5.在三角形中，如果某一边是最大的边，那么它所对的角可能是锐角，直角，钝角。角的大小有关而与终边上点的位置无关的终边三角函数在各象限的符号一全二正弦三切四余弦同角三角函数的基本关系式平方关系商数关系用于切化弦平方关系一般为隐含条件直接运用注意的代换三角函数的诱导公式诱导公式把角义域值域最值周期性时当当时时当当既无最大值也无最小值时奇偶性奇函数偶函数奇函数单调性在上是增函数在上是减函数在上是增函数在上是减函数在上是增函数对称性对称中心对称轴对称中心对称轴对称中心无对称轴函数图象平移变换函数的图象与图象间的关系要特别注意若由得到个

18、单位例以变换到的图象则向左或向右平移应平移为例向左平移个单位左加右减横坐标变为原来的倍纵坐标不变纵坐标变为原来的倍横坐标不变横坐标变为原来的倍纵坐标不 角的大小有关而与终边上点的位置无关的终边三角函数在各象限的符号一全二正弦三切四余弦同角三角函数的基本关系式平方关系商数关系用于切化弦平方关系一般为隐含条件直接运用注意的代换三角函数的诱导公式诱导公式把角义域值域最值周期性时当当时时当当既无最大值也无最小值时奇偶性奇函数偶函数奇函数单调性在上是增函数在上是减函数在上是增函数在上是减函数在上是增函数对称性对称中心对称轴对称中心对称轴对称中心无对称轴函数图象平移变换函数的图象与图象间的关系要特别注意若由得到个单位例以变换到的图象则向左或向右平移应平移为例向左平移个单位左加右减横坐标变为原来的倍纵坐标不变纵坐标变为原来的倍横坐标不变横坐标变为原来的倍纵坐标不