数学练习题考试题高考题教案06 第六编_中学教育-中考.pdf

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1、第六编 数列 6.1 数列的概念及简单表示法 1.下列对数列的理解有四种：数列可以看成一个定义在N*（或它的有限子集1，2，3，n）上的函数；数列的项数是有限的；数列若用图象表示，从图象上看都是一群孤立的点；数列的通项公式是惟一的.其中说法正确的是 （填序号）.答案 2.设 an=-n2+10n+11，则数列an从首项到第 项的和最大.答案 10 或 11 3.(2008 安徽文，15)在数列an中,an=4n-25,a1+a2+an=an2+bn,nN*,其中 a、b 为常数，则 ab=.答案 -1 4.已知数列an的通项公式是 an=，nn，nn)(22)(13为偶数为奇数则 a2a3=.

2、答案 20 5.（2008 北京理，6）已知数列an对任意的 p,qN*满足 ap+q=ap+aq且 a2=-6,那么 a10=.答案 -30 例 1 写出下面各数列的一个通项公式：（1）3，5，7，9，；（2）21，43，87，1615，3231，；（3）-1，23，-31，43，-51，63，；（4）32，-1，710，-917，1126，-1337，；（5）3，33，333，3 333，.解（1）各项减去 1 后为正偶数，所以 an=2n+1.（2）每一项的分子比分母少 1，而分母组成数列 21，22，23，24，所以 an=nn212.（3）奇数项为负，偶数项为正，故通项公式中含因子（

3、-1）n；各项绝对值的分母组成数列 1，2，3，4，；而各项绝对值的分子组成的数列中，奇数项为 1，偶数项为 3，即奇数项为 2-1，偶数项为 2+1，所以 an=（-1）nnn)1(2.也可写为 an=)(3)(1为正偶数为正奇数nnnn.（4）偶数项为负，奇数项为正，故通项公式必含因子（-1）n+1，观察各项绝对值组成的数列，从第 3 项到第6 项可见，分母分别由奇数 7，9，11，13 组成，而分子则是 32+1，42+1，52+1，62+1，按照这样的规律第 1、2 两项可改写为12112，-122122，所以 an=(-1)n+11212nn.（5）将数列各项改写为39，399，39

4、99，39999，分母都是 3，而分子分别是 10-1,102-1,103-1,104-1,所以 an=31(10n-1).例 2 已知数列的通项公式为an=122nn.（1）0.98 是不是它的项？（2）判断此数列的增减性.解 （1）假设 0.98 是它的项，则存在正整数 n,满足122nn=0.98，n2=0.98 n2+0.98.n=7 时成立，0.98 是它的项.（2）an+1-an=11)1()1(2222nnnn=)1(1)1(1222nnn0.此数列为递增数列.例 3（14 分）已知数列an的前 n 项和 Sn满足 an+2SnSn-1=0(n2),a1=21,求 an.解 当

5、n2 时，an=Sn-Sn-1,Sn-Sn-1+2SnSn-1=0，即nS1-11nS=2，4分 数列nS1是公差为 2 的等差数列.6分 又 S1=a1=21，11S=2，nS1=2+（n-1）2=2n，数列的项数是有限的数列若用图象表示从图象上看都是一群孤立的点数列的通项公式是惟一的其中说法正确的是填序号答案设则数列从首项到第项的和最大答案或安徽文在数列中其中为常数则答案已知数列的通项公式是为奇数为偶每一项的分子比分母少而分母组成数列所以奇数项为负偶数项为正故通项公式中含因子各项绝对值的分母组成数列而各项绝对值的分子组成的数列中奇数项为偶数项为即奇数项为偶数项为所以也可写为为正偶数为正奇数

6、偶数项为负照这样的规律第两项可改写为所以将数列各项改写为分母都是而分子分别是所以例已知数列的通项公式为是不是它的项判断此数列的增减性解假设是它的项则存在正整数满足时成立是它的项此数列为递增数列例分已知数列的前项和Sn=n21.10分 当 n2 时，an=-2SnSn-1=-2n21)1(21n=-)1(21nn，12分 an=)2()1(21)1(21nnnn.14分 1.根据下面各数列前几项的值，写出数列的一个通项公式：（1）32，154，356，638，9910，（2）21，2，29，8，225，（3）5，55，555，5 555，55 555，（4）5，0，-5，0，5，0，-5，0，（

7、5）1，3，7，15，31，解（1）这是一个分数数列，其分子构成偶数数列，而分母可分解成 13，35，57，79，911，每一项都是两个相邻奇数的乘积，经过组合，则所求数列的通项公式 an=)12)(12(2nnn.（2）数列的项，有的是分数，有的是整数，可将数列的各项都统一成分数再观察：21，24，29，216，225，可得通项公式an=22n.（3）联想个n999=10n-1,则 an=个n555=95 个n)999(=95(10n-1),即 an=95(10n-1).（4）数列的各项都具有周期性，联想基本数列 1，0，-1，0，则 an=5sin2n.（5）1=2-1，3=22-1，7=

8、23-1，an=2n-1 故所求数列的通项公式为 an=2n-1.2.已知函数 f（x）=2x-2-x，数列an满足 f（log2an）=-2n.数列的项数是有限的数列若用图象表示从图象上看都是一群孤立的点数列的通项公式是惟一的其中说法正确的是填序号答案设则数列从首项到第项的和最大答案或安徽文在数列中其中为常数则答案已知数列的通项公式是为奇数为偶每一项的分子比分母少而分母组成数列所以奇数项为负偶数项为正故通项公式中含因子各项绝对值的分母组成数列而各项绝对值的分子组成的数列中奇数项为偶数项为即奇数项为偶数项为所以也可写为为正偶数为正奇数偶数项为负照这样的规律第两项可改写为所以将数列各项改写为分母

9、都是而分子分别是所以例已知数列的通项公式为是不是它的项判断此数列的增减性解假设是它的项则存在正整数满足时成立是它的项此数列为递增数列例分已知数列的前项和（1）求数列an的通项公式；（2）求证：数列an是递减数列.（1）解 f（x）=2x-2-x，f（log2an）=2na2log-2na2log=-2n，即 an-na1=-2n.a2n+2nan-1=0.an=24422nn，又 an0，an=12n-n.（2）证明 an0，且 an=12n-n,nnaa1=nnnn1)1(1)1(22=)1(1)1(122nnnn1.an+1an.即an为递减数列.3.已知在正项数列an中，Sn表示前 n

10、项和且 2nS=an+1，求 an.解 2nS=an+1,Sn=41(a2n+2an+1),Sn-1=41(a21n+2an-1+1),当 n2 时，an=Sn-Sn-1=41（a2n-a21n）+2（an-an-1），整理可得：（an+an-1）（an-an-1-2）=0，an0，an-an-1=2，当 n=1 时，a1=1,an是以 1 为首项，2 为公差的等差数列.an=2n-1(nN*).一、填空题 1.数列 1，2，2，3，3，3，4，4，4，4，5，的第 100 项是 .答案 14 2.数列an中，a1=1,对于所有的 n2，nN*都有 a1a2a3an=n2，则 a3+a5=.答

11、案 1661 数列的项数是有限的数列若用图象表示从图象上看都是一群孤立的点数列的通项公式是惟一的其中说法正确的是填序号答案设则数列从首项到第项的和最大答案或安徽文在数列中其中为常数则答案已知数列的通项公式是为奇数为偶每一项的分子比分母少而分母组成数列所以奇数项为负偶数项为正故通项公式中含因子各项绝对值的分母组成数列而各项绝对值的分子组成的数列中奇数项为偶数项为即奇数项为偶数项为所以也可写为为正偶数为正奇数偶数项为负照这样的规律第两项可改写为所以将数列各项改写为分母都是而分子分别是所以例已知数列的通项公式为是不是它的项判断此数列的增减性解假设是它的项则存在正整数满足时成立是它的项此数列为递增数列

12、例分已知数列的前项和3.数列-1,58，-715，924，的一个通项公式是 .答案 an=(-1)n12)2(nnn 4.下图是用同样规格的黑、白两色正方形瓷砖铺设的若干图案，则按此规律第 n 个图案中需用黑色瓷砖 块.（用含n 的代数式表示）答案 4n+8 5.已知数列an的前 n 项和 Sn=n2-9n，第 k 项满足 5ak8，则 k=.答案 8 6.若数列an的通项公式 an=2)1(1n，记 f（n）=2(1-a1)(1-a2)(1-an)，试通过计算 f(1),f(2),f(3)的值，推测出 f(n)=(用含 n 的代数式表示）.答案 12nn 7.（2008沈阳模拟）数列an满足

13、 an+1=,121,12,2102,nnnnaaaa a1=53，则数列的第 2 008 项为 .答案 54 8.已知数列an中,a1=1,(n+1)an=nan+1,则数列an的一个通项公式 an=.答案 n 二、解答题 9.已知数列an的前 n 项和为 Sn，满足 log2(1+Sn)=n+1,求数列的通项公式.解 Sn满足 log2(1+Sn)=n+1,1+Sn=2n+1,Sn=2n+1-1.a1=3,an=Sn-Sn-1=(2n+1-1)-(2n-1)=2n(n2),an的通项公式为 an=).2(2),1(3nnn 10.已知数列an中，a1=1,前 n 项和为 Sn，对任意的 n

14、2,3 Sn-4,an,2-231nS总成等差数列.（1）求 a2、a3、a4的值；（2）求通项公式 an.解（1）当 n2 时，3Sn-4,an,2-231nS成等差数列，2an=3Sn-4+2-23Sn-1，an=3Sn-4（n2）.数列的项数是有限的数列若用图象表示从图象上看都是一群孤立的点数列的通项公式是惟一的其中说法正确的是填序号答案设则数列从首项到第项的和最大答案或安徽文在数列中其中为常数则答案已知数列的通项公式是为奇数为偶每一项的分子比分母少而分母组成数列所以奇数项为负偶数项为正故通项公式中含因子各项绝对值的分母组成数列而各项绝对值的分子组成的数列中奇数项为偶数项为即奇数项为偶数

15、项为所以也可写为为正偶数为正奇数偶数项为负照这样的规律第两项可改写为所以将数列各项改写为分母都是而分子分别是所以例已知数列的通项公式为是不是它的项判断此数列的增减性解假设是它的项则存在正整数满足时成立是它的项此数列为递增数列例分已知数列的前项和由 a1=1,得 a2=3(1+a2)-4,a2=21,a3=33211a-4,a3=-41,a4=3441211a-4,a4=81.a2=21，a3=-41，a4=81.（2）当 n2 时，an=3Sn-4,3Sn=an+4,434311nnnnaSaS,可得:3 an+1=an+1-an,nnaa1=-21，a2，a3，an成等比数列，an=a2qn

16、-2=21221n=-121n，an=)2(21)1(11nnn.11.在数列an中，a1=21，an=1-11na(n2,nN*)，数列an的前 n 项和为 Sn.（1）求证：an+3=an;(2）求 a2 008.（1）证明 an+3=1-21na=1-1111na=1-na11111=nnaa11111=1-111nnaa=1-111nnnaaa=1-111na=1-(1-an)=an.an+3=an.（2）解 由（1）知数列an的周期 T=3，a1=21，a2=-1，a3=2.又a2 008=a3669+1=a1=21.a2 008=21.12.已知二次函数 f(x)=x2-ax+a(

17、xR)同时满足：不等式 f(x)0 的解集有且只有一个元素；在定义域内存在 0 x1x2,使得不等式 f(x1)f(x2)成立.设数列an的前 n 项和 Sn=f（n）.（1）求函数 f(x)的表达式；（2）求数列an的通项公式.解（1）f（x）0 的解集有且只有一个元素，数列的项数是有限的数列若用图象表示从图象上看都是一群孤立的点数列的通项公式是惟一的其中说法正确的是填序号答案设则数列从首项到第项的和最大答案或安徽文在数列中其中为常数则答案已知数列的通项公式是为奇数为偶每一项的分子比分母少而分母组成数列所以奇数项为负偶数项为正故通项公式中含因子各项绝对值的分母组成数列而各项绝对值的分子组成的

18、数列中奇数项为偶数项为即奇数项为偶数项为所以也可写为为正偶数为正奇数偶数项为负照这样的规律第两项可改写为所以将数列各项改写为分母都是而分子分别是所以例已知数列的通项公式为是不是它的项判断此数列的增减性解假设是它的项则存在正整数满足时成立是它的项此数列为递增数列例分已知数列的前项和=a2-4a=0a=0 或 a=4，当 a=4 时，函数 f(x)=x2-4x+4 在（0，2）上递减，故存在 0 x1x2,使得不等式 f(x1)f(x2)成立，当 a=0 时，函数 f(x)=x2在（0,+）上递增，故不存在 0 x1x2,使得不等式 f(x1)f(x2)成立，综上，得 a=4,f(x)=x2-4x

19、+4.（2）由（1）可知 Sn=n2-4n+4,当 n=1 时，a1=S1=1,当 n2 时，an=Sn-Sn-1=(n2-4n+4)-(n-1)2-4(n-1)+4=2n-5,an=)2(52)1(1nnn.数列的项数是有限的数列若用图象表示从图象上看都是一群孤立的点数列的通项公式是惟一的其中说法正确的是填序号答案设则数列从首项到第项的和最大答案或安徽文在数列中其中为常数则答案已知数列的通项公式是为奇数为偶每一项的分子比分母少而分母组成数列所以奇数项为负偶数项为正故通项公式中含因子各项绝对值的分母组成数列而各项绝对值的分子组成的数列中奇数项为偶数项为即奇数项为偶数项为所以也可写为为正偶数为正

20、奇数偶数项为负照这样的规律第两项可改写为所以将数列各项改写为分母都是而分子分别是所以例已知数列的通项公式为是不是它的项判断此数列的增减性解假设是它的项则存在正整数满足时成立是它的项此数列为递增数列例分已知数列的前项和6.2 等差数列及其前 n 项和 1.（2008广东理，2）记等差数列an的前 n 项和为 Sn，若 a1=21，S4=20，则 S6=.答案 48 2.（2008 陕西理，4）已知an是等差数列,a1+a2=4,a7+a8=28,则该数列前 10 项和 S10=.答案 100 3.（2008全国理，5）已知等差数列na满足 a2+a4=4，a3+a5=10，则它的前 10 项的和

21、 S10=.答案 95 4.已知两个等差数列an和bn的前 n 项和分别为 An和 Bn，且nnBA=3457nn，则使得nnba为整数的正整数 n 的个数是 个.答案 5 5.（2009姜堰中学高三第四次综合练习）设等差数列an的前 n 项和为 Sn，若 a4+a12+a17+a19=8，则 S25的值为 .答案 50 例 1 已知数列an满足 a1=4,an=4-14na(n2),令 bn=21na.求证：数列bn是等差数列.证明 an+1-2=2-na4=nnaa)2(2 211na=)2(2nnaa=)2(222nnaa=21+21na 211na-21na=21，bn+1-bn=21

22、.数列bn是等差数列.例 2 在等差数列an中，（1）已知 a15=33,a45=153,求 a61;(2)已知 a6=10,S5=5，求 a8和 S8；（3）已知前 3 项和为 12，前 3 项积为 48，且 d0,求 a1.解 （1）方法一 设首项为 a1,公差为 d,依条件得 dada44153143311,解方程组得.4231d，a a61=-23+(61-1)4=217.方法二 由 d=mnaamn,得 d=15451545 aa=3033153=4,由 an=am+(n-m)d,数列的项数是有限的数列若用图象表示从图象上看都是一群孤立的点数列的通项公式是惟一的其中说法正确的是填序号

23、答案设则数列从首项到第项的和最大答案或安徽文在数列中其中为常数则答案已知数列的通项公式是为奇数为偶每一项的分子比分母少而分母组成数列所以奇数项为负偶数项为正故通项公式中含因子各项绝对值的分母组成数列而各项绝对值的分子组成的数列中奇数项为偶数项为即奇数项为偶数项为所以也可写为为正偶数为正奇数偶数项为负照这样的规律第两项可改写为所以将数列各项改写为分母都是而分子分别是所以例已知数列的通项公式为是不是它的项判断此数列的增减性解假设是它的项则存在正整数满足时成立是它的项此数列为递增数列例分已知数列的前项和得 a61=a45+16d=153+164=217.（2）a6=10,S5=5,510510511

24、dada.解方程组得 a1=-5,d=3,a8=a6+2d=10+23=16,S8=82)(81aa=44.(3)设数列的前三项分别为 a-d,a,a+d,依题意有：48)()(12)()(daadadaada,48)(422daaa,24da.d0,d=2,a-d=2.首项为 2.a1=2.例 3（14 分）在等差数列an中，已知 a1=20,前 n 项和为 Sn，且 S10=S15，求当 n 取何值时，Sn取得最大值，并求出它的最 大值.解 方法一 a1=20，S10=S15，1020+2910d=1520+21415d，d=-35.4分 an=20+（n-1）(-35)=-35n+365

25、.8分 a13=0.10分 即当 n12 时，an0,n14 时，an0.当 n=12 或 13 时，Sn取得最大值，且最大值为 S12=S13=1220+21112(-35)=130.14分 方法二 同方法一求得 d=-35.4分 Sn=20n+2)1(nn(-35)=-65n2+6125n=-652225n+241253.8分 nN+,当 n=12 或 13 时，Sn有最大值，且最大值为 S12=S13=130.14分 方法三 同方法一得 d=-35.4分 又由 S10=S15,得 a11+a12+a13+a14+a15=0.8分 5a13=0,即 a13=0.10分 当 n=12 或 1

26、3 时，Sn有最大值，且最大值为 S12=S13=130.14分 数列的项数是有限的数列若用图象表示从图象上看都是一群孤立的点数列的通项公式是惟一的其中说法正确的是填序号答案设则数列从首项到第项的和最大答案或安徽文在数列中其中为常数则答案已知数列的通项公式是为奇数为偶每一项的分子比分母少而分母组成数列所以奇数项为负偶数项为正故通项公式中含因子各项绝对值的分母组成数列而各项绝对值的分子组成的数列中奇数项为偶数项为即奇数项为偶数项为所以也可写为为正偶数为正奇数偶数项为负照这样的规律第两项可改写为所以将数列各项改写为分母都是而分子分别是所以例已知数列的通项公式为是不是它的项判断此数列的增减性解假设是

27、它的项则存在正整数满足时成立是它的项此数列为递增数列例分已知数列的前项和 1.设两个数列an,bn满足 bn=nnaaaan32132321，若bn为等差数列，求证：an也为等差数列.证明 由题意有 a1+2a2+3a3+nan=2)1(nnbn，从而有 a1+2a2+3a3+(n-1)an-1=2)1(nnbn-1(n2),由-，得 nan=2)1(nnbn-2)1(nnbn-1,整理得 an=21nnbbnd,其中 d 为bn的公差(n2).从而 an+1-an=2)1(1nnbbdn-21nnbbnd=22dd=d23(n2).又 a1=b1，a2=2212bbd a2-a1=2212b

28、bd-b1=2212bbd=23d.综上，an+1-an=23d（nN*）.所以an是等差数列.2.设an为等差数列,Sn为数列an的前 n 项和,已知 S7=7,S15=75,Tn为数列nSn的前 n 项和,求 Tn.解 设等差数列an的公差为 d,则 Sn=na1+21n(n-1)d,S7=7,S15=75,7510515721711dada,即571311dada,解得121da,nSn=a1+21(n-1)d=-2+21(n-1),11nSn-nSn=21,数列nSn是等差数列,其首项为-2,公差为21,数列的项数是有限的数列若用图象表示从图象上看都是一群孤立的点数列的通项公式是惟一的

29、其中说法正确的是填序号答案设则数列从首项到第项的和最大答案或安徽文在数列中其中为常数则答案已知数列的通项公式是为奇数为偶每一项的分子比分母少而分母组成数列所以奇数项为负偶数项为正故通项公式中含因子各项绝对值的分母组成数列而各项绝对值的分子组成的数列中奇数项为偶数项为即奇数项为偶数项为所以也可写为为正偶数为正奇数偶数项为负照这样的规律第两项可改写为所以将数列各项改写为分母都是而分子分别是所以例已知数列的通项公式为是不是它的项判断此数列的增减性解假设是它的项则存在正整数满足时成立是它的项此数列为递增数列例分已知数列的前项和Tn=41n2-49n.3.等差数列an中，a10,S9=S12,该数列前多

30、少项的和最小？解 由条件 S9=S12可得 9a1+289d=12a1+21112d，即 d=-101a1.由 a10 知 d0,即数列an为递增数列.方法一 由001111ndaad)n(aann，得01011011011nn）（,解得 10n11.当 n 为 10 或 11 时，Sn取最小值，该数列前 10 项或前 11 项的和最小.方法二 S9=S12，a10+a11+a12=3a11=0，a11=0.又a10,公差 d0，从而前 10 项或前 11 项和最小.方法三 S9=S12，Sn的图象所在抛物线的对称轴为x=2129=10.5,又 nN*，a10,an的前 10 项或前 11 项

31、和最小.方法四 由 Sn=na1+2)1(nnd=2d2n+21dan，结合 d=-101a1得 Sn=1201an2+12021an=-201a2221n+80441a1（a10），由二次函数的性质可知n=221=10.5 时，Sn最小.又 nN*，故 n=10 或 11 时 Sn取得最小值.一、填空题 1.等差数列an的前 n 项和为 Sn，若 a2=1,a3=3,则 S4=.答案 8 2.在等差数列an中，已知 a1=2,a2+a3=13,则 a4+a5+a6=.答案 42 3.已知某等差数列共有10 项，其奇数项之和为 15，偶数项之和为 30，则其公差为 .答案 3 4.已知等差数列

32、an的前三项分别为 a-1,2 a+1,a+7,则这个数列的通项公式为 .数列的项数是有限的数列若用图象表示从图象上看都是一群孤立的点数列的通项公式是惟一的其中说法正确的是填序号答案设则数列从首项到第项的和最大答案或安徽文在数列中其中为常数则答案已知数列的通项公式是为奇数为偶每一项的分子比分母少而分母组成数列所以奇数项为负偶数项为正故通项公式中含因子各项绝对值的分母组成数列而各项绝对值的分子组成的数列中奇数项为偶数项为即奇数项为偶数项为所以也可写为为正偶数为正奇数偶数项为负照这样的规律第两项可改写为所以将数列各项改写为分母都是而分子分别是所以例已知数列的通项公式为是不是它的项判断此数列的增减性

33、解假设是它的项则存在正整数满足时成立是它的项此数列为递增数列例分已知数列的前项和答案 an=4n-3 5.（2009 东海 高级中 学 月考）设an 是公差为正数的等差数列，若 a1+a2+a3=15,a1a2a3=80，则a11+a12+a13=.答案 105 6.(2009 兴化市板桥高级中学 12 月月考)数列an的通项公式是 an=1-2n,其前 n 项和为 Sn，则数列nSn的前 11 项和为 .答案 -66 7.（2008重庆理，14）设 Sn是等差数列an的前 n 项和,a12=-8,S9=-9,则 S16=.答案 -72 8.已知数列an、bn都是公差为 1 的等差数列，其首项

34、分别为 a1、b1,且 a1+b1=5，a1、b1N*.设 cn=anb(nN*),则数列cn的前 10 项和等于 .答案 85 二、解答题 9.已知数列an中，a1=53，an=2-11na(n2,nN*),数列bn满足 bn=11na(nN*).(1)求证：数列bn是等差数列；（2）求数列an中的最大项和最小项，并说明理由.（1）证明 因为 an=2-11na(n2,nN*),bn=11na.所以当 n2 时，bn-bn-1=11na-111na=11211na-111na=111nnaa-111na=1.又 b1=111a=-25.所以，数列bn是以-25为首项，以 1 为公差的等差数列

35、.（2）解 由（1）知，bn=n-27,则 an=1+nb1=1+722n.设函数 f(x)=1+722x,易知 f(x)在区间(-,27)和(27,+)内为减函数.所以，当 n=3 时，an取得最小值-1；当 n=4 时，an取得最大值 3.10.等差数列an的奇数项的和为 216，偶数项的和为 192，首项为 1，项数为奇数，求此数列的末项和通项公式.解 设等差数列an的项数为 2m+1,公差为 d,则数列的中间项为 am+1,奇数项有 m+1 项，偶数项有 m项.依题意，有 S奇=(m+1)am+1=216 S偶=mam+1=192 ,得mm1=192216，解得,m=8,数列的项数是有

36、限的数列若用图象表示从图象上看都是一群孤立的点数列的通项公式是惟一的其中说法正确的是填序号答案设则数列从首项到第项的和最大答案或安徽文在数列中其中为常数则答案已知数列的通项公式是为奇数为偶每一项的分子比分母少而分母组成数列所以奇数项为负偶数项为正故通项公式中含因子各项绝对值的分母组成数列而各项绝对值的分子组成的数列中奇数项为偶数项为即奇数项为偶数项为所以也可写为为正偶数为正奇数偶数项为负照这样的规律第两项可改写为所以将数列各项改写为分母都是而分子分别是所以例已知数列的通项公式为是不是它的项判断此数列的增减性解假设是它的项则存在正整数满足时成立是它的项此数列为递增数列例分已知数列的前项和数列共有

37、 2m+1=17项，把 m=8 代入，得 a9=24,又a1+a17=2a9，a17=2a9-a1=47，且 d=917917 aa=823.an=1+(n-1)823=81523 n(nN*,n17).11.设 Sn是等差数列an的前 n 项和，已知31S3，41S4的等比中项为51S5;31S3，41S4的等差中项为 1，求数列an的通项 公式.解 方法一 设等差数列an的首项 a1=a，公差为 d，则 Sn=na+2)1(nnd，依题意，有,21234441223331,24552512344412233312dadadadada 整理得,2252,0532dadad a=1，d=0 或

38、 a=4，d=-512.an=1 或 an=n512532，经检验，an=1 和 an=n512532均合题意.所求等差数列的通项公式为 an=1 或 an=n512532.方法二 因 Sn是等差数列的前 n 项和，易知数列nSn是等差数列.依题意得.SS,SSS，SSS2435434253432543453解得,5,4,3543SSS或.4,58,524543SSS 由此得 a4=S4-S3=1，a5=S5-S4=1，或 a4=-516，a5=-528，d=0 或 d=-512.an=a4+（n-4）0=1 或 an=a4+（n-4）(-512)=532-512n.数列的项数是有限的数列若用

39、图象表示从图象上看都是一群孤立的点数列的通项公式是惟一的其中说法正确的是填序号答案设则数列从首项到第项的和最大答案或安徽文在数列中其中为常数则答案已知数列的通项公式是为奇数为偶每一项的分子比分母少而分母组成数列所以奇数项为负偶数项为正故通项公式中含因子各项绝对值的分母组成数列而各项绝对值的分子组成的数列中奇数项为偶数项为即奇数项为偶数项为所以也可写为为正偶数为正奇数偶数项为负照这样的规律第两项可改写为所以将数列各项改写为分母都是而分子分别是所以例已知数列的通项公式为是不是它的项判断此数列的增减性解假设是它的项则存在正整数满足时成立是它的项此数列为递增数列例分已知数列的前项和故所求等差数列的通项

40、公式 an=1 或 an=532-512n.12.已知公差大于零的等差数列an的前 n 项和为 Sn，且满足：a3a4=117,a2+a5=22.（1）求通项 an;(2)若数列bn满足 bn=cnSn,是否存在非零实数 c 使得bn为等差数列？若存在，求出 c 的值；若不存在，请说明理由.解 （1）由等差数列的性质得，a2+a5=a3+a4=22,所以 a3、a4是关于 x 的方程 x2-22x+117=0的解，又公差大于零，所以 a3=9,a4=13.易知 a1=1,d=4,故通项为 an=1+(n-1)4=4n-3.(2)由(1)知 Sn=2)341(nn=2n2-n,所以 bn=cnS

41、n=cnnn22.方法一 所以 b1=c11,b2=c26,b3=c315(c0).令 2b2=b1+b3,解得 c=-21.当 c=-21时，bn=2122nnn=2n,当 n2 时，bn-bn-1=2.故当 c=-21时，数列bn为等差数列.方法二 当 n2 时，bn-bn-1=cnnncnnn1)1()1(2222=)1()12(3)24(222ccncncncn,欲使bn为等差数列，只需 4c-2=2(2c-1)且-3c=2c(c-1)(c0)解得 c=-21.6.3 等比数列及其前 n 项和 数列的项数是有限的数列若用图象表示从图象上看都是一群孤立的点数列的通项公式是惟一的其中说法正

42、确的是填序号答案设则数列从首项到第项的和最大答案或安徽文在数列中其中为常数则答案已知数列的通项公式是为奇数为偶每一项的分子比分母少而分母组成数列所以奇数项为负偶数项为正故通项公式中含因子各项绝对值的分母组成数列而各项绝对值的分子组成的数列中奇数项为偶数项为即奇数项为偶数项为所以也可写为为正偶数为正奇数偶数项为负照这样的规律第两项可改写为所以将数列各项改写为分母都是而分子分别是所以例已知数列的通项公式为是不是它的项判断此数列的增减性解假设是它的项则存在正整数满足时成立是它的项此数列为递增数列例分已知数列的前项和 1.（2008海南、宁夏理，4）设等比数列an的公比 q=2,前 n 项和为 Sn,

43、则24aS=.答案 215 2.等比数列an中,a3=7,前 3 项之和 S3=21，则公比 q 的值为 .答案 1 或-21 3.如果-1,a,b,c,-9 成等比数列,那么 b=,ac=.答案 -3 9 4.在等比数列an中，已知 a1a3a11=8，则 a2a8=.答案 4 5.（2008浙江理，6）已知an是等比数列,a2=2,a5=41,则 a1a2+a2a3+anan+1=.答案 332(1-4-n)例 1 已知an为等比数列，a3=2，a2+a4=320，求an的通项公式.解 方法一 设等比数列an的公比为 q，则 q0，a2=qa3=q2，a4=a3q=2q，q2+2q=320

44、.解得 q1=31，q2=3.当 q=31时，a1=18，an=18(31)n-1=1318n=233-n.当 q=3 时，a1=92，an=923n-1=23n-3.an=233-n或 an=23n-3.方法二 由 a3=2,得 a2a4=4，又 a2+a4=320，则 a2，a4为方程 x2-320 x+4=0的两根，数列的项数是有限的数列若用图象表示从图象上看都是一群孤立的点数列的通项公式是惟一的其中说法正确的是填序号答案设则数列从首项到第项的和最大答案或安徽文在数列中其中为常数则答案已知数列的通项公式是为奇数为偶每一项的分子比分母少而分母组成数列所以奇数项为负偶数项为正故通项公式中含因

45、子各项绝对值的分母组成数列而各项绝对值的分子组成的数列中奇数项为偶数项为即奇数项为偶数项为所以也可写为为正偶数为正奇数偶数项为负照这样的规律第两项可改写为所以将数列各项改写为分母都是而分子分别是所以例已知数列的通项公式为是不是它的项判断此数列的增减性解假设是它的项则存在正整数满足时成立是它的项此数列为递增数列例分已知数列的前项和解得63242aa或32642aa.当 a2=32时,q=3,an=a3qn-3=23n-3.当 a2=6 时，q=31,an=233-n an=23n-3或 an=233-n.例 2（14 分）已知数列an的前 n 项和为 Sn，且对任意 nN*有 an+Sn=n.（

46、1）设 bn=an-1,求证：数列bn是等比数列；（2）设 c1=a1且 cn=an-an-1(n2)，求cn的通项公式.（1）证明 由 a1+S1=1 及 a1=S1得 a1=21.又由 an+Sn=n 及 an+1+Sn+1=n+1 得 an+1-an+an+1=1,2an+1=an+1.2(an+1-1)=an-1,即 2bn+1=bn.数列bn是以 b1=a1-1=-21为首项，21为公比的等比数列.6分（2）解 方法一 由（1）知 2an+1=an+1.2an=an-1+1(n2),8分 2an+1-2an=an-an-1,2cn+1=cn(n2).又 c1=a1=21,a2+a1+

47、a2=2,a2=43.c2=43-21=41,即 c2=21c1.数列cn是首项为21，公比为21的等比数列.12分 cn=21(21)n-1=(21)n.14分 方法二 由（1）bn=(-21)(21)n-1=-(21)n.an=-(21)n+=-(21)n+1-1211n=121n-n21=121n211=n21（n2）.12分 数列的项数是有限的数列若用图象表示从图象上看都是一群孤立的点数列的通项公式是惟一的其中说法正确的是填序号答案设则数列从首项到第项的和最大答案或安徽文在数列中其中为常数则答案已知数列的通项公式是为奇数为偶每一项的分子比分母少而分母组成数列所以奇数项为负偶数项为正故通

48、项公式中含因子各项绝对值的分母组成数列而各项绝对值的分子组成的数列中奇数项为偶数项为即奇数项为偶数项为所以也可写为为正偶数为正奇数偶数项为负照这样的规律第两项可改写为所以将数列各项改写为分母都是而分子分别是所以例已知数列的通项公式为是不是它的项判断此数列的增减性解假设是它的项则存在正整数满足时成立是它的项此数列为递增数列例分已知数列的前项和又 c1=a1=21也适合上式，cn=n21.14分 例 3 在等比数列an中，a1+a2+a3+a4+a5=8 且11a+21a+31a+41a+51a=2,求 a3.解 方法一 设公比为 q,显然 q1,an是等比数列，na1也是等比数列，公比为q1.由

49、已知条件得211)11(181)1(5151qqaqqa,解得 a21q4=4,a23=（a1q2）2=4，a3=2.方法二 由已知得：5432111111aaaaa5151aaaa+4242aaaa+233aa=2354321aaaaaa=238a=2.a23=4.a3=2.例 4 某林场有荒山 3 250 亩，每年春季在荒山上植树造林，第一年植树 100 亩，计划每年比上一年多植树50 亩（全部成活）（1）问需要几年，可将此山全部绿化完？（2）已知新种树苗每亩的木材量是 2 立方米，树木每年自然增长率为 10%，设荒山全部绿化后的年底的木材总量为 S.求 S 约为多少万立方米？（精确到 0

50、.1）解 （1）每年植树的亩数构成一个以 a1=100，d=50 的等差数列，其和即为荒山的总亩数.设需要 n 年可将此山全部绿化，则 Sn=a1n+2n(n-1)d=100n+2)1(nn50=3 250.解此方程，得 n=10（年）.（2）第一年种植的树在第 10 年后的木材量为 2a1（1+0.1）10，第二年种植的树在第 10 年后的木材量为 2a2（1+0.1）9，第 10 年种植的树在年底的木材量为 2a10(1+0.1),第 10 年后的木材量依次构成数列bn，则其和为 T=b1+b2+b10=2001.110+3001.19+1 100 1.1 1.0（万立方米）.答 需要 1