三角恒等变换知识点梳理及经典高考例题及解析_中学教育-高考.pdf

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1、 三角恒等变换【考纲说明】1、掌握两角和与差的正弦、余弦、正切公式及二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系.2、能运用上述公式进行简单的三角函数化简、求值和恒等式证明.3、本部分在高考中约占 5-10分.【趣味链接】1、cos()有的时候蛮无聊的，把人家好好的 和 硬是弄得分居，结果上去调停的还是她；sin()也会做差不多的事，但他比较懒,不变号.2、tan 很寂寞很寂寞，于是数学家看不下去了，创造了 cot 陪陪他.【知识梳理】1、两角和与差的三角函数 sincoscossin)sin(；sinsincoscos)cos(；tantantan()1tantan。2、二倍角公式 co

2、ssin22sin；2222sin211cos2sincos2cos；22tantan21tan。3、半角公式 2cos12sin 2cos12cos cos1cos12tan （sincos1cos1sin2tan）4、三角函数式的化简 常用方法：直接应用公式进行降次、消项；切割化弦，异名化同名，异角化同角；三角公式的逆用等。（2）化简要求：能求出值的应求出值；使三角函数种数尽量少；使项数尽量少；尽量使分母不含三角函数；尽量使被开方数不含三角函数。（1）降幂公式 2sin21cossin；22cos1sin2；22cos1cos2.2cos1sin22 2cos1cos22（2）辅助角公式

3、22sincossinaxbxabx，2222sincosbaabab其中，.积化和差公式：)sin()sin(21cossin)sin()sin(21sincos)cos()cos(21coscos cos)cos(21sinsin 和差化积公式：2cos2sin2sinsin 2sin2cos2sinsin 2cos2cos2coscos 2sin2sin2coscos 5、三角函数的求值类型有三类（1）给角求值：一般所给出的角都是非特殊角，要观察所给角与特殊角间的关系，利用三角变换消去非特殊角，转化为求特殊角的三角函数值问题；（2）给值求值：给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角

4、函数值，解题的关键在于“变角”，如2(),()()等，把所求角用含已知角的式子表示，求解时要注意角的范围的讨论；（3）给值求角：实质上转化为“给值求值”问题，由所得的所求角的函数值结合所求角的范围及函数的单调性求得角。6、三角恒等式的证明（1）三角恒等式的证明思路是根据等式两端的特征，通过三角恒等变换，应用化繁为简、左右同一等方法，使等式两端化“异”为“同”；（2）三角条件等式的证题思路是通过观察，发现已知条件和待证等式间的关系，采用代入法、消参法或分析法进行证明。【经典例题】【例 1】求证2222tantan1cossin)sin()sin(【解析】左边22cossin)sincoscos)

5、(sinsincoscossin 222222cossinsincoscossin222222tantan1cossinsincos1右边 原式成立.【例 2】已知：sinsin(2)，求证：tan()mm11tan.【解析】由 sinm sin(2)sin()m sin()sin()coscos()sinmsin()coscos()sin(1 m)sin()cos(1 m)cos()sin tan()mm11tan【例 3】求 tan70 tan50 3tan50 tan70 的值.【解析】原式tan(70 50)(1 tan70 tan50)3tan50 tan70 3(1 tan70 t

6、an50)3tan50 tan70 33tan70 tan50 3tan50 tan70 3 原式的值为3 运用上述公式进行简单的三角函数化简求值和恒等式证明本部分在高考中约占分趣味链接有的时候蛮无聊的把人家好好的和硬是弄得分居结果上去调停的还是她也会做差不多的事但他比较懒不变号很寂寞很寂寞于是数学家看不下去降次消项切割化弦异名化同名异角化同角三角公式的逆用等化简要求能求出值的应求出值使三角函数种数尽量少使项数尽量少尽量使分母不含三角函数尽量使被开方数不含三角函数降幂公式辅助角公式其中积化和差公式和差化积公换消去非特殊角转化为求特殊角的三角函数值问题给值求值给出某些角的三角函数式的值求另外一些

7、角的三角函数值解题的关键在于变角如等把所求角用含已知角的式子表示求解时要注意角的范围的讨论给值求角实质上转化为给值【例 4】若 A、B、C是ABC的内角，cosB12,sinC 35,求 cosA 的值.【解析】cosB 12,sinB 32,又 sinC 35,cosC 45,若 cosC45,则角 C是钝角,角 B为锐角,C为锐角,而 sin(C)35,sinB 32,于是 sin(C)C,B C,矛盾,cosC 45,cosC 45,CBA 故：cos A cos(B C)(cos B cos Csin B sin C)3 3410.【例 5】已知434，04，且cossin435541

8、213 ，求cos .【解析】由已知434，得 344，420 又cossin435445 ，；由04，得442，又sinsin544 sin41213 1354cos13124sin，由 44 ，得coscos 44 53 12433coscossinsin444413 513565 .【例 6】化简：12222sincossincoscos，其中 2.【解析】原式22222224222cossincossincoscos 运用上述公式进行简单的三角函数化简求值和恒等式证明本部分在高考中约占分趣味链接有的时候蛮无聊的把人家好好的和硬是弄得分居结果上去调停的还是她也会做差不多的事但他比较懒不变

9、号很寂寞很寂寞于是数学家看不下去降次消项切割化弦异名化同名异角化同角三角公式的逆用等化简要求能求出值的应求出值使三角函数种数尽量少使项数尽量少尽量使分母不含三角函数尽量使被开方数不含三角函数降幂公式辅助角公式其中积化和差公式和差化积公换消去非特殊角转化为求特殊角的三角函数值问题给值求值给出某些角的三角函数式的值求另外一些角的三角函数值解题的关键在于变角如等把所求角用含已知角的式子表示求解时要注意角的范围的讨论给值求角实质上转化为给值 222coscossinsincoscossincoscoscos2222222222 coscoscos222 ，22220cos 原式coscoscoscos

10、22【例 7】求证：121122sinc oscossintantanxxxxxx【解析】右边11sincossincoscossincossinxxxxxxxx22222cossincossin2sincoscossincossincossinxxxxxxxxxxxx 2212sincoscossinxxxx左边 原命题成立 【例 8】平面直角坐标系内有点 PxQxx1144，coscos.（1）求向量OP与OQ的夹角的余弦；（2）求cos的最值。【解析】（1）OPOQxOP OQx，212cos|cos cos|coscos OPOQOPO Qxx212 （2）cos()coscoscos

11、cos fxxxxx21212 ，xx 44221cos 又213 22coscosxx 2 231f x()，即2 231cos ，coscosminmax2231.【课堂练习】1、（2007 全国）是第四象限角，cos1312，则sin=（）A.135 B.-135 C.125 D.-125 2、（2009 北京）对任意的锐角，下列不等关系中正确的是（）A.sin(+)sin+sin B.sin(+)cos+cos C.cos(+)sin sin D.cos(+)cos cos 运用上述公式进行简单的三角函数化简求值和恒等式证明本部分在高考中约占分趣味链接有的时候蛮无聊的把人家好好的和硬是

12、弄得分居结果上去调停的还是她也会做差不多的事但他比较懒不变号很寂寞很寂寞于是数学家看不下去降次消项切割化弦异名化同名异角化同角三角公式的逆用等化简要求能求出值的应求出值使三角函数种数尽量少使项数尽量少尽量使分母不含三角函数尽量使被开方数不含三角函数降幂公式辅助角公式其中积化和差公式和差化积公换消去非特殊角转化为求特殊角的三角函数值问题给值求值给出某些角的三角函数式的值求另外一些角的三角函数值解题的关键在于变角如等把所求角用含已知角的式子表示求解时要注意角的范围的讨论给值求角实质上转化为给值 3、（2008 北京）若角 满足条件 sin2 0，cos sin 0，则 在（）A.第一象限 B.第二

13、象限 C.第三象限 D.第四象限 4、（2009 福建）已知(2,)，sin=53,则 tan(4)等于（）A.71 B.7 C.71 D.7 5、(2008 海南理)0203sin702cos 10=（）A.12 B.22 C.2 D.32 6、（2010 重庆）)12sin12)(cos12sin12(cos（）A23 B 21 C21 D23 7、(2008 安徽)若 f(sinx)2cos2x，则 f(cosx)（）A.2sin2x B.2 sin2x C.2cos2x D.2cos2x 8、（2010 北京）在平面直角坐标系中，已知两点)20sin,20(cos),80sin,80(

14、cosBA，则|AB|的值是（）A21 B22 C23 D1 9、（2009 辽宁）已知等腰ABC的腰为底的 2 倍，则顶角A的正切值是（）32 3 158 157 10、(2007 海南)若cos 222sin4，则cossin的值为（）72 12 12 72 11、（2009 湖北）tan2010 的值为 .12、（2008 北京文）若角的终边经过点P(1,-2),则 tan 2的值为 .13、（2010 重庆）已知,均为锐角，且tan),sin()cos(则 .14、（2007 浙江理）已知1sincos5，且324，则cos2的值是 _ 15、（2010 北京）已知tan2=2，求：（

15、I）tan()4的值；（II）6sincos3sin2cos的值 16、（2012 全国）已知为第二象限角，且 sin=,415求12cos2sin)4sin(的值.运用上述公式进行简单的三角函数化简求值和恒等式证明本部分在高考中约占分趣味链接有的时候蛮无聊的把人家好好的和硬是弄得分居结果上去调停的还是她也会做差不多的事但他比较懒不变号很寂寞很寂寞于是数学家看不下去降次消项切割化弦异名化同名异角化同角三角公式的逆用等化简要求能求出值的应求出值使三角函数种数尽量少使项数尽量少尽量使分母不含三角函数尽量使被开方数不含三角函数降幂公式辅助角公式其中积化和差公式和差化积公换消去非特殊角转化为求特殊角的

16、三角函数值问题给值求值给出某些角的三角函数式的值求另外一些角的三角函数值解题的关键在于变角如等把所求角用含已知角的式子表示求解时要注意角的范围的讨论给值求角实质上转化为给值 17、（2011 福建）已知51cossin,02xxx.（）求xxcossin的值；（）求xxxtan1sin22sin2的值.18、（2010 全国）已知232,534cos求42cos的值.19、(2008 四川)求函数2474sincos4cos4cosyxxxx 的最大值与最小值.20、（2009 四川）已知0,1413)cos(,71cos且2,()求2tan的值.（）求.【课后作业】1、sincossinco

17、s15151515oooo的值为（）A.33 B.264 C.264 D.3 2、1232cossin可化为（）A.sin6 B.sin3 C.sin6 D.sin3 3、若、，02，且tantan4317，则 的值是（）A.3 B.4 C.6 D.8 4、函数yxxx 82sin coscos的周期为 T，最大值为 A，则（）A.TA，4 B.TA24，C.TA，2 D.TA22，5、已知111cossin，则sin2 的值为（）A.21 B.12 C.2 22 D.22 2 6、已知tan 13，则cossin2122（）运用上述公式进行简单的三角函数化简求值和恒等式证明本部分在高考中约占

18、分趣味链接有的时候蛮无聊的把人家好好的和硬是弄得分居结果上去调停的还是她也会做差不多的事但他比较懒不变号很寂寞很寂寞于是数学家看不下去降次消项切割化弦异名化同名异角化同角三角公式的逆用等化简要求能求出值的应求出值使三角函数种数尽量少使项数尽量少尽量使分母不含三角函数尽量使被开方数不含三角函数降幂公式辅助角公式其中积化和差公式和差化积公换消去非特殊角转化为求特殊角的三角函数值问题给值求值给出某些角的三角函数式的值求另外一些角的三角函数值解题的关键在于变角如等把所求角用含已知角的式子表示求解时要注意角的范围的讨论给值求角实质上转化为给值 A.65 B.45 C.45 D.65 7、设fxx(tan

19、)tan2，则f()2（）A.4 B.45 C.23 D.43 8、2242sincos的值是（）A.sin2 B.cos2 C.32cos D.32cos 9、在ABC中，若2cossinsinBAC，则ABC的形状一定是（）A.等腰三角形 B.直角三角形 C.等腰直角三角形 D.等边三角形 10、要使斜边一定的直角三角形周长最大，它的一个锐角应是（）A.30 B.45 C.60 D.正弦值为13的锐角 11、已知向量 OB20，向量 OC22，向量CA22cossin，则向量OA与OB的夹角范围为（）A.04，B.4512，C.5122，D.12512，12、已知：3250coscos，则

20、tantan的值为（）A.4 B.4 C.4 D.1 13、已知sincos13，则cos4_.14、函数yxxx2212sin cossin的最小正周期为_.15、已知 6，且、满足关系式3230tantantantan a，则tan_.16、已知f xxx()11。若2，则ff(cos)(c os)可化简为_.17、求值：tancos(tan)70103201ooo 18、已知函数fxxxx()sinsincos2312（1）求函数f x()的最小正周期；（2）求函数的最大值、最小值及取得最大值和最小值时自变量 x 的集合；（3）求函数的单调区间，并指出在每一个区间上函数的单调性.19、若

21、已知cos435171274 xx，求sinsintan2212xxx的值.运用上述公式进行简单的三角函数化简求值和恒等式证明本部分在高考中约占分趣味链接有的时候蛮无聊的把人家好好的和硬是弄得分居结果上去调停的还是她也会做差不多的事但他比较懒不变号很寂寞很寂寞于是数学家看不下去降次消项切割化弦异名化同名异角化同角三角公式的逆用等化简要求能求出值的应求出值使三角函数种数尽量少使项数尽量少尽量使分母不含三角函数尽量使被开方数不含三角函数降幂公式辅助角公式其中积化和差公式和差化积公换消去非特殊角转化为求特殊角的三角函数值问题给值求值给出某些角的三角函数式的值求另外一些角的三角函数值解题的关键在于变角

22、如等把所求角用含已知角的式子表示求解时要注意角的范围的讨论给值求角实质上转化为给值 20、已知、为锐角，且3213222022sinsinsinsin，.求证：22【参考答案】【课堂练习】1、B 2、D 3、B 4、A 5、C 6、D 7、D 8、D 9、D 10、C 11、33 12、43 13、1 14、725 15、解：（I）因为tan2,2 所以3441222tan122tantan2，所以（I）tantantan14tan()41tan1tantan44113.4713 （II）6sincos3sin2cos=6723431)34(-623tan16tan 16、解：2cos2cos

23、sin2)cos(sin2212cos2sin)4sin(.)cos(sincos4)cos(sin2 当为第二象限角，且415sin时41cos，0cossin，所以12cos2sin)4sin(=.2cos42 17、解：()由1sincos5xx,得221(sincos)()5xx,得 2sinxcosx=2425,(sinx-cosxx)2=1-2sinxcosx=4925,又0,2x sinx0,sinx cosx=75()1752457512524)cos(sin)cos(sincossin2cossin1sin2cossin2tan1sin22sin22xxxxxxxxxxxxx

24、x 运用上述公式进行简单的三角函数化简求值和恒等式证明本部分在高考中约占分趣味链接有的时候蛮无聊的把人家好好的和硬是弄得分居结果上去调停的还是她也会做差不多的事但他比较懒不变号很寂寞很寂寞于是数学家看不下去降次消项切割化弦异名化同名异角化同角三角公式的逆用等化简要求能求出值的应求出值使三角函数种数尽量少使项数尽量少尽量使分母不含三角函数尽量使被开方数不含三角函数降幂公式辅助角公式其中积化和差公式和差化积公换消去非特殊角转化为求特殊角的三角函数值问题给值求值给出某些角的三角函数式的值求另外一些角的三角函数值解题的关键在于变角如等把所求角用含已知角的式子表示求解时要注意角的范围的讨论给值求角实质上

25、转化为给值 18、解：).2sin2(cos224sin2sin4cos2cos)42cos(252453)54(2)4cos()4sin(2)22sin(2cos.54)53(1)4(cos1)4sin(,47423,0)4cos(,4744322从而由此知 50231)2572524(22)42cos(.257)53(21)4(cos21)22cos(2sin22 19、解：2474sincos4cos4cosyxxxx 2272sin 24cos1 cosxxx 2272sin 24cossinxxx 272sin 2sin 2xx 21 sin 26x 由于函数 216zu在 11，中

26、的最大值为 2max1 1610z；最小值为 2min1 166z 故当sin21x 时y取得最大值10，当sin21x 时y取得最小值6 20、解：（）由1cos,072，得2214 3sin1 cos177 sin4 37tan4 3cos71，于是 222tan2 4 38 3tan21tan4714 3 （）由 02，得02 又13cos14，22133 3sin1 cos11414 由 得：coscos coscossinsin 1134 33 317147142；所以3.【课后作业】1、D 2、A 3、B 4、D 5、C 6、D 7、D 8、C 9、A 10、B 11、D 12、C

27、 13、4781 14、15、3 1 a 16、2sin 运用上述公式进行简单的三角函数化简求值和恒等式证明本部分在高考中约占分趣味链接有的时候蛮无聊的把人家好好的和硬是弄得分居结果上去调停的还是她也会做差不多的事但他比较懒不变号很寂寞很寂寞于是数学家看不下去降次消项切割化弦异名化同名异角化同角三角公式的逆用等化简要求能求出值的应求出值使三角函数种数尽量少使项数尽量少尽量使分母不含三角函数尽量使被开方数不含三角函数降幂公式辅助角公式其中积化和差公式和差化积公换消去非特殊角转化为求特殊角的三角函数值问题给值求值给出某些角的三角函数式的值求另外一些角的三角函数值解题的关键在于变角如等把所求角用含已

28、知角的式子表示求解时要注意角的范围的讨论给值求角实质上转化为给值 17、解：原式sincoscossincos707010320201ooooosin703cos10cos10cos 70oooo cos10cos 203sin20cos 203cos102sin10cos102sin10sin 2030sin20 cos30cos 20sin301sin10sin10ooooooooooooooo 18、解：fxxx()cossin1223221231sin2cos 21sin 21226xxx （1）T 222（2）当2622xkkZ 即xx xkkZ|3，时，f x()max2 当262

29、2xkkZ；即xx xkkZ|6，时，f x()min0 （3）当222622kxkkZ；即kxkkZ 63时，f x()单调递增。当2226232kxkkZ；即kxkkZ 356时，f x()单调递减。故f x()的单调递增区间为kkkZ63，；单调递减区间为kkkZ356，19、，cos435171274 x3542 x，则sin445 x 从而coscosxx 44coscossinsin4444xx32422525210 ，sincostanxxx17 21072 故原式2212sin cossintanxxxx27 227 222101010281 775 20、由已知32122si

30、nsin3sin 22sin 20 2233sin12sincos 2sin 2sin 23sincos2 2cos2coscos 2sinsin 2cos3sinsin3sincos0 运用上述公式进行简单的三角函数化简求值和恒等式证明本部分在高考中约占分趣味链接有的时候蛮无聊的把人家好好的和硬是弄得分居结果上去调停的还是她也会做差不多的事但他比较懒不变号很寂寞很寂寞于是数学家看不下去降次消项切割化弦异名化同名异角化同角三角公式的逆用等化简要求能求出值的应求出值使三角函数种数尽量少使项数尽量少尽量使分母不含三角函数尽量使被开方数不含三角函数降幂公式辅助角公式其中积化和差公式和差化积公换消去非

31、特殊角转化为求特殊角的三角函数值问题给值求值给出某些角的三角函数式的值求另外一些角的三角函数值解题的关键在于变角如等把所求角用含已知角的式子表示求解时要注意角的范围的讨论给值求角实质上转化为给值 、为锐角，0232 22 运用上述公式进行简单的三角函数化简求值和恒等式证明本部分在高考中约占分趣味链接有的时候蛮无聊的把人家好好的和硬是弄得分居结果上去调停的还是她也会做差不多的事但他比较懒不变号很寂寞很寂寞于是数学家看不下去降次消项切割化弦异名化同名异角化同角三角公式的逆用等化简要求能求出值的应求出值使三角函数种数尽量少使项数尽量少尽量使分母不含三角函数尽量使被开方数不含三角函数降幂公式辅助角公式其中积化和差公式和差化积公换消去非特殊角转化为求特殊角的三角函数值问题给值求值给出某些角的三角函数式的值求另外一些角的三角函数值解题的关键在于变角如等把所求角用含已知角的式子表示求解时要注意角的范围的讨论给值求角实质上转化为给值