江苏省百校联考2023届高三下学期4月第三次考试数学试题（解析版）.pdf

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1、第1页/共5页 江苏省百校联考 高三年级第三次 考试数学试卷 一 选择 题：本 大题 共 8 小题，每 小题 5 分，共 40 分.在每小 题给 出的 四个 选项中，只 有一项是 符合 题目要 求的，请把 答案 填涂在 答题 卡相应 位置 上.1.已知 复数(1 2i)(1)2 i z+=+，则|z=（）A 2B.2 C.3D.32.已知 集合 121,2 0 xM xe N xx x=，则 MN=（）A.(0,1)B.(1,2)C.(0,)+D.(2,)+3.已知 na 是公差 不为 0 的等 差 数列，nb 是 等比 数列，且111 ab=，22ab=，43ab=，设n nnc ab=+，

2、则数 列 nc 的前10 项和为（）A.567 B.568 C.1078 D.10794.设 ABC 的外 接圆 的圆 心为O，半 径为 2，若2 AB AC AO+=，且 OA AC=，则向 量BA 在 向量BC 上的投 影为（）A.3 B.-3 C.3D.3 5.某学 习小 组八 名学 生在一 次 物理 测验 中的 得分（单 位：分）如 下：83,84,86,87,88,90,93,96，这八 人成绩的 第 60 百 分位 数是n.若在该 小组 随机 选取 两名 学生，则得 分都 比n低的概 率为（）A.37B.1528C.314D.9146.我 国古 代数 学名 著 九 章算术 对 立体

3、 几何 问题 有着深 入的 研究，从 其中 的一些 数学 用语 可见，譬 如“堑堵”指底 面为 直角 三角 形且侧 棱垂 直于 底面 的三 棱柱，“阳马”指 底面 是矩 形且有 一侧 棱垂 直于 底面 的四棱锥，“鳖臑”指四 个面 都是 直 角三 角形 的三 棱锥.现 有一如 图所 示的“堑堵”111ABC A B C，其中AC BC，若14 AA AB=，则“阳马”11B A ACC 体积 的最 大（）.第2页/共5页 A.163B.323C.16 D.327.已知()()1 10tan tan 2 3+=，,42，则()22 sin 2 2cos4+=（）A.310 B.25 C.15 D

4、.08.函数()sin()11xfx xx=+，则直线 22 yx=与()=yf x 的图象 的所有 交点 的横 坐标 之和 为（）A.2 B.1 C.4 D.0二 多 选题：本大 题共 4 小题，每 小题 5 分，共 20 分.在毎小 题给 出的 四个 选项中，有 多项符合 题目 要求，请把 答案填 涂在 答题卡 相应 位置上.全部 选对得 5 分，部 分选 对得 2 分，不选或有 错选 的得 0 分.9.已知 一组 数据1 2 13,xx x 构成等 差 数列，且公 差不 为 0.若去 掉数据7x，则（）A.平 均数 不变 B.中位 数不 变 C.方差 变小 D.方差 变大10.设函 数(

5、)()()2sin 0,0 fx x=+，若()()23fx f x f x=，且()fx 的最小正 周期 大于2，则（）A.3=B.()fx 是偶函 数C.()fx 在区间 0,3 上 单调 递增D.()fx 的 图象 向左 平移6个单位 长度后 得到 函数()2sin 3 gx x=的 图象11.已 知抛 物线 C：214yx=的 焦点为 F，P 为 C 上一 点，下列 说法 正确的 是（）A.C 的准 线方 程为116y=B.直线1 yx=与 C 相切C.若()0,4 M，则 PM 的 最小 值为23D.若()3,5 M，则 PMF 周 长 的最 小值为 1112.若函 数()fx 是

6、定义 域为()0,+的单调函 数，且对 任意 的()0,x+，都有()()2log 6 f fx x=，的第3页/共5页 且方程()324 2 9 12 5=+fx x x x t 在 区间(0.2上有两 个不 同解，则实 数 t 的取值 可能 为（）A.0 B.1 C.2 D.3三 填 空题：本大 题共 4 小题，每 小题 5 分，共 20 分.请把答 案填 写在 答题 卡相应 位置 上.13.已知 定义 在 R 上的 函数()fx 为奇函 数，且满 足()()13+=+f xf x.当 01 x 时，()3fx x x=，则()1162+=ff _.14.已知620,+aaxx的展开 式中

7、 所有 项的系 数和 为 64，则 展开式 中 的常 数项 为_.（用 数字作答）15.设 R k，直线1:0 l kx y k+=，直线2:2 30+=l x ky k，记12,ll 分别过 定点,AB，且1l 与2l 的交点为C，则AC BC+的 最大 值为_.16.小 王自 主创 业开 了一 家礼品 店，平常 需要 用彩 绳对礼 品盒 做一 个捆 扎（要求扎 紧绳 子不 能松 动），其中一种长 方体 的礼 品盒 一般 都是采 用“十字 捆扎”（如图 1 所示），后来 他又 学习 了一种 新的 彩绳 捆扎 方法“对角捆扎”（如 图 2 所 示），并认为“对角 捆扎”比一 般的“十字 捆扎”

8、包装 更节 省彩 绳.设 长方 体礼 品盒 的长宽高分别 为,xyz，则“十字 捆扎”所需绳 长为_；若采用“对角 捆扎”，则 所需 绳 长的 最小 值为_.（注：长 方体礼 品 盒的 高小 于长 宽，结 果用含,xyz的式 子表 示）四 解 答题：本大 题共 6 小题，共 70 分.请 在答 题卡 指定区 域内 作答，解答 时应写 出必 要的文字 说明，证明 过程 或演算 步骤.17.设各 项均 为正 数的 数列 na，记 na 的前n项 和为211 11,33+=+=n nnnSa S S a.（1）求 na 的通项 公式；（2）设()11nnbna=+，求数 列 nb 的前n项和nT.1

9、8.从 2 2cos ab B=；()22234S abc=+；23 sin()1 2sin2CAB+=+这三个 条件中 任选 一个，补 充在 下列 问题 中，并作答.记 ABC 内角,ABC 的 对边 分别为,a b c ABC 的面 积为S，已知 的第4页/共5页 _.（1）求C 的值；（2）若 4 b=，点 D 在边 AB 上，CD 为 ACB 的平 分 线，BCD 的面积 为23，求a的值.注：如 果选 择多 个条 件分 别解答，按 第一 个解 答计 分.19.如图，在 三棱 锥 A BCD 中，90 ACB=，平面 ACD 平面 ABC，4 AC BC=，2,2 3 DC AD=.（

10、1）证 明：AD 平面 BCD；（2）设点 E 在 线段 AB 上，直 线 DE 与直线 BC 所 成的 角为4，求平 面 DCE 与 平面 ACD 所成的 锐二 面角的余 弦值.20.某 学校 为学 生开 设了 一门模 具加 工课，经 过一 段时间 的学 习，拟举 行一 次模具 加工 大赛，学 生小 明小红打算 报名 参加 大赛.赛前，小 明小红 分别 进行 了为期 一 周的 封闭 强化 训练，下 表 记录 了两 人在 封闭 强化训练期 问每 天加 工模 具成 功的次 数，其中 小明 第 7 天的成 功次 数a忘了记 录，但知道36 60 a，Z a.第一天 第二天 第三天 第四天 第五天

11、第六天 第七天序号x1 2 3 4 5 6 7 小明成 功次 数 16 20 20 25 30 36 a 小红成 功次 数 16 22 25 26 32 35 35（1）求这 7 天内 小明 成功 的总次 数不 少于 小红 成功 的总次 数的 概率；（2）根 据小 明这 7 天内前 6 天 的成 功次 数，求其成 功 次数y关于序 号x的线性 回归方 程，并估 计小 明第 七天成功 次数a的值.参考公 式：回归 方程 y bx a=+中斜 率与截 距的 最小 二乘 估计 公式分 别为第5页/共5页()()()1122211,.nni i iiiinniiiix x y y x y nxyb a

12、 y bxx x x nx=参考数 据：2222221 16 2 20 3 20 4 25 5 30 6 36 582;1 2 3 4 5 6 91+=+=21.已知 椭圆 C 的焦点 为()11,0 F 和()21,0 F，且椭 圆C 经过点31,2M.（1）求 椭圆 C 的方程；（2）过点()21,0 F 直线l 与 椭圆 C 交于,PQ 两点，则在x轴上 是否 存在 定点 N，使得 NP NQ 的 值为定值？若存 在，求出 点 N 的坐标和 该定 值；若不 存在，请说 明理 由.22.已知 函数()()3213e3=+xf x ax x x，其中 a R.（1）若1ea=，判断()fx

13、的 单调 性；（2）设()fx 有且只 有两 个不 同 的极值 点12,xx.（i）求a的取 值范 围；（ii）当e4a 时，设12xx，证 明：()149024 fx.的第1页/共22页 江苏省百校联考 高三年级第三次 考试数学试卷 一 选择 题：本 大题 共 8 小题，每 小题 5 分，共 40 分.在每小 题给 出的 四个 选项中，只 有一项是 符合 题目要 求的，请把 答案 填涂在 答题 卡相应 位置 上.1.已知 复数(1 2i)(1)2 i z+=+，则|z=（）A.2B.2 C.3D.3【答案】A【解析】【分析】利 用复 数的 除法 运算法 则求 出复 数，再利 用复数 模的 公

14、式 求解 即可.【详解】()()()()2 i 1 2i2 i 5i1 1 11i1 2i 1 2i 1 2i 5z+=+=+=+=+，则 2 z=.故选：A.2.已知 集合 121,2 0 xM xe N xx x=得10 xee，函数xye=在 R 上单 调递 增，则 10 x，即 1 M xx=，又由220 xx 得 02 x，即 02 Mx x=.故选：C.3.已知 na 是公差 不为 0 的等 差 数列，nb 是 等比 数列，且111 ab=，22ab=，43ab=，设n nnc ab=+，则数 列 nc 的前10 项和为（）A.567 B.568 C.1078 D.1079【答案】

15、C【解析】【分析】设 na 公 差为d()0 d，nb 公 比为q，由111 ab=，22ab=，43ab=结合 通项 公式 建立第2页/共22页 方程组 解出d，q，即可 分组 利用求 和公 式求 出结 果.【详解】设 na 公 差为d()0 d，nb 公 比为q，由题，111 ab=，22ab=，43ab=，则111 a d bq d q+=+=，22113 13 a d bq d q+=+=，联立 可解 得 1 d=或 0 d=（舍），所以 1 d=，2 q，所以()1 11nan n=+=，1112 2nnnb=，因为n nnc ab=+，所以12nncn=+，所以 nc 的前10 项

16、和为：()()101 2 10 1 2 101 121 10 1010782 12aa a bb b+=+=，故选：C.4.设 ABC 的外 接圆 的圆 心为O，半 径为 2，若2 AB AC AO+=，且 OA AC=，则向 量BA 在 向量BC 上的投 影为（）A.3 B.-3 C.3D.3【答案】A【解析】【分析】根据 向量 关系，即 可 确定 ABC 的形状，再 根据 向量投 影的 计算 公式，即 可求得 结果.【详解】因为圆 O 为 ABC 的外 接圆，半径 为 2，若2 AB AC AO+=，故可得 ABC 是 以角 A 为直 角的 直角三 角形.又因为 OA AC=，且 外接 圆

17、半 径是 2，故可得 22 4 BC OA AC=，则2223 AB BC AC=，3cos2ABABCBC=，故向量BA 在 向量 BC 方向上 的投 影为3cos 2 3 32AB ABC=.故选：A.5.某学 习小 组八 名学 生在一 次 物理 测验 中的 得分（单 位：分）如 下：83,84,86,87,88,90,93,96，这八 人成绩的 第 60 百 分位 数是n.若在该 小组 随机 选取 两名 学生，则得 分都 比n低的概 率为（）第3页/共22页 A.37B.1528C.314D.914【答案】C【解析】【分析】首先 根据 题意 得到 88 n=，再 利用 古典 概型 公式

18、求解即 可.【详解】8 60%4.8=，故这 8 人成 绩的 第 60 百 分位 数是 从小 到大 排 列的第 5 个 数，即 88 n=，在 该小 组随 机选 取两 名学生 共有28C 28=种情 况，其中得 分都 比n低的有24C6=种，所以所 求概 率6328 14P=故选：C 6.我 国古 代数 学名 著 九 章算术 对 立体 几何 问题 有着深 入的 研究，从 其中 的一些 数学 用语 可见，譬 如“堑堵”指底 面为 直角 三角 形且侧 棱垂 直于 底面 的三 棱柱，“阳马”指 底面 是矩 形且有 一侧 棱垂 直于 底面 的四棱锥，“鳖臑”指四 个面 都是 直 角三 角形 的三 棱锥

19、.现 有一如 图所 示的“堑堵”111ABC A B C，其中AC BC，若14 AA AB=，则“阳马”11B A ACC 体积 的最 大（）A.163B.323C.16 D.32【答案】B【解析】【分析】设 BC x=，()04 x，即 可 表示出 AC，则11 112141633B A ACC A ACCV BC S x x=，利 用 基本不等 式求 出()112B A ACCV的最大 值，即可得 解.【详解】由题 意知 平面11ACC A 平面 ABC，平面11ACC A 平面 ABC AC=，AC BC，BC 平面 ABC，所以 BC 平面11A ACC，第4页/共22页 设 BC

20、x=，()04 x，则有22 216 AC AB BC x=，所以11 112211 44 16 1633 3B A ACC A ACCV BC S x x x x=，()04 x，所以 tan 3=，第5页/共22页 所以()22 sin 2 2cos4+=2 sin 2 cos cos 2 sin44+22cos+2sin 2 cos 2 2cos=+22 2222sin coscos sin 2cossin cos=+222 222 tan 3cos sintan 1 sin cos=+2222 tan 3 tantan 1 tan 1=+233991+=+0=.故选：D 8.函数()s

21、in()11xfx xx=+，则直线 22 yx=与()=yf x 的图象 的所有 交点 的横 坐标 之和 为（）A.2 B.1 C.4 D.0【答案】A【解析】【分析】由题 意作 出 sin()yx=和11()2(1)hx xx=的图象即 可求 解.【详解】令 2 sin()112xxxx+=，得112(sin()1)xxx=，令1()2,0 gx x xx=，21()2 0 gxx=+，故()gx 在(,0)和(0,)+上 是单 调递 增函 数，令()0 gx=，得22x=，11()2(1)hx xx=的图象 可由()gx 的 图象 向右 平移 1 个单 位长 度得 到，易知 sin()y

22、x=和11()2(1)hx xx=的图 象都 关于(1,0)中心 对称，在同一 个坐 标系 作出 sin()yx=和11()2(1)hx xx=的图象如 图所 示：第6页/共22页 易知它 们有 两个 交点11 2 2(,),(,)Ax y Bx y，且,AB 关于(1,0)中心对 称，所以122 xx+=.故选：A 二 多 选题：本大 题共 4 小题，每 小题 5 分，共 20 分.在毎小 题给 出的 四个 选项中，有 多项符合 题目 要求，请把 答案填 涂在 答题卡 相应 位置上.全部 选对得 5 分，部 分选 对得 2 分，不选或有 错选 的得 0 分.9.已知 一组 数据1 2 13,

23、xx x 构成等 差 数列，且公 差不 为 0.若去 掉数据7x，则（）A.平 均数 不变 B.中位 数不 变 C.方差 变小 D.方差 变大【答案】ABD【解析】【分析】根据 平均 数的 概念 结 合等 差数 列的 性质 判断 A，由中 位数 的概 念可判 断 B，由 方差 计算 公式即 可判断 CD.【详解】对于 选项 A，原数 据 的平 均数 为()1 131 2 13 71311()13 13 2xxx xx x x+=+=，去掉7x 后的平均数 为1 131 2 6 8 9 13 712()11()12 12 2xxx xx xxx x x x+=+=即平均 数不 变，故选项A 正

24、确；对于选 项 B，原 数据 的中位 数 为7x，去掉7x 后的中 位数 为7 681()2xx x+=，即中 位数 没变，故 选项 B 正确；对于选 项 C，则 原数 据的方 差 为()()22221 7 2 7 13 71()13s xx xx x x=+，去掉7x 后的方 差为()()()()()22 22 2217 27 67 87 1 37112s x xx x x xx x x x=+，故2s2s，即方 差变 大，故选项 C 错 误，选项 D 正确.第7页/共22页 故选：ABD.10.设函 数()()()2sin 0,0 fx x=+，且()fx 的最小 正周 期22T=，所以

25、04，则 3=，故 A 正 确对于 B，将 3=代入132k+=+，1k Z，并结合 0，解得2=，所以()2sin 3 2cos32fx x x=+=，故 B 正 确 对于 C，由 0,3x 得()3 0,x，所以 函数()fx 在区间 0,3 上 单调 递减，故 C 错误 对于 D，()2cos3 fx x=的 图象 向左 平移6个单位 长度 后得 到 2cos3 2sin 36yx x=+=的图象，故 D 错误，故选：AB 是第8页/共22页 11.已 知抛 物线 C：214yx=的 焦点为 F，P 为 C 上一 点，下列 说法 正确的 是（）A.C 的准 线方 程为116y=B.直线1

26、 yx=与 C 相切C.若()0,4 M，则 PM 的最 小值 为23D.若()3,5 M，则 PMF 的周长 的最 小值 为 11【答案】BCD【解析】【分析】将 抛物 线方 程化 为标准 式，即可 求出 焦点 坐标与 准线 方程，从 而判 断 A，联立 直线 与抛 物线方程，消 元，由 0=判断 B，设点(),Pxy，表 示出2PM，根 据二 次函 数的性 质判 断 C，根 据抛物 线 的定义转化 求出 PMF 的周 长的 最小 值，即 可判 断 D.【详解】解：抛物 线 C：214yx=，即24 xy=，所以 焦点 坐标()0,1 F，准线 方程为 1 y=，故 A错误；由2141yxy

27、x=，即24 40 xx+=，解得()24 44 0=，所以 直线1 yx=与 C 相 切，故 B 正确；设点(),Pxy，所以()()2 22224 4 16 2 12 12 x P y yy y M=+=+=+，所以min23 PM=，故 C 正 确；如图过 点 P 作 PN 准线，交 于点 N，NP PF=，()223 51 5 MF=+=，所以 5 6 11PFMC MF MP PF MF MP PN MF MN=+=+=+=，当且仅 当 M、P、N 三点共 线时 取等号，故 D 正确；为第9页/共22页 故选：BCD 12.若函 数()fx 是 定义 域为()0,+的单调函 数，且对

28、 任意 的()0,x+，都有()()2log 6 f fx x=，且方程()324 2 9 12 5=+fx x x x t 在 区间(0.2上有两 个不 同解，则实 数 t 的取值 可能 为（）A.0 B.1 C.2 D.3【答案】BC【解析】【分析】根 据题 意得 到存 在唯一 的正 实数a，满足()2log fx x a=且()6 fa=，求得 4 a=，得到()24 log fx x=，转化 为方 程()324 2 9 12 5=+fx x x x t 在区间(0,2 上有 两个不 同的 解，转化为方 程322log 2 9 12 5 xxx x t=+在区间(0,2 上有 两个 不同

29、的 解，设()322 9 12 5 gx x x x=+，求得()6(1)(2)gx x x=，得 出函 数的 单调 性与极 值，画出 函数 的图象，结 合图 象，即可 求解 t 的取值 范围.【详解】函数()fx 是定义 域为()0,+上的单 调函 数，且对 任意 的()0,x+，都有()()2log 6 f fx x=，所以 存在 唯一 的正 实数a，满足()2log fx x a=且()6 fa=，所以()2log fa a a=，即2log 6 aa=，即62aa=，所以 4 a=，所以()2log 4 fx x=，所以()24 log fx x=，因为方 程()324 2 9 12

30、5=+fx x x x t 在区间(0,2 上有 两个 不同的 解，所以方 程322log 2 9 12 5 xxx x t=+在区间(0,2 上有 两个 不同的 解，设()32 252 9 12 5 2(1)()2gx x x x x x=+=，可得()26 12 12 6(1)(2)gx x x x x=+=，当(0,1)x 时，()0 gx，()gx 单调递 增；当(1,2)x 时，()0 gx，()gx 单调递 减，又由()()1 0,2 1 gg=，画出2log yx=和()322 9 12 5 gx x x x=+的图象，如图所 示，第10页/共22 页 又由函 数()322 9

31、12 5 gx x x x=+的图象 相当 于()y gx=的图象向 上或 向下 平移 t 个单 位长度 得到，要使得322log 2 9 12 5 xxx x t=+在 区间(0,2 上有两 个不 同的解，即函数2log yx=与322log 2 9 12 5 xxx x t=+在区间(0,2 上有 两个 不同的 解，所以 02 t，所以 实数 t 的取 值可 能为1,2.故选：BC.【点睛】方 法技 巧：对于 利用导 数研 究不 等式 的恒 成立与 有解 问题 的求 解策 略：1、通 常要 构造 新函 数，利 用导数 研究 函数 的单 调性，求出 最值，从 而求 出参 数的取 值范 围；2

32、、利 用可 分离 变量，构 造 新函数，直 接把 问题 转化 为函数 的最 值问 题 3、根 据恒 成立 或有 解求 解 参数的 取值 时，一般 涉及 分离参 数法，但 压轴 试题 中很少 碰到 分离 参数 后构 造的新函 数能 直接 求出 最值 点的情 况，进行 求解，若 参变分 离不 易求 解问 题，就要考 虑利 用分 类讨 论法 和放缩法，注意 恒成 立与 存在 性问题 的区 别三 填 空题：本大 题共 4 小题，每 小题 5 分，共 20 分.请把答 案填 写在 答题 卡相应 位置 上.13.已知 定义 在 R 上的 函数()fx 为奇函 数，且满 足()()13+=+f xf x.当

33、 01 x 时，()3fx x x=，则()1162+=ff _.【答案】38【解析】【分析】利用 周期 性和 奇偶 性 可把11()2f 转化到 已知 范围 0,1 上，代 入表 达式 可求，()()6 00 ff=，即可求 出答 案.【详解】函数()fx 为定义 在 R 上的奇函 数，所以()()f x fx=，()()13+=+f xf x，所以()()()31 2 fx f x fx=+=+，所以 2 为()fx 的周 期，第11 页/共22 页 所以311 1 1 1 1 3()2 2 2 2 28ff f=，()()6 00 ff=，故答案 为：38.14.已知620,+aaxx的

34、展开 式中 所有 项的系 数和 为 64，则 展开式 中 的常 数项 为_.（用 数字作答）【答案】15【解析】【分析】首先 根据 系数 和求a，再根 据二 项展 开式 通项公式 求常 数项.【详解】依题 意，令 1 x=，则()61 64 a+=，得 1 a=，621xx+的展开 式的 通项 公式 为()62 12 316 61CCrrr rrrTx xx+=，令12 3 0 r=，得 4 r=，所有展 开式 的常 数项 为4266C C 15=.故答案 为：15 15.设 R k，直线1:0 l kx y k+=，直线2:2 30+=l x ky k，记12,ll 分别过 定点,AB，且1

35、l 与2l 的交点为C，则AC BC+的 最大 值为_.【答案】4【解析】【分析】根据 题意 得到 直线1l 恒过 定点(1,0)A，直线2l 恒过定 点(3,2)B，以及 直线1l 与2l 的斜 率，得到12ll，求得228 AC BC+=，结合2221()()22AC BCAC BC+，即可 求解.【详解】由直 线1:0 l kx y k+=，可 化为(1)0 kx y+=，可直 线1l 恒过定 点(1,0)A，直线2:2 30+=l x ky k，可化 为 3(2)0 x ky=，可得 直线2l 恒过定 点(3,2)B，又由直 线1l 的斜率 为 k，直线2l 的斜率 为1k，因为11

36、kk=，所以12ll，因为1l 与2l 的交 点为C，所以2228 AC BC AB+=，的 第12页/共22 页 学科网（北京）股份有 限公司 又由2221()()422AC BCAC BC+=，所以 22AC BC+，即 4 AC BC+，当且仅 当 AC BC=时，等 号成 立，所以AC BC+的最大 值为 4.故答案 为：4.16.小 王自 主创 业开 了一 家礼品 店，平常 需要 用彩 绳对礼 品盒 做一 个捆 扎（要求扎 紧绳 子不 能松 动），其中一种长 方体 的礼 品盒 一般 都是采 用“十字 捆扎”（如图 1 所示），后来 他又 学习 了一种 新的 彩绳 捆扎 方法“对角捆扎

37、”（如 图 2 所 示），并认为“对角 捆扎”比一 般的“十字 捆扎”包 装更 节省 彩绳.设 长方 体礼 品盒 的长宽高分别 为,xyz，则“十字 捆扎”所需绳 长为_；若采用“对角 捆扎”，则 所需 绳 长的 最小 值为_.（注：长 方体礼 品 盒的 高小 于长 宽，结 果用含,xyz的式 子表 示）【答案】.224+xyz.22(2 2)(2 2)+xz yz【解析】【分析】利用 长方 体的 结构 特 征计 算即 可得“十 字捆扎”所需 绳长；将长 方体 按照“对角 捆扎”路 径展 开，求出两点间 距离 作答.【详解】依题 意，“十 字捆扎”所需 绳长 为 224+xyz；当采用“对角

38、捆扎”时，将 长方体 沿着 捆绑 路径 展开，如图，观察图 形知，“对角 捆扎”所需绳 长 L AB BC CD DE EF FG GH HA AA=+，当且仅 当展 开图 中，点,ABCDEFGH 共线时取 等号，在 Rt AOA 中，2 2,2 2 AO x z A O y z=+=+，因此第13页/共22 页 22 2 2(2 2)(2 2)AA AO A O x z y z=+=+，所以“对角 捆扎”所需 绳长 的最小 值为22(2 2)(2 2)+xz yz.故答案 为：224+xyz；22(2 2)(2 2)+xz yz【点睛】关键 点睛：涉 及空 间图形 中几 条线 段和 最小

39、的问题，把相 关线 段所 在 的平面 图形 展开 并放 在同 一平面内，再利 用两 点之 间线 段最短 解决 是关 键.四 解 答题：本大 题共 6 小题，共 70 分.请 在答 题卡 指定区 域内 作答，解答 时应写 出必 要的文字 说明，证明 过程 或演算 步骤.17.设各 项均 为正 数的 数列 na，记 na 的前n项 和为211 11,33+=+=n nnnSa S S a.（1）求 na 通项公 式；（2）设()11nnbna=+，求数 列 nb 的前n项和nT.【答案】（1）13nan=（2）31nnTn=+【解析】【分析】（1）由2113nnnSSa+=可得()2132nn n

40、S S an+=，两 式相减，即 可证 明数 列 na 为等差数列，由 等差 数列 的通 项公 式求解 即可；（2）由（1）求出nb，再由 裂项相 消法 求和 即可 得出 答案.【小问 1 详解】由()211213,3 2,nnnnn nSSaS S an+=+=，两 式相 减得()()()1 1132+=+nn nn nna a a aa an，()110,23n nna aa n+=，当 1 n=时，221 23 SS a+=，且113a=，2229 3 20=aa，得223a=（2103a=舍去)，.21211333aa=，数列 na 为等差 数列，公 差为13，13nan=.【小问 2

41、 详解】的第14页/共22 页 由（1）及 题意 可得()1 1131113=+nbnnnn.123 nnT bbb b=+1 11 11 1 1312 23 34 1=+nn133111nnn=+.18.从 2 2cos ab B=；()22234S abc=+；23 sin()1 2sin2CAB+=+这三个 条件中 任选 一个，补 充在 下列 问题 中，并作答.记 ABC 的 内角,ABC 的对边 分 别为,a b c ABC 的面积 为S，已知_.（1）求C 的值；（2）若 4 b=，点 D 在边 AB 上，CD 为 ACB 的平 分 线，BCD 的面积 为23，求a的值.注：如 果选

42、 择多 个条 件分 别解答，按 第一 个解 答计 分.【答案】（1）3（2）4【解析】【分析】（1）选，由余 弦定理 化简 即可 得出 答案；选，由 余弦 定理 结合 三角形 的面 积公 式化 简即 可得出答案；选，由二 倍角 的正弦 公式、两 角和 的正 弦公式 结合 三角 恒等 变换 即可得 出答 案；（2）由 题意 可得ABC ACD BCDSSS=+，利用 三 角形的 面积 公式 即可 求出a的值.【小问 1 详解】选，2 2 cos=ab c B，则由余 弦定 理可 得222222acbab cac+=，整理 可得222a b c ab+=，可得2221cos22abcCab+=.因

43、为()0,C，所以3C=.选，()22234S abc=+.第15页/共22 页 可得()22231sin24+=abcab C，即()2223sin 3cos2+=abcCCab.所以tan 3 C=.因为()0,C，可得3C=.选，()23sin 1 2sin2+=+CAB.可得3sin 2 cos=CC.可得2sin 26C+=，可得sin 16C+=.因为()7 0,6 66CC+，所以 62C+=，可得3C=.【小问 2 详解】在 ABC 中，ABC ACD BCDSSS=+.可得111sin sin sin222+=BC CD BCD CA CD ACD CA CB ACB，可得

44、314CD a a CD+=又1234CDBS a CD=由 可得22 80 aa=，解得 4 a=或 2 a=（舍 去），所以a的 值为 4.19.如图，在 三棱 锥 A BCD 中，90 ACB=，平面 ACD 平面 ABC，4 AC BC=，2,2 3 DC AD=.（1）证 明：AD 平面 BCD；（2）设点 E 在 线段 AB 上，直 线 DE 与直线 BC 所 成的 角为4，求平 面 DCE 与 平面 ACD 所成的 锐二 面角的余 弦值.【答案】（1）证明 见解 析 第16页/共22 页（2）217【解析】【分析】（1）又 面面 垂直 的性质、勾 股定 理逆 定理 证得线 线垂

45、直，再结 合线 面垂直 的判 定定 理即 可证 明线 面垂直；（2）以 C 为坐标 原点，CA 所在 直线为x轴，CB 所 在直 线为y轴，过C 垂直于 平面 ABC 的直 线为z轴 建立空 间直 角坐 标系，根 据空间 向量 的坐标 运算 得直 线 DE 与直线 BC 所成 的角 的余 弦值，即可 得 E 的坐标，再 求解 平面 DCE 与 平面 ACD 得法向量，从 而可 得锐 二面 角的余 弦值.【小问 1 详解】证明：在 ACD 中，因 为 4,2,2 3 AC DC AD=，所以2 22AC AD CD=+，所以 AD CD.因为90 ACB=，所以 BC AC.因为平 面 ACD

46、平面 ABC，平面 ACD 平面,ABC AC BC=平面 ABC，所以 BC 平面 ACD.因为 AD 平面 ACD，所以 AD BC.又,AD CD BC CD C BC CD=平面 BCD，所以 AD 平面 BCD.【小问 2 详解】以 C 为坐 标原 点，CA 所 在直 线为x轴，CB 所 在直 线为y轴，过C 垂直于 平面 ABC 的直 线为z轴 建立空间直 角坐 标系 由题意 得()()()()4,0,0,0,4,0,0,0,0,1,0,3 ABCD，所以()()()4,4,0,0,4,0,1,0,3 AB CB CD=.第17页/共22 页 设点 E 的坐标 为()(),0,1

47、x y z AE AB=，则()()4,4,0 4,AE x y z=.所以4 4,4,0 x yz=，所以点 E 的坐 标为()4 4,4,0，所以()3 4,4,3 DE=.因为直 线 DE 与直线 BC 所 成的 角为4，()()()222162cos,24 34 4 3=+DE CBDE CBDE CB，解得12=，所以点 E 的坐 标为()2,2,0，则()2,2,0 CE=.设平面CDE 的 法向 量为()1 1 11,n xyz=，11111103022 00CD nxzxyCE n=+=+=取13 x=，可得()13,3,1=n.又平面 ACD 的 一个 法向 量为()20,1

48、,0 n=所以1212123 21cos,7 1 331=+nnnnnn，所以平 面 DCE 与平面 ACD 所成 的锐 二面角 的余 弦值 为217.20.某学 校为 学 生开 设了 一门模 具加 工课，经 过一 段时间 的学 习，拟举 行一 次模具 加工 大赛，学 生小 明小红打算 报名 参加 大赛.赛前，小 明小红 分别 进行 了为期 一 周的 封闭 强化 训练，下 表 记录 了两 人在 封闭 强化训练期 问每 天加 工模 具成 功的次 数，其中 小明 第 7 天的成 功次 数a忘了记 录，但知道36 60 a，Z a.第一天 第二天 第三天 第四天 第五天 第六天 第七天序号x1 2

49、3 4 5 6 7 小明成 功次 数 16 20 20 25 30 36 a 小红成 功次 数 16 22 25 26 32 35 35 第18页/共22 页（1）求这 7 天内 小明 成功 的总次 数不 少于 小红 成功 的总次 数的 概率；（2）根 据小 明这 7 天内前 6 天 的成 功次 数，求其成 功 次数y关于序 号x的线性 回归方 程，并估 计小 明第 七天成功 次数a的值.参考公 式：回归 方程 y bx a=+中斜 率与截 距的 最小 二乘 估计 公式分 别为()()()1122211,.nni i iiiinniiiix x y y x y nxyb a y bxx x x

50、 nx=参考数 据：2222221 16 2 20 3 20 4 25 5 30 6 36 582;1 2 3 4 5 6 91+=+=.【答案】（1）1725（2）27117yx=+，小明 第七 天成 功次数 为38【解析】【分析】（1）根 据古 典概 型算算 即可；（2）先 利用 最小 二乘 法求出 回 归方 程，再令 7 x=即可得 解.【小问 1 详解】因为36 60 a，且 Z a，所以a的 取值 共有 25 种情 况，iy、iz 分 别表 示小 明、小红第 i 天成 功次 数，又当小 明成 功的 总次 数不 少于小 红成 功的 总次 数时，在6711iiiiya z=+，即16 2