2024届湖南长沙南雅中学高三上学期入学考试数学试题含答案.pdf

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1、第 1 页 共 6 页 长沙市南雅中学长沙市南雅中学高三年级高三年级 2023 年下学期年下学期入学入学检测检测 数数 学学时量：120 分钟 分值：150 分 一、选择题：本题共一、选择题：本题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的求的1已知 z 是方程2220 xx+=的一个根，则z=（）A1 B2C3D2 2集合10Ux xx=N且，AU，BU，且AB=4，5，()UBA=1，2，3，()()UUAB=6，7，8，则B=（）A4，5，6，7 B4，5，6，9 C4，5，

2、9，10 D4，5，6，9，10 3已知函数()f x的一条对称轴为直线2x=，一个周期为 4，则()f x的解析式可能为（）Asin2x Bcos2x Csin4x Dcos4x 4椭圆222211xymm+=+（0m）的焦点为 F1，F2，上顶点为 A，若F1AF2=3，则 m=（）A1 B2 C3 D2 5二维码与生活息息相关，我们使用的二维码主要是 2121 大小的，即 441 个点，根据 0 和 1 的二进制编码，一共有 2441种不同的码，假设我们 1万年用掉 31015个二维码，那么大约可以用（）（0.301lg2，0.477lg3）A10117万年 B10118万年 C1011

3、9万年 D10200万年 6等比数列 na的前 n 项和为nS，若1010S=，2030S=，则40S=（）A60 B70 C80 D150 7某学校有男生 600 人，女生 400 人为调查该校全体学生每天的运动时间，采用分层抽样的方法获取容量为 n 的样本经过计算，样本中男生每天运动时间的平均值为 80 分钟，方差为 10；女生每天运动时间的平均值为 60 分钟，方差为 20结合数据，估计全校学生每天运动时间的方差为（）A96 B110 C112 D128 8过直线40 xy+=上一点向圆 O：221xy+=作两条切线，设两切线所成的最大角为，则sin=（）第 2 页 共 6 页 A4 2

4、9B2 29C74D78二、选择题：本题共二、选择题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得选对的得 5 分，部分选对的得分，部分选对的得 2 分，有选错的得分，有选错的得 0 分。分。9若 a，b，cR，ab，则下列不等式恒成立的是（）A22abBbaacbc+C2211abcc+Da ab b10若函数()()1xf xxe=，则（）A()f x在（0，+）上单调递增B()f x有两个零点C()f x在点（1，()1f）处切线的斜率为1D()f x是偶函数11

5、某通信工具在发送、接收信号时都会使用数字 0 或是 1 作为代码，且每次只发送一个数字由于随机因素的干扰，发出的信号 0 或 1 有可能被错误地接收为 1 或 0已知发送信号 0 时，接收成 0 或 1 的概率分别为 0.94 和 0.06；发送信号 1 时，接收成 1 或 0 的概率分别为 0.96 和 0.04假设发送信号 0 或 1 的概率是等可能的，则（）A已知两次发送的信号均为 1，则接收到的信号均为 1 的概率为()()220.50.96B在单次发送信号中，接收到 0 的概率为 0.49 C在单次发送信号中，能正确接收的概率为 0.96 D在发送三次信号后，恰有两次接收到 0 的概

6、率为()223C0.490.51 12如图，棱长为 2 的正方体 ABCDA1B1C1D1的内切球为球 O，E、F 分别是棱 AB 和棱 CC1的中点，G在棱 BC 上移动，则下列结论成立的有（）A存在点 G，使 ODEG B对于任意点 G，OA平面 EFG C直线 EF 的被球 截得的弦长为2第 3 页 共 6 页 D过直线 EF 的平面截球 所得的所有圆中，半径最小的圆的面积为2三、填空题：本题共三、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分。分。13已知向量()1,1a=，()2,4b=，若a c，()abc+，则c=_ 14若()()21ln21xf xx

7、ax=+为偶函数，则实数 a=_ 15设双曲线 C：22221xyab=（0a，0b）的右焦点为 F，以线段 OF（O 为坐标原点）为直径的圆交双曲线 C 的一条渐近线于 O、A 两点，且2OAAF=，则双曲线 C 的离心率为_ 16 已知()()10010029910001299100120232023xxaa xa xa xax+=+，若存在k0，1，2，100使得0ka，则 k 的最大值为_ 四、解答题：本题共四、解答题：本题共 6 小题，共小题，共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17（本小题满分 10 分）已知 na为等差

8、数列，11a=且公差0d，4a是2a和8a的等比中项（1）若数列 na的前 m 项和 Sm=66，求 m 的值；（2）若1a，2a，1ka，2ka，nka成等比数列，求数列 nk的通项公式 第 4 页 共 6 页 18（本小题满分 12 分）记ABC 的内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c，且()2coscosbcAaC=（1）求角 A 的大小；（2）设 BC 边上的高 AD=1，求ABC 面积的最小值19（本小题满分 12 分）如图，圆锥 P0 的高为 3，AB 是底面圆 O 的直径，PC，PD 为圆锥的母线，四边形 ABCD 是底面圆 O的内接等腰梯形，且 AB=2CD=2，点 E

9、在母线 PB 上，且 BE=2EP（1）证明：平面 AEC平面 POD；（2）求平面 AEC 与平面 EAB 的夹角的余弦值第 5 页 共 6 页 20（本小题满分 12 分）已知动圆 O1过定点 D（2，0），且在 y 轴上截得弦长为 4（1）求动圆圆心 O1的轨迹 C 的方程；（2）过点 T（0，1）的直线 l 与轨迹 C 交于 A，B 两点，若点 P（1，2）满足直线 PA 与直线 PB 的倾斜角互补，求TA TB的值 21（本小题满分 12 分）已知函数()()11 lnf xaxaxx=+（0a）（1）讨论函数()f x的单调性；（2）若()f x既有极大值又有极小值，且极大值和极小

10、值的和为()g a解不等式()22g aa22（本小题满分 12 分）航天事业是国家综合国力的重要标志，带动着一批新兴产业和新兴学科的发展某市为了激发学生对第 6 页 共 6 页 航天科技的兴趣，点燃学生的航天梦，现组织该市全体学生参加航天创新知识竞赛，并随机抽取 1000 名学生作为样本，研究其竞赛成绩经统计分析该市高中生竞赛成绩 X 近似地服从正态分布 N（，2），其中近似为样本平均数x，2近似为样本方差2s，并已求得73x=和237.5s=（1）若该市有 4 万名高中生，试估计这些高中生中竞赛成绩位于区间（66.9，85.2）的人数；（2）若规定成绩在 85.2 以上的学生等级为优秀，现

11、从全市高中生中任意抽取一个进行访谈，如果取到学生等级不是优秀，则继续抽取下一个，直至取到等级为优秀的学生为止，但抽取的总次数不超过 n如果抽取次数的期望值不超过 6，求 n 的最大值（附：37.56.1，50.9750.881，60.9750.859，70.9750.838，80.9750.817，若 XN（，2），则()0.68PX+=，()220.95PX+=）长沙市南雅中学长沙市南雅中学 2024 届高三入学考试数学试题【教师版】届高三入学考试数学试题【教师版】一选择题：本题共一选择题：本题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分分.在每小题给出的四个选项中，只有一项

12、是符合题目要求的在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知 z 是方程 x22x+2=0 的一个根，则|z|=（）A.1B.2C.3D.2【答案】【答案】B【详解】因为方程 x22x+2=0 是实系数方程，且224 240 ，所以该方程有两个互为共轭复数的两个虚数根，即1,222i1 i2z，即221 i1 i112zzz ，故选：B2.集合=|10 且 N，且 =4,5，()=1,2,3，()()=6,7,8，则=（）A 4,5,6,7B 4,5,6，9C 4,5,9,10D 4,5,6,9,10【答案】【答案】C【详解】作出 Venn 图如图所示，则=1,2,3,4,5，

13、=4,5,9,10故选：C3.已知函数 f（x）的一条对称轴为直线 x2，一个周期为 4，则 f（x）的解析式可能为（）Asin(2x)Bcos(2x)Csin(4x)Dcos(4x)【答案】B4.椭圆22+1+22=1（m0）的焦点为 F1，F2，上顶点为 A，若F1AF2=3，则 m（）A1B 2C 3D2答案答案 C；解：由题可得 c=2+1 2=1，bm，又因为F1AF2=3，可得F1AO=6，可得 tanF1AO=1=33，解得 m=3故选：C5.二维码与生活息息相关，我们使用的二维码主要是 21 21 大小的，即 441 个点，根据 0和 1 的二进制编码，一共有2441种不同的码

14、，假设我们 1 万年用掉 3 1015个二维码，那么大约可以用（）（lg2 0.301，lg3 0.477）A10117万年B10118万年C10119万年D10200万年【答案】A【详解】1 万年用掉 3 1015个二维码，大约能用244131015万年，设=244131015，则 lg=lg244131015=lg2441(lg3+lg1015)=441lg2 lg3 15 441 0.301 0.477 15 117，即 10117万年故选：A6.等比数列 na的前 n 项和为nS，若1010S，2030S，则40S（）A60B70C80D150【答案】【答案】D【详解】因为 na是等比

15、数列，所以10201030204030,SSSSSSS成等比数列，又因为1010S，2030S，201020SS，则302040SS，403080SS，所以3070S，40150S.7.某学校有男生 600 人，女生 400 人为调查该校全体学生每天的运动时间，采用分层抽样的方法获取容量为的样本经过计算，样本中男生每天运动时间的平均值为 80 分钟，方差为 10；女生每天运动时间的平均值为 60 分钟，方差为 20结合数据，估计全校学生每天运动时间的方差为（）A96B110C112D128【答案】【答案】B【详解】由题意，按分层抽样方式抽取样本，且该校女、男学生比例为400600=23，不妨设

16、抽取女、男学生分别为 2，3，则总数为 5，则所有样本平均值为15(80 3+60 2)=72，所以方差为35 10+(80 72)2+25 20+(60 72)2=110故选：B8.过直线+4=0 上一点向圆 O：2+2=1 作两条切线，设两切线所成的最大角为，则 sin=（）A4 29B2 29C74D78【答案】【答案】C【详解】由圆:2+2=1，可得圆心为(0,0)，半径为=1，设是直线+4=0 的动点，自向圆作切线，当长最短时，两切线所成的角最大，即是圆心到直线的距离时，两切线所成的角最大，由点到直线的距离公式可得=|0+04|2=2 2，sin2=12 2，0 2b，则下列不等式恒

17、成立的是（）Aa2b2B|+|C2+12+1Da|a|b|b|【答案】【答案】BCD【详解】当 a=1，b=2 时，满足 ab，但 a20，ab，由不等式性质得2+12+1，C 正确；因为 f(x)=x|x|单调递增，所以 a|a|b|b|恒成立，D 正确，故选：BCD10.若函数()x(1)，则（）A()在（0，+）上单调递增B()有两个零点C()在点(1，f(1)处切线的斜率为1D()是偶函数【答案】【答案】AC；【解析】对于 D：既不是奇函数也不是偶函数，故 D 错误；对于 B：令 f（x）0，解得：x0，故 B 错；对于 C：f（x）(x+1)ex 1，斜率 kf（1）1，故 C 正确

18、；对于 A：x0 时，(x+1)ex1，故 f（x）0，f（x）在（0，+）递增，故 A 正确；11.某通信工具在发送、接收信号时都会使用数字 0 或是 1 作为代码，且每次只发送一个数字由于随机因素的干扰，发出的信号 0 或 1 有可能被错误地接收为 1 或 0已知发送信号0 时，接收成 0 或 1 的概率分别为 0.94 和 0.06；发送信号 1 时，接收成 1 或 0 的概率分别为0.96 和 0.04假设发送信号 0 或 1 的概率是等可能的，则（）A已知两次发送的信号均为 1，则接收到的信号均为 1 的概率为 0.52 0.962B在单次发送信号中，接收到 0 的概率为 0.49C

19、在单次发送信号中，能正确接收的概率为 0.96D在发送三次信号后，恰有两次接收到 0 的概率为C320.492 0.51【答案】【答案】BD【详解】对于选项A：两次发送的信号均为1，接收到的信号均为1的概率为 0.962，故A错误；对于选项B：在单次发送信号中，接收到0的概率为0.5 0.94+0.5 0.04=0.49，故 B 正确；对于选项 C：在单次发送信号中，能正确接收的概率为 0.5 0.94+0.5 0.96=0.95，故 C 错误；对于选项 D：由选项 B 可知：在单次发送信号中，接收到 0 的概率为 0.49，则发送三次信号后，恰有两次接收到 0 的概率C320.492 1 0

20、.49=C320.492 0.51，故 D 正确；故选：BD.12.如图，棱长为 2 的正方体 1111的内切球为球,、分别是棱和棱1的中点，在棱上移动，则下列结论成立的有（）A存在点,使B对于任意点,/平面C直线的被球截得的弦长为 2D过直线的平面截球所得的所有圆中，半径最小的圆的面积为2【答案】【答案】ACD；【解】当为中点时，1 1=，平面1，平面/平面1，1 平面1，1，同理 1，=，所以1 平面，即 平面，故 A 正确；当与重合时，在平面上，在平面外，故 B 不正确;如图，点是线段的中点，由对称性可知 ，由勾股定理可知易知=2+2=6,=2 球心到距离为=22622=22，则被球截得

21、的弦长为=2 2 2=2 1 222=2，故 C 正确;当垂直于过的平面，此时截面圆的面积最小，此时圆的半径就是=2=22，面积为=2=12，故 D 正确.故选：ACD三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。13.已知向量?=1,1，?=2,4，若?/?，?+?，则?=_【答案】3 2；【详解】设?=,，由?，?+?，得=，+6=0，解得=3，=3，所以?=3 214.若 f(x)(x+a)212+1为偶函数，则实数 a_【答案】0；【解答】(1)=(1)解得 1 a1+a，得 a015.设双曲线:2222=1(0,0)的右焦点为，以线段（为坐标原点）为直径的圆交双曲线的一

22、条渐近线于两点，且 =2 ，则双曲线的离心率为_【答案】52；解解.以线段（为坐标原点）为直径的圆交双曲线的一条渐近线于、两点，故 .又根据渐近线的斜率可得 tan=12，故离心率=1+2=52.16.已知(1+2023x)100+(2023x)100a0+a1x+a2x2+a99x99+a100 x100，若存在 k0，1，2，100使得0，则 k 的最大值为【答案】49【解答】解：二项式（1+2023x）100的通项为+1=100(2023)=1002023rxr，r0，1，2，100，二项式（2023x）100的通项为+1=1002023100()=1002023100r（1）rxr，r

23、0，1，2，100，ak=100 2023+100 2023100(1)=1002023k+2023100k(1)k，k0，1，2，100，若 ak0，则 k 为奇数，此时 ak=100（2023k2023100k），2023k2023100k0，k100k，k50，又k 为奇数，k 的最大值为 49故答案为：49四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(本小题满分本小题满分 10 分分)已知 为等差数列，1=1 且公差 0，4是2和8的等比中项.（1）若数列 的前项和=66，求的值；（2）若1，2，1，2，成等比数列，求数列 的通项公式.【详

24、解】解：（1）因为 是等差数列，所以2=1+，4=1+3，8=1+7，.1 分因为4是2和6的等比中项，所以42=2 6，.2 分所以 1+32=1+1+7，由 0 化简得=1=1.4 分所以=+12=66，解得：=11.6 分（2）又（1）问知=，.7 分因为1，2，1，2，成等比数列，所以该数列的公比=21=21=2，.8 分所以=1 2+2 1=2+1；.9 分又因为 为等差数列，所以=2+1=，所以=2+1.10 分18.（本小题满分（本小题满分 12 分分）记 的内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c，且 2 cos=cos（1）求角的大小；（2）设边上的高=1，求 面积的最小值

25、【详解】（1）由正弦定理可知：(2sin sin)cos=sincos.2 分所以 2sincos=sincos+sincos=sin(A+C)=sin.4 分又 0,，所以 sin 0，所以 cos=12.5 分因为 0,，所以=3.6 分（2）=1232=12 =12，所以=32.7 分而2=2+2 2cos60.8 分=2+2 2 .9 分所以2，当且仅当=时等号成立.10 分由两式可知，43，.11 分所以=34 33，即 面积的最小值为33.12 分19.（本小题满分（本小题满分 12 分）分）如图，圆锥的高为 3，是底面圆的直径，PC，PD 为圆锥的母线，四边形是底面圆的内接等腰梯

26、形，且=2=2，点在母线上，且=2(1)证明：平面 平面；(2)求平面与平面的夹角的余弦值【详解】（1）由已知可得/，且=1，所以四边形 OADC 为平行四边形，又因为=1，所以平行四边形 OADC 为菱形，所以 .1 分在圆锥 PO 中，因为 平面 ABCD，平面 ABCD，所以 .3 分因为 =，平面 POD，平面 POD，所以 平面 POD.5 分又因为 平面 AEC，所以平面 平面 POD.6 分（2）取 CD 中点 M，易知 平面 PAB，=2 2=32，以 O 为原点，OM，OB，OP 所在直线分别为 x 轴、y 轴、z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则 0,1,0，0,1,0

27、，0,0,3，32,12,0，.7 分因为=2，所以?=23?=230,1,3=0,23,2，所以 0,13,2，所以?=0,43,2，?=32,32,0，.8 分设平面 AEC 的一个法向量为?=,，因为?=0?=0，所以43+2=032+32=0，取?=3 3,3,2，.9 分易知平面 EAB 即平面 yOz，所以平面 EAB 的一个法向量为?=1,0,0，.10 分设平面 AEC 与平面 EAB 的夹角为，则 cos=cos?,?=?=3 327+9+41=3 3020，所以平面 AEC 与平面 EAB 的夹角的余弦值为3 3020.12 分20.（本小题满分（本小题满分 12 分）分）

28、已知动圆1过定点 2,0，且在轴上截得弦长为 4（1）求动圆圆心1的轨迹的方程；（2）过点 0,1 的直线 l 与轨迹 C 交于 A，B 两点，若点(1,2)满足直线与直线的倾斜角互补，求 的值【详解】解：（1）如图，设动圆圆心1,，由题可知 1=1，当1不在轴上时，过1作1 交于，则是的中点所以 2+22=(2)2+2，化简得2=4(0).4 分当1在轴上时，动圆1过定点 2,0，且在轴上截得弦的长为 4，所以1与原点重合，即点 0,0 也满足方程2=4，综上，动圆圆心1的轨迹的方程为2=4.5 分（2）设直线 AB 的方程为=+1，1,1,2,2,由直线与的倾斜角互补得+=0，.6 分即1

29、211+2221=121241+222241=4 1+2+41+22+2=0，1+2=4.8 分联立=+12=4得2 4+4=01+2=4，12=4，.9 分4=4，即=1，12=4.10 分 =12+1 1222+2 12=12+1222+22=1+212=1+2(124)2=2.12 分21（本小题满分（本小题满分 12 分）分）已知函数 =1 +1 ln 0(1)讨论函数 的单调性；(2)若 既有极大值又有极小值，且极大值和极小值的和为 解不等式 2 2【详解】（1）定义域 0,+，()=+12+1=2(+1)+12=(1)(1)2.1 分1 当 0 时 1 0，解得 0 0，解得 1；

30、所以 在 0,1 上单调递增，在 1,+上单调递减；.2 分2 当 0 时：当1 1 时，即 0 0，解得 0 1；令 0，解得 1 0 恒成立，所以 在 0,+上单调递增；.4 分当1 1 时，令 0，解得 0 1；令 0，解得1 1；所以 在 0,1上单调递增，1,1 上单调递减，1,+上单调递增.5 分综上所述：当 0 时，在 0,1 上单调递增，在 1,+上单调递减；当 0 1 时，在 0,1上单调递增，1,1 上单调递减，1,+上单调递增.6 分（2）由（1）知 既有极大值又有极小值时：0 且 1，.7 分且()=1+(1)=1 +(+1)ln+1=(+1)ln.8 分即：解不等式(

31、+1)ln 0 且 1）等价于解不等式：ln 2(1)+1 0)，.9 分()=14(+1)2=(1)2(+1)2 0，所以 在 0,+单调递增，.10 分且 1=0，所以 0=1，.11 分即不等式的解集为 0 1.12 分22.（本小题满分（本小题满分 12 分）分）航天事业是国家综合国力的重要标志，带动着一批新兴产业和新兴学科的发展 某市为了激发学生对航天科技的兴趣，点燃学生的航天梦，现组织该市全体学生参加航天创新知识竞赛，并随机抽取 1000 名学生作为样本，研究其竞赛成绩经统计分析该市高中生竞赛成绩近似地服从正态分布,2，其中近似为样本平均数，2近似为样本方差2，并已求得=73 和2

32、=37.5(1)若该市有 4 万名高中生，试估计这些高中生中竞赛成绩位于区间 66.9,85.2 的人数；(2)若规定成绩在 85.2 以上的学生等级为优秀，现从全市高中生中任意抽取一个进行访谈，如果取到学生等级不是优秀，则继续抽取下一个，直至取到等级为优秀的学生为止，但抽取的总次数不超过如果抽取次数的期望值不超过 6，求的最大值（附：37.5 6.1，0.9755 0.881，0.9756=0.859，0.9757=0.838，0.9758=0.817，若 ,2，则(+)=0.68，(2 +2)=0.95）【详解】（1）由题意，全市高中生航天创新知识竞赛成绩 X 近似服从正态分布 73,37

33、.5，则=73，=37.5 6.1，即 =66.9，+2=85.2，.1 分且(+2)=12(+)+12(2 +2)=0.815，即 66.9 85.2)=10.952=0.025,可知任意抽取一人，等级为优秀的概率=0.025，.6 分设抽取次数为，则的分布列如下：123n1nPp1 1 21 21 1.7 分故()=+(1 )2+(1 )2 3+(1 )2 (1)+(1 )1，.8 分又(1 )()=(1 )+(1 )2 2+(1 )3 3+(1 )1 (1)+(1 )，两式相减得：()=+(1 )+(1 )2+(1 )2+(1 )1，.9 分所以()=1+(1 )+(1 )2+(1 )2+(1 )1=1(1)1(1)=10.9750.025，.10 分而()=10.9750.025在 *时递增，结合0.9755 0.881，0.9756=0.859，0.9757=0.838，0.9758=0.817，可知：当=5 时，()=4.76；当=6 时，()=5.64；当=7 时，()=6.48；如果抽取次数的期望值不超过 6，所以的最大值为 6.12 分