课程复习重点(新)_中学教育-中考.pdf

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1、学习必备 欢迎下载 课程复习重点（一）行列式 行列式的定义：注意：二、三阶行列式的特殊计算方法；运用行列式的性质计算行列式：|A|与|AT|相等；一行乘一个常数；交换两行元素，行列式的值变号（两行元素对应成比例的行列式的值为 0）；一行乘一个常数加到另一行行列式的值不变）。（特别是）行列式按照某一行（或列）展开：(注意代数余子式1122+iiiiinina Aa Aa A，（二）矩阵及其运算 矩阵的定义及矩阵的运算：数乘矩阵：ijkAka，矩阵相乘；方阵乘积行列式的计算：|A BAB；矩阵可逆的判定：|0A，及求逆矩阵的伴随矩阵法.232 300(1)|01)ijijijAMAA如则（1*1|

2、AAA学习必备 欢迎下载（三）矩阵的初等变换及线性方程组 利用初等变换求矩阵的逆:1()()A EE A 矩阵的秩:将矩阵化为阶梯形 解线性方程组：用矩阵秩的理论研究线性方程组的解：齐次方程：非齐次方程：（四）向量组的线性相关性 向量（或向量组）B，能由向量组A线性表示的概念及判定(B)()R AR A 线性相关与线性无关的概念:11220sskkk ki可以不全为 0 则相关，全部必须为 0 则无关；及判定：相关：12(,)sRs，化为阶梯形式，阶梯的个数小于向量的个数 s;无关：12(,)sRs，化为阶梯形式，阶梯的个数等于向量的个数 s;极大无关组与秩的概念:阶梯所对应原向量组中的向量就

3、是最大无关组；秩是最大无关组的个数。基础解系及线性方程组的通解的求法:（1）()A B化为行最简型；（2）写出对应方程组（自由未知量放到等式右边）；()nR An方程组有唯一0解方程组有无穷多非0解()()nR AR ABn方程组有唯一解方程组有无穷多解114145152242452533434535xba xa xxba xa xxba xa x 行列式与相等一行乘一个常数交换两行元素行列式的值变号两行元素对应成比例的行列式的值为一行乘一个常数加到另一行行列式的值不变特别是行列式按照某一行或列展开注意代数余子式如二矩阵及其运算则矩阵的定义及矩阵的的初等变换及线性方程组利用初等变换求矩阵的逆矩

4、阵的秩将矩阵化为阶梯形解线性方程组用矩阵秩的理论研究线性方程组的解齐次方程方程组有唯一解方程组有无穷多非解非齐次方程方程组有唯一解方程组有无穷多解四向量组的须为则无关及判定相关化为阶梯形式阶梯的个数小于向量的个数化为阶梯形式阶梯的个数等于无关向量的个数极大无关组与秩的概念阶梯所对应原向量组中的向量就是最大无关组秩是最大无关组的个数基础解系及线性方程组的通解学习必备 欢迎下载 （3）取自由未知量为:求出非齐次特解 和对应齐次方程的基础解系；（4）写 出 非 齐 次 方 程 的 通 解*1 122cc （五）相似矩阵及二次型 矩阵的特征值和特征向量的概念：Axx 及性质:（1）n 阶方阵 A和它的

5、转置矩阵 AT必有相同的特征多项式和特征值；（2）12|nA；（3）()A的特征值是()；特征值与特征向量的计算：用|0AE解出的根就是特征值；用()0AE x解出的基础解析就是特征向量。相似矩阵的概念1pApB、性质及矩阵相似于对角化矩阵的充分必要条件:矩阵有 n 个线性无关的特征向量 12*300bbb 414214310aaa515225301aaa 45xx 010,001 和行列式与相等一行乘一个常数交换两行元素行列式的值变号两行元素对应成比例的行列式的值为一行乘一个常数加到另一行行列式的值不变特别是行列式按照某一行或列展开注意代数余子式如二矩阵及其运算则矩阵的定义及矩阵的的初等变换

6、及线性方程组利用初等变换求矩阵的逆矩阵的秩将矩阵化为阶梯形解线性方程组用矩阵秩的理论研究线性方程组的解齐次方程方程组有唯一解方程组有无穷多非解非齐次方程方程组有唯一解方程组有无穷多解四向量组的须为则无关及判定相关化为阶梯形式阶梯的个数小于向量的个数化为阶梯形式阶梯的个数等于无关向量的个数极大无关组与秩的概念阶梯所对应原向量组中的向量就是最大无关组秩是最大无关组的个数基础解系及线性方程组的通解学习必备 欢迎下载 二次型的概念及其矩阵表示:用对称矩阵表示二次型（注意ijx x的系数要分成两部分ijjiaa放到矩阵之中）用配方法化二次型为标准形的方法:注意：2123()xxx的展开是中各项系数要对应

7、上。习题及参考答案：（1）写出四阶行列式11121314212223243132333441424344aaaaaaaaaaaaaaaa中含有的项.补充第二行和第四行的元素，以及第一列和第三列的元素。前面乘列下标的1234(1)jjjj ：（1223344112213443,a a a aa a a a）（2）计算行列式111111aaa 解：用特殊计算方法（斜乘）：111111aaa=332aa（3）计算行列式1212301512032416 解：行列式与相等一行乘一个常数交换两行元素行列式的值变号两行元素对应成比例的行列式的值为一行乘一个常数加到另一行行列式的值不变特别是行列式按照某一行或

8、列展开注意代数余子式如二矩阵及其运算则矩阵的定义及矩阵的的初等变换及线性方程组利用初等变换求矩阵的逆矩阵的秩将矩阵化为阶梯形解线性方程组用矩阵秩的理论研究线性方程组的解齐次方程方程组有唯一解方程组有无穷多非解非齐次方程方程组有唯一解方程组有无穷多解四向量组的须为则无关及判定相关化为阶梯形式阶梯的个数小于向量的个数化为阶梯形式阶梯的个数等于无关向量的个数极大无关组与秩的概念阶梯所对应原向量组中的向量就是最大无关组秩是最大无关组的个数基础解系及线性方程组的通解学习必备 欢迎下载 12121212427301542071231203120312824161208427510501022(7530)9

9、03153015 （4）设4411176533224321D，ijA表示 A 的代数余子式，求4142AA和4443AA 解：4142123411342233203356715171110010001341310330301711761132116AA 4344123412142233220356715661001100012311312200205661661121416AA 行列式与相等一行乘一个常数交换两行元素行列式的值变号两行元素对应成比例的行列式的值为一行乘一个常数加到另一行行列式的值不变特别是行列式按照某一行或列展开注意代数余子式如二矩阵及其运算则矩阵的定义及矩阵的的初等变换及线性

10、方程组利用初等变换求矩阵的逆矩阵的秩将矩阵化为阶梯形解线性方程组用矩阵秩的理论研究线性方程组的解齐次方程方程组有唯一解方程组有无穷多非解非齐次方程方程组有唯一解方程组有无穷多解四向量组的须为则无关及判定相关化为阶梯形式阶梯的个数小于向量的个数化为阶梯形式阶梯的个数等于无关向量的个数极大无关组与秩的概念阶梯所对应原向量组中的向量就是最大无关组秩是最大无关组的个数基础解系及线性方程组的通解学习必备 欢迎下载（5）计算212310104001110120011（=821190311121）（6）已知1 1 3-2012 1 0-13-2111AB，,验证()TTTABB A.解：13()1055TT

11、TABB A（7）已知110021211A，求,3,3AA并找出A3与A的等式关系.解:311233|2712027(22 1)2701133(1)3AAA A3与A的等式关系.333|AA （8）已知ABBA，其中200012031B求A 解：1()AABBAEBB 行列式与相等一行乘一个常数交换两行元素行列式的值变号两行元素对应成比例的行列式的值为一行乘一个常数加到另一行行列式的值不变特别是行列式按照某一行或列展开注意代数余子式如二矩阵及其运算则矩阵的定义及矩阵的的初等变换及线性方程组利用初等变换求矩阵的逆矩阵的秩将矩阵化为阶梯形解线性方程组用矩阵秩的理论研究线性方程组的解齐次方程方程组有

12、唯一解方程组有无穷多非解非齐次方程方程组有唯一解方程组有无穷多解四向量组的须为则无关及判定相关化为阶梯形式阶梯的个数小于向量的个数化为阶梯形式阶梯的个数等于无关向量的个数极大无关组与秩的概念阶梯所对应原向量组中的向量就是最大无关组秩是最大无关组的个数基础解系及线性方程组的通解学习必备 欢迎下载 1030100030100200010():200 010200 010030 100001 001001 001001 00110001/200101/300001001EB200012031B则：101/20()1/300001EB，111/20()1/310002AEBB（9）已知4 阶行列式6|

13、A，求1*11|()|,|66TAA的值.解：14141415*4144111111|()|()|()|()|()|()|();666661111|()|()6|6666TTTAAAAAA AA（10）已知1111,-112PAP P,求100A.解：1001002110111101122110112-111110112-111210=01A 行列式与相等一行乘一个常数交换两行元素行列式的值变号两行元素对应成比例的行列式的值为一行乘一个常数加到另一行行列式的值不变特别是行列式按照某一行或列展开注意代数余子式如二矩阵及其运算则矩阵的定义及矩阵的的初等变换及线性方程组利用初等变换求矩阵的逆矩阵的秩

14、将矩阵化为阶梯形解线性方程组用矩阵秩的理论研究线性方程组的解齐次方程方程组有唯一解方程组有无穷多非解非齐次方程方程组有唯一解方程组有无穷多解四向量组的须为则无关及判定相关化为阶梯形式阶梯的个数小于向量的个数化为阶梯形式阶梯的个数等于无关向量的个数极大无关组与秩的概念阶梯所对应原向量组中的向量就是最大无关组秩是最大无关组的个数基础解系及线性方程组的通解学习必备 欢迎下载（11）判断矩阵111103231A是否可逆，若可逆求出其逆矩阵.解：132|301639 110111A 则矩阵可逆 132 100132100()301 010097310111 00104310113210010123601

15、1112011112043101001349100113010237001349A E 则：9437323111A（12）求矩阵33210211211111210111A的秩，并求其一个最高阶非零子式.解：1110111101111012111101311013111211201211005200123301233001421110101311001420001810A 行列式与相等一行乘一个常数交换两行元素行列式的值变号两行元素对应成比例的行列式的值为一行乘一个常数加到另一行行列式的值不变特别是行列式按照某一行或列展开注意代数余子式如二矩阵及其运算则矩阵的定义及矩阵的的初等变换及线性方程组利

16、用初等变换求矩阵的逆矩阵的秩将矩阵化为阶梯形解线性方程组用矩阵秩的理论研究线性方程组的解齐次方程方程组有唯一解方程组有无穷多非解非齐次方程方程组有唯一解方程组有无穷多解四向量组的须为则无关及判定相关化为阶梯形式阶梯的个数小于向量的个数化为阶梯形式阶梯的个数等于无关向量的个数极大无关组与秩的概念阶梯所对应原向量组中的向量就是最大无关组秩是最大无关组的个数基础解系及线性方程组的通解学习必备 欢迎下载 则()4r A，最高阶非零子式为：1110211112110123（13）将矩阵112121111030化为行最简形矩阵.解：1 1 211 1 2 11 1 2 12 11 101510151113

17、002510 0 5 11 121102 1100 3/501 0001 0 001 0 00 0 5 100 1 1/500 1 1/5（14）判断线性方程组123412341234124235223431321xxxxxxxxxxxxxxx 是否有解，若有解求其通解,并求其对应的齐次线性方程组的基础解系.（101101124321cxxxx）（15）判断线性方程组123451234512345122332222xxxxxxxxxxxxxxx是否有解，若有解求其通解,并求其对应的齐次线性方程组的基础解系.解：行列式与相等一行乘一个常数交换两行元素行列式的值变号两行元素对应成比例的行列式的值为

18、一行乘一个常数加到另一行行列式的值不变特别是行列式按照某一行或列展开注意代数余子式如二矩阵及其运算则矩阵的定义及矩阵的的初等变换及线性方程组利用初等变换求矩阵的逆矩阵的秩将矩阵化为阶梯形解线性方程组用矩阵秩的理论研究线性方程组的解齐次方程方程组有唯一解方程组有无穷多非解非齐次方程方程组有唯一解方程组有无穷多解四向量组的须为则无关及判定相关化为阶梯形式阶梯的个数小于向量的个数化为阶梯形式阶梯的个数等于无关向量的个数极大无关组与秩的概念阶梯所对应原向量组中的向量就是最大无关组秩是最大无关组的个数基础解系及线性方程组的通解学习必备 欢迎下载 11111 1111 11 121231 303013 1

19、12122 203013 111111 111111103013 10101/31 1/300000 00000001014/304/30101/31 1/3000000 则方程组的秩为 2，方程组有解。1342454/34/31/3 1/3xxxxxx 令345000 xxx 得出非齐次方程组特解为：123454/31/3000 xxxxx 令3451000,1,0001xxx 得出齐次方程组的基础解系为：110100 行列式与相等一行乘一个常数交换两行元素行列式的值变号两行元素对应成比例的行列式的值为一行乘一个常数加到另一行行列式的值不变特别是行列式按照某一行或列展开注意代数余子式如二矩阵

20、及其运算则矩阵的定义及矩阵的的初等变换及线性方程组利用初等变换求矩阵的逆矩阵的秩将矩阵化为阶梯形解线性方程组用矩阵秩的理论研究线性方程组的解齐次方程方程组有唯一解方程组有无穷多非解非齐次方程方程组有唯一解方程组有无穷多解四向量组的须为则无关及判定相关化为阶梯形式阶梯的个数小于向量的个数化为阶梯形式阶梯的个数等于无关向量的个数极大无关组与秩的概念阶梯所对应原向量组中的向量就是最大无关组秩是最大无关组的个数基础解系及线性方程组的通解学习必备 欢迎下载 24/31/3010201001则非齐次方程组的通解为：123123454/314/301/301/31010000100001xxxcccxx （

21、16）叙述向量组的最大无关组的定义：最大无关组是：12,sa aa中，有一组向量12,ra aa线性无关，并且任意1r 个向量线性相关，则12,ra aa是向量组12,sa aa的最大无关组。并求向量组：1234(2,1,3 1),(3,1,2,0),(1,3,4,2),(4,3,1,1)TTTTaaaa 的秩，并求出其一个最大无关组，将不属于最大无关组的向量用最大无关组线性表示.行列式与相等一行乘一个常数交换两行元素行列式的值变号两行元素对应成比例的行列式的值为一行乘一个常数加到另一行行列式的值不变特别是行列式按照某一行或列展开注意代数余子式如二矩阵及其运算则矩阵的定义及矩阵的的初等变换及线

22、性方程组利用初等变换求矩阵的逆矩阵的秩将矩阵化为阶梯形解线性方程组用矩阵秩的理论研究线性方程组的解齐次方程方程组有唯一解方程组有无穷多非解非齐次方程方程组有唯一解方程组有无穷多解四向量组的须为则无关及判定相关化为阶梯形式阶梯的个数小于向量的个数化为阶梯形式阶梯的个数等于无关向量的个数极大无关组与秩的概念阶梯所对应原向量组中的向量就是最大无关组秩是最大无关组的个数基础解系及线性方程组的通解学习必备 欢迎下载 解：23141133113311330551001 1232410551000001021011200001021011200000000 则2R最大无关组为21,aa，且 3124122,

23、2aaaaaa（17）判断向量组 A:1232131,1,2213 aaa和向量组B:12111,011bb是否等价.解：213111121011210031112131103111112100311100000 因为()()()2r ABr Ar B所以向量组 A:1232131,1,2213 aaa和向量组 B:12111,011bb等价 行列式与相等一行乘一个常数交换两行元素行列式的值变号两行元素对应成比例的行列式的值为一行乘一个常数加到另一行行列式的值不变特别是行列式按照某一行或列展开注意代数余子式如二矩阵及其运算则矩阵的定义及矩阵的的初等变换及线性方程组利用初等变换求矩阵的逆矩阵的秩

24、将矩阵化为阶梯形解线性方程组用矩阵秩的理论研究线性方程组的解齐次方程方程组有唯一解方程组有无穷多非解非齐次方程方程组有唯一解方程组有无穷多解四向量组的须为则无关及判定相关化为阶梯形式阶梯的个数小于向量的个数化为阶梯形式阶梯的个数等于无关向量的个数极大无关组与秩的概念阶梯所对应原向量组中的向量就是最大无关组秩是最大无关组的个数基础解系及线性方程组的通解学习必备 欢迎下载（18）叙述向量组线性相关和线性无关的定义：线性相关与线性无关的概念:11220sskkk ki可以不全为0 则相关；全部必须为 0 则无关；判定方法：相关：12(,)sRs 化为阶梯形式，阶梯的个数小于向量的个数 s;无关：12

25、(,)sRs 化为阶梯形式，阶梯的个数等于向量的个数 s;并判断向量组123(1,2,3),(1,1,2),(1,2,5)TTTaaa的线性相关性.解：因为111111111212010010325052002 所以123(1,2,3),(1,1,2),(1,2,5)TTTaaa的秩为 3，因此向量组线性无关。（19）求矩阵212533102A的特征值及对应的特征向量.解：2323223212|533102(4)(3)32(3)5(2)341(1)3(1)(1)(1 3)(1)(21)(1)0AE 行列式与相等一行乘一个常数交换两行元素行列式的值变号两行元素对应成比例的行列式的值为一行乘一个常

26、数加到另一行行列式的值不变特别是行列式按照某一行或列展开注意代数余子式如二矩阵及其运算则矩阵的定义及矩阵的的初等变换及线性方程组利用初等变换求矩阵的逆矩阵的秩将矩阵化为阶梯形解线性方程组用矩阵秩的理论研究线性方程组的解齐次方程方程组有唯一解方程组有无穷多非解非齐次方程方程组有唯一解方程组有无穷多解四向量组的须为则无关及判定相关化为阶梯形式阶梯的个数小于向量的个数化为阶梯形式阶梯的个数等于无关向量的个数极大无关组与秩的概念阶梯所对应原向量组中的向量就是最大无关组秩是最大无关组的个数基础解系及线性方程组的通解学习必备 欢迎下载 得1 为三重根；312101101(1)523022011101011

27、000A 对应方程组为1323xxxx 令31x 得特征向量为(1,1,1)T （20）将矩阵222254245A化为对角矩阵.解：222222|2540112452452242-4010(1)29249(1)(2)98110=0AE 2（）（）（）得特征值为：1231,10 当121 时：122122()24400 0244 0 00AE 对应特征向量为：1221001 2和 当3=10时：行列式与相等一行乘一个常数交换两行元素行列式的值变号两行元素对应成比例的行列式的值为一行乘一个常数加到另一行行列式的值不变特别是行列式按照某一行或列展开注意代数余子式如二矩阵及其运算则矩阵的定义及矩阵的的

28、初等变换及线性方程组利用初等变换求矩阵的逆矩阵的秩将矩阵化为阶梯形解线性方程组用矩阵秩的理论研究线性方程组的解齐次方程方程组有唯一解方程组有无穷多非解非齐次方程方程组有唯一解方程组有无穷多解四向量组的须为则无关及判定相关化为阶梯形式阶梯的个数小于向量的个数化为阶梯形式阶梯的个数等于无关向量的个数极大无关组与秩的概念阶梯所对应原向量组中的向量就是最大无关组秩是最大无关组的个数基础解系及线性方程组的通解学习必备 欢迎下载 822254234(10)2540181801 1245 0 99 0 0 0107/201 1 0 0 0AE 对应特征向量为：37/211 设123p ，则110001000

29、10p Ap 21）将二次型222123232334xxxx x化成标准形.解：解：设 32332211 yxyyxyyx 222123232221232323232222212323222123233423()3()4()()266442102xxxx xyyyyyyyyyyyyyyyyy 则标准型为：2221232102yyy 行列式与相等一行乘一个常数交换两行元素行列式的值变号两行元素对应成比例的行列式的值为一行乘一个常数加到另一行行列式的值不变特别是行列式按照某一行或列展开注意代数余子式如二矩阵及其运算则矩阵的定义及矩阵的的初等变换及线性方程组利用初等变换求矩阵的逆矩阵的秩将矩阵化为阶梯形解线性方程组用矩阵秩的理论研究线性方程组的解齐次方程方程组有唯一解方程组有无穷多非解非齐次方程方程组有唯一解方程组有无穷多解四向量组的须为则无关及判定相关化为阶梯形式阶梯的个数小于向量的个数化为阶梯形式阶梯的个数等于无关向量的个数极大无关组与秩的概念阶梯所对应原向量组中的向量就是最大无关组秩是最大无关组的个数基础解系及线性方程组的通解