角平分线的性质教案_中学教育-中学学案.pdf

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1、学习必备 欢迎下载 第十一章 角平分线的性质 一 学习目标 1.知识与技能：了解角是轴对称图形和角平分线的定义，会用尺规作一个角的平分线；掌握角平分线的性质和判定；综合应用角的平分线的性质和判定解决相关问题。2.过程与方法：通过观察，归纳作图，总结出角平分线的性质，提高学生的动手操作能力和实践能力 3.情感，态度和价值观：提高学生对数学学习的兴趣，体验数学作图的乐趣。二 重点、难点 重点：角平分线的性质和判定。难点：角平分线的性质和判定的综合应用。三 教学工具 圆规，直尺，三角板 四 教学方法 探究归纳法，实践法 六 教学过程 1.知识梳理 1）角平分线的定义 2）角平分线的尺规作法 3）角平

2、分线的性质 4）角平分线的判定 2.新授 知识点一 作角平分线 例 1：如图，已知点 C 为直线 AB 上一点，过 C 作直线 CM，使 CM AB 于 C。思路分析：由于 AB 是直线，要求作 CM AB，实际上就是要作平角 ACB 的平分线。根据角平分线的尺规作图法就可以作出直线 CM。解答过程：作法：1、以 C 为圆心，适当的长为半径画弧，与 CA、CB 分别交于点 D、E；2、分别以 D、E 为圆心，大于12DE 的长为半径画弧，使两弧交于点 M；3、作直线 CM。所以，直线 CM即为所求。学习必备 欢迎下载 解题后的思考：此题要求“大于12DE 的长为半径”的理由是：半径如果小于12

3、DE，则两弧无法相交；而半径如果等于12DE，则两弧交点位于 C 点处，无法作出直线 CM。在数学学习中，不光要知道怎么做题，还要知道为什么要这样做。小结：本题属于作图题。在解决作图题时要求做到规范地使用尺规，规范地使用作图语言，规范地按照步骤作出图形，并且作图的 痕迹要保留，不能擦掉。知识点二 角平分线的性质 角平分线上的点到角的两边的距离相等。角平分线性质的符号语言：P 在 AOB 的平分线上 PD OA 于 D，PE OB 于 E PD PE 例 2：如图，AD 是 ABC 的角平分线，DE AB，DF AC，垂足分别是,E F。连接 EF，交 AD 于点 G。说出 AD 与 EF 之间

4、有什么关系？证明你的结论。思路分析：两条线段之间的关系有长度和位置两种关系，因此我们可以从这两方面去猜测判断。角是以其平分线为对称轴的轴对称图形，此题可以利用这一点进行判断。解答过程：EF AD，且 EG FG 规作一个角的平分线掌握角平分线的性质和判定综合应用角的平分线的性质和判定解决相关问题过程与方法通过观察归纳作图总结出角平分线的性质提高学生的动手操作能力和实践能力情感态度和价值观提高学生对数学学习的兴趣 规直尺三角板四教学方法探究归纳法实践法六教学过程知识梳理角平分线的定义角平分线的尺规作法角平分线的性质角平分线的判定新授知识点一作角平分线例如图已知点为直线上一点过作直线使于思路分析由

5、于是直线要求作实际 别交于点的长为半径画弧使两弧交于点分别以为圆心大于作直线所以直线即为所求学习必备欢迎下载解题后的思考此题要求大于的长为半径的理由是半径如果小于则两弧无法相交而半径如果等于则两弧交点位于点处无法作出直线在学习必备 欢迎下载 证明：AD 平分 BAC DE AB，DF AC，垂足分别是,E F DE DF 在 Rt DEA 和 Rt DFA 中 DE DFAD AD Rt DEA Rt DFA（HL）ADE ADF 在 DGE 和 DGF 中 DE DFGDE GDFDG DG DGE DGF（SAS）EG FG，90 DGE DGF EF AD，且 EG FG。解题后的思考：

6、通过此题我们知道，证明两条线段相等，除了利用全等三角形的性质外，还可以利用角平分线的性质。这样我们又多了一种证明线段相等的办法。在利用角平分线的性质时，“角平分线”和“两个垂直”这两个条件缺一不可。例 3：如图，D 是 ABC 的外角 ACE 的平分线上一点，DF AC 于 F，DE BC 于 E，且交 BC 的延长线于 E。求证：CE CF。思路分析：由已知条件，可以利用角平分线的性质得到 DE DF。而要证明 CE CF，只要证明以它们为边的两个三角形全等即可。将两者结合起来分析就不难找到思路。解答过程：规作一个角的平分线掌握角平分线的性质和判定综合应用角的平分线的性质和判定解决相关问题过

7、程与方法通过观察归纳作图总结出角平分线的性质提高学生的动手操作能力和实践能力情感态度和价值观提高学生对数学学习的兴趣 规直尺三角板四教学方法探究归纳法实践法六教学过程知识梳理角平分线的定义角平分线的尺规作法角平分线的性质角平分线的判定新授知识点一作角平分线例如图已知点为直线上一点过作直线使于思路分析由于是直线要求作实际 别交于点的长为半径画弧使两弧交于点分别以为圆心大于作直线所以直线即为所求学习必备欢迎下载解题后的思考此题要求大于的长为半径的理由是半径如果小于则两弧无法相交而半径如果等于则两弧交点位于点处无法作出直线在学习必备 欢迎下载 CD 是 ACE 的平分线，DF AC 于 F，DE B

8、C 于 E 90 DEC DFC，DE DF 在 Rt DEC 和 Rt DFC 中 DC DCDE DF Rt DEC Rt DFC（HL）CE CF 解题后的思考：利用角平分线的性质可以证明线段相等，而线段相等可能又是证明其他结论所需要的条件。小结：运用角平分线的性质时应注意以下三个问题：（1）这里的距离指的是 点到角的两边的垂线段的长；（2）该性质可以独立作为证 明两条线段相等的依据，不需要再用全等三角形的性质；（3）使用该结论 的前提条件是图中有角平分线、有两个垂 直。知识点三 角平分线的判定 到角的两边距离相等的点在角的平分线上。角平分线判定的符号语言：PD OA 于 D，PE OB

9、 于 E 且 PD PE P 在 AOB 的平分线上（或写成 OP 是 AOB 的平分线）例 4：如图，BE CF，DF AC 于 F，DE AB 于 E，BF 和 CE 交于点 D。求证：AD 平分 BAC。思路分析：要证 AD 平分 BAC，已知条件中已经有两个垂直，即已经有点到角的两边的距离了，只要证明这两个距离相等即可。而要证明两条线段相等，可利用全等三角形的性质来证明。解答过程：规作一个角的平分线掌握角平分线的性质和判定综合应用角的平分线的性质和判定解决相关问题过程与方法通过观察归纳作图总结出角平分线的性质提高学生的动手操作能力和实践能力情感态度和价值观提高学生对数学学习的兴趣 规直

10、尺三角板四教学方法探究归纳法实践法六教学过程知识梳理角平分线的定义角平分线的尺规作法角平分线的性质角平分线的判定新授知识点一作角平分线例如图已知点为直线上一点过作直线使于思路分析由于是直线要求作实际 别交于点的长为半径画弧使两弧交于点分别以为圆心大于作直线所以直线即为所求学习必备欢迎下载解题后的思考此题要求大于的长为半径的理由是半径如果小于则两弧无法相交而半径如果等于则两弧交点位于点处无法作出直线在学习必备 欢迎下载 DF AC 于 F，DE AB 于 E 90 DEB DFC 在 BDE 和 CDF 中 DEB DFCBDE CDFBE CF BDE CDF（AAS）DE DF 又 DF A

11、C 于 F，DE AB 于 E AD 平分 BAC。解题后的思考：判定角的平分线时若题目中只给出一个条件 DE DF 或 DF AC，DE AB，那么得出 AD 平分BAC 这一结论是错误的。例 5：如图，,F G 是 OA 上两点，,M N 是 OB 上两点，且 FG MN，PFG PMNS S，试问点 P 是否在 AOB 的平分线上？思路分析：一方面，要判断点 P 是否在 AOB 的平分线上，只要判断点 P 到角的两边距离是否相等即可；另一方面，由已知条件中三角形面积和底边相等可以推导出高相等。这样已知和结论就联系起来了。解答过程：证明：过点 P 作 PD OA 于 D，PE OB 于 E

12、 12PFGS FG PD，12PMNS MN PE，而PFG PMNS S 1 12 2FG PD MN PE 又 FG MN 规作一个角的平分线掌握角平分线的性质和判定综合应用角的平分线的性质和判定解决相关问题过程与方法通过观察归纳作图总结出角平分线的性质提高学生的动手操作能力和实践能力情感态度和价值观提高学生对数学学习的兴趣 规直尺三角板四教学方法探究归纳法实践法六教学过程知识梳理角平分线的定义角平分线的尺规作法角平分线的性质角平分线的判定新授知识点一作角平分线例如图已知点为直线上一点过作直线使于思路分析由于是直线要求作实际 别交于点的长为半径画弧使两弧交于点分别以为圆心大于作直线所以直

13、线即为所求学习必备欢迎下载解题后的思考此题要求大于的长为半径的理由是半径如果小于则两弧无法相交而半径如果等于则两弧交点位于点处无法作出直线在学习必备 欢迎下载 PD PE 又 PD OA 于 D，PE OB 于 E P 在 AOB 的平分线上。解题后的思考：利用面积证明相关结论是一种常见方法。面积法有着其他方法所不具有的优势，比如它不要求考虑线段的位置关系。小结：角平分线的判定与角平分线的性质是互逆的。判定角的平分线要满足两个条件：“垂直”和“相等”。若已知“垂直”则设法证明“相等”，若已知“相等”则设法证明“垂直”。知识点四 角平分线的综合应用 例 6：如图，在 ABC 中，90 C，AD

14、平分 BAC，DE AB 于 E，F 在 AC 上，BD DF。求证：CF EB。思路分析：由已知条件很容易得到 DC DE；要证明 CF EB，只要证明其所在三角形全等即可，再由此去找全等条件。解答过程：AD 平分 BAC，90 C，DE AB DC DE 在 Rt FCD 与 Rt BED 中 DC DEDF BD Rt FCD Rt BED（HL）CF EB。解题后的思考：掌握角平分线的性质和判定固然重要，但学会分析题目所给条件更是解决问题的关键。例 7：如图，已知在 ABC 中，BD DC，1 2。求证：AD 平分 BAC。规作一个角的平分线掌握角平分线的性质和判定综合应用角的平分线的

15、性质和判定解决相关问题过程与方法通过观察归纳作图总结出角平分线的性质提高学生的动手操作能力和实践能力情感态度和价值观提高学生对数学学习的兴趣 规直尺三角板四教学方法探究归纳法实践法六教学过程知识梳理角平分线的定义角平分线的尺规作法角平分线的性质角平分线的判定新授知识点一作角平分线例如图已知点为直线上一点过作直线使于思路分析由于是直线要求作实际 别交于点的长为半径画弧使两弧交于点分别以为圆心大于作直线所以直线即为所求学习必备欢迎下载解题后的思考此题要求大于的长为半径的理由是半径如果小于则两弧无法相交而半径如果等于则两弧交点位于点处无法作出直线在学习必备 欢迎下载 思路分析：有两种方法证明 AD

16、平分 BAC：一是直接利用定义证明 BAD CAD；二是利用角平分线的判定，证明点 D 到角的两边距离相等。仔细观察，前者需要证明三角形全等，但此题使用全等条件中的“边边角”，无法证明两个三角形全等。后者通过作垂线构造出三角形，其条件足以证明两个三角形全等。解答过程：过点 D 作 DE AB 于 E，DF AC 于 F 故，90 BED CFD 在 BDE 与 CDF 中 1 2BED CFDBD CD BDE CDF（AAS）DE DF 又 DE AB 于 E，DF AC 于 F AD 平分 BAC。解题后的思考：当题目中有角平分线这一条件时，解题时常过角平分线上的点向角的两边作垂线；当有垂

17、线这一条件时，常作辅助线得到角的平分线。小结：用角平分线证明线段相等或角相等时，常常与证明三角形全等配合使用，证明时要先观察需证明的线段或角（或通过等量代换得到的线段或角）在哪两个可能全等的三角形中。提分技巧 本节课我们主要学习了角平分线的性质和判定，它们都可以通过三角形全等得出证明；这样，我们又得到了证明线段相等或角相等的一种方法。在解题中若能用它们直接得出线段或角相等时，就不需要再通过证明三角形全等来间接证明，这样可以减少这一条件麻烦。规作一个角的平分线掌握角平分线的性质和判定综合应用角的平分线的性质和判定解决相关问题过程与方法通过观察归纳作图总结出角平分线的性质提高学生的动手操作能力和实

18、践能力情感态度和价值观提高学生对数学学习的兴趣 规直尺三角板四教学方法探究归纳法实践法六教学过程知识梳理角平分线的定义角平分线的尺规作法角平分线的性质角平分线的判定新授知识点一作角平分线例如图已知点为直线上一点过作直线使于思路分析由于是直线要求作实际 别交于点的长为半径画弧使两弧交于点分别以为圆心大于作直线所以直线即为所求学习必备欢迎下载解题后的思考此题要求大于的长为半径的理由是半径如果小于则两弧无法相交而半径如果等于则两弧交点位于点处无法作出直线在学习必备 欢迎下载 在利用角平分线的性质时，可由“角平分线”和“距离”这两个条件得出线段相等，这两个条件缺一不可；同理，在利用角平分线的判定这一条

19、件时，可由“距离”和“线段相等”这两个条件得出角平分线，这两个条件也是缺一不可的。3巩固练习 练习 1，2，3.4.作业 七 板书设计 知识点清单 角平分线的性质 所学知识点 对应的习题 八 教学反思 规作一个角的平分线掌握角平分线的性质和判定综合应用角的平分线的性质和判定解决相关问题过程与方法通过观察归纳作图总结出角平分线的性质提高学生的动手操作能力和实践能力情感态度和价值观提高学生对数学学习的兴趣 规直尺三角板四教学方法探究归纳法实践法六教学过程知识梳理角平分线的定义角平分线的尺规作法角平分线的性质角平分线的判定新授知识点一作角平分线例如图已知点为直线上一点过作直线使于思路分析由于是直线要求作实际 别交于点的长为半径画弧使两弧交于点分别以为圆心大于作直线所以直线即为所求学习必备欢迎下载解题后的思考此题要求大于的长为半径的理由是半径如果小于则两弧无法相交而半径如果等于则两弧交点位于点处无法作出直线在