解三角形知识点总结及典型例题-自己总结的_中学教育-中考.pdf

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1、名师总结 优秀知识点 解三角形知识点总结及典型例题 一、知识点复习 1、正弦定理及其变形 2(sin sin sina b cR RA B C 为三角形外接圆半径）1 2 sin,2 sin,2 sin a R A b R B c R C（）(边化角公式）2 sin,sin,sin2 2 2a b cA B CR R R（）(角化边公式）3:sin:sin:sin a b c A B C（）sin sin sin(4),sin sin sina A a A b Bb B c C c C 2、正弦定理适用情况：（1）已知两角及任一边（2）已知两边和一边的对角（需要判断三角形解的情况）已知 a，b

2、 和 A，求 B 时的解的情况:如果B A sin sin，则 B 有唯一解；如果1 sin sin B A，则 B 有两解；如果1 sin B，则 B 有唯一解；如果1 sin B，则 B 无解.3、余弦定理及其推论 2 2 22 2 22 2 22 cos2 cos2 cosa b c bc Ab a c ac Bc a b ab C 2 2 22 2 22 2 2cos2cos2cos2b c aAbca c bBaca b cCab 4、余弦定理适用情况：（1）已知两边及夹角；（2）已知三边.5、常用的三角形面积公式（1）高 底 21ABCS；（2）B ca A bc C ab SAB

3、Csin21sin21sin21（两边夹一角）.6、三角形中常用结论（1）,(a b c b c a a c b 即两边之和大于第三边，两边之差小于第三边）；（2）sin sin(ABC A B a b A B 在 中，即大边对大角，大角对大边）.（3）在 ABC 中，C B A，所以C B A sin)sin(；C B A cos)cos(；C B A tan)tan(.2sin2cos,2cos2sinC B A C B A.名师总结 优秀知识点 二、典型例题 题型 1 边角互化 例 1 在ABC 中，若7:5:3 sin:sin:sin C B A，则角C的度数为【解析】由正弦定理可得7

4、:5:3:c b a，,令c b a、依次为7 5 3、，则C cos=2 2 22a b cab=2 2 23 5 72 3 5=12 因为 C 0，所以 C23 例 2 若a、b、c是ABC 的三边，2 2 2 2 2 2)()(c x a c b x b x f，则函数)(x f的图象与x轴()A、有两个交点 B、有一个交点 C、没有交点 D、至少有一个交点【解析】由余弦定理得2 2 22 cos b c a bc A，所以2 2 2()2 cos f x b x bc A x c=2 2 2 2(cos)cos bx c A c c A，因为2cos A 1,所以2 2 2cos c

5、c A 0，因此()f x 0 恒成立，所以其图像与x轴没有交点。题型 2 三角形解的个数 例 3 在ABC 中，分别根据下列条件解三角形，其中有两解的是()A、7 a，14 b，30 A；B、25 b，30 c，150 C；C、4 b，5 c，30 B；D、6 a，3 b，60 B。题型 3 面积问题 例 4 ABC 的一个内角为020 1，并且三边构成公差为4的等差数列，则ABC 的面积为【解析】设 ABC 的三边分别：4,4 x x x，C=120，由余弦定理得：0 2 2 2120 cos)4(2)4()4(x x x x x，解得：10 x，ABC 三边分别为 6、10、14，1 1

6、 3sin 6 10 15 32 2 2ABCS ab C.题型 4 判断三角形形状 例 5 在ABC 中，已知2 2 2 2()sin()()sin()a b A B a b A B,判断该三角形的形状。【解析】把已知等式都化为角的等式或都化为边的等式。方法一：2 2sin()sin()sin()sin()a A B A B b A B A B 2 22 cos sin 2 cos sin a A B b B A 由正弦定理，即知2 2sin cos sin sin cos sin A A B B B A sin sin(sin cos sin cos)0 A B A A B B sin 2

7、 sin 2 A B 由 2 2,2 0 B A，得2 2 A B 或2 2 A B,即ABC 为等腰三角形或直角三角形.公式角化边公式正弦定理适用情况已知两角及任一边已知两边和一边的对角需要判断三角形解的情况已知和求时的解的情况如果则有唯一解如果则有两解如果则有唯一解如果则无解余弦定理及其推论余弦定理适用情况已知两边及夹 在中即大边对大角大角对大边中在所以名师总结优秀知识点二典型例题题型边角互化例在中若则角的度数为解析由正弦定理可得令依次为则因为所以例若是的三边则函数的图象与轴有两个交点有一个交点没有交点至少有一个交点解 解三角形其中有两解的是题型面积问题例的一个内角为并且三边构成公差为的等

8、差数列则的面积为解析设的三边分别由余弦定理得三边分别为解得题型判断三角形形状例在中已知判断该三角形的形状解析把已知等式都化为角的等式名师总结 优秀知识点 方法二：同上可得2 22 cos sin 2 cos sin a A B b B A 由正、余弦定理，即得：2 2 2 2 2 22 22 2b c a a c ba b b abc ac 2 2 2 2 2 2 2 2()()a b c a b a c b 即2 2 2 2 2()()0 a b c a b a b 或2 2 2c a b,即ABC 为等腰三角形或直角三角形.【点拨】判断三角形形状问题，一是应用正弦定理、余弦定理将已知条件转

9、化为边与边之间的关系，通过因式分解等方法化简得到边与边关系式，从而判断出三角形的形状；（角化边）二是应用正弦定理、余弦定理将已知条件转化为角与角之间三角函数的关系，通过三角恒等变形以及三角形内角和定理得到内角之间的关系，从而判断出三角形的形状。（边化角）题型 5 正弦定理、余弦定理的综合运用 例 6 在ABC 中，,a b c分别为角C B A,.的对边，且sin sin sin()A C p B p R 且214ac b（1）当5,14p b 时，求,a c的值；（2）若角B为锐角，求p的取值范围。【解析】（1）由题设并由正弦定理，得5 1,4 4a c ac，解得，11,4a c 或1,1

10、4a c（2）由余弦定理，2 2 22 cos b a c ac B=2 2 2 2 21 1()2 2 cos cos2 2a c ac ac B p b b b B 即23 1cos2 2p B，因为1 cos 0 B，所以23(,2)2p，由题设知0 p，所以226 p.三、课堂练习：1、满足 45 A，6 c，2 a的ABC 的个数为m，则ma为.2、已知3 5,5 b a，30 A，解三角形。公式角化边公式正弦定理适用情况已知两角及任一边已知两边和一边的对角需要判断三角形解的情况已知和求时的解的情况如果则有唯一解如果则有两解如果则有唯一解如果则无解余弦定理及其推论余弦定理适用情况已知

11、两边及夹 在中即大边对大角大角对大边中在所以名师总结优秀知识点二典型例题题型边角互化例在中若则角的度数为解析由正弦定理可得令依次为则因为所以例若是的三边则函数的图象与轴有两个交点有一个交点没有交点至少有一个交点解 解三角形其中有两解的是题型面积问题例的一个内角为并且三边构成公差为的等差数列则的面积为解析设的三边分别由余弦定理得三边分别为解得题型判断三角形形状例在中已知判断该三角形的形状解析把已知等式都化为角的等式名师总结 优秀知识点 3、在 ABC 中，已知4 a cm，x b cm，60 A，如果利用正弦定理解三角形有两解，则x的取值范围是()A、4 x B、4 0 x C、33 84 x

12、D、33 84 x 4、在ABC 中，若),(412 2 2c b a S 则角 C.5、设R是ABC 外接圆的半径，且B b a C A R sin)2()sin(sin 22 2，试求ABC 面积的最大值。6、在ABC 中，D为边BC上一点，33 BD，135sin B，53cos ADC，求AD.7、在ABC 中，已知,a b c分别为角C B A,的对边，若coscosa Bb A，试确定ABC 形状。公式角化边公式正弦定理适用情况已知两角及任一边已知两边和一边的对角需要判断三角形解的情况已知和求时的解的情况如果则有唯一解如果则有两解如果则有唯一解如果则无解余弦定理及其推论余弦定理适用

13、情况已知两边及夹 在中即大边对大角大角对大边中在所以名师总结优秀知识点二典型例题题型边角互化例在中若则角的度数为解析由正弦定理可得令依次为则因为所以例若是的三边则函数的图象与轴有两个交点有一个交点没有交点至少有一个交点解 解三角形其中有两解的是题型面积问题例的一个内角为并且三边构成公差为的等差数列则的面积为解析设的三边分别由余弦定理得三边分别为解得题型判断三角形形状例在中已知判断该三角形的形状解析把已知等式都化为角的等式名师总结 优秀知识点 8、在 ABC 中，,a b c分别为角C B A,的对边，已知cos 2cos 2cosA C c aB b（1）求sinsinCA；（2）若1cos,

14、2,4B b 求ABC 的面积。四、课后作业 1、在ABC 中，若bc a c b c b a 3)(，且C B A cos sin 2 sin，则ABC 是 A、等边三角形 B、钝角三角形 C、直角三角形 D、等腰直角三角形 2、ABC 中若面积 S=)(412 2 2c b a 则角 C 3、清源山是国家级风景名胜区，山顶有一铁塔AB，在塔顶A处测得山下水平面上一点C的俯角为，在塔底B处测得点C的俯角为，若铁塔的高为h m，则清源山的高度为 m。A、)sin(cos sin h B、)sin(sin cos h C、)sin(sin sin h D、)sin(cos cos h 4、ABC

15、 的三个内角为A B C、，求当A为何值时，cos 2cos2B CA取得最大值，并求出这个最大值。5、在ABC 中，,a b c分别为角A B C、的对边，且满足sin cos c A a C（1）求角C的大小（2）求3 sin cos()4A B 的最大值，并求取得最大值时角B A,的大小。公式角化边公式正弦定理适用情况已知两角及任一边已知两边和一边的对角需要判断三角形解的情况已知和求时的解的情况如果则有唯一解如果则有两解如果则有唯一解如果则无解余弦定理及其推论余弦定理适用情况已知两边及夹 在中即大边对大角大角对大边中在所以名师总结优秀知识点二典型例题题型边角互化例在中若则角的度数为解析由正弦定理可得令依次为则因为所以例若是的三边则函数的图象与轴有两个交点有一个交点没有交点至少有一个交点解 解三角形其中有两解的是题型面积问题例的一个内角为并且三边构成公差为的等差数列则的面积为解析设的三边分别由余弦定理得三边分别为解得题型判断三角形形状例在中已知判断该三角形的形状解析把已知等式都化为角的等式