数学压轴题整理_中学教育-中考.pdf

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1、26、（济宁市）在平面直角坐标中，边长为 2 的正方形OABC的两顶点A、C分别在y轴、x轴的正半轴上，点O在原点.现将正方形OABC绕O点顺时针旋转，当A点第一次落在直线y x 上时停止旋转，旋转过程中，AB边交直线y x 于点M，BC边交x轴于点N（如图）.（1）求边OA在旋转过程中所扫过的面积；（2）旋转过程中，当MN和AC平行时，求正方形OABC旋转的度数；（3）设M B N 的周长为p，在旋转正方形OABC的过程中，p值是否有变化？请证明你的结论.提示：延长 BA 交 y 轴于点 E。第（3）问，证明 OA E OCN,OM N OME,得 MN=AM+CN.27、（宁波市）如图 1

2、，在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，点 A的坐标为(8 0)，直线 BC 经过点(8 6)B，(0 6)C，将四边形 OABC 绕点 O 按顺时针方向旋转度得到四边形OA B C，此时直线OA、直线B C 分别与直线 BC 相交于点 P、Q（1）四边形 OABC 的形状是，当90 时，BPBQ的值是；（2）如图 1，当四边形OA B C 的顶点B落在y轴正半轴时，求BPBQ的值；如图，当四边形OA B C 的顶点B落在直线BC上时，求OPB的面积（3）在四边形 OABC 旋转过程中，当0 180 时，是否存在这样的点 P 和点 Q，使12BP BQ？若存在，请直接写出点 P 的坐标；若不存在

3、，请说明理由 提示:第（3）问，过点 Q 作 QH OA于 H，连接 OQ，则 QH=OC=OC,易证 PQ=OP,设 BP=x，BQ=2x；按旋转时点 P 在点 B 左、右两种情况分类讨论。O A B C M N y x x y（Q）B A O x P A C（图 2）y B Q C B A O x P A B C（图 1）y C B A O y x（备用图）（第 27题）CEEKHDCBMABCDEF O M AA D P C B Q 图 1 D A P C B（Q）图 2 图 3 C A D P B Q(拓展练习）4.如图，正方形 AMBD 的边长为 6，C，E 分别在 AD，BD 上，

4、且 AC 2，BE 3，H、K 是对角 线 AB 上的点。若 AHC=DHB，BKE=DKA，HDK 的度数为 _ 简析:延长 DH，DK 分别交 AM,BM 于点 C,E 在 Rt CME 中,可得 C E=5 延长 MB 到 C，使 BC=2，可证 2如图 AB 是半圆 O 的直径，点 C 在 BA 的延长线上 运动（不与 A 重合），以 OC 为直径的半圆 M 与半 圆 O 交于点 D，DCB 的平分线与半圆 M 交于点 E。（1）求证：CD 是半圆 O 的切线；（2）过点 E 作 EF AB 于 F，则有 OA=2EF，请 说明理由。例 3(上海)如图 3(1),在 ABC中,ABC=

5、90,AB=4,BC=3.点 O是边 AC上的一个动点,以点 O为圆心作半圆,与边 AB相切于点D,交线段 OC于点 E.作 EP ED,交射线 AB于点 P,交射线 CB于点 F.(1)求证:ADE AEP.(2)设 OA=x,AP=y,求y关于x的函数解析式,并写出它的定义域.(3)当 BF=1时,求线段 AP的长.(上海市)已知 ABC=90，AB=2，BC=3，AD BC，P 为线段 BD上的动点，点 Q 在射线 AB 上，且满足ABADPCPQ（如图 1 所示）（1）当 AD=2，且点Q与点B重合时（如图 2 所示），求线段PC的长；（2）在图中，联结AP 当32AD，且点Q在线段A

6、B上时，设点B Q、之间的距离为x，APQPBCSyS，其中APQS表示 APQ 的面积，PBCS 表示PBC 的面积，求y关于x的函数解析式，并写出函数定义域；（3）当AD AB，且点Q在线段AB的延长线上时（如图 3 所示），求QPC 的大小(义乌)如图，在矩形 ABCD 中，AB=3,AD=1,点 P 在线段 AB 上运动，设 AP=x，现将纸片C P D E A C B 3(2)O F 点第一次落在直线上时停止旋转旋转过程中边交直线于点边交轴于点如图求边在旋转过程中所扫过的面积旋转过程中当和平行时求正方形旋转的度数设的周长为在旋转正方形的过程中值是否有变化请证明你的结论提示延长交轴于点

7、 时针方向旋转度得到四边形此时直线直线分别与直线相交于点四边形的形状是当时的值是如图当四边形的顶点落在轴正半轴时求的值如图当四边形的顶点落在直线上时求的面积在四边形旋转过程中当时是否存在这样的点和点使若存 拓展练习如图正方形的边长为分别在上且是对角线上的点若的度数为简析延长分别交于点在中可得延长到使可证如图是半圆的直径点在的延长线上运动不与重合以为直径的半圆与半圆交于点的平分线与半圆交于点求证是半圆的切线折叠，使点 D 与点 P 重合，得折痕 EF（点 E、F 为折痕与矩形边的交点），再将纸片还原。（1）当x=0时，折痕 EF 的长为#.；当点 E 与点 A 重合时，折痕 EF 的长为#.；（

8、2）请写出使四边形 EPFD 为菱形的x的取值范围，并求出当x=2时菱形的边长；（3）令2y EF，当点 E 在 AD、点 F 在 BC 上时，写出y与x的函数关系式。当y取最大值时，判断EAP与PBF是否相似？若相似，求出x的值；若不相似，请说明理由。（济宁市）如图，ABC 中，090 C，4 AC，3 BC.半径为 1 的圆的圆心P以 1个单位/s的速度由点A沿AC方向在AC上移动，设移动时间为t（单位：s）.（1）当t为何值时，P与AB相切；（2）作PD AC 交AB于点D，如果P和线段BC交于点E，证明：当165t s 时，四边形PDBE为平行四边形.（广西钦州）如图，已知抛物线 y3

9、4x2 bx c 与坐标轴交于 A、B、C 三点，A A BxyOQHPC点第一次落在直线上时停止旋转旋转过程中边交直线于点边交轴于点如图求边在旋转过程中所扫过的面积旋转过程中当和平行时求正方形旋转的度数设的周长为在旋转正方形的过程中值是否有变化请证明你的结论提示延长交轴于点 时针方向旋转度得到四边形此时直线直线分别与直线相交于点四边形的形状是当时的值是如图当四边形的顶点落在轴正半轴时求的值如图当四边形的顶点落在直线上时求的面积在四边形旋转过程中当时是否存在这样的点和点使若存 拓展练习如图正方形的边长为分别在上且是对角线上的点若的度数为简析延长分别交于点在中可得延长到使可证如图是半圆的直径点在

10、的延长线上运动不与重合以为直径的半圆与半圆交于点的平分线与半圆交于点求证是半圆的切线点的坐标为（1，0），过点 C 的直线 y34tx 3 与 x 轴交于点 Q，点 P 是线段 BC 上的一个动点，过 P 作 PH OB 于点 H若 PB 5t，且 0 t 1（1）填空：点 C 的坐标是 _ _，b _ _，c _ _；（2）求线段 QH 的长（用含 t 的式子表示）；（3）依点 P 的变化，是否存在 t 的值，使以 P、H、Q 为顶点的三角形与 COQ 相似？若存在，求出所有 t 的值；若不存在，说明理由（09 湖北宜昌）（09 湖北宜昌）已知：如图 1，把矩形纸片 ABCD 折叠，使得顶点

11、 A 与边DC 上的动点 P 重合(P 不与点 D，C 重合)，MN 为折痕，点 M，N 分别在边 BC，AD 上，连接 AP，MP，AM，AP 与 MN 相交于点 F O 过点 M，C，P(1)请你在图 1 中作出 O(不写作法，保留作图痕迹)；(2)AFAN与 APAD是否相等？请你说明理由；(3)随着点 P 的运动，若 O 与 AM 相切于点 M 时，O 又与 AD 相切于点 H 设 AB 为 4，请你通过计算，画出这时的图形(图 2，3 供参考)ABCFPMNDFMNDOPCBAABCPODNMF 图 1 图 2 图 3（茂 名 市）如 图，在Rt ABC 中，9 0 6 0 B A

12、C C B C，点P是BC边 上 的 动 点（点P与点B C、不重合），过动点P作PD BA 交AC于点D（1）若ABC 与DAP 相似，则APD 是多少度？（2 分）（2）试问：当PC等于多少时，APD 的面积最大？最大面积是多少？（4 分）（3）若以线段AC为直径的圆和以线段BP为直径的圆相外切，求线段BP的长（4 分）（山东青岛市）如图，在梯形 ABCD 中，AD BC，6cm AD，4cm CD，点第一次落在直线上时停止旋转旋转过程中边交直线于点边交轴于点如图求边在旋转过程中所扫过的面积旋转过程中当和平行时求正方形旋转的度数设的周长为在旋转正方形的过程中值是否有变化请证明你的结论提示延

13、长交轴于点 时针方向旋转度得到四边形此时直线直线分别与直线相交于点四边形的形状是当时的值是如图当四边形的顶点落在轴正半轴时求的值如图当四边形的顶点落在直线上时求的面积在四边形旋转过程中当时是否存在这样的点和点使若存 拓展练习如图正方形的边长为分别在上且是对角线上的点若的度数为简析延长分别交于点在中可得延长到使可证如图是半圆的直径点在的延长线上运动不与重合以为直径的半圆与半圆交于点的平分线与半圆交于点求证是半圆的切线G F E D C B A 10cm BC BD，点P由 B 出发沿 BD 方向匀速运动，速度为 1cm/s；同时，线段 EF 由DC 出发沿 DA 方向匀速运动，速度为 1cm/s

14、，交BD于 Q，连接 PE若设运动时间为t（s）（0 5 t）解答下列问题：（1）当t为何值时，PE AB？（2）设PEQ 的面积为y（cm2），求y与t之间的函数关系式；（3）是否存在某一时刻t，使225PEQ BCDS S？若存在，求出此时t的值；若不存在，说明理由（4）连接PF，在上述运动过程中，五边形PFCDE的面积是否发生变化？说明理由 10、(2008 湖北 恩施)如图 11，在同一平面内,将两个全等的等腰直角三角形 ABC 和 AFG摆放在一起，A 为公共顶点，BAC=AGF=90，它们的斜边长为 2，若 ABC 固定不动，AFG 绕点 A 旋转，AF、AG 与边 BC 的交点分

15、别为 D、E(点 D 不与点 B 重合,点 E 不与点 C重合),设 BE=m，CD=n.（1）请在图中找出两对相似而不全等的三角形，并选取其中一对进行证明.（2）求 m 与 n 的函数关系式，直接写出自变量 n 的取值范围.（3）以 ABC 的斜边 BC所在的直线为 x轴，BC 边上的高所在的直线为 y轴，建立平面直角坐标系(如图 12).在边 BC 上找一点 D，使 BD=CE，求出 D 点的坐标，并通过计算验证BD2 CE2=DE2.（4）在旋转过程中,(3)中的等量关系 BD2 CE2=DE2是否始终成立,若成立,请证明,若不成立,请说明理由.11、（08浙江温州）如图，在Rt ABC

16、 中，90 A，6 AB，8 AC，G y x O F E D C B A A B C D E R P H Q（第 1 题图）点第一次落在直线上时停止旋转旋转过程中边交直线于点边交轴于点如图求边在旋转过程中所扫过的面积旋转过程中当和平行时求正方形旋转的度数设的周长为在旋转正方形的过程中值是否有变化请证明你的结论提示延长交轴于点 时针方向旋转度得到四边形此时直线直线分别与直线相交于点四边形的形状是当时的值是如图当四边形的顶点落在轴正半轴时求的值如图当四边形的顶点落在直线上时求的面积在四边形旋转过程中当时是否存在这样的点和点使若存 拓展练习如图正方形的边长为分别在上且是对角线上的点若的度数为简析延

17、长分别交于点在中可得延长到使可证如图是半圆的直径点在的延长线上运动不与重合以为直径的半圆与半圆交于点的平分线与半圆交于点求证是半圆的切线yx QPOBAPNMABOPQxyD E，分别是边AB AC，的中点，点P从点D出发沿DE方向运动，过点P作PQ BC 于Q，过点Q作QR BA 交AC于R，当点Q与点C重合时，点P停止运动 设BQ x，QR y（1）求点D到BC的距离DH的长；（2）求y关于x的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）；（3）是否存在点P，使PQR 为等腰三角形？若存在，请求出所有满足要求的x的值；若不存在，请说明理由 18、在 ABC 中，A 90，AB 4，AC 3，M

18、 是 AB 上的动点（不与 A，B 重合），过 M点作 MN BC 交 AC 于点 N以 MN 为直径作 O，并在 O 内作内接矩形 AMPN令 AM x（1）用含 x 的代数式表示 NP 的面积 S；（2）当 x 为何值时，O 与直线 BC 相切？（3）在动点 M 的运动过程中，记 NP 与梯形 BCNM 重合的面积为 y，试求 y 关于 x 的函数表达式，并求 x 为何值时，y 的值最大，最大值是多少？3 如图，在平面直角坐标系 xOy 中，已知点 A(4，0)，点 B(0，3)，点 P 从点 B出发沿 BA方向向点 A匀速运动，速度为每秒 1 个单位长度，点 Q从点 A出发沿 AO 方向

19、向点 O匀速运动，速度为每秒 2 个单位长度，连结 PQ 若设运动的时间为 t 秒(0 t 2)(1)求直线 AB的解析式；(2)设 AQP 的面积为y，求y与t之间的函数关系式；(3)是否存在某一时刻t，使线段 PQ恰好把 AOB 的周长和面积同时平分？若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由；(4)连结 PO，并把 PQO 沿 QO翻折，得到四边形 PQP O，那么是否存和 在某一时刻t，使四边形 PQP O 为菱形？若存在，请求出此时点 Q 的坐标菱形的边长；若不存在，请说明理由 A B C M N D 图 2 O A B C M N P 图 1 O A B C M N P 图 3

20、 O 点第一次落在直线上时停止旋转旋转过程中边交直线于点边交轴于点如图求边在旋转过程中所扫过的面积旋转过程中当和平行时求正方形旋转的度数设的周长为在旋转正方形的过程中值是否有变化请证明你的结论提示延长交轴于点 时针方向旋转度得到四边形此时直线直线分别与直线相交于点四边形的形状是当时的值是如图当四边形的顶点落在轴正半轴时求的值如图当四边形的顶点落在直线上时求的面积在四边形旋转过程中当时是否存在这样的点和点使若存 拓展练习如图正方形的边长为分别在上且是对角线上的点若的度数为简析延长分别交于点在中可得延长到使可证如图是半圆的直径点在的延长线上运动不与重合以为直径的半圆与半圆交于点的平分线与半圆交于点

21、求证是半圆的切线 4 在平面直角坐标系中，抛物线c x ax y 2经过直线4 2 x y与坐标轴的两个交点B C、，它与 x 轴的另一个交点为A 点N是抛物线对称轴与x轴的交点，点M为线段AB上的动点(1)求抛物线的解析式及点A的坐标；(2)如图，若过动点M的直线BC ME/交抛物线对称轴于点E 试问抛物线上是否存在点F，使得以点F E N M,为顶点组成的四边形是平行四边形，若存在，求出点F的坐标；若不存在，说明理由；(3)如图，若过动点M的直线AC MD/交直线BC于D，连接CM当CDM 的面积最大时，求点M的坐标？图 图 21.(2006 云南课改中考,25)如图 1-3-8,在直角坐

22、标系中,O 为坐标原点,OABC 的边 OA 在 x轴上,B=60,OA=6,OC=4,D 是 BC 的中点,延长 AD 交 OC 的延长线于点 E.图 1-3-8(1)画出 ECD 关于边 CD 所在直线为对称轴的对称图形 E1CD,并求出点 E1的坐标;(2)求经过 C、E1、B 三点的抛物线的函数表达式;(3)请探求经过 C、E1、B 三点的抛物线上是否存在点 P,使以点 P、B、C 为顶点的三角形与 ECD 相似.若存在这样的点 P,请求出点 P 的坐标;若不存在这样的点 P,请说明理由.9(201X 年江苏省泰州市济川实验初中中考模拟题)如图 1，把一个边长为 22的正方形点第一次落

23、在直线上时停止旋转旋转过程中边交直线于点边交轴于点如图求边在旋转过程中所扫过的面积旋转过程中当和平行时求正方形旋转的度数设的周长为在旋转正方形的过程中值是否有变化请证明你的结论提示延长交轴于点 时针方向旋转度得到四边形此时直线直线分别与直线相交于点四边形的形状是当时的值是如图当四边形的顶点落在轴正半轴时求的值如图当四边形的顶点落在直线上时求的面积在四边形旋转过程中当时是否存在这样的点和点使若存 拓展练习如图正方形的边长为分别在上且是对角线上的点若的度数为简析延长分别交于点在中可得延长到使可证如图是半圆的直径点在的延长线上运动不与重合以为直径的半圆与半圆交于点的平分线与半圆交于点求证是半圆的切线

24、yx BADCNG(M)DBCO(A)IyxBADCN MDBCGO(A)IyxN MDBCO(A)A y x B E F O1 Q O O2 C ABCD 放在平面直角坐标系中，点 A在坐标原点，点 C 在 y 轴的正半轴上，经过 B、C、D 三点的抛物线 c1交 x 轴于点 M、N(M在 N的左边).(1)求抛物线 c1的解析式及点 M、N的坐标；(2)如图 2，另一个边长为 22的正方形/D C B A的中心 G在点 M上，/B、/D在 x 轴的负半轴上(/D在/B的左边)，点/A在第三象限，当点 G 沿着抛物线 c1从点 M移到点 N，正方形随之移动，移动中/D B始终与 x 轴平行.

25、直接写出点/A、/B移动路线形成的抛物线/)(cA、/)(cB的函数关系式；如图 3，当正方形/D C B A第一次移动到与正方形 ABCD 有一边在同一直线上时，求点 G的坐标 10.（2010 广东省中考拟）如图 10，在平面直角坐标系中，二次函数)0(2 a c bx ax y的图象的顶点为 D点，与 y 轴交于 C 点，与 x 轴交于 A、B 两点，A 点在原点的左侧，B 点的坐标为（3，0），OB OC，tanACO31（1）求这个二次函数的表达式（2）经过 C、D两点的直线，与 x 轴交于点 E，在该抛物线上是否存在这样的点 F，使以点A、C、E、F 为顶点的四边形为平行四边形？若

26、存在，请求出点 F 的坐标；若不存在，请说明理由（3）若平行于 x 轴的直线与该抛物线交于 M、N两点，且以 MN 为直径的圆与 x 轴相切，求该圆半径的长度（4）如图 11，若点 G（2，y）是该抛物线上一点，点 P 是直线 AG下方的抛物线上一动点，当点 P 运动到什么位置时，APG 的面积最大？求出此时 P 点的坐标和 APG 的最大面积.4.（2004湖北襄樊）如图，在平面直角坐标系内，Rt ABC 的直角顶点 C（0，3）在y轴的正半轴上，A、B 是x轴上是两点，且 OA OB 3 1，以 OA、_ y _ x _ O _ E_ D _ C _ B _ A 图 10 _ G _ A

27、_ B _ C _ D _ O _ x _ y 图 11 点第一次落在直线上时停止旋转旋转过程中边交直线于点边交轴于点如图求边在旋转过程中所扫过的面积旋转过程中当和平行时求正方形旋转的度数设的周长为在旋转正方形的过程中值是否有变化请证明你的结论提示延长交轴于点 时针方向旋转度得到四边形此时直线直线分别与直线相交于点四边形的形状是当时的值是如图当四边形的顶点落在轴正半轴时求的值如图当四边形的顶点落在直线上时求的面积在四边形旋转过程中当时是否存在这样的点和点使若存 拓展练习如图正方形的边长为分别在上且是对角线上的点若的度数为简析延长分别交于点在中可得延长到使可证如图是半圆的直径点在的延长线上运动不

28、与重合以为直径的半圆与半圆交于点的平分线与半圆交于点求证是半圆的切线OB 为直径的圆分别交 AC 于点 E，交 BC 于点 F.直线 EF 交 OC 于点 Q.（1）求过 A、B、C 三点的抛物线的解析式；（2）请猜想：直线 EF 与两圆有怎样的位置关系？并证明你的猜想.（3）在 AOC 中，设点 M 是 AC 边上的一个动点，过 M 作 MN AB 交 OC 于点 N.试问：在x轴上是否存在点 P，使得 PMN 是一个以 MN 为一直角边的等腰直角三角形？若存在，求出 P 点坐标；若不存在，请说明理由.9.如图，M 与 x 轴交于 A、B 两点，其坐标分别为)0 3(，A、)0 1(，B，直

29、径 CD x 轴于 N，直线 CE 切 M 于点 C，直线 FG 切 M 于点 F，交 CE 于 G，已知点 G 的横坐标为 3.(1)若抛物线 m x x y 22经过 A、B、D 三点，求 m 的值及点 D 的坐标.(2)求直线 DF 的解析式.(3)是否存在过点 G 的直线，使它与（1）中抛物线的两个交点的横坐标之和等于 4？若存在，请求出满足条件的直线的解析式；若不存在，请说明理由.12.（2005 北京）已知：在平面直角坐标系 xOy 中，一次函数y kx k 4的图象与 x 轴交于点 A，抛物线y ax bx c 2经过 O、A 两点。（1）试用含 a 的代数式表示 b；（2）设抛

30、物线的顶点为 D，以 D 为圆心，DA 为半径的圆被 x 轴分为劣弧和优弧两部分。若将劣弧沿 x 轴翻折，翻折后的劣弧落在 D 内，它所在的圆恰与 OD 相切，求 D 半径的长及抛物线的解析式；（3）设点 B 是满足（2）中条件的优弧上的一个动点，抛物线在 x 轴上方的部分上是否存在这样的点 P，使得 POA OBA 43？若存在，求出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由。16.（2005 湖 北 荆 门）已 知：如 图，抛 物 线（第 9题图）A y x O N M G F E D C A B C D E F G M x y O 点第一次落在直线上时停止旋转旋转过程中边交直线于点边交轴于点如

31、图求边在旋转过程中所扫过的面积旋转过程中当和平行时求正方形旋转的度数设的周长为在旋转正方形的过程中值是否有变化请证明你的结论提示延长交轴于点 时针方向旋转度得到四边形此时直线直线分别与直线相交于点四边形的形状是当时的值是如图当四边形的顶点落在轴正半轴时求的值如图当四边形的顶点落在直线上时求的面积在四边形旋转过程中当时是否存在这样的点和点使若存 拓展练习如图正方形的边长为分别在上且是对角线上的点若的度数为简析延长分别交于点在中可得延长到使可证如图是半圆的直径点在的延长线上运动不与重合以为直径的半圆与半圆交于点的平分线与半圆交于点求证是半圆的切线A B C O 图 8 H FABCEDA B C

32、D E O l A m x x y 33 2312与 x 轴交于 A、B 两点，与 y 轴交于 C 点，ACB 90，（1）求 m 的值及抛物线顶点坐标；（2）过 A、B、C 的三点的 M 交 y 轴于另一点 D，连结 DM 并延长交 M 于点 E，过 E点的 M 的切线分别交 x 轴、y 轴于点 F、G，求直线 FG 的解析式；（3）在（2）条件下，设 P 为CBD上的动点（P 不与 C、D 重合），连结 PA 交 y 轴于点H，问是否存在一个常数 k，始终满足 AH AP k，如果存在，请写出求解过程；如果不存在，请说明理由.例 4（上海）如图,在 ABC中,BAC=90,AB=AC=2

33、2,A的半径为 1.若点 O在 BC边上运动(与点 B、C 不重合),设 BO=x,AOC 的面积为y.(1)求y关于x的函数解析式,并写出函数的定义域.(2)以点 O为圆心,BO 长为半径作圆 O,求当 O与 A相切时,AOC 的面积.1（09 年徐汇区）如图，ABC 中，10 AC AB，12 BC，点D在边BC上，且4 BD，以点D为顶点作B EDF，分别交边AB于点E，交射线CA于点F（1）当6 AE时，求AF的长；（2）当以点C为圆心CF长为半径的C和以点A为圆心AE长为半径的A相切时，求BE的长；（3）当以边AC为直径的O与线段DE相切时，求BE的长 在矩形 ABCD 中，AB 3

34、，点 O 在对角线 AC 上，直线 l 过点 O，且与 AC 垂直交 AD 于点 E.(1)若直线 l 过点 B，把 ABE 沿直线 l 翻折，点 A 与矩形 ABCD 的对称中心 A重合，求 BC 的长；(2)若直线 l 与 AB 相交于点 F，且 AO41AC，设 AD 的长为x，五边形 BCDEF 的面积为 S.求 S 关于x的函数关系式，并指出x的取值范围；探索：是否存在这样的x，以 A 为圆心，以 x43长为半径的圆与直线 l 相切，若存在，请求出x的值；若不存在，请说明理由 类题 改编自 09奉贤 3月考 25题，将条件（2）“当点 M、N 分别在边 BA、CA 上时”,去掉，同时

35、加到第（3）题中.已知：在 ABC 中，AB=AC，B=30，BC=6，点 D 在边 BC上，点 E 在线段 DC 上，DE=3，DEF 是等边三角形，边A B F D E M N C 点第一次落在直线上时停止旋转旋转过程中边交直线于点边交轴于点如图求边在旋转过程中所扫过的面积旋转过程中当和平行时求正方形旋转的度数设的周长为在旋转正方形的过程中值是否有变化请证明你的结论提示延长交轴于点 时针方向旋转度得到四边形此时直线直线分别与直线相交于点四边形的形状是当时的值是如图当四边形的顶点落在轴正半轴时求的值如图当四边形的顶点落在直线上时求的面积在四边形旋转过程中当时是否存在这样的点和点使若存 拓展练

36、习如图正方形的边长为分别在上且是对角线上的点若的度数为简析延长分别交于点在中可得延长到使可证如图是半圆的直径点在的延长线上运动不与重合以为直径的半圆与半圆交于点的平分线与半圆交于点求证是半圆的切线DF、EF 与边 BA、CA 分别相交于点 M、N（1）求证：BDM CEN；（2）设 BD=x，ABC 与 DEF 重叠部分的面积为y，求y关于x的函数解析式，并写出定义域（3）当点 M、N 分别在边 BA、CA 上时,是否存在点 D，使以 M 为圆心,BM 为半径的圆与直线 EF 相切,如果存在，请求出 x 的值；如不存在，请说明理由 例 1：已知 O 的弦 AB 的长等于 O 的半径，点 C 在

37、 O 上变化（不与 A、B）重合，求 ACB 的大小.变式 1：已知 ABC 是半径为 2 的圆内接三角形，若3 2 AB，求 C 的大小.变式 2:如图,半经为 1 的半圆 O 上有两个动点 A、B，若 AB=1，判断 AOB 的大小是否会随点 A、B 的变化而变化，若变化，求出变化范围，若不变化，求出它的值。四边形 ABCD 的面积的最大值。例 2：（广州市中考题第 11 题）如图，O1 和 O2 内切于 A，O1 的半径为 3，O2 的半径为 2，点 P 为 O1 上的任一点（与点 A 不重合），直线 PA 交 O2 于点 C，PB 切 O2 于点 B，则PCBP的值为（A）2（B）3（

38、C）23（D）26 例 7：如图，在等腰直角三角形 ABC 中，斜边 BC=4，OABC 于 O,点 E 和点 F 分别在边 AB、AC 上滑动并保持 AE=CF,但点 F 不与 A、C重合，点 E 不与 B、A 重合。判断四边形 AEOF 的面积是否随点 E、F 的变化而变化，若变化，求其变化范围，若不变化，求它的值.AEF 的面积是否随着点 E、F 的变化而变化，若变化，求其变化范围，若不变化，求它的值。（即例 3 的第 2、第 3 问）分析：(2)本题的方法很多，其一，可以建立四边形 AEOF 与AE 长的函数关系式，如设 AE=x，则 AF=x 2 2，而三角形 AOB 的面积与三角形

39、 AOE 的面积之比=x2 2，而三角形 AOB 的面积=221 OA OB，则三角形 AOE 的面积ABCD OCO1O2PBAFEOCBA点第一次落在直线上时停止旋转旋转过程中边交直线于点边交轴于点如图求边在旋转过程中所扫过的面积旋转过程中当和平行时求正方形旋转的度数设的周长为在旋转正方形的过程中值是否有变化请证明你的结论提示延长交轴于点 时针方向旋转度得到四边形此时直线直线分别与直线相交于点四边形的形状是当时的值是如图当四边形的顶点落在轴正半轴时求的值如图当四边形的顶点落在直线上时求的面积在四边形旋转过程中当时是否存在这样的点和点使若存 拓展练习如图正方形的边长为分别在上且是对角线上的点

40、若的度数为简析延长分别交于点在中可得延长到使可证如图是半圆的直径点在的延长线上运动不与重合以为直径的半圆与半圆交于点的平分线与半圆交于点求证是半圆的切线=2x，同 理 三 角 形 AOF 的 面 积=22 2 x，因 此 四 边 形 AEOF 的 面 积=22)2 2(x x；即 AEOF 的面积不会随点 E、F 的变化而变化，是一个定值，且为 2.当然，本题也可以这样思考，由于三角形 AOE 与三角形 COF 全等，则四边形 AEOF的面积与三角形 AOC 的面积相等，而 AOC 的面积为 2，因此 AEOF 的面积不会随点 E、F 的变化而变化，是一个定值，且为 2.本题通过建立函数关系或

41、有关图形之间的关系,然后通过简单的计算得出结论的方法应用比较广泛.第(3)问,也 可 以 通 过 建 立 函 数 关 系 求 得,AEF 的 面 积=1)2(21)2 2(212 x x x,又x的变化范围为2 2 0 x,由二次函数知识得AEF 的面积的范围为:0AEF 的面积1.本题也可以根据三角形 AEF 与三角形 OEF 的面积关系确定AEF 的面积范围:不难证明AEF 的面积OEF 的面积，它们公用边 EF，取 EF 的中点 H，显然由于OEF 为等腰直角三角形，则 OH EF，作 AG EF，显然 AG AH=AG（=EF21），所以AEF 的面积OEF 的面积，而它们的和为 2，

42、因此 0 AEF 的面积1.本题包容的内涵十分丰富，还可以提出很多问题研究：比如，比较线段 EF 与 AO 长度大小等（可以通过 A、E、O、F 四点在以 EF 为直径的圆上得出很多结论）练习 1：广州市中考压轴题（全卷得分最低的一道）已知ABC 为直角三角形，AC=5，BC=12，ACB 为直角，P是 AB 边上的动点（与点 A、B 不重合），Q 是 BC 边上动点（与点 B、C 不重合）（1）如图，当 PQ AC，且 Q 为 BC 的中点，求线段 CP 的长。当 PQ 与 AC 不平行时，CPQ 可能为直角三角形吗？若有可能，求出线段 CQ 的长的取值范围；若不可能，请说明理由。第 1 问

43、很易得出 P 为 AB 中点，则 CP=21321 AB 第 2 问：如果CPQ 为直角三角形，由于 PQ 与 AC 不平行，则 Q 不可能为直角 QPCBADQMCBA点第一次落在直线上时停止旋转旋转过程中边交直线于点边交轴于点如图求边在旋转过程中所扫过的面积旋转过程中当和平行时求正方形旋转的度数设的周长为在旋转正方形的过程中值是否有变化请证明你的结论提示延长交轴于点 时针方向旋转度得到四边形此时直线直线分别与直线相交于点四边形的形状是当时的值是如图当四边形的顶点落在轴正半轴时求的值如图当四边形的顶点落在直线上时求的面积在四边形旋转过程中当时是否存在这样的点和点使若存 拓展练习如图正方形的边

44、长为分别在上且是对角线上的点若的度数为简析延长分别交于点在中可得延长到使可证如图是半圆的直径点在的延长线上运动不与重合以为直径的半圆与半圆交于点的平分线与半圆交于点求证是半圆的切线又点 P 不与 A 重合，则 PCQ 也不可能为直角，只能是 CPQ 为直角，即以 CQ 为直径的圆与 AB 有交点，设 CQ=2x，CQ 的中点 D 到 AB 的距离 DM 不大于 CD，ABDBACDM，即13125x DM，所 以13)12(5 xDM，由x CDxDM 13)12(5，即310 x，而6 x，故6310 x，亦即12320 CQ时，CPQ 可能为直角三角形。当然还有其它方法。同学们可以继续研究

45、。练习 3、在平面直角坐标系xOy中，已知二次函数2(0)y ax bx c a 的图象与x轴交于A B，两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C，其顶点的横坐标为 1，且过点(2 3)，和(3 12)，（1）求此二次函数的表达式；（由一般式得抛物线的解析式为22 3 y x x）（2）若直线:(0)l y kx k 与线段BC交于点D（不与点B C，重合），则是否存在这样的直线l，使得以B O D，为顶点的三角形与BAC 相似？若存在，求出该直线的函数表达式及点D的坐标；若不存在，请说明理由；(1 0)(3 0),(0 3)A B C，（3）若点P是位于该二次函数对称轴右边图象上不与顶点重合

46、的任意一点，试比较锐角PCO 与ACO 的大小（不必证明），并写出此时点P的横坐标px的取值范围 练习 4(2008 广东湛江市)如图所示，已知抛物线21 y x 与x轴交于 A、B 两点，与y轴交于点 C O y C l x B A 1 x 练习 3 图 o C B A x 练习 4 图 P y 点第一次落在直线上时停止旋转旋转过程中边交直线于点边交轴于点如图求边在旋转过程中所扫过的面积旋转过程中当和平行时求正方形旋转的度数设的周长为在旋转正方形的过程中值是否有变化请证明你的结论提示延长交轴于点 时针方向旋转度得到四边形此时直线直线分别与直线相交于点四边形的形状是当时的值是如图当四边形的顶点

47、落在轴正半轴时求的值如图当四边形的顶点落在直线上时求的面积在四边形旋转过程中当时是否存在这样的点和点使若存 拓展练习如图正方形的边长为分别在上且是对角线上的点若的度数为简析延长分别交于点在中可得延长到使可证如图是半圆的直径点在的延长线上运动不与重合以为直径的半圆与半圆交于点的平分线与半圆交于点求证是半圆的切线（1）求 A、B、C 三点的坐标（2）过点 A 作 AP CB 交抛物线于点 P，求四边形 ACBP 的面积（3）在x轴上方的抛物线上是否存在一点 M，过 M 作 MG x轴于点 G，使以 A、M、G 三点为顶点的三角形与PCA 相似若存在，请求出 M 点的坐标；否则，请说明理由 例 2.

48、如图 2，直角梯形 ABCD 中，AD BC，B 90，AD BC DC，若腰 DC上有动点 P，使 AP BP，则这样的点有多少个？分析：由条件 AP BP，想到以 AB为直径作圆，若 CD与圆相交，根据直径所对的圆周角是 90，两个交点即为点 P；若 CD与圆相切，切点即是点 P；若 CD与圆相离，则 DC上不存在动点 P，使 AP BP。解：如图 3，以 AB为直径做 O，设 O与 CD切于点 E 因为 B A 90 所以 AD、BC为 O的切线 即 AD DE，BC CE 所以 AD BC CD 而条件中 AD BC DC，我们把 CD向左平移，如图 4，CD的长度不变，AD与 BC的

49、长度缩短，此时 AD BC DC，点 O 到 CD的距离 OE 小于 O 的半径 OE，CD与 O相交，AP B1和 AP B2是直径 AB所对的圆周角，都为 90，所以交点P P1 2、即为所求。因此，腰 DC上使 AP BP的动点 P 有 2 个。例 1（福建晋州）如图，在平行四边形 ABCD 中，AD=4cm，A=60，BDAD.一动点 P 从 A出发，以每秒 1cm的速度沿 ABC 的路线匀速运动，过点 P 作直线 PM，使 PMAD.1当点 P 运动 2 秒时，设直线 PM与 AD相交于点 E，求APE 的面积；2当点 P 运动 2 秒时，另一动点 Q也从 A出发沿 AB 的路线运动

50、，且在 AB上以每秒 1cm的速度匀速运动，（当 P、Q中的某一点到达终点，则两点都停止运动.）过 Q作直线 QN，使 QNPM，设点 Q运动的时间为 t 秒（0t8），直线 PM与 QN截平行四边形 ABCD 所得图形的面积为 S（cm2）.（1）求 S 关于 t 的函数关系式；（2）求 S 的最大值.例 2（锦州市）如图，在平面直角坐标系中，四边形 OABC 为菱形，点 C 的坐标为(4,0)，AOC=60，垂直于 x 轴的直线 l 从 y 轴出发，沿 x 轴正方向以每秒 1 个单位长度的速度运动，设直线 l 与菱形 OABC 的两边分别交于点 M、N(点 M在点 N的上方).1.求 A、