数列高考知识点归纳(非常全!)_中学教育-高考.pdf

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1、学习必备 精品知识点 数列高考知识点大扫描 数列基本概念 数列是一种特殊函数，对于数列这种特殊函数，着重讨论它的定义域、值域、增减性和最值等方面的性质，依据这些性质将数列分类：依定义域分为：有穷数列、无穷数列；依值域分为：有界数列和无界数列；依增减性分为递增数列、递减数列和摆动数列。数列的表示方法：列表法、图象法、解析法（通项公式法及递推关系法）；数列通项：()na f n 2、等差数列 1、定义 当n N,且2 n 时，总有 1,()n na a d d 常，d 叫公差。2、通项公式 1(1)na a n d 1）、从函数角度看 1()na dn a d 是 n 的一次函数，其图象是以点 1

2、(1,)a为端点,斜率为 d 斜线上一些孤立点。2）、从变形角度看(1)()n na a n d,即可从两个不同方向认识同一数列，公差为相反数。又1 1(1),(1)n ma a n d a a m d,相减得()n ma a n m d，即()n ma a n m d.若 nm，则以 ma为第一项，na是第 n-m+1项，公差为 d；若 nm，则 ma以为第一项时，na是第 m-n+1项，公差为-d.3）、从发展的角度看 若 na是等差数列，则12(2)p qa a a p q d，12(2)m na a a m n d,因此有如下命题：在等差数列中，若2 m n p q r,则2m n p

3、 q ra a a a a.3、前 n 项和公式 由 1 2 1 1,n n n n nS a a a S a a a，相加得 12nna aS n，还可表示为1(1),(0)2nn nS na d d，是 n 的二次函数。特别的，由1 2 12n na a a 可得 2 1(2 1)n nS n a。3、等比数列 1、定义 当n N,且2 n 时，总有 1(0)nnaq qa,q 叫公比。学习必备 精品知识点 2、通项公式：11n n mn ma a q a q,在等比数列中，若2 m n p q r,则2m n p q ra a a a a.3、前 n 项和公式:由 1 2 2 3 1,n

4、 n n n nS a a a qS a a a a，两式相减，当 1 q 时，1 1(1),(1)1 1nna a q a qS qq q；当1 q 时，1 ns na。关于此公式可以从以下几方面认识：不能忽视1 1(1)1 1nna a q a qSq q 成立的条件：1 q。特别是公比用字母表示时，要分类讨论。公式推导过程中，所使用的“错位相消法”，可以用在相减后所得式子能够求和的情形。如，公差为 d 的等差数列 na，21 2nn nS a x a x a x，则2 3 11 2 1n nn n nxS a x a x a x a x，相减得 2 11(1)n nn nS x a x

5、dx dx a x，当 1 x 时，111(1)(1)1nnn ndx xS x a x a xx，1 2 112(1)1(1)n nnna x a x dx xSx x 当1 x 时，1 2 1(1)2n nn n dS a a a na；3）从函数角度看 nS是 n 的函数，此时 q 和 1a是常数。4、等差与等比数列概念及性质对照表 名称 等差数列 等比数列 定义 1,()n na a d d 常 2 1 1(*)n n n na a a a n N 1,()nnaq qa 常，2 11(*)n nn na an Na a 通项 公式 1(1)()nma a n da n m d 变式：

6、1(1)na a n d 11.nnn mma a qa q 性质 22.m n p q rm n p q ra a a a a(0)d 可逆 22().m n p q rm n p q ra a a a a(q 1可逆)中项 22.m n rm n ra a a 22().m n rm n ra a a 单调性 0 d 时 增 10,1 a q 或10,0 1 a q 增；的定义域值域增减性和最值等方面的性质依据这些性质将数列分类依定义域分为有穷数列无穷数列依值域分为有界数列和无界数列依增减性分为递增数列递减数列和摆动数列数列的表示方法列表法图象法解析法通项公式法及递推关 斜线上一些孤立点从

7、变形角度看即可从两个不同方向认识同一数列公差为相反数又相减得即若则以为第一项是第项公差为若则以为第一项时是第项公差为从展的角度看若是等差数列则因此有如下命题在等差数列中若则前项和公式由 比数列中若则前项和公式由两式相减当时当时关于此公式可以从以下几方面认识不能忽视成立的条件特别是公比用字母表示时要分类讨论公式推导过程中所使用的错位相消法可以用在相减后所得式子能够求和的情形如公差为的等差学习必备 精品知识点 0 d 时 常数列 0 d 时 减 10,1 a q 或10,0 1 a q 时减；1 q 时常数列，0 q 时摆动数列 前 n 项 和 112(1),(0)2nna aS nn nna d

8、 d（推导方法：倒加法）1(0)ns na d 11(1)1,(1)1nna qSqa a qqq（推导方法：错位相消法）1(1)ns na q 结论 1、na等差,公差 d，则 nka b 等差 公 差 kd；子 数 列*2,()k k m k m k nma a a a m N 等差,公差 md;若 nk等差，公差1d，则 nka等差，公差1d d。na等比,公比 q，则 nka等比，公比 q;2 na等比,公比2q;na等比,公比q。子数列2 4 4 2,na a a a等比，公比2q;若 nk等差,公差 d,则 nka等比,公比为dq。2、na等差,公差 d 则1 n na a等差，公

9、差 2d;1 1 n n na a a 等差,公差3d.2 3 2,k k k k kS S S S S 等 差,公 差2k d,且3 23().k k kS S S 即连续相同个数的和成等差数列。na等比,公比 q,则1na 等比，公比1q;1 1 n n na a a 等 比，公 比3q；1 1 n n na a a 等比，公比 q;2 3 2,k k k k kS S S S S 等比，公比kq，（当k 为偶数时，0kq）。3、na等差.公差.n ma adn m 0.m n m nS S S,().n mS m S n S m n na等比，公比.nn mmaqa 4、等差 na共 2

10、n 项，则,Q Q nd 偶 奇1nnQaQ a偶奇 等差 na，共 2n+1 项，则 1 3 2 1()(1)nQ Q a a a q 偶 奇=21(1)1na qq 2 4 21 3 2 1.nnQa a aqQ a a a 偶奇 的定义域值域增减性和最值等方面的性质依据这些性质将数列分类依定义域分为有穷数列无穷数列依值域分为有界数列和无界数列依增减性分为递增数列递减数列和摆动数列数列的表示方法列表法图象法解析法通项公式法及递推关 斜线上一些孤立点从变形角度看即可从两个不同方向认识同一数列公差为相反数又相减得即若则以为第一项是第项公差为若则以为第一项时是第项公差为从展的角度看若是等差数列则

11、因此有如下命题在等差数列中若则前项和公式由 比数列中若则前项和公式由两式相减当时当时关于此公式可以从以下几方面认识不能忽视成立的条件特别是公比用字母表示时要分类讨论公式推导过程中所使用的错位相消法可以用在相减后所得式子能够求和的情形如公差为的等差学习必备 精品知识点 1(),;1nQnQ Q aQ n 偶奇 偶奇中 5、na等差1 n na a d 12nna aS n 2nS An Bn na kn b 2 1.2 1nnSan na等比,公比 q11nna a q 1 1(1)1 1nnna a q a qSq q 1,(0,1).nnS a a a 联系 1、各项不为 0 常数列，即是等

12、差，又是等比。2、通项公式11,(1),(2)n nS nnS S na.3、na等差，公差 d，0,1 c c,则1 2,na a ac c c,即 nac等比，公比dc.4、na等比，公比 q,0na(0,1)a a,1 2log,log,log,na a aa a a即log naa等差,公差logqa.5、na等差,nb等比,则 n na b 前 n 项和求法，利用错位相消法 6、求和方法：公式法，倒加法，错位相消法，裂项法，累加法，累积法，等价转化法等。5、递推数列 表示数列中相邻的若干项之间关系的式子叫数列递推公式。作为特殊的函数，数列可用递推式表示。求递推数列通项公式常用方法：公

13、式法、归纳法、累加法、累乘法。特别的，累加法是求形如 1()n na a f n 递推数列的基本方法，其中数列()f n可求前 n 项和，即 1 2 1 1()()n n na a a a a a；累乘法是求形 如 1()n na g n a 递 推 数 列 通 项 公 式 的 基 本 方 法，其 中 数 列()g n可 求 前 n 项 积，即 3 211 2 1,(0)nnna a aa a aa a a.第一节 等差数列的概念、性质及前 n 项和 题根一 等差数列 an 中，6 9 12 1520 a a a a，求 S20 思路 等差数列前 n 项和公式11()(1)2 2nna a n

14、 n nS na d：1、由已知直接求 a1，公差 d.2、利用性质q p n ma a a a q p n m 的定义域值域增减性和最值等方面的性质依据这些性质将数列分类依定义域分为有穷数列无穷数列依值域分为有界数列和无界数列依增减性分为递增数列递减数列和摆动数列数列的表示方法列表法图象法解析法通项公式法及递推关 斜线上一些孤立点从变形角度看即可从两个不同方向认识同一数列公差为相反数又相减得即若则以为第一项是第项公差为若则以为第一项时是第项公差为从展的角度看若是等差数列则因此有如下命题在等差数列中若则前项和公式由 比数列中若则前项和公式由两式相减当时当时关于此公式可以从以下几方面认识不能忽视

15、成立的条件特别是公比用字母表示时要分类讨论公式推导过程中所使用的错位相消法可以用在相减后所得式子能够求和的情形如公差为的等差学习必备 精品知识点 解题 由6 9 12 1520 a a a a，6 15 9 12 1 20a a a a a a，得 1 202()20 a a，1 2010 a a，1 20()201002na aS。收获 灵活应用通项性质可使运算过程简化。请你试试 1 1 1、等差数列 an 满足1 2 1010 a a a，则有（）A、1 1010 a a B、2 1000 a a C、3 990 a a D、5151 a 2、等差数列中,a3+a7-a10=8,a11-a

16、4=4,求 13S。第 1 变 求和方法倒序相加法 变题 1 等差数列 an 共 10 项，1 2 3 420 a a a a，1 2 360n n n na a a a，求 Sn.思路 已知数列前四项和与后四项和，结合通项性质，联想 Sn公式推导方法。解题 已知1 2 3 420 a a a a，1 2 360n n n na a a a，又 14()80na a，得 120na a，1()2010 1002 2nna a nS，收获 1、重视倒加法的应用，恰当运用通项性质：q p n ma a a a q p n m，快捷准确；3、求出1 na a 后运用“整体代换”手段巧妙解决问题。请你

17、试试 1 2 1、等差数列 an 共 2k+1 项，所有奇数项和为S奇，所有偶数项和为S偶，求 S奇：S偶 的值。2、等差数列 an 前 n 项和为 18，若 1 S 3,1 23n n na a a,求项数 n.3、求由 1,2,3,4 四个数字组成的无重复数字的所有三位数的和。4、求和 1 22nnn n nS nC C C。第 2 变 已知前 n 项和及前 m项和，如何求前 n+m项和 变题 2 在等差数列 an 中，Sn=a,Sm=b,(mn)，求 Sn+m的值。思路,m m nS S S n下标存在关系：m+n=m+n,这与通项性质 q p n ma a a a q p n m 是否

18、有关？解题 由 Sn=a,Sm=Sn+a n+1+an+2+am=b 得 a n+1+an+2+am=b-a,即 a b n ma am n)(21，得 n ma b a am n21 由(n+1)+m=1+(n+m),得 an+1+am=a1+am+n 的定义域值域增减性和最值等方面的性质依据这些性质将数列分类依定义域分为有穷数列无穷数列依值域分为有界数列和无界数列依增减性分为递增数列递减数列和摆动数列数列的表示方法列表法图象法解析法通项公式法及递推关 斜线上一些孤立点从变形角度看即可从两个不同方向认识同一数列公差为相反数又相减得即若则以为第一项是第项公差为若则以为第一项时是第项公差为从展的

19、角度看若是等差数列则因此有如下命题在等差数列中若则前项和公式由 比数列中若则前项和公式由两式相减当时当时关于此公式可以从以下几方面认识不能忽视成立的条件特别是公比用字母表示时要分类讨论公式推导过程中所使用的错位相消法可以用在相减后所得式子能够求和的情形如公差为的等差学习必备 精品知识点 故).()(2)(21 1 n mn ma bn ma an ma aS m n n mn m 请你试试 1 3 1、在等差数列 an 中，15 S 6，55 S 9，求 S15。2、在等差数列 an 中，1 S 3，3 S 9，求 S12。第 3 变 已知已知前 n 项和及前 2n 项和，如何求前 3n 项和

20、 变题 3 在等差数列 an 中，20 S 10，40 S 20，求 S30 思路 由20 30,S S S10寻找10 20 30,S S S S S 10 20之间的关系。解 题 设 数 列 an 公 差 为 d，10 1 2 10S a a a，20 10 11 12 20S S a a a，30 20 21 22 30S S a a a,20 10 10()10 10 S S S d,30 20 20 10()()10 10 S S S S d，所 以 10 20 30,S S S S S 10 20成 等 差 数 列，公 差 100d,于 是 20 10 302()()S S S S

21、 S 10 20，得 30 203()3 20 60 S S S 10。收获 1、在等差数列 an 中，10 20 30,S S S S S 10 20成等差数列，即 1 2 10a a a，11 12 20a a a，21 22 30a a a，成等差数列，且30 203()S S S 10。3、可推广为 5 35()n nS S S 2n，7 47()n nS S S 3n，(2 1)(2 1)k n knS k S S(k-1)n。请你试试 1 4 1、在等差数列 an 中，1 23 a a，3 46 a a，求 7 8a a 2、在等差数列 an 中，1 2 1010 a a a，11

22、 12 2020 a a a，求 31 32 40a a a 3、在等差数列 an 中，20 S 10，30 S 20，求 S50及S100。4、数列 an 中，S a n，S b 2n，求 S3n。5、等差数列 an 共有 3k 项，前 2k 项和25 S 2k，后 2k 项和 75 S2k，求中间 k 项和S中。第 4 变 迁移变换 重视 Sx=Ax2+Bx 的应用 变题 4 在等差数列 an 中，Sn=m,，Sm=n,(mn)，求 Sn+m的值。思路 等差数列前 n 项和公式是关于 n 的二次函数，若所求问题与1,a d 无关时，常设为 S=An2+Bn形式。解题 由已知可设 Sn=An

23、2+Bn=m Sm=Am2+Bm=n,两式相减，得 A(n+m)(n-m)+B(n-m)=m-n,又 mn,所以()1 A n m B，的定义域值域增减性和最值等方面的性质依据这些性质将数列分类依定义域分为有穷数列无穷数列依值域分为有界数列和无界数列依增减性分为递增数列递减数列和摆动数列数列的表示方法列表法图象法解析法通项公式法及递推关 斜线上一些孤立点从变形角度看即可从两个不同方向认识同一数列公差为相反数又相减得即若则以为第一项是第项公差为若则以为第一项时是第项公差为从展的角度看若是等差数列则因此有如下命题在等差数列中若则前项和公式由 比数列中若则前项和公式由两式相减当时当时关于此公式可以从

24、以下几方面认识不能忽视成立的条件特别是公比用字母表示时要分类讨论公式推导过程中所使用的错位相消法可以用在相减后所得式子能够求和的情形如公差为的等差学习必备 精品知识点 得 2()()()()()m nS A m n B m n m n A m n B m n。收获“整体代换”设而不求，可以使解题过程优化。请你试试 1 5 1、在等差数列 an 中，84 S 12，460 S 20，求 S32 2、在等差数列 an 中，,()nS S m n m，求 Sm+n 3、在等差数列 an 中，0 a 1，15S S 10，求 当 n 为何值时，Sn有最大值 第 5 变 归纳总结，发展提高 题目 在等差

25、数列 an 中，Sn=a,Sm=b,(mn)，求 Sn+m的值。（仍以变题 2 为例）除上面利用通项性质q p n ma a a a q p n m 求法外，还有多种方法。现列举例如下：1、基本量求解：由b dm mma S a dn nna Sm n 2)1(,2)1(1 1，相减得b a dn ma m n 21)(1,dn m n ma n m Sn m2)1)()(1 代入得m nb a n mSn m)(。2、利用等差数列前 x 项和公式 Sx=Ax2+Bx 求解 由 Sx=Ax2+Bx，得 Sn=An2+Bn,Sm=Am2+Bm 两式相减，得 A(n+m)(n-m)+B(n-m)=

26、a-b 即m nb aB m n A)(故)()()(2b am nm nn m B n m A Sn m 3、利用关系式B AnnSn 求解 由B AnnSn 知 nSn与 n 成线性关系，从而点集(n,nSn)中的点共线，即(n,nSn),(m,mSm),(m+n,n mSn m)共线，则有 n n mnsn msm nmsnsn n m m n，即mnan msm nmbnan m，化简,得 m nnb naam nnb masn mnn m，即)(b am nm nsn m.4、利用定比分点坐标公式求解 由 A(n,nSn),B(m,mSm),P(m+n,n mSn m)三 点 共 线

27、,将 点 P 看 作 有 向 线 段AB的 定 比 分 点,则 nmn m mn n mPBAP)(，可得m nb anmnbnanmmsnmnsn msm nn m 1)(1)(,的定义域值域增减性和最值等方面的性质依据这些性质将数列分类依定义域分为有穷数列无穷数列依值域分为有界数列和无界数列依增减性分为递增数列递减数列和摆动数列数列的表示方法列表法图象法解析法通项公式法及递推关 斜线上一些孤立点从变形角度看即可从两个不同方向认识同一数列公差为相反数又相减得即若则以为第一项是第项公差为若则以为第一项时是第项公差为从展的角度看若是等差数列则因此有如下命题在等差数列中若则前项和公式由 比数列中若

28、则前项和公式由两式相减当时当时关于此公式可以从以下几方面认识不能忽视成立的条件特别是公比用字母表示时要分类讨论公式推导过程中所使用的错位相消法可以用在相减后所得式子能够求和的情形如公差为的等差学习必备 精品知识点 即)(b am nm nsn m.请你试试 1 6 若 Sn是等差数列 an 的前 n 项和，S2=3，S6=4，则 S12_.第二节 等比数列的概念、性质及前 n 项和 题根二 等比数列 an，5 74,6 a a,求a9。思路 1、由已知条件联立，求，从而得 2、由等比数列性质，知成等比数列。解题 1 由 4 65 1 7 14,9 a a q a a q,两式相除，得 232q

29、，29 736 92a a q。解题 2 由5 7 9,a a a 成等比，得 2 2795694aaa。收获 1、灵活应用性质，是简便解题的基础；2、等比数列中，序号成等差的项，成等比数列。请你试试 2 1 等比数列 an，10,2 a q，若 301 2 3 302 a a a a，则3 6 9 30a a a a _。第 1 变 连续若干项之和构成的数列仍成等比数列 变题 2 等比数列 an，1 2 3 4 5 62,6 a a a a a a，求 10 11 12a a a。思路 等比数列中，连续若干项的和成等比数列。解题 设1 1 2 3 2 4 5 6,b a a a b a a

30、a，4 10 11 12b a a a，则 bn是等比数列，12,3 b q，3 34 12 3 54 b b q，即 10 11 1254 a a a。收 获 等 比 数 列 an，1 q 时，2 3 2,k k k k kS S S S S，成 等 比 数 列，但 总 有23 2 2()()k k k k kS S S S S。当 k 为偶数时，0kq 恒成立。请你试试 22 1、等比数列 an，1 q 时，2 42,6 S S，求6S。2、等比数列 an，1 q 时，2 61,21 S S，求4S。第 2 变 3 9 6,S S S成等差，则 3 9 6,a a a成等差 变题 3 等比

31、数列 an 中，3 9 6,S S S成等差，则 3 9 6,a a a成等差。的定义域值域增减性和最值等方面的性质依据这些性质将数列分类依定义域分为有穷数列无穷数列依值域分为有界数列和无界数列依增减性分为递增数列递减数列和摆动数列数列的表示方法列表法图象法解析法通项公式法及递推关 斜线上一些孤立点从变形角度看即可从两个不同方向认识同一数列公差为相反数又相减得即若则以为第一项是第项公差为若则以为第一项时是第项公差为从展的角度看若是等差数列则因此有如下命题在等差数列中若则前项和公式由 比数列中若则前项和公式由两式相减当时当时关于此公式可以从以下几方面认识不能忽视成立的条件特别是公比用字母表示时要

32、分类讨论公式推导过程中所使用的错位相消法可以用在相减后所得式子能够求和的情形如公差为的等差学习必备 精品知识点 思路 3 9 6,S S S成等差，得3 6 92 S S S，要证 3 9 6,a a a等差，只需证 3 6 92 a a a。解题 由 3 9 6,S S S成等差，得3 6 92 S S S，当 q=1 时，3 1 6 1 9 13,6,9 S a S a S a,由 10 a 得 3 6 92 S S S，1 q。由3 6 92 S S S，得 3 6 91 1 1(1)(1)2(1)1 1 1a q a q a qq q q，整理得 3 6 92 q q q，0 q，得

33、3 61 2 q q，两边同乘以 3a，得 3 6 92 a a a，即 3 9 6,a a a 成等差。收获 1、等比数列 an 中，3 9 6,S S S成等差，则 2 8 5,a a a成等差。2、等比数列 an 中，,n m kS S S成等差，则,n d m d k da a a（其中*,m d n d k d N d Z）成等差 3、等比数列 an 中，,n m ka a a成等差，则,n d m d k da a a（其中*,m d n d k d N d Z）成等差。请你试试 23 1、等比数列 an，1 q，3 5 6,a a a 成等差，求11 9 10()a a a 的值

34、。2、等比数列 an，1 7 4,a a a成等差，求证 3 6 12 62,S S S S 成等比。第 3 变 nS是等比，na也是等比数列 变题 4 数列 na 中，10 a 且 1 2,nS S S，是等比数列，公比 q(1 q)，求证 na(2 n)也是等比数列。思路 1 n n na S S,欲证 na为等比数列，只需证 1nnaa为常数。解题 1 n n na S S，1 1 n n na S S，（2 n）,得1 11n n nn n na S Sa S S，而 1 n nS S q，21 1 n nS S q，1 11(1)(1)n nn na S q qqa S q，（2 n

35、）,故 na 从第二项起，构成等比数列，公比为 q。第 4 变 等比数列在分期付款问题中应用 问题 顾客购买一售价为 5000 元的商品时，采用分期付款方法，每期付款数相同，购买后 1 个月付款一次，到第 12 次付款后全部付清。如果月利润为 0.8%，每月利息按复利计算，那么每期应付款多少？（精确到 1 元）分析一：设每期应付款 x 元，则 第 1 次付款后，还欠 5000(1+0.8%)-x（元）第 2 次付款后，还欠 5000(1+0.8%)2-x(1+0.8%)-x=5000(1+0.8%)2-x(1+0.8%)-x（元）第 3 次付款后，还欠 5000(1+0.8%)2-x(1+0.

36、8%)-x(1+0.8%)-x=5000(1+0.8%)3-x(1+0.8%)2-x(1+0.8%)-x（元）的定义域值域增减性和最值等方面的性质依据这些性质将数列分类依定义域分为有穷数列无穷数列依值域分为有界数列和无界数列依增减性分为递增数列递减数列和摆动数列数列的表示方法列表法图象法解析法通项公式法及递推关 斜线上一些孤立点从变形角度看即可从两个不同方向认识同一数列公差为相反数又相减得即若则以为第一项是第项公差为若则以为第一项时是第项公差为从展的角度看若是等差数列则因此有如下命题在等差数列中若则前项和公式由 比数列中若则前项和公式由两式相减当时当时关于此公式可以从以下几方面认识不能忽视成立

37、的条件特别是公比用字母表示时要分类讨论公式推导过程中所使用的错位相消法可以用在相减后所得式子能够求和的情形如公差为的等差学习必备 精品知识点 最后一次付款后，款已全部还清，则 5000(1+0.8%)12-x(1+0.8%)11-x（1+0.8%）10-x(1+0.8%)-x=0，移项 5000(1+0.8%)12=x(1+0.8%)11+x（1+0.8%）10+x(1+0.8%)+x，即 12121 1.0085000 1.0081 1.008x 算得 12125000 1.008(1.008 1)1.008 1x 438.6（元）一般地，购买一件售价为 a 元的商品，采用分期付款时，要求在

38、 m个月内将款还至 b 元，月利润为 p，分 n（n是 m的约数）次付款，那么每次付款数计算公式为(1)(1)1(1)1mmnma p b pxp.分析二：设每月还款 x 元，将商家的 5000 元折算成 12 个月后的钱要计算 12 个月的利息，而顾客第一次还的钱也应计算 11 个月的利息，第二次还的钱应计算 10 月的利息，于是得方程 5000(1+0.8%)12=x(1+0.8%)11+x（1+0.8%）10+x(1+0.8%)+x，解得438.6 x（元）分析三：设每次还款 x 元，把还款折成现在的钱，可得 2 1150001 0.8%(1 0.8%)(1 0.8%)x x x，解得

39、438.6 x（元）。将上述方法应用到其他实际问题中，如木材砍伐，人口增长等。请你试试 24 某地现有居民住房的总面积为 a m2，其中需要拆除的旧住房面积占了一半。当地有关部门决定在每年拆除一定数量旧住房的情况下，仍以 10%的住房增长率建设新住房。如果 10 年后该地的住房总面积正好比目前翻一番，那么每年应拆除的旧住房总面积 x 是多少？（取 1.110为 2.6）第三节 常见数列的通项及前 n 项和 题根 3 求分数数列1 1 1,1 2 2 3 3 4 的前 n 项和nS 思路 写出数列通项公式，分析数列特点：分母中两因数之差为常数 1。解题 数列通项公式 1(1)nan n，亦可表示

40、为1 11nan n，所以 1 1 1 1 1 11 12 2 3 1 1 1nnSn n n n。收获 将数列每一项裂为两项的差，再相加，使得正负抵消。第 1 变 分母中两因数之差由常数 1 由到 d 变题 1 求分数数列1 1 1,1 3 3 5 5 7 的前 n 项和nS。思路 写出通项公式，裂项求和。，解题 1 1 1 1(2 1)(2 1)2 2 1 2 1nan n n n，1 1 1 1 1 1 1 11 12 3 3 5 2 1 2 1 2 2 1 2 1nnSn n n n。的定义域值域增减性和最值等方面的性质依据这些性质将数列分类依定义域分为有穷数列无穷数列依值域分为有界数

41、列和无界数列依增减性分为递增数列递减数列和摆动数列数列的表示方法列表法图象法解析法通项公式法及递推关 斜线上一些孤立点从变形角度看即可从两个不同方向认识同一数列公差为相反数又相减得即若则以为第一项是第项公差为若则以为第一项时是第项公差为从展的角度看若是等差数列则因此有如下命题在等差数列中若则前项和公式由 比数列中若则前项和公式由两式相减当时当时关于此公式可以从以下几方面认识不能忽视成立的条件特别是公比用字母表示时要分类讨论公式推导过程中所使用的错位相消法可以用在相减后所得式子能够求和的情形如公差为的等差学习必备 精品知识点 收获 1、求分数数列的前 n 项和nS时，将数列每一项裂为两项的差，称

42、裂项法。2、用裂项法可求解：（1）若 na为等差数列，0,1,2,na k，公差为 d，则 1 2 2 3 3 4 1 1 11 1 1 1n n nna a a a a a a a a a.3、常见裂项法求和有两种类型：分式型和根式型。如分式型1 1 1 1(3)3 3nan n n n；根式型 111na n nn n；1 1()a ba ba b。另外还有：nn!=(n+1)!-n!，11m m mn n nC C C。请你试试 3 1 1、求分数数列1 1 1 1,2 6 12 20的前 n 项和nS 2、求分数数列2 2 2 21 1 1 1,1 2 2 4 3 6 4 8 的前 n

43、 项和nS。2、求分数数列2 2 2 2 2 2 2 28 1 8 2 8 3 8 4,1 3 3 5 5 7 7 9 的前 n 项和nS。第 2 变 分母中因数由 2 到 3 变题 2 求分数数列1 1 1,1 2 3 2 3 4 3 4 5 的前 n 项和nS。思路 数列中的项的变化：分母因数由两个变为三个，是否还可裂项呢？解题 由1 1 1 1(1)(2)2(1)(1)(2)nan n n n n n n，得 1 1 1 1 1 1 1()()2 1 2 2 3 2 3 3 4(1)(1)(2)nSn n n n 1 1 1(3)2 1 2(1)(2)(1)(2)n nn n n n。收

44、获 1、分母为连续三因数的积，仍拆为两项的差，再相加，使得正负抵消。2、对于公差为 d(0 d)的等差数列 na,有1 2 1 2 1 2 31 1 1 1()(1)k k ka a a k d a a a a a a.请你试试 3 2 1、求分数数列1 1 1,1 3 5 3 5 7 5 7 9 的前 n 项和nS。的定义域值域增减性和最值等方面的性质依据这些性质将数列分类依定义域分为有穷数列无穷数列依值域分为有界数列和无界数列依增减性分为递增数列递减数列和摆动数列数列的表示方法列表法图象法解析法通项公式法及递推关 斜线上一些孤立点从变形角度看即可从两个不同方向认识同一数列公差为相反数又相减

45、得即若则以为第一项是第项公差为若则以为第一项时是第项公差为从展的角度看若是等差数列则因此有如下命题在等差数列中若则前项和公式由 比数列中若则前项和公式由两式相减当时当时关于此公式可以从以下几方面认识不能忽视成立的条件特别是公比用字母表示时要分类讨论公式推导过程中所使用的错位相消法可以用在相减后所得式子能够求和的情形如公差为的等差学习必备 精品知识点 2、求分数数列1 1 1,1 2 3 4 2 3 4 5 3 4 5 6 的前 n 项和nS。3、求分数数列3 3 3 33 4 51 1 1 1,nC C C C的前 n 项和nS。第 3 变 由分数数列到幂数列 变题 3 求数列2 2 21,2

46、,3,的前 n 项和nS。思路 利用恒等式 3 3 2(1)3 3 1 k k k k，取 k=1,2,3,，相加正负抵消可解。解题 由恒等式 3 3 2(1)3 3 1 k k k k 取 k=1、2、3，得 3 3 22 1 3 1 3 1 1 3 3 23 2 3 2 3 2 1 3 3 2(1)3 3 1 n n n n 各式相加得 3 3 2 2 2(1)1 3(1 2)3(1 2)n n n n 得 2 2 2 3 31 1(1)1 2(1)3(1 2)1(1)3 13 3 2nn nS n n n n n n 1(1)(2 1)6n n n。收获 利用恒等式4 4 3 2(1)4

47、 6 4 1 k k k k k，类似可得 3 3 31 2nS n 2(1)2n n。注意：正整数的平方和、立方和公式应用十分广泛。请你试试 3 3 求和（1）2 2 22 4(2)nS n，（2）3 3 31 3(2 1)nS n，（3）3 3 32 4(2)nS n。第 4 变 由幂数列到积数列 变题 4 求数列1 2,2 3,3 4,的前 n 项和nS。思路 1 写通项公式，由通项特征求解。解题 12(1)na n n n n，2 2 2(1 1)(2 2)()nS n n 2 2 2(1 2)(1 2)n n 的定义域值域增减性和最值等方面的性质依据这些性质将数列分类依定义域分为有穷

48、数列无穷数列依值域分为有界数列和无界数列依增减性分为递增数列递减数列和摆动数列数列的表示方法列表法图象法解析法通项公式法及递推关 斜线上一些孤立点从变形角度看即可从两个不同方向认识同一数列公差为相反数又相减得即若则以为第一项是第项公差为若则以为第一项时是第项公差为从展的角度看若是等差数列则因此有如下命题在等差数列中若则前项和公式由 比数列中若则前项和公式由两式相减当时当时关于此公式可以从以下几方面认识不能忽视成立的条件特别是公比用字母表示时要分类讨论公式推导过程中所使用的错位相消法可以用在相减后所得式子能够求和的情形如公差为的等差学习必备 精品知识点 1(1)1(1)(2 1)(1)(2)6

49、2 3n nn n n n n n。思路 2 利用 1(1)(1)(2)(1)(1)3na n n n n n n n n 裂项相加。解题 2 由 1(1)(1)(2)(1)(1)3na n n n n n n n n 得 1 2 2 3 3 4(1)nS n n 1(1 2 3 0 1 2)(2 3 4 1 2 3)(1)(2)(1)(1)3n n n n n n 1(1)(2)3n n n。收 获 对 于 通 项 为 两 因 数 的 积，可 推 广 到 通 项 为 k 个 因 数 的 积，如 求 数 列1 2 3,2 3(1),3 4(2),k k k 的前项和nS。由1(1)(1)(1)

50、()(1)(1),1na n n n k n n n k n n n kk 将每一项裂为两项的差，相加即可正负抵消。思路 3 联想组合数公式，可见 21(1)2 nn nC，利用组合数性质可得。解题 3 由2(1)2nna n nC，得 2 2 2 22 3 1 22()2nn nSC C C C 1(1)(2)3n n n。请你试试 3 4 求数列1 2 3,2 3 4,3 4 5,的前 n 项和nS。第 4 变 由等差数列与等比数列对应项的积构成的积数列 变题 5 在数列 na 中，210(1)11nna n n n，（1）分别求出10n na a 和 10n na a 的 n 取值范围；