数学公式(大学-高中-初中)(线性代数、高等数学)_中学教育-竞赛题.pdf

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1、.专业.高等数学公式 导数公式：基本积分表：三角函数的有理式积分：2 222122 11cos12sinududxxtg uuuxuux，a xxa a actgx x xtgx x xx ctgxx tgxax xln1)(logln)(csc)(cscsec)(seccsc)(sec)(22 222211)(11)(11)(arccos11)(arcsinxarcctgxxarctgxxxxx C a x xa xdxC shx chxdxC chx shxdxCaadx aC x ctgxdx xC x dx tgx xC ctgx xdxxdxC tgx xdxxdxxx)ln(lnc

2、sc cscsec seccscsinseccos2 22 22222Caxx adxCx ax aa x adxCa xa xa a xdxCaxarctga x adxC ctgx x xdxC tgx x xdxC x ctgxdxC x tgxdx arcsinln21ln211csc ln cscsec ln secsin lncos ln2 22 22 22 2 Cax ax axdx x aC a x xaa xxdx a xC a x xaa xxdx a xInnxdx xdx Inn nnarcsin2 2ln2 2)ln(2 21cos sin22 2 2 22 222

3、2 2 22 222 2 2 222020.专业.一些初等函数：两个重要极限：三角函数公式：诱导公式：函数 角 A sin cos tg ctg-sin cos-tg-ctg 90-cos sin ctg tg 90+cos-sin-ctg-tg 180-sin-cos-tg-ctg 180+-sin-cos tg ctg 270-cos-sin ctg tg 270+-cos sin-ctg-tg 360-sin cos-tg-ctg 360+sin cos tg ctg 和差角公式：和差化积公式：2sin2sin 2 cos cos2cos2cos 2 cos cos2sin2cos 2

4、sin sin2cos2sin 2 sin sin ctg ctgctg ctgctgtg tgtg tgtg 1)(1)(sin sin cos cos)cos(sin cos cos sin)sin(xxarthxx x archxx x arshxe ee echxshxthxe echxe eshxx xx xx xx x 11ln21)1 ln(1 ln(:2:2:22）双曲正切双曲余弦双曲正弦.59045 7182818284.2)11(lim1sinlim0 exxxxxx正切三角函数公式诱导公式函数角和差角公式和差化积公式专业专业倍角公式半角公式正弦定理余弦定理反三角函数性质高

5、阶导数公式莱布尼兹公式中值定理与导数应用拉格朗日中值定理柯西中值定理时柯西中值定理就是拉格朗日 分的近似计算抛物线法梯形法矩形法定积分应用相关公式均方根函数的平均值功水压力为引力系数引力空间解析几何和向量代数代表平行六面体的体积为锐角时向量的混合积例线速度两向量之间的夹角是一个数量轴的夹角与是向量 间直线的方程平面外任意一点到该平面的距离平面的方程点法式其中一般方程截距世方程多元函数微分法及应用隐函数隐函数隐函数的求导公式当多元复合函数的求导法时全微分的近似计算全微分专业隐函数方程组微分法在几何上.专业.倍角公式：半角公式：cos 1sinsincos 1cos 1cos 12 cos 1si

6、nsincos 1cos 1cos 122cos 12cos2cos 12sin ctg tg 正弦定理：RCcBbAa2sin sin sin 余弦定理：C ab b a c cos 22 2 2 反三角函数性质：arcctgx arctgx x x 2arccos2arcsin 高阶导数公式莱布尼兹（Leibniz）公式：)()()()2()1()(0)()()(!)1()1(!2)1()(n k k n n n nnkk k n knnuv v ukk n n nv un nv nu v uv u C uv 中值定理与导数应用：拉格朗日中值定理。时，柯西中值定理就是 当柯西中值定理：拉格

7、朗日中值定理：x xFfa F b Fa f b fa b f a f b f)(F)()()()()()()()()(曲率：.1;0.)1(lim Ms M M:.,13 2 02aK aKyydsdsKM MsKtg y dx y dss 的圆：半径为直线：点的曲率：弧长。：化量；点，切线斜率的倾角变 点到 从 平均曲率：其中 弧微分公式：23333 133cos 3 cos 4 3 cossin 4 sin 3 3 sintgtg tgtg 222 2 2 2122212sin cos sin 2 1 1 cos 2 2 coscos sin 2 2 sintgtgtgctgctgctg

8、 正切三角函数公式诱导公式函数角和差角公式和差化积公式专业专业倍角公式半角公式正弦定理余弦定理反三角函数性质高阶导数公式莱布尼兹公式中值定理与导数应用拉格朗日中值定理柯西中值定理时柯西中值定理就是拉格朗日 分的近似计算抛物线法梯形法矩形法定积分应用相关公式均方根函数的平均值功水压力为引力系数引力空间解析几何和向量代数代表平行六面体的体积为锐角时向量的混合积例线速度两向量之间的夹角是一个数量轴的夹角与是向量 间直线的方程平面外任意一点到该平面的距离平面的方程点法式其中一般方程截距世方程多元函数微分法及应用隐函数隐函数隐函数的求导公式当多元复合函数的求导法时全微分的近似计算全微分专业隐函数方程组微

9、分法在几何上.专业.定积分的近似计算：ban n nban nbany y y y y y y yna bx fy y y yna bx fy y yna bx f)(4)(2)(3)()(21)()()(1 3 1 2 4 2 01 1 01 1 0 抛物线法：梯形法：矩形法：定积分应用相关公式：babadt t fa bdx x fa bykrm mk FA p Fs F W)(1)(1,222 1均方根：函数的平均值：为引力系数 引力：水压力：功：空间解析几何和向量代数：。代表平行六面体的体积为锐角时，向量的混合积：例：线速度：两向量之间的夹角：是一个数量轴的夹角。与 是 向量在轴上的投

10、影：点的距离：空间,cos)(.sin,cos,cosPr Pr)(Pr,cos Pr)()()(22 2 2 2 2 22 1 2 121 221 221 2 2 1c b ac c cb b ba a ac b a c b ar w v b a cb b ba a ak j ib a cb b b a a ab a b a b ab a b a b a b a b aa j a j a a ju AB AB AB jz z y y x x M M dz y xz y xz y xz y xz y xz y x z y xz z y y x xz z y y x xuu 正切三角函数公式诱导

11、公式函数角和差角公式和差化积公式专业专业倍角公式半角公式正弦定理余弦定理反三角函数性质高阶导数公式莱布尼兹公式中值定理与导数应用拉格朗日中值定理柯西中值定理时柯西中值定理就是拉格朗日 分的近似计算抛物线法梯形法矩形法定积分应用相关公式均方根函数的平均值功水压力为引力系数引力空间解析几何和向量代数代表平行六面体的体积为锐角时向量的混合积例线速度两向量之间的夹角是一个数量轴的夹角与是向量 间直线的方程平面外任意一点到该平面的距离平面的方程点法式其中一般方程截距世方程多元函数微分法及应用隐函数隐函数隐函数的求导公式当多元复合函数的求导法时全微分的近似计算全微分专业隐函数方程组微分法在几何上.专业.（

12、马鞍面）双叶双曲面：单叶双曲面：、双曲面：同号）（、抛物面：、椭球面：二次曲面：参数方程：其中 空间直线的方程：面的距离：平面外任意一点到该平、截距世方程：、一般方程：，其中、点法式：平面的方程：113,2 221 1;,1 30 2),(,0)()()(12222222222222 22222220000 0 02 2 20 0 00 0 0 0 0 0 0 czbyaxczbyaxq p zqypxczbyaxpt z znt y ymt x xp n m s tpz zny ymx xC B AD Cz By AxdczbyaxD Cz By Axz y x M C B A n z z

13、C y y B x x A 多元函数微分法及应用 zyzxyxyxyxy xFFyzFFxzz y x FdxdyFFy FFx dxy dFFdxdyy x Fdyyvdxxvdv dyyudxxuduy x v v y x u uxvvzxuuzxzy x v y x u f ztvvztuuzdtdzt v t u f zy y x f x y x f dz zdzzudyyudxxudu dyyzdxxzdz，隐函数，隐函数隐函数的求导公式：时，当：多元复合函数的求导法全微分的近似计算：全微分：0),()()(0),(),(),(),(),()(),(),(),(22 正切三角函数公式

14、诱导公式函数角和差角公式和差化积公式专业专业倍角公式半角公式正弦定理余弦定理反三角函数性质高阶导数公式莱布尼兹公式中值定理与导数应用拉格朗日中值定理柯西中值定理时柯西中值定理就是拉格朗日 分的近似计算抛物线法梯形法矩形法定积分应用相关公式均方根函数的平均值功水压力为引力系数引力空间解析几何和向量代数代表平行六面体的体积为锐角时向量的混合积例线速度两向量之间的夹角是一个数量轴的夹角与是向量 间直线的方程平面外任意一点到该平面的距离平面的方程点法式其中一般方程截距世方程多元函数微分法及应用隐函数隐函数隐函数的求导公式当多元复合函数的求导法时全微分的近似计算全微分专业隐函数方程组微分法在几何上.专业

15、.),(),(1),(),(1),(),(1),(),(1),(),(0),(0),(y uG FJ yvv yG FJ yux uG FJ xvv xG FJ xuG GF FvGuGvFuFv uG FJv u y x Gv u y x Fv uv u 隐函数方程组：微分法在几何上的应用：),(),(),(30)(,()(,()(,(2),(),(),(1),(0),(,0),(0),(0)()()()()()(),()()()(0 0 000 0 000 0 000 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 00 0 00 0 0 0 0 00000000

16、 0 0z y x Fz zz y x Fy yz y x Fx xz z z y x F y y z y x F x x z y x Fz y x F z y x F z y x F nz y x M z y x FG GF FG GF FG GF FTz y x Gz y x Fz z t y y t x x t Mtz zty ytx xz y x Mt zt yt xz y xz y xz y xy xy xx zx zz yz y、过此点的法线方程：、过此点的切平面方程、过此点的法向量：，则：上一点 曲面则切向量 若空间曲线方程为：处的法平面方程：在点处的切线方程：在点 空间曲线 方

17、向导数与梯度：上的投影。在 是单位向量。方向上的，为，其中：它与方向导数的关系是的梯度：在一点 函数的转角。轴到方向 为 其中的方向导数为：沿任一方向 在一点 函数l y x flfl j i e e y x flfjyfixfy x f y x p y x f zl xyfxflfl y x p y x f z),(gradsin cos),(grad),(grad),(),(sin cos),(),(多元函数的极值及其求法：不确定 时值 时，无极为极小值为极大值时，则：，令：设,00),(,0),(,00),(,),(,),(0),(),(220 00 0 20 0 0 0 0 0 0 0

18、 0 0B ACB ACy x Ay x AB ACC y x f B y x f A y x f y x f y x fyy xy xx y x 正切三角函数公式诱导公式函数角和差角公式和差化积公式专业专业倍角公式半角公式正弦定理余弦定理反三角函数性质高阶导数公式莱布尼兹公式中值定理与导数应用拉格朗日中值定理柯西中值定理时柯西中值定理就是拉格朗日 分的近似计算抛物线法梯形法矩形法定积分应用相关公式均方根函数的平均值功水压力为引力系数引力空间解析几何和向量代数代表平行六面体的体积为锐角时向量的混合积例线速度两向量之间的夹角是一个数量轴的夹角与是向量 间直线的方程平面外任意一点到该平面的距离平面

19、的方程点法式其中一般方程截距世方程多元函数微分法及应用隐函数隐函数隐函数的求导公式当多元复合函数的求导法时全微分的近似计算全微分专业隐函数方程组微分法在几何上.专业.重积分及其应用：DzDyDxz y xDyDxDDyDxDD Da y xxd y xfa Fa y xyd y xf Fa y xxd y xf FF F F F a a M z xoyd y x x I y d y x y I xd y xd y x yMMyd y xd y x xMMxdxdyyzxzA y x f zrdrd r r f dxdy y x f232 2 2232 2 2232 2 22 2D22)(),(

20、)(),()(),(,)0(),0,0(),(,),(),(),(,),(),(1),()sin,cos(),(，其中：的引力：轴上质点 平面）对 平面薄片（位于轴 对于 轴 对于 平面薄片的转动惯量：平面薄片的重心：的面积 曲面 柱面坐标和球面坐标：dv y x I dv z x I dv z y Idv x M dv zMz dv yMy dv xMxdr r r F d d d drd r r F dxdydz z y x fd drd r dr d r rd dvr zr yr xz r r f z r Fdz rdrd z r F dxdydz z y x fz zr yr xz y

21、 xr)()()(1,1,1sin),(sin),(),(sin sincossin sincos sin),sin,cos(),(,),(),(,sincos2 2 2 2 2 220 0),(02 22，转动惯量：，其中 重心：，球面坐标：其中：柱面坐标：曲线积分：)()()()()(),(),(),(,)()(),(2 2t yt xdt t t t t f ds y x ftt yt xL L y x fL 特殊情况：则：的参数方程为：上连续，在 设长的曲线积分）：第一类曲线积分（对弧正切三角函数公式诱导公式函数角和差角公式和差化积公式专业专业倍角公式半角公式正弦定理余弦定理反三角函数

22、性质高阶导数公式莱布尼兹公式中值定理与导数应用拉格朗日中值定理柯西中值定理时柯西中值定理就是拉格朗日 分的近似计算抛物线法梯形法矩形法定积分应用相关公式均方根函数的平均值功水压力为引力系数引力空间解析几何和向量代数代表平行六面体的体积为锐角时向量的混合积例线速度两向量之间的夹角是一个数量轴的夹角与是向量 间直线的方程平面外任意一点到该平面的距离平面的方程点法式其中一般方程截距世方程多元函数微分法及应用隐函数隐函数隐函数的求导公式当多元复合函数的求导法时全微分的近似计算全微分专业隐函数方程组微分法在几何上.专业.。，通常设的全微分，其中：才是二元函数 时，在：二元函数的全微分求积注意方向相反！减

23、去对此奇点的积分，应。注意奇点，如，且 内具有一阶连续偏导数 在，、是一个单连通区域；、无关的条件：平面上曲线积分与路径的面积：时，得到，即：当格林公式：格林公式：的方向角。上积分起止点处切向量分别为 和，其中 系：两类曲线积分之间的关，则：的参数方程为 设标的曲线积分）：第二类曲线积分（对坐0),(),(),(),()0,0(),(),(21212,)()()cos cos()()(),()()(),(),(),()()(0 0),(),(0 0 y x dy y x Q dx y x P y x uy x u Qdy PdxyPxQyPxQG y x Q y x PGydx xdy dxd

24、y A DyPxQx Q y PQdy Pdx dxdyyPxQQdy Pdx dxdyyPxQLds Q P Qdy Pdxdt t t t Q t t t P dy y x Q dx y x Pt yt xLy xy xD LD L D LL LL 曲面积分：ds R Q P Rdxdy Qdzdx Pdydzdzdx z x z y x Q dzdx z y x Qdydz z y z y x P dydz z y x Pdxdy y x z y x R dxdy z y x Rdxdy z y x R dzdx z y x Q dydz z y x Pdxdy y x z y x z

25、y x z y x f ds z y x fzxyzxyxyDDDDy x)cos cos cos(),(,),(,),(),(),(,),(),(),(),(),(),(1),(,),(2 2 系：两类曲面积分之间的关号。，取曲面的右侧时取正号；，取曲面的前侧时取正号；，取曲面的上侧时取正，其中：对坐标的曲面积分：对面积的曲面积分：高斯公式：正切三角函数公式诱导公式函数角和差角公式和差化积公式专业专业倍角公式半角公式正弦定理余弦定理反三角函数性质高阶导数公式莱布尼兹公式中值定理与导数应用拉格朗日中值定理柯西中值定理时柯西中值定理就是拉格朗日 分的近似计算抛物线法梯形法矩形法定积分应用相关公式

26、均方根函数的平均值功水压力为引力系数引力空间解析几何和向量代数代表平行六面体的体积为锐角时向量的混合积例线速度两向量之间的夹角是一个数量轴的夹角与是向量 间直线的方程平面外任意一点到该平面的距离平面的方程点法式其中一般方程截距世方程多元函数微分法及应用隐函数隐函数隐函数的求导公式当多元复合函数的求导法时全微分的近似计算全微分专业隐函数方程组微分法在几何上.专业.ds A dv Ads R Q P ds A ds n AzRyQxPds R Q P Rdxdy Qdzdx Pdydz dvzRyQxPnn div)cos cos cos(.,0 div,div)cos cos cos()(成：因

27、此，高斯公式又可写，通量：则为消失 的流体质量，若 即：单位体积内所产生 散度：通量与散度：高斯公式的物理意义 斯托克斯公式曲线积分与曲面积分的关系：ds t A Rdz Qdy Pdx AR Q Pz y xAyPxQxRzPzQyRR Q Pz y xR Q Pz y xdxdy dzdx dydzRdz Qdy Pdx dxdyyPxQdzdxxRzPdydzzQyR 的环流量：沿有向闭曲线 向量场旋度：，关的条件：空间曲线积分与路径无上式左端又可写成：k j irotcos cos cos)()()(常数项级数：是发散的 调和级数：等差数列：等比数列：nn nnqqq q qnn131

28、2112)1(3 2 11111 2 级数审敛法：正切三角函数公式诱导公式函数角和差角公式和差化积公式专业专业倍角公式半角公式正弦定理余弦定理反三角函数性质高阶导数公式莱布尼兹公式中值定理与导数应用拉格朗日中值定理柯西中值定理时柯西中值定理就是拉格朗日 分的近似计算抛物线法梯形法矩形法定积分应用相关公式均方根函数的平均值功水压力为引力系数引力空间解析几何和向量代数代表平行六面体的体积为锐角时向量的混合积例线速度两向量之间的夹角是一个数量轴的夹角与是向量 间直线的方程平面外任意一点到该平面的距离平面的方程点法式其中一般方程截距世方程多元函数微分法及应用隐函数隐函数隐函数的求导公式当多元复合函数的

29、求导法时全微分的近似计算全微分专业隐函数方程组微分法在几何上.专业.散。存在，则收敛；否则发、定义法：时，不确定时，级数发散时，级数收敛，则 设：、比值审敛法：时，不确定时，级数发散时，级数收敛，则 设：别法）：根植审敛法（柯西判、正项级数的审敛法nnn nnnnnnns u u u sUUu lim;3111lim2111lim12 11。的绝对值 其余项，那么级数收敛且其和 如果交错级数满足莱布尼兹定理：的审敛法 或 交错级数1 113 2 1 4 3 2 1,0 lim)0,(n n nnnn nnu r r u suu uu u u u u u u u 绝对收敛与条件收敛：时收敛时发散

30、 级数：收敛；级数：收敛；发散，而 调和级数：为条件收敛级数。收敛，则称 发散，而 如果收敛级数；肯定收敛，且称为绝对 收敛，则 如果为任意实数；，其中111)1(1)1()1()2()1()2()2()1(23 2 12 1p npnn nu u u uu u u upnnn n 幂级数：正切三角函数公式诱导公式函数角和差角公式和差化积公式专业专业倍角公式半角公式正弦定理余弦定理反三角函数性质高阶导数公式莱布尼兹公式中值定理与导数应用拉格朗日中值定理柯西中值定理时柯西中值定理就是拉格朗日 分的近似计算抛物线法梯形法矩形法定积分应用相关公式均方根函数的平均值功水压力为引力系数引力空间解析几何和

31、向量代数代表平行六面体的体积为锐角时向量的混合积例线速度两向量之间的夹角是一个数量轴的夹角与是向量 间直线的方程平面外任意一点到该平面的距离平面的方程点法式其中一般方程截距世方程多元函数微分法及应用隐函数隐函数隐函数的求导公式当多元复合函数的求导法时全微分的近似计算全微分专业隐函数方程组微分法在几何上.专业.0010)3(lim)3(111111122 1 03 2 RRRa aaaRR xR xR xRx a x a x a axxxx x x xn nnnnnnn时，时，时，的系数，则 是，其中 求收敛半径的方法：设称为收敛半径。，其中时不定时发散时收敛，使 在 数轴上都收敛，则必存收敛，

32、也不是在全，如果它不是仅在原点 对于级数时，发散时，收敛于 函数展开成幂级数：nnnnnnnnnxnfxfx f f x f xR x f x xnfRx xnx fx xx fx x x f x f!)0(!2)0()0()0()(00 lim)(,)()!1()()(!)()(!2)()()()(2010)1(00)(2000 0时即为麦克劳林公式：充要条件是：可以展开成泰勒级数的 余项：函数展开成泰勒级数：一些函数展开成幂级数：)()!1 2()1(!5!3sin)1 1(!)1()1(!2)1(1)1(1 215 32 xnx x xx xx xnn m m mxm mmx xnnn

33、m 欧拉公式：2sin2cossin cosix ixix ixixe exe exx i x e 或 三角级数：。上的积分在 任意两个不同项的乘积 正交性：。，其中，0,cos,sin 2 cos,2 sin,cos,sin,1cos sin)sin cos(2)sin()(0 01010 nx nx x x x xx t A b A a aA anx b nx aat n A A t fn n n n n nnn nnn n 傅立叶级数：正切三角函数公式诱导公式函数角和差角公式和差化积公式专业专业倍角公式半角公式正弦定理余弦定理反三角函数性质高阶导数公式莱布尼兹公式中值定理与导数应用拉格朗

34、日中值定理柯西中值定理时柯西中值定理就是拉格朗日 分的近似计算抛物线法梯形法矩形法定积分应用相关公式均方根函数的平均值功水压力为引力系数引力空间解析几何和向量代数代表平行六面体的体积为锐角时向量的混合积例线速度两向量之间的夹角是一个数量轴的夹角与是向量 间直线的方程平面外任意一点到该平面的距离平面的方程点法式其中一般方程截距世方程多元函数微分法及应用隐函数隐函数隐函数的求导公式当多元复合函数的求导法时全微分的近似计算全微分专业隐函数方程组微分法在几何上.专业.是偶函数，余弦级数：是奇函数，正弦级数：（相减）（相加）其中，周期 nx aax f n nxdx x f a bnx b x f n

35、xdx x f b an nxdx x f bn nxdx x f anx b nx aax fn n nn n nnnnn ncos2)(2,1,0 cos)(20sin)(3,2,1 n sin)(2012 41312116 413121124 6141218 51311)3,2,1(sin)(1)2,1,0(cos)(12)sin cos(2)(00022 2 222 2 222 2 222 210 周期为l 2的周期函数的傅立叶级数：正切三角函数公式诱导公式函数角和差角公式和差化积公式专业专业倍角公式半角公式正弦定理余弦定理反三角函数性质高阶导数公式莱布尼兹公式中值定理与导数应用拉格朗

36、日中值定理柯西中值定理时柯西中值定理就是拉格朗日 分的近似计算抛物线法梯形法矩形法定积分应用相关公式均方根函数的平均值功水压力为引力系数引力空间解析几何和向量代数代表平行六面体的体积为锐角时向量的混合积例线速度两向量之间的夹角是一个数量轴的夹角与是向量 间直线的方程平面外任意一点到该平面的距离平面的方程点法式其中一般方程截距世方程多元函数微分法及应用隐函数隐函数隐函数的求导公式当多元复合函数的求导法时全微分的近似计算全微分专业隐函数方程组微分法在几何上.专业.llnllnnn nn dxlx nx flbn dxlx nx flallx nblx naax f)3,2,1(sin)(1)2,1

37、,0(cos)(12)sin cos(2)(10其中，周期 微分方程的相关概念：即得齐次方程通解。，代替 分离变量，积分后将，则 设的函数，解法：，即写成 程可以写成 齐次方程：一阶微分方称为隐式通解。得：的形式，解法：为：一阶微分方程可以化 可分离变量的微分方程或 一阶微分方程：uxyu uduxdxudxduudxdux udxdyxyuxyy x y x fdxdyC x F y G dx x f dy y gdx x f dy y gdy y x Q dx y x P y x f y)()(),(),()()()()()()(0),(),(),(一阶线性微分方程：)1,0()()(2)

38、(0)(,0)()()(1)()()(n y x Q y x Pdxdye C dx e x Q y x QCe y x Qx Q y x Pdxdyndx x P dx x Pdx x P，、贝努力方程：时，为非齐次方程，当为齐次方程，时 当、一阶线性微分方程：全微分方程：通解。应该是该全微分方程的，其中：分方程，即：中左端是某函数的全微 如果C y x uy x Qyuy x Pxudy y x Q dx y x P y x dudy y x Q dx y x P),(),(),(0),(),(),(0),(),(二阶微分方程：时为非齐次时为齐次，0)(0)()()()(22 x fx f

39、x f y x Qdxdyx Pdxy d 二阶常系数齐次线性微分方程及其解法：2 12 2,)(2,(*)0)(1,0(*)r ry y y r r q pr rq p qy y p y式的两个根、求出的系数；式中 的系数及常数项恰好是，其中、写出特征方程：求解步骤：为常数；，其中 正切三角函数公式诱导公式函数角和差角公式和差化积公式专业专业倍角公式半角公式正弦定理余弦定理反三角函数性质高阶导数公式莱布尼兹公式中值定理与导数应用拉格朗日中值定理柯西中值定理时柯西中值定理就是拉格朗日 分的近似计算抛物线法梯形法矩形法定积分应用相关公式均方根函数的平均值功水压力为引力系数引力空间解析几何和向量代

40、数代表平行六面体的体积为锐角时向量的混合积例线速度两向量之间的夹角是一个数量轴的夹角与是向量 间直线的方程平面外任意一点到该平面的距离平面的方程点法式其中一般方程截距世方程多元函数微分法及应用隐函数隐函数隐函数的求导公式当多元复合函数的求导法时全微分的近似计算全微分专业隐函数方程组微分法在几何上.专业.式的通解：出 的不同情况，按下表写、根据(*),32 1r r 的形式，2 1r r(*)式的通解 两个不相等实根)0 4(2 q p x r x re c e c y2 12 1 两个相等实根)0 4(2 q p x re x c c y1)(2 1 一对共轭复根)0 4(2 q p 2422

41、2 1p qpi r i r，)sin cos(2 1x c x c e yx 二阶常系数非齐次线性微分方程 型为常数；型，为常数，sin)(cos)()()()(,)(x x P x x P e x fx P e x fq p x f qy y p yn lxmx 1、行 列 式 1.n行列式共有2n 个元素，展开后有!n 项，可分解为2n行列式；2.代数余子式的性质：、ijA和ija的大小无关；、某行（列）的元素乘以其它行（列）元素的代数余子式为 0；、某行（列）的元素乘以该行（列）元素的代数余子式为 A；3.代数余子式和余子式的关系：(1)(1)i j i jij ij ij ijM A

42、 A M 4.设n行列式 D：将 D 上、下翻转或左右翻转，所得行列式为1D，则(1)21(1)n nD D；将 D 顺时针或逆时针旋转 90，所得行列式为2D，则(1)22(1)n nD D；将 D 主对角线翻转后（转置），所得行列式为3D，则3D D；将 D 主副角线翻转后，所得行列式为4D，则4D D；5.行列式的重要公式：、主对角行列式：主对角元素的乘积；、副对角行列式：副对角元素的乘积(1)2(1)n n；、上、下三角行列式（）：主对角元素的乘积；正切三角函数公式诱导公式函数角和差角公式和差化积公式专业专业倍角公式半角公式正弦定理余弦定理反三角函数性质高阶导数公式莱布尼兹公式中值定理

43、与导数应用拉格朗日中值定理柯西中值定理时柯西中值定理就是拉格朗日 分的近似计算抛物线法梯形法矩形法定积分应用相关公式均方根函数的平均值功水压力为引力系数引力空间解析几何和向量代数代表平行六面体的体积为锐角时向量的混合积例线速度两向量之间的夹角是一个数量轴的夹角与是向量 间直线的方程平面外任意一点到该平面的距离平面的方程点法式其中一般方程截距世方程多元函数微分法及应用隐函数隐函数隐函数的求导公式当多元复合函数的求导法时全微分的近似计算全微分专业隐函数方程组微分法在几何上.专业.、和：副对角元素的乘积(1)2(1)n n；、拉普拉斯展开式：A O A CA BC B O B、(1)m nC A O

44、 AA BB O B C、德蒙行列式：大指标减小指标的连乘积；、特征值；6.对于n阶行列式 A，恒有：1(1)nn k n kkkE A S，其中kS 为 k 阶主子式；7.证明 0 A 的方法：、A A；、反证法；、构造齐次方程组 0 Ax，证明其有非零解；、利用秩，证明()r A n；、证明 0 是其特征值；2、矩 阵 1.A 是n阶可逆矩阵：0 A（是非奇异矩阵）；()r A n（是满秩矩阵）A 的行（列）向量组线性无关；齐次方程组 0 Ax 有非零解；nb R，Ax b 总有唯一解；A 与 E 等价；A 可表示成若干个初等矩阵的乘积；A 的特征值全不为 0；TA A是正定矩阵；A 的行

45、（列）向量组是 nR的一组基；A 是 nR中某两组基的过渡矩阵；2.对于n阶矩阵 A：*AA A A A E 无条件恒 成立；3.1*1 1 1*()()()()()()T T T TA A A A A A*1 1 1()()()T T TAB B A AB B A AB B A 4.矩阵是表格，推导符号为波浪号或箭头；行列式是数值，可求代数和；5.关于分块矩阵的重要结论，其中均 A、B 可逆：若12sAAAA，则：正切三角函数公式诱导公式函数角和差角公式和差化积公式专业专业倍角公式半角公式正弦定理余弦定理反三角函数性质高阶导数公式莱布尼兹公式中值定理与导数应用拉格朗日中值定理柯西中值定理时柯

46、西中值定理就是拉格朗日 分的近似计算抛物线法梯形法矩形法定积分应用相关公式均方根函数的平均值功水压力为引力系数引力空间解析几何和向量代数代表平行六面体的体积为锐角时向量的混合积例线速度两向量之间的夹角是一个数量轴的夹角与是向量 间直线的方程平面外任意一点到该平面的距离平面的方程点法式其中一般方程截距世方程多元函数微分法及应用隐函数隐函数隐函数的求导公式当多元复合函数的求导法时全微分的近似计算全微分专业隐函数方程组微分法在几何上.专业.、1 2 sA A A A；、1111 21sAAAA；、111A O A OO B O B；（主对角分块）、111O A O BB O A O；（副对角分块）、

47、11 1 11A C A A CBO B O B；（拉普拉斯）、111 1 1A O A OC B B CA B；（拉普拉斯）3、矩 阵 的 初 等 变 换 与 线 性 方 程 组 1.一个m n 矩阵 A，总可经过初等变换化为标准形，其标准形是唯一确定的：rm nE OFO O；等价类：所有与 A 等价的矩阵组成的一个集合，称为一个等价类；标准形为其形状最简单的矩阵；对于同型矩阵 A、B，若()()r A r B A B；2.行最简形矩阵：、只能通过初等行变换获得；、每行首个非 0 元素必须为 1；、每行首个非 0 元素所在列的其他元素必须为 0；3.初等行变换的应用：（初等列变换类似，或转

48、置后采用初等行变换）、若(,)(,)rA E E X，则 A 可逆，且1X A；、对矩阵(,)A B 做初等行变化，当 A 变为 E 时，B 就变成1A B，即：1(,)(,)cA B E A B；、求解线形方程组：对于n个未知数n个方程 Ax b，如果(,)(,)rA b E x，则 A 可逆，且 1x A b；4.初等矩阵和对角矩阵的概念：、初等矩阵是行变换还是列变换，由其位置决定：左乘为初等行矩阵、右乘为初等列矩阵；、12n，左乘矩阵 A，i 乘 A 的各行元素；右乘，i 乘 A 的各列元素；、对调两行或两列，符号(,)E i j，且1(,)(,)E i j E i j，例如：11 11

49、 11 1；正切三角函数公式诱导公式函数角和差角公式和差化积公式专业专业倍角公式半角公式正弦定理余弦定理反三角函数性质高阶导数公式莱布尼兹公式中值定理与导数应用拉格朗日中值定理柯西中值定理时柯西中值定理就是拉格朗日 分的近似计算抛物线法梯形法矩形法定积分应用相关公式均方根函数的平均值功水压力为引力系数引力空间解析几何和向量代数代表平行六面体的体积为锐角时向量的混合积例线速度两向量之间的夹角是一个数量轴的夹角与是向量 间直线的方程平面外任意一点到该平面的距离平面的方程点法式其中一般方程截距世方程多元函数微分法及应用隐函数隐函数隐函数的求导公式当多元复合函数的求导法时全微分的近似计算全微分专业隐函

50、数方程组微分法在几何上.专业.、倍乘某行或某列，符号()E i k，且11()()E i k E ik，例如：1111(0)11k kk；、倍加某行或某列，符号()E ij k,且1()()E ij k E ij k，如：11 11 1(0)1 1k kk；5.矩阵秩的基本性质：、0()min(,)m nr A m n；、()()Tr A r A；、若 A B，则()()r A r B；、若 P、Q 可逆，则()()()()r A r PA r AQ r PAQ；（可逆矩阵不影响矩阵的秩）、max(),()(,)()()r A r B r A B r A r B；（）、()()()r A B