数学第四章知识点+单元测试(含答案)_中学教育-试题.pdf

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1、学习必备 欢迎下载 高中数学必修 2圆与方程 知识点总结+习题（含答案）4.1.1 圆的标准方程 1、圆的标准方程：2 2 2()()x a y b r 圆心为 A(a,b),半径为 r 的圆的方程 2、点0 0(,)M x y与圆2 2 2()()x a y b r 的关系的判断方法：（1）2 20 0()()x a y b 2r，点在圆外（2）2 20 0()()x a y b=2r，点在圆上（3）2 20 0()()x a y b 2r，点在圆内 4.1.2 圆的一般方程 1、圆的一般方程：02 2 F Ey Dx y x 2、圆的一般方程的特点：(1)x2 和 y2 的系数相同，不等于

2、 0 没有 xy 这样的二次项(2)圆的一般方程中有三个特定的系数 D、E、F，因之只要求出这三个系数，圆的方程就确定了(3)、与圆的标准方程相比较，它是一种特殊的二元二次方程，代数特征明显，圆的标准方程则指出了圆心坐标与半径大小，几何特征较明显。4.2.1 圆与圆的位置关系 1、用点到直线的距离来判断直线与圆的位置关系 设直线l：0 c by ax，圆C：02 2 F Ey Dx y x，圆的半径为r，圆心)2,2(E D 到直线的距离为d，则判别直线与圆的位置关系的依据有以下几点：（1）当r d 时，直线l与圆C相离；（2）当r d 时，直线l与圆C相切；（3）当r d 时，直线l与圆C相

3、交；4.2.2 圆与圆的位置关系 两圆的位置关系 设两圆的连心线长为l，则判别圆与圆的位置关系的依据有以下几点：（1）当2 1r r l 时，圆1C与圆2C相离；（2）当2 1r r l 时，圆1C与圆2C外切；（3）当|2 1r r2 1r r l 时，圆1C与圆2C相交；学习必备 欢迎下载（4）当|2 1r r l 时，圆 1C与圆 2C内切；（5）当|2 1r r l 时，圆 1C与圆 2C内含；4.2.3 直线与圆的方程的应用 1、利用平面直角坐标系解决直线与圆的位置关系；2、过程与方法 用坐标法解决几何问题的步骤：第一步：建立适当的平面直角坐标系，用坐标和方程表示问题中的几何元素，将

4、平面几何问题转化为代数问题；第二步：通过代数运算，解决代数问题；第三步：将代数运算结果“翻译”成几何结论 4.3.1 空间直角坐标系 1、点 M 对应着唯一确定的有序实数组),(z y x，x、y、z分别是 P、Q、R 在x、y、z轴上的坐标 2、有序实数组),(z y x，对应着空间直角坐标系中的一点 3、空间中任意点 M 的坐标都可以用有序实数组),(z y x来表示，该数组叫做点 M 在此空间直角坐标系中的坐标，记 M),(z y x，x叫做点 M 的横坐标，y叫做点 M 的纵坐标，z叫做点 M 的竖坐标。4.3.2 空间两点间的距离公式 1、空间中任意一点),(1 1 1 1z y x

5、 P到点),(2 2 2 2z y x P之间的距离公式 22 122 122 1 2 1)()()(z z y y x x P P OyxMMRPQOyzxMP1P2NM1N2N1M2H方程点与圆的关系的判断方法点在圆外点在圆上点在圆内圆的一般方程圆的一般方程圆的一般方程的特点和的系数相同不等于没有这样的二次项圆的一般方程中有三个特定的系数因之只要求出这三个系数圆的方程就确定了与圆的标 明显圆与圆的位置关系用点到直线的距离来判断直线与圆的位置关系设直线圆圆的半径为圆心到直线的距离为则判别直线与圆的位置关系的依据有以下几点当时直线与圆相离当时直线与圆相切当时直线与圆相交圆与圆的位置关系两 时圆

6、与圆相交学习必备欢迎下载当时圆与圆内切当时圆与圆内含直线与圆的方程的应用利用平面直角坐标系解决直线与圆的位置关系过程与方法用坐标法解决几何问题的步骤第一步建立适当的平面直角坐标系用坐标和方程表示问题学习必备 欢迎下载 第四章测试(时间：120 分钟 总分：150 分)一、选择题(本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1 已知两圆的方程是 x2 y2 1 和 x2 y2 6x 8y 9 0，那么这两个圆的位置关系是()A相离 B相交 C外切 D内切 2过点(2,1)的直线中，被圆 x2 y2 2x 4y 0 截得的最长弦所在的直线方

7、程为()A 3x y 5 0 B 3x y 7 0 C x 3y 5 0 D x 3y 1 0 3若直线(1 a)x y 1 0 与圆 x2 y2 2x 0 相切，则 a 的值为()A 1，1 B 2，2 C 1 D 1 4经过圆 x2 y2 10 上一点 M(2，6)的切线方程是()A x 6y 10 0 B.6x 2y 10 0 C x 6y 10 0 D 2x 6y 10 0 5点 M(3，3,1)关于 xOz 平面的对称点是()A(3,3，1)B(3，3，1)C(3，3，1)D(3,3,1)6若点 A 是点 B(1,2,3)关于 x 轴对称的点，点 C 是点 D(2，2,5)关于 y

8、轴对称的点，则|AC|()A 5 B.13 C 10 D.10 7若直线 y kx 1 与圆 x2 y2 1 相交于 P、Q 两点，且 POQ 120(其中 O 为坐标原点)，则 k 的值为()A.3 B.2 C.3或 3 D.2和 2 8与圆 O1：x2 y2 4x 4y 7 0 和圆 O2：x2 y2 4x 10y 13 0 都相切的直线条数是()A 4 B 3 C 2 D 1 9 直线 l 将圆 x2 y2 2x 4y 0 平分，且与直线 x 2y 0 垂直，则直线 l 的方程是()A 2x y 0 B 2x y 2 0 C x 2y 3 0 D x 2y 3 0 10 圆 x2 y2(

9、4m 2)x 2my 4m2 4m 1 0 的圆心在直线 x y 4 0 上，那么圆的面积为()方程点与圆的关系的判断方法点在圆外点在圆上点在圆内圆的一般方程圆的一般方程圆的一般方程的特点和的系数相同不等于没有这样的二次项圆的一般方程中有三个特定的系数因之只要求出这三个系数圆的方程就确定了与圆的标 明显圆与圆的位置关系用点到直线的距离来判断直线与圆的位置关系设直线圆圆的半径为圆心到直线的距离为则判别直线与圆的位置关系的依据有以下几点当时直线与圆相离当时直线与圆相切当时直线与圆相交圆与圆的位置关系两 时圆与圆相交学习必备欢迎下载当时圆与圆内切当时圆与圆内含直线与圆的方程的应用利用平面直角坐标系解

10、决直线与圆的位置关系过程与方法用坐标法解决几何问题的步骤第一步建立适当的平面直角坐标系用坐标和方程表示问题学习必备 欢迎下载 A.9 B.C 2 D由 m 的值而定 11当点 P 在圆 x2 y2 1 上变动时，它与定点 Q(3,0)的连结线段 PQ 的中点的轨迹方程是()A(x 3)2 y2 4 B(x 3)2 y2 1 C(2x 3)2 4y2 1 D(2x 3)2 4y2 1 12 曲线 y 1 4 x2与直线 y k(x 2)4 有两个交点，则实数 k 的取值范围是()A(0，512)B(512，)C(13，34 D(512，34 二、填空题(本大题共 4 小题，每小题 5 分，满分

11、20 分，把答案填在题中横线上)13圆 x2 y2 1 上的点到直线 3x 4y 25 0 的距离最小值为 _ 14圆心为(1,1)且与直线 x y 4 相切的圆的方程是 _ 15方程 x2 y2 2ax 2ay 0 表示的圆，关于直线 y x 对称；关于直线 x y 0对称；其圆心在 x 轴上，且过原点；其圆心在 y 轴上，且过原点，其中叙述正确的是_ 16直线 x 2y 0 被曲线 x2 y2 6x 2y 15 0 所截得的弦长等于 _ 三、解答题(本大题共 6 小题，共 70 分解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17(10 分)自 A(4,0)引圆 x2 y2 4 的割线

12、ABC，求弦 BC 中点 P 的轨迹方程 18(12 分)已知圆 M：x2 y2 2mx 4y m2 1 0 与圆 N：x2 y2 2x 2y 2 0 相交于 A，B 两点，且这两点平分圆 N 的圆周，求圆 M 的圆心坐标 19(12 分)已知圆 C1：x2 y2 3x 3y 3 0，圆 C2：x2 y2 2x 2y 0，求两圆的公共弦所在的直线方程及弦长 20(12 分)已知圆 C：x2 y2 2x 4y 3 0，从圆 C外一点 P向圆引一条切线，切点为 M，O 为坐标原点，且有|PM|PO|，求|PM|的最小值 21(12 分)已知 C：(x 3)2(y 4)2 1，点 A(1,0)，B(

13、1,0)，点 P 是圆上动点，求d|PA|2|PB|2的最大、最小值及对应的 P 点坐标 22(12 分)已知曲线 C：x2 y2 2kx(4k 10)y 10k 20 0，其中 k 1.(1)求证：曲线 C 表示圆，并且这些圆心都在同一条直线上；(2)证明曲线 C 过定点；(3)若曲线 C 与 x 轴相切，求 k 的值 1 解析：将圆 x2 y2 6x 8y 9 0，方程点与圆的关系的判断方法点在圆外点在圆上点在圆内圆的一般方程圆的一般方程圆的一般方程的特点和的系数相同不等于没有这样的二次项圆的一般方程中有三个特定的系数因之只要求出这三个系数圆的方程就确定了与圆的标 明显圆与圆的位置关系用点

14、到直线的距离来判断直线与圆的位置关系设直线圆圆的半径为圆心到直线的距离为则判别直线与圆的位置关系的依据有以下几点当时直线与圆相离当时直线与圆相切当时直线与圆相交圆与圆的位置关系两 时圆与圆相交学习必备欢迎下载当时圆与圆内切当时圆与圆内含直线与圆的方程的应用利用平面直角坐标系解决直线与圆的位置关系过程与方法用坐标法解决几何问题的步骤第一步建立适当的平面直角坐标系用坐标和方程表示问题学习必备 欢迎下载 化为标准方程得(x 3)2(y 4)2 16.两圆的圆心距 0 32 0 42 5，又 r1 r2 5，两圆外切 答案：C 2 解析：依题意知，所求直线通过圆心(1，2)，由直线的两点式方程得y 2

15、1 2x 12 1，即3x y 5 0.答案：A 3 解析：圆 x2 y2 2x 0 的圆心 C(1,0)，半径为 1，依题意得|1 a 0 1|1 a2 1 1，即|a2|a 12 1，平方整理得 a 1.答案：D 4 解析：点 M(2，6)在圆 x2 y2 10 上，kOM62，过点 M 的切线的斜率为 k63，故切线方程为 y 663(x 2)，即 2x 6y 10 0.答案：D 5 解析：点 M(3，3,1)关于 xOz 平面的对称点是(3,3,1)答案：D 6 解析：依题意得点 A(1，2，3)，C(2，2，5)|AC|2 12 2 22 5 32 13.答案：B 7 解析：由题意知

16、，圆心 O(0,0)到直线 y kx 1 的距离为12，11 k212，k 3.答案：C 8 解析：两圆的方程配方得，O1：(x 2)2(y 2)2 1，O2：(x 2)2(y 5)2 16，圆心 O1(2,2)，O2(2,5)，半径 r1 1，r2 4，|O1O2|2 22 5 22 5，r1 r2 5.|O1O2|r1 r2，两圆外切，故有 3 条公切线 答案：B 9 解析：依题意知，直线 l 过圆心(1,2)，斜率 k 2，l 的方程为 y 2 2(x 1)，即 2x y 0.答案：A 10 解析：x2 y2(4m 2)x 2my 4m2 4m 1 0，x(2m 1)2(y m)2 m2

17、.圆心(2m 1，m)，半径 r|m|.依题意知 2m 1 m 4 0，m 1.圆的面积 S 12.答案：B 11 解析：设 P(x1，y1)，Q(3,0)，设线段 PQ 中点 M 的坐标为(x，y)，方程点与圆的关系的判断方法点在圆外点在圆上点在圆内圆的一般方程圆的一般方程圆的一般方程的特点和的系数相同不等于没有这样的二次项圆的一般方程中有三个特定的系数因之只要求出这三个系数圆的方程就确定了与圆的标 明显圆与圆的位置关系用点到直线的距离来判断直线与圆的位置关系设直线圆圆的半径为圆心到直线的距离为则判别直线与圆的位置关系的依据有以下几点当时直线与圆相离当时直线与圆相切当时直线与圆相交圆与圆的位

18、置关系两 时圆与圆相交学习必备欢迎下载当时圆与圆内切当时圆与圆内含直线与圆的方程的应用利用平面直角坐标系解决直线与圆的位置关系过程与方法用坐标法解决几何问题的步骤第一步建立适当的平面直角坐标系用坐标和方程表示问题学习必备 欢迎下载 则 x x1 32，y y12，x1 2x 3，y1 2y.又点 P(x1，y1)在圆 x2 y2 1 上，(2x 3)2 4y2 1.故线段 PQ 中点的轨迹方程为(2x 3)2 4y2 1.答案：C 12 解析：如图所示，曲线 y 1 4 x2 变形为 x2(y 1)2 4(y 1)，直线 y k(x 2)4 过定点(2,4)，当直线 l 与半圆相切时，有|2k

19、 4 1|k2 1 2，解得 k512.当直线 l 过点(2,1)时，k34.因此，k 的取值范围是512k34.答案：D 13 解析：圆心(0,0)到直线 3x 4y 25 0 的距离为 5，所求的最小值为 4.14 解析：r|1 1 4|2 2，所以圆的方程为(x 1)2(y 1)2 2.15 解析：已知方程配方得，(x a)2(y a)2 2a2(a 0)，圆心坐标为(a，a)，它在直线 x y 0 上，已知圆关于直线 x y 0 对称故 正确 16 解析：由 x2 y2 6x 2y 15 0，得(x 3)2(y 1)2 25.圆心(3,1)到直线 x 2y 0 的距离 d|3 2 1|

20、5 5.在弦心距、半径、半弦长组成的直角三角形中，由勾股定理得，弦长 2 25 5 4 5.17 解：解法 1：连接 OP，则 OP BC，设 P(x，y)，当 x 0 时，kOP kAP 1，即yxyx 4 1，即 x2 y2 4x 0 当 x 0 时，P 点坐标为(0,0)是方程的解，方程点与圆的关系的判断方法点在圆外点在圆上点在圆内圆的一般方程圆的一般方程圆的一般方程的特点和的系数相同不等于没有这样的二次项圆的一般方程中有三个特定的系数因之只要求出这三个系数圆的方程就确定了与圆的标 明显圆与圆的位置关系用点到直线的距离来判断直线与圆的位置关系设直线圆圆的半径为圆心到直线的距离为则判别直线

21、与圆的位置关系的依据有以下几点当时直线与圆相离当时直线与圆相切当时直线与圆相交圆与圆的位置关系两 时圆与圆相交学习必备欢迎下载当时圆与圆内切当时圆与圆内含直线与圆的方程的应用利用平面直角坐标系解决直线与圆的位置关系过程与方法用坐标法解决几何问题的步骤第一步建立适当的平面直角坐标系用坐标和方程表示问题学习必备 欢迎下载 BC 中点 P 的轨迹方程为 x2 y2 4x 0(在已知圆内)解法 2：由解法 1 知 OP AP，取 OA 中点 M，则 M(2,0)，|PM|12|OA|2，由圆的定义知，P 点轨迹方程是以 M(2,0)为圆心，2 为半径的圆 故所求的轨迹方程为(x 2)2 y2 4(在已

22、知圆内)18 解：由圆 M 与圆 N 的方程易知两圆的圆心分别为 M(m，2)，N(1，1)两圆的方程相减得直线 AB 的方程为 2(m 1)x 2y m2 1 0.A，B 两点平分圆 N 的圆周，AB 为圆 N 的直径，AB 过点 N(1，1)，2(m 1)(1)2(1)m2 1 0，解得 m 1.故圆 M 的圆心 M(1，2)19 解：设两圆的交点为 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 A、B 两点的坐标是方程组 x2 y2 3x 3y 3 0 x2 y2 2x 2y 0的解，两方程相减得：x y 3 0，A、B 两点的坐标都满足该方程，x y 3 0 为所求 将圆 C2的方程化为标准

23、形式，(x 1)2(y 1)2 2，圆心 C2(1,1)，半径 r 2.圆心 C2到直线 AB 的距离 d|1 1 3|212，|AB|2 r2 d2 2 212 6.即两圆的公共弦长为 6.20 解：如图：PM 为圆 C 的切线，则 CM PM，PMC 为直角三角形，|PM|2|PC|2|MC|2.方程点与圆的关系的判断方法点在圆外点在圆上点在圆内圆的一般方程圆的一般方程圆的一般方程的特点和的系数相同不等于没有这样的二次项圆的一般方程中有三个特定的系数因之只要求出这三个系数圆的方程就确定了与圆的标 明显圆与圆的位置关系用点到直线的距离来判断直线与圆的位置关系设直线圆圆的半径为圆心到直线的距离

24、为则判别直线与圆的位置关系的依据有以下几点当时直线与圆相离当时直线与圆相切当时直线与圆相交圆与圆的位置关系两 时圆与圆相交学习必备欢迎下载当时圆与圆内切当时圆与圆内含直线与圆的方程的应用利用平面直角坐标系解决直线与圆的位置关系过程与方法用坐标法解决几何问题的步骤第一步建立适当的平面直角坐标系用坐标和方程表示问题学习必备 欢迎下载 设 P(x，y)，C(1,2)，|MC|2.|PM|PO|，x2 y2(x 1)2(y 2)2 2，化简得点 P 的轨迹方程为：2x 4y 3 0.求|PM|的最小值，即求|PO|的最小值，即求原点 O 到直线 2x 4y 3 0 的距离，代入点到直线的距离公式可求得

25、|PM|最小值为3 510.21 解：设点 P 的坐标为(x0，y0)，则 d(x0 1)2 y02(x0 1)2 y02 2(x02 y02)2.欲求 d 的最大、最小值，只需求 u x02 y02的最大、最小值，即求 C 上的点到原点距离的平方的最大、最小值 作直线 OC，设其交 C 于 P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，如图所示 则 u最小值|OP1|2(|OC|P1C|)2(5 1)2 16.此时，x13y1445，x1125，y1165.d 的最小值为 34，对应点 P1的坐标为125，165.同理可得 d 的最大值为 74，对应点 P2的坐标为185，245.22 解：(1)

26、证明：原方程可化为(x k)2(y 2k 5)2 5(k 1)2 k 1，5(k 1)20.故方程表示圆心为(k，2k 5)，半径为 5|k 1|的圆 设圆心的坐标为(x，y)，则 x k，y 2k 5，消去 k，得 2x y 5 0.这些圆的圆心都在直线 2x y 5 0 上(2)证明：将原方程变形为(2x 4y 10)k(x2 y2 10y 20)0，上式对于任意 k 1 恒成立，方程点与圆的关系的判断方法点在圆外点在圆上点在圆内圆的一般方程圆的一般方程圆的一般方程的特点和的系数相同不等于没有这样的二次项圆的一般方程中有三个特定的系数因之只要求出这三个系数圆的方程就确定了与圆的标 明显圆与

27、圆的位置关系用点到直线的距离来判断直线与圆的位置关系设直线圆圆的半径为圆心到直线的距离为则判别直线与圆的位置关系的依据有以下几点当时直线与圆相离当时直线与圆相切当时直线与圆相交圆与圆的位置关系两 时圆与圆相交学习必备欢迎下载当时圆与圆内切当时圆与圆内含直线与圆的方程的应用利用平面直角坐标系解决直线与圆的位置关系过程与方法用坐标法解决几何问题的步骤第一步建立适当的平面直角坐标系用坐标和方程表示问题学习必备 欢迎下载 2x 4y 10 0，x2 y2 10y 20 0.解得 x 1，y 3.曲线 C 过定点(1，3)(3)圆 C 与 x 轴相切，圆心(k，2k 5)到 x 轴的距离等于半径，即|2

28、k 5|5|k 1|.两边平方，得(2k 5)2 5(k 1)2，k 5 3 5.方程点与圆的关系的判断方法点在圆外点在圆上点在圆内圆的一般方程圆的一般方程圆的一般方程的特点和的系数相同不等于没有这样的二次项圆的一般方程中有三个特定的系数因之只要求出这三个系数圆的方程就确定了与圆的标 明显圆与圆的位置关系用点到直线的距离来判断直线与圆的位置关系设直线圆圆的半径为圆心到直线的距离为则判别直线与圆的位置关系的依据有以下几点当时直线与圆相离当时直线与圆相切当时直线与圆相交圆与圆的位置关系两 时圆与圆相交学习必备欢迎下载当时圆与圆内切当时圆与圆内含直线与圆的方程的应用利用平面直角坐标系解决直线与圆的位置关系过程与方法用坐标法解决几何问题的步骤第一步建立适当的平面直角坐标系用坐标和方程表示问题