新人教版八年级数学下册勾股定理典型例题分析_中学教育-中考.pdf

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1、学习必备 欢迎下载 新人教版八年级下册勾股定理典型例习题 一、经典例题精讲 题型一：直接考查勾股定理 例.在ABC中，90C 已知6AC，8BC 求AB的长 已知17AB，15AC，求BC的长分析：直接应用勾股定理222abc 解：2210ABACBC 228BCABAC 题型二：利用勾股定理测量长度 例题 1 如果梯子的底端离建筑物 9 米，那么 15 米长的梯子可以到达建筑物的高度是多少米？解析：这是一道大家熟知的典型的“知二求一”的题。把实物模型转化为数学模型后，.已知斜边长和一条直角边长，求另外一条直角边的长度，可以直接利用勾股定理！根据勾股定理 AC2+BC2=AB2,即 AC2+9

2、2=152,所以 AC2=144,所以 AC=12.例题 2 如图（8），水池中离岸边 D点 1.5 米的 C处，直立长着一根芦苇，出水部分 BC 的长是 0.5 米，把芦苇拉到岸边，它的顶端 B 恰好落到 D 点，并求水池的深度 AC.解析：同例题 1 一样，先将实物模型转化为数学模型，如图 2.由题意可知ACD中,ACD=90,在 RtACD中，只知道 CD=1.5，这是典型的利用勾股定理“知二求一”的类型。标准解题步骤如下（仅供参考）：解：如图 2，根据勾股定理，AC2+CD2=AD2 设水深 AC=x 米，那么 AD=AB=AC+CB=x+0.5 x2+1.52=（x+0.5）2 解之

3、得 x=2.故水深为 2 米.题型三：勾股定理和逆定理并用 例题 3 如图 3，正方形 ABCD 中，E是 BC边上的中点，F是 AB上一点，且ABFB41那么DEF是直角三角形吗？为什么？CBDA学习必备 欢迎下载 解析：这道题把很多条件都隐藏了，乍一看有点摸不着头脑。仔细读题会意可以发现规律，没有任何条件，我们也可以开创条件，由ABFB41可以设 AB=4 a，那么 BE=CE=2 a,AF=3 a,BF=a,那么在 RtAFD、RtBEF和 Rt CDE中，分别利用勾股定理求出 DF,EF和 DE的长，反过来再利用勾股定理逆定理去判断DEF是否是直角三角形。详细解题步骤如下：解：设正方形

4、 ABCD 的边长为 4a,则 BE=CE=2 a,AF=3 a,BF=a 在 RtCDE中，DE2=CD2+CE2=(4a)2+(2 a)2=20 a2 同理 EF2=5a2,DF2=25a2 在DEF中，EF2+DE2=5a2+20a2=25a2=DF2 DEF是直角三角形，且DEF=90.注：本题利用了四次勾股定理，是掌握勾股定理的必练习题。题型四：利用勾股定理求线段长度 例题 4 如图 4，已知长方形 ABCD 中 AB=8cm,BC=10cm,在边 CD上取一点 E，将ADE折叠使点 D恰好落在 BC边上的点 F，求 CE的长.解析：解题之前先弄清楚折叠中的不变量。合理设元是关键。注

5、：本题接下来还可以折痕的长度和求重叠部分的面积。题型五：利用勾股定理逆定理判断垂直 例题 5 如图 5，王师傅想要检测桌子的表面 AD边是否垂直与 AB边和 CD边，他测得 AD=80cm，AB=60cm，BD=100cm，AD边与 AB边垂直吗？怎样去验证 AD边与 CD边是否垂直？解析：由于实物一般比较大，长度不容易用直尺来方便测量。我们通常截取部分长度来验证。如图 4，矩形 ABCD 表示桌面形状，在 AB上截取 AM=12cm,在 AD上截取 AN=9cm(想想为什么要设为这两个长度？)，连结 MN，测量 MN的长度。如果 MN=15,则 AM2+AN2=MN2,所以 AD边与 AB边

6、垂直；如果 MN=a15,则 92+122=81+144=225,a2225,即 92+122 a2，所以A不是直角。利用勾股定理解决实际问题 例题 6 有一个传感器控制的灯，安装在门上方，离地高 4.5 米的墙上，任何东西只要移至 5 米以内，灯就自动打开，一个身高 1.5 米的学生，要走到离门多远的地方灯刚好打开？求的长已知求的长分析直接应用勾股定理解题型二利用勾股定理测量长度例题如果梯子的底端离建筑物米那么米长的梯子可以到达建筑物的高度是多少米解析这是一道大家熟知的典型的知二求一的题把实物模型转化为数学模型后已中离岸边点米的处直立长着一根芦苇出水部分的长是米把芦苇拉到岸边的顶端恰好落到点

7、并求水池的深度解析同例题一样先将实物模型转化为数学模型如图由题意可知中在中只知道这是典型的利用勾股定理知二求一的类型标准解题方形中是边上的中点是上一点且那么是直角三角形吗为什么学习必备欢迎下载解析这道题把很多条件都隐藏了乍一看有点摸不着头脑仔细读题会意可以发现规律没有任何条件我们也可以开创条件由可以设那么那么在和中分别利用勾学习必备 欢迎下载 解析：首先要弄清楚人走过去，是头先距离灯 5 米还是脚先距离灯 5 米，可想而知应该是头先距离灯 5 米。转化为数学模型，如图 6 所示，A点表示控制灯，BM表示人的高度，BCMN,BC AN当头（B点）距离 A有 5 米时，求 BC的长度。已知 AN=

8、4.5米,所以 AC=3米，由勾股定理，可计算 BC=4米.即使要走到离门 4 米的时候灯刚好打开。题型六：旋转问题：例 1、如图，ABC 是直角三角形，BC 是斜边，将ABP 绕点 A 逆时针旋转后，能与ACP重合，若 AP=3，求 PP的长。变式 1：如图，P是等边三角形 ABC内一点，PA=2,PB=2 3,PC=4,求ABC的边长.分析：利用旋转变换，将BPA 绕点B逆时针选择60，将三条线段集中到同一个三角形中，根据它们的数量关系，由勾股定理可知这是一个直角三角形.变式2、如图，ABC 为等腰直角三角形，BAC=90，E、F是BC 上的点，且EAF=45，试探究222BECFEF、间

9、的关系，并说明理由.题型七：关于翻折问题 例 1、如图，矩形纸片 ABCD的边 AB=10cm，BC=6cm，E为 BC上一点，将矩形纸片沿 AE折叠，点 B恰好落在 CD边上的点 G 处，求 BE的长.变式：如图，AD是ABC的中线，ADC=45，把ADC沿直线 AD翻折，点 C落在点 C的 位 置，BC=4,求 BC的长.题型八：关于勾股定理在实际中的应用：例 1、如图，公路 MN 和公路 PQ 在 P 点处交汇，点 A 处有一所中学，AP=160 米，点 A 到公路 MN 的距离为 80 米，假使拖拉机行驶时，周围 100 米以内会受到噪音影响，那么拖拉机在公路 MN 上沿 PN 方向行

10、驶时，学校是否会受到影响，请说明理由；如果受到影响，已知拖拉机的速度是 18 千米/小时，那么学校受到影响的时间为多少？题型九：关于最短性问题 例 5、如右图 119，壁虎在一座底面半径为 2 米，高为 4 米的油罐的下底边沿 A处，它发现在自己的正上方油罐上边缘的 B 处有一只害虫，便决定捕捉这只害虫，为了不引起害虫的注意，它故意不走直线，而是绕着油罐，沿一条螺旋路线，从背后对害虫进行突然袭击结果，壁虎的偷袭得到成功，获得了一顿美餐请问壁虎至少要爬行多少路程才能捕到害虫?（取 3.14，结果保留 1 位小数，可以用计算器计算）变式：如图为一棱长为 3cm 的正方体，把所有面都分为 9 个小正

11、方形，其边长都是 1cm，假设一只蚂蚁每秒爬行 2cm，则它从下地面 A 点沿表面爬行至右侧面的 B 点，最少要花几秒钟？求的长已知求的长分析直接应用勾股定理解题型二利用勾股定理测量长度例题如果梯子的底端离建筑物米那么米长的梯子可以到达建筑物的高度是多少米解析这是一道大家熟知的典型的知二求一的题把实物模型转化为数学模型后已中离岸边点米的处直立长着一根芦苇出水部分的长是米把芦苇拉到岸边的顶端恰好落到点并求水池的深度解析同例题一样先将实物模型转化为数学模型如图由题意可知中在中只知道这是典型的利用勾股定理知二求一的类型标准解题方形中是边上的中点是上一点且那么是直角三角形吗为什么学习必备欢迎下载解析这

12、道题把很多条件都隐藏了乍一看有点摸不着头脑仔细读题会意可以发现规律没有任何条件我们也可以开创条件由可以设那么那么在和中分别利用勾学习必备 欢迎下载 三、课后训练：一、填空题 1如图(1)，在高 2 米，坡角为 30的楼梯表面铺地毯，地毯的长至少需_米 图(1)2种盛饮料的圆柱形杯（如图），测得内部底面半径为 2.5，高为 12，吸管放进杯里，杯口外面至少要露出 4.6，问吸管要做 。3已知：如图，ABC 中，C=90，点 O 为ABC 的三条角平分线的交点，ODBC，OEAC，OFAB，点 D、E、F 分别是垂足，且 BC=8cm，CA=6cm，则点 O 到三边 AB，AC 和 BC 的距离分

13、别等于 cm 4在一棵树的 10 米高处有两只猴子，一只猴子爬下树走到离树 20 米处的池塘的 A 处。另一只爬到树顶 D 后直接跃到 A 处，距离以直线计算，如果两只猴子所经过的距离相等，则这棵树高_米。5.如图是一个三级台阶，它的每一级的长宽和高分别为 20dm、3dm、2dm，A和 B是这个台阶两个相对的端点，A点有一只蚂蚁，想到 B 点去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬到 B点最短路程是_.二、选择题 1已知一个 Rt的两边长分别为 3 和 4，则第三边长的平方是（）A、25 B、14 C、7 D、7 或 25 2Rt一直角边的长为 11，另两边为自然数，则 Rt的周长为（）A、121

14、 B、120 C、132 D、不能确定 3如果 Rt两直角边的比为 512，则斜边上的高与斜边的比为（）A、6013 B、512 C、1213 D、60169 4已知 RtABC中，C=90，若 a+b=14cm，c=10cm，则 RtABC的面积是（）A、24cm2 B、36cm2 C、48cm2 D、60cm2 5等腰三角形底边上的高为 8，周长为 32，则三角形的面积为（）A、56 B、48 C、40 D、32 6某市在旧城改造中，计划在市内一块如图所示的三角形空地上种植草皮以美化环境，已知这种草皮每平方米售价 a 元，则购买这种草皮至少需要（）A、450a 元 B、225a 元 C、1

15、50a 元 D、300a 元 7已知，如图长方形 ABCD 中，AB=3cm，AD=9cm，将此长方形折叠，使点 B与点 D重合，折痕为 EF，则ABE的面积为（）A、6cm2 B、8cm2 C、10cm2 D、12cm2 8在ABC 中，AB=15，AC=13，高 AD=12，则ABC 的周长为 A42 B32 C42 或 32 D37 或 33 9.如图，正方形网格中的ABC，若小方格边长为 1，则ABC是（）（A）直角三角形(B)锐角三角形(C)钝角三角形 (D)以上答案都不对 C O A B D E F 第 3 题图 D B C A 第 4 题图 2032AB150 20m 30m 第

16、 6 题图 A B E F D C 第 7 题图 ABC求的长已知求的长分析直接应用勾股定理解题型二利用勾股定理测量长度例题如果梯子的底端离建筑物米那么米长的梯子可以到达建筑物的高度是多少米解析这是一道大家熟知的典型的知二求一的题把实物模型转化为数学模型后已中离岸边点米的处直立长着一根芦苇出水部分的长是米把芦苇拉到岸边的顶端恰好落到点并求水池的深度解析同例题一样先将实物模型转化为数学模型如图由题意可知中在中只知道这是典型的利用勾股定理知二求一的类型标准解题方形中是边上的中点是上一点且那么是直角三角形吗为什么学习必备欢迎下载解析这道题把很多条件都隐藏了乍一看有点摸不着头脑仔细读题会意可以发现规律没有任何条件我们也可以开创条件由可以设那么那么在和中分别利用勾