数列专题总复习知识点整理与经典例题讲解-高三数学1_中学教育-高考.pdf

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1、学习必备 欢迎下载 数列专题复习 一、等差数列的有关概念：1、等差数列的判断方法：定义法1(n na a d d 为常数）或1 1(2)n n n na a a a n。如 设 na 是等差数列，求证：以 bn=na a an 2 1*n N 为通项公式的数列 nb 为等差数列。2、等差数列的通项：1(1)na a n d 或()n ma a n m d。如(1)等差数列 na 中，1030 a，2050 a，则通项na；（2）首项为-24 的等差数列，从第 10 项起开始为正数，则公差的取值范围是 _ 3、等差数列的前n和：1()2nnn a aS，1(1)2nn nS na d。如（1）数

2、列 na 中，*11(2,)2n na a n n N，32na，前 n 项和152nS，则1a，n（3.(1)答：13 a，10 n）；（2）已知数列 na 的前 n 项和212nS n n，求数列|na的前n项和nT 4、等差中项：若,a A b成等差数列，则 A叫做a与b的等差中项，且2a bA。5、等差数列的性质：（1）当公差0 d 时，等差数列的通项公式1 1(1)na a n d dn a d 是关于n的一次函数，且斜率为公差d；前n和21 1(1)()2 2 2nn n d dS na d n a n 是关于n的二次函数且常数项为 0.（2）若公差0 d，则为递增等差数列，若公差

3、0 d，则为递减等差数列，若公差学习必备 欢迎下载 0 d，则为常数列。（3）当m n p q 时,则有q p n ma a a a，特别地，当2 m n p 时，则有2m n pa a a.如（1）等差数列 na中，1 2 318,3,1n n n nS a a a S，则n _(4)若 na、nb是等差数列，则 nka、n nka pb(k、p是非零常数)、*(,)p nqa p q N、2 3 2,n n n n nS S S S S，也成等差数列，而 naa成等比数列；若 na是等比数列，且0na，则lg na是等差数列.如 等差数列的前 n 项和为 25，前 2n 项和为 100，则

4、它的前 3n 和为。（5）在等差数列 na中，当项数为偶数2n时，S S nd 偶 奇；项数为奇数2 1 n 时，S S a 奇 偶 中，2 1(2 1)nS n a 中（这里a中即na）；1-n:n S 偶 奇：S。如（1）在等差数列中，S11 22，则6a _（2）项数为奇数的等差数列 na 中，奇数项和为 80，偶数项和为 75，求此数列的中间项与项数（6）若 等 差 数 列 na、nb的 前n和 分 别 为nA、nB，且()nnAf nB，则2 12 1(2 1)(2 1)(2 1)n n nn n na n a Af nb n b B.如 设 na 与 nb 是两个等差数列，它们的前

5、n项和分别为nS和nT，若3 41 3nnTSnn，那么nnba_(7)“首正”的递减等差数列中，前n项和的最大值是所有非负项之和；“首负”的递增等 差 数 列 中，前n项 和 的 最 小 值 是 所 有 非 正 项 之 和。法 一：由 不 等 式 组 00001 1 nnnnaaaa或确定出前多少项为非负（或非正）；法二：因等差数列前n项是关于n的二次函数，故可转化为求二次函数的最值，但要注意数列的特殊性*n N。上述两种方法是运用了哪种数学思想？（函数思想），由此你能求一般数列中的最大或最小项吗？如（1）等差数列 na 中，125 a，9 17S S，问此数列前多少项和最大？并求此最大以为

6、通项公式的数列为等差数列等差数列的通项或如等差数列中则通项首项为的等差数列从第项起开始为正数则公差的取值范围是等差数列的前和如数列中前项和则答已知数列的前项和求数列的前项和等差中项若成等差数列则叫做 函数且常数项为若公差则为递增等差数列若公差则为递减等差数列若公差学习必备欢迎下载则为常数列当时则有特别地当时则有如等差数列中则若是等差数列则是非零常数也成等差数列而成等比数列若是等比数列且则是等差数列如 奇如在等差数列中则项数为奇数的等差数列中奇数项和为偶数项和为求此数列的中间项与项数若等差数列的前和分别为且则如设与是两个等差数列它们的前项和分别为和若那么首正的递减等差数列中前项和的最大值是所有非

7、负项之学习必备 欢迎下载 值。（2）若 na 是等差数列，首项10,a 2003 20040 a a，2003 20040 a a，则使前 n 项和0nS 成立的最大正整数 n 是（3）在等差数列 na中，10 110,0 a a，且1 1 1 0|a a，nS是其前n项和，则（）A、1 2 10,S S S都小于 0，11 12,S S都大于 0 B、1 2 19,S S S都小于 0，20 21,S S都大于 0 C、1 2 5,S S S都小于 0，6 7,S S都大于 0 D、1 2 20,S S S都小于 0，21 22,S S都大于 0(8)如果两等差数列有公共项，那么由它们的公共

8、项顺次组成的新数列也是等差数列，且新等差数列的公差是原两等差数列公差的最小公倍数.注意：公共项仅是公共的项，其项数不一定相同，即研究n ma b.二、等比数列的有关概念：1、等 比 数 列 的 判 断 方 法：定 义 法1(nnaq qa 为常数），其 中0,0nq a 或11n nn na aa a(2)n。如（1）一个等比数列 na 共有2 1 n 项，奇数项之积为 100，偶数项之积为 120，则1 na为 _；（2）数列 na 中，nS=41 na+1(2 n)且1a=1，若n n na a b 21，求证：数列nb是等比数列。2、等比数列的通项：11nna a q 或n mn ma

9、a q。如 等比数列 na 中，166na a，2 1128na a，前n项和nS 126，求n和q.3、等比数列的前n和：当1 q 时，1 nS na；当1 q 时，1(1)1nna qSq11na a qq。如（1）等比数列中，q 2，S99=77，求99 6 3a a a（2）)(101 0 nnkknC的值为 _ 以为通项公式的数列为等差数列等差数列的通项或如等差数列中则通项首项为的等差数列从第项起开始为正数则公差的取值范围是等差数列的前和如数列中前项和则答已知数列的前项和求数列的前项和等差中项若成等差数列则叫做 函数且常数项为若公差则为递增等差数列若公差则为递减等差数列若公差学习必备

10、欢迎下载则为常数列当时则有特别地当时则有如等差数列中则若是等差数列则是非零常数也成等差数列而成等比数列若是等比数列且则是等差数列如 奇如在等差数列中则项数为奇数的等差数列中奇数项和为偶数项和为求此数列的中间项与项数若等差数列的前和分别为且则如设与是两个等差数列它们的前项和分别为和若那么首正的递减等差数列中前项和的最大值是所有非负项之学习必备 欢迎下载 4、等比中项：若,a A b成等比数列，那么 A叫做a与b的等比中项。提醒：不是任何两数都有等比中项，只有同号两数才存在等比中项，且有两个ab。如已知两个正数,()a b a b 的等差中项为 A，等比中项为 B，则 A与 B 的大小关系为 _

11、5.等比数列的性质：（1）当m n p q 时，则有m n p qa a a a，特别地，当2 m n p 时，则有2m n pa a a.如（1）在等比数列 na中，3 8 4 7124,512 a a a a，公比 q 是整数，则10a=_（2）各项均为正数的等比数列 na 中，若5 69 a a，则3 1 3 2 3 1 0l o g l o g l o g a a a(2)若 na是等比数列，则|na、*(,)p nqa p q N、nka成等比数列；若 n na b、成等比数列，则 n na b、nnab成等比数列；若 na是等比数列，且公比1 q，则数列2 3 2,n n n n

12、nS S S S S，也是等比数列。当1 q，且n为偶数时，数列2 3 2,n n n n nS S S S S，是常数数列 0，它不是等比数列.如（1）已 知 0 a 且 1 a，设 数 列 nx 满 足1log 1 loga n a nx x(*)n N，且1 2 100100 x x x，则101 102 200 x x x.（2）在等比数列 na中，nS为其前 n 项和，若140,1330 10 10 30 S S S S，则20S的值为 _(3)若10,1 a q，则 na为递增数列；若10,1 a q,则 na为递减数列；若10,0 1 a q，则 na为递减数列；若10,0 1

13、a q,则 na为递增数列；若0 q，以为通项公式的数列为等差数列等差数列的通项或如等差数列中则通项首项为的等差数列从第项起开始为正数则公差的取值范围是等差数列的前和如数列中前项和则答已知数列的前项和求数列的前项和等差中项若成等差数列则叫做 函数且常数项为若公差则为递增等差数列若公差则为递减等差数列若公差学习必备欢迎下载则为常数列当时则有特别地当时则有如等差数列中则若是等差数列则是非零常数也成等差数列而成等比数列若是等比数列且则是等差数列如 奇如在等差数列中则项数为奇数的等差数列中奇数项和为偶数项和为求此数列的中间项与项数若等差数列的前和分别为且则如设与是两个等差数列它们的前项和分别为和若那么

14、首正的递减等差数列中前项和的最大值是所有非负项之学习必备 欢迎下载 则 na为摆动数列；若1 q，则 na为常数列.(4)当1 q 时，b aqqaqqaSn nn 1 11 1，这里0 a b，但0,0 a b，是等比数列前n项和公式的一个特征，据此很容易根据nS，判断数列 na是否为等比数列。如 若 na 是等比数列，且 3nnS r，则r(5)m nm n m n n mS S q S S q S.如 设等比数列 na的公比为q，前n项和为nS，若1 2,n n nS S S 成等差数列，则q的值为 _(6)在等比数列 na中，当项数为偶数2n时，S qS 偶 奇；项数为奇数2 1 n

15、时，1S a qS 奇 偶.(7)如果数列 na 既成等差数列又成等比数列，那么数列 na 是非零常数数列，故常数数列 na 仅是此数列既成等差数列又成等比数列的必要非充分条件。如 设数列 na 的前n项和为nS（N n），关于数列 na 有下列三个命题：若)(1N n a an n，则 na 既是等差数列又是等比数列；若 R b a n b n a Sn、2，则 na 是等差数列；若 nnS 1 1，则 na 是等比数列。这些命题中，真命题的序号是 三、数列通项公式的求法 一、公式法)2()111n S Sn San nn（；na等差、等比数列 na公式.例 已知数列 na满足12 3 2n

16、n na a，12 a，求数列 na的通项公式。评注：本题解题的关键是把递推关系式12 3 2nn na a 转化为1132 2 2n nn na a，说明数列以为通项公式的数列为等差数列等差数列的通项或如等差数列中则通项首项为的等差数列从第项起开始为正数则公差的取值范围是等差数列的前和如数列中前项和则答已知数列的前项和求数列的前项和等差中项若成等差数列则叫做 函数且常数项为若公差则为递增等差数列若公差则为递减等差数列若公差学习必备欢迎下载则为常数列当时则有特别地当时则有如等差数列中则若是等差数列则是非零常数也成等差数列而成等比数列若是等比数列且则是等差数列如 奇如在等差数列中则项数为奇数的等

17、差数列中奇数项和为偶数项和为求此数列的中间项与项数若等差数列的前和分别为且则如设与是两个等差数列它们的前项和分别为和若那么首正的递减等差数列中前项和的最大值是所有非负项之学习必备 欢迎下载 2nna是等差数列，再直接利用等差数列的通项公式求出31(1)2 2nnan，进而求出数列 na的通项公式。二、累加法 例 已知数列 na满足1 12 1 1n na a n a，求数列 na的通项公式。评注：本题解题的关键是把递推关系式12 1n na a n 转化为12 1n na a n，进而求出1 1 2 3 2 2 1 1()()()()n n n na a a a a a a a a，即得数列

18、na的通项公式。例 已知数列 na满足1 12 3 1 3nn na a a，求数列 na的通项公式。评注：本题解题的关键是把递推关系式12 3 1nn na a 转化为12 3 1nn na a，进而求出1 1 2 3 2 2 1 1()()()()n n n n na a a a a a a a a a，即得数列 na的通项公式。三、累乘法 例 已知数列 na满足1 12(1)5 3nn na n a a，求数列 na的通项公式。评注：本题解题的关键是把递推关系12(1)5nn na n a 转化为1 2(1)5nnnana，进而求出1 3 211 2 2 1n nn na a a aaa

19、 a a a，即得数列 na的通项公式。四、取倒数法 例 已知数列 na 中，其中,11 a，且当 n 2 时，1 211nnnaaa，求通项公式na。解 将1 211nnnaaa两边取倒数得：21 11 n na a，这说明1na是一个等差数列，首项是111a，公差为 2，所以1 2 2)1(11 n nan，即1 21nan.五、待定系数法 以为通项公式的数列为等差数列等差数列的通项或如等差数列中则通项首项为的等差数列从第项起开始为正数则公差的取值范围是等差数列的前和如数列中前项和则答已知数列的前项和求数列的前项和等差中项若成等差数列则叫做 函数且常数项为若公差则为递增等差数列若公差则为递

20、减等差数列若公差学习必备欢迎下载则为常数列当时则有特别地当时则有如等差数列中则若是等差数列则是非零常数也成等差数列而成等比数列若是等比数列且则是等差数列如 奇如在等差数列中则项数为奇数的等差数列中奇数项和为偶数项和为求此数列的中间项与项数若等差数列的前和分别为且则如设与是两个等差数列它们的前项和分别为和若那么首正的递减等差数列中前项和的最大值是所有非负项之学习必备 欢迎下载 例 已知数列 na满足1 12 3 5 6nn na a a，求数列 na的通项公式。评注：本题解题的关键是把递推关系式12 3 5nn na a 转化为115 2(5)n nn na a，从而可知数列 5 nna 是等比

21、数列，进而求出数列 5 nna 的通项公式，最后再求出数列 na的通项公式。例 已知数列 na满足1 13 5 2 4 1nn na a a，求数列 na的通项公式。评注：本题解题的关键是把递推关系式13 5 2 4nn na a 转化为115 2 2 3(5 2 2)n nn na a，从而可知数列 5 2 2nna 是等比数列，进而求出数列 5 2 2nna 的通项公式，最后再求数列 na的通项公式。六、对数变换法 例 已知数列 na满足512 3nn na a，17 a，求数列 na的通项公式。评注：本题解题的关键是通过对数变换把递推关系式512 3nn na a 转化为1lg3 lg3

22、 lg 2 lg3 lg3 lg 2lg(1)5(lg)4 16 4 4 16 4n na n a n，从而可知数列lg3 lg3 lg 2lg 4 16 4na n 是等比数列，进而求出数列lg3 lg3 lg 2lg 4 16 4na n 的通项公式，最后再求出数列 na的通项公式。七、迭代法 例 已知数列 na满足3(1)21 15nnn na a a，求数列 na的通项公式。评注：本题还可综合利用累乘法和对数变换法求数列的通项公式。即先将等式3(1)21nnn na a两边取常用对数得1lg 3(1)2 lgnn na n a，即1lg3(1)2lgnnnana，再由累乘法可推知(1)

23、12 3!21 3 211 2 2 1lg lg lg lglg lg lg5lg lg lg lgn nnnn nnn na a a aa aa a a a，从而1(1)3!225nn nnna。八、数学归纳法 以为通项公式的数列为等差数列等差数列的通项或如等差数列中则通项首项为的等差数列从第项起开始为正数则公差的取值范围是等差数列的前和如数列中前项和则答已知数列的前项和求数列的前项和等差中项若成等差数列则叫做 函数且常数项为若公差则为递增等差数列若公差则为递减等差数列若公差学习必备欢迎下载则为常数列当时则有特别地当时则有如等差数列中则若是等差数列则是非零常数也成等差数列而成等比数列若是等比

24、数列且则是等差数列如 奇如在等差数列中则项数为奇数的等差数列中奇数项和为偶数项和为求此数列的中间项与项数若等差数列的前和分别为且则如设与是两个等差数列它们的前项和分别为和若那么首正的递减等差数列中前项和的最大值是所有非负项之学习必备 欢迎下载 例 已知数列 na满足1 12 28(1)8(2 1)(2 3)9n nna a an n，求数列 na的通项公式。解：由12 28(1)(2 1)(2 3)n nna an n 及189a，得。由此可猜测22(2 1)1(2 1)nnan，往下用数学归纳法证明这个结论。（1）当1 n 时，212(2 1 1)1 8(2 1 1)9a，所以等式成立。（2

25、）假设当n k 时等式成立，即22(2 1)1(2 1)kkak，则当1 n k 时，12 28(1)(2 1)(2 3)k kka ak k。由此可知，当1 n k 时等式也成立。根据（1），（2）可知，等式对任何*n N 都成立。九、换元法 例 已知数列 na满足1 11(1 4 1 24)116n n na a a a，求数列 na的通项公式。解：令1 24n nb a，则21(1)24n na b 故21 11(1)24n na b，代入11(1 4 1 24)16n n na a a 得。即2 214(3)n nb b 因为1 24 0n nb a，故1 11 24 0n nb a

26、则12 3n nb b，即11 32 2n nb b，可化为113(3)2n nb b，所以 3nb 是以1 13 1 24 3 1 24 1 3 2 b a 为首项，以21为公比的等比数列，因此1 21 13 2()()2 2n nnb，则21()32nnb，即211 24()32nna，得 以为通项公式的数列为等差数列等差数列的通项或如等差数列中则通项首项为的等差数列从第项起开始为正数则公差的取值范围是等差数列的前和如数列中前项和则答已知数列的前项和求数列的前项和等差中项若成等差数列则叫做 函数且常数项为若公差则为递增等差数列若公差则为递减等差数列若公差学习必备欢迎下载则为常数列当时则有特

27、别地当时则有如等差数列中则若是等差数列则是非零常数也成等差数列而成等比数列若是等比数列且则是等差数列如 奇如在等差数列中则项数为奇数的等差数列中奇数项和为偶数项和为求此数列的中间项与项数若等差数列的前和分别为且则如设与是两个等差数列它们的前项和分别为和若那么首正的递减等差数列中前项和的最大值是所有非负项之学习必备 欢迎下载 2 1 1 1()()3 4 2 3n nna。十、构造等差、等比数列法 q pa an n 1；nn nq pa a 1；)(1n f pa an n；n n na q a p a 1 2.例 已知数列 na中，3 2,11 1 n na a a，求数列 na的通项公式.

28、【解析】)3(2 31 n na a.3 2 2 4 31 1 nnnna a【反思归纳】递推关系形如“q pa an n 1”适用于待定系数法或特征根法：令)(1 n na p a；在q pa an n 1中令pqx x a an n 11，)(1x a p x an n；由q pa an n 1得q pa an n 1，)(1 1 n n n na a p a a.例 已知数列 na中，nn na a a 3 2,11 1，求数列 na的通项公式.【解析】nn na a 3 21，nnnnna a)23(2 211，令nnn ba 12 1 1 2 2 1 1)()()(b b b b b

29、 b b bn n n n n 2)23(2 n n nna 2 3【反思归纳】递推关系形如“nn nq pa a 1”通过适当变形可转化为：“q pa an n 1”或“nn nn f a a)(1 求解.十一、不动点法 例 已知数列 na满足1 17 222 3nnnaa aa，求数列 na的通项公式。解：令7 22 3xxx，得22 4 2 0 x x，则1 x 是函数3 1()4 7xf xx的不动点。因为17 2 5 51 12 3 2 3n nnn na aaa a，所以 2 1 1 1()()3 4 2 3n nna。评注：本题解题的关键是通过将1 24na 的换元为nb，使得所

30、给递推关系式转化以为通项公式的数列为等差数列等差数列的通项或如等差数列中则通项首项为的等差数列从第项起开始为正数则公差的取值范围是等差数列的前和如数列中前项和则答已知数列的前项和求数列的前项和等差中项若成等差数列则叫做 函数且常数项为若公差则为递增等差数列若公差则为递减等差数列若公差学习必备欢迎下载则为常数列当时则有特别地当时则有如等差数列中则若是等差数列则是非零常数也成等差数列而成等比数列若是等比数列且则是等差数列如 奇如在等差数列中则项数为奇数的等差数列中奇数项和为偶数项和为求此数列的中间项与项数若等差数列的前和分别为且则如设与是两个等差数列它们的前项和分别为和若那么首正的递减等差数列中前

31、项和的最大值是所有非负项之学习必备 欢迎下载 11 32 2n nb b 形式，从而可知数列 3nb 为等比数列，进而求出数列 3nb 的通项公式，最后再求出数列 na的通项公式。四、数列求和的基本方法和技巧 一、利用常用求和公式求和 1、等差数列求和公式：dn nnaa a nS nn2)1(2)(11 2、等比数列求和公式：)1(1 1)1()1(1 11qqq a aqq aq naSnnn 前 n 个正整数的和 2)1(3 2 1 n nn 前 n 个正整数的平方和 6)1 2)(1(3 2 12 2 2 2 n n nn 前 n 个正整数的立方和 2 3 3 3 32)1(3 2 1

32、 n nn 公式法求和注意事项（1）弄准求和项数 n 的值；（2）等比数列公比 q 未知时，运用前 n 项和公式要分类。例 已知3 log1log23 x，求 nx x x x3 2的前 n 项和.例 设 Sn 1+2+3+n，n N*,求1)32()(nnS nSn f的最大值.1)32()(nnS nSn f nn64341 50)8(12 nn501 当 88 n，即 n 8 时，501)(max n f 二、错位相减法求和 这种方法主要用于求数列 an bn 的前 n 项和，其中 an、bn 分别是等差数列和等比数列.求和时一般在已知和式的两边都乘以组成这个数列的等比数列的公比q；然后

33、再将得到的新和式和原和式相减，转化为同倍数的等比数列求和。例：（2009 全国卷理）在数列 na中，1 11 11,(1)2n nnna a an（I）设nnabn，求数列 nb的通项公式（II）求数列 na的前n项和nS 以为通项公式的数列为等差数列等差数列的通项或如等差数列中则通项首项为的等差数列从第项起开始为正数则公差的取值范围是等差数列的前和如数列中前项和则答已知数列的前项和求数列的前项和等差中项若成等差数列则叫做 函数且常数项为若公差则为递增等差数列若公差则为递减等差数列若公差学习必备欢迎下载则为常数列当时则有特别地当时则有如等差数列中则若是等差数列则是非零常数也成等差数列而成等比数

34、列若是等比数列且则是等差数列如 奇如在等差数列中则项数为奇数的等差数列中奇数项和为偶数项和为求此数列的中间项与项数若等差数列的前和分别为且则如设与是两个等差数列它们的前项和分别为和若那么首正的递减等差数列中前项和的最大值是所有非负项之学习必备 欢迎下载 分析：（I）由已知有111 2n nna an n 112n nnb b 利用累差迭加即可求出数列 nb的通项公式:1122nnb(*n N)（II）由（I）知122nnna n,nS=11(2)2nkkkk11 1(2)2n nkk kkk 而1(2)(1)nkk n n,又112nkkk是一个典型的错位相减法模型，易得1 11242 2nk

35、 nkk n nS=(1)n n 1242nn 三、倒序相加法求和 这是推导等差数列的前 n 项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列（反序），再把它与原数列相加，就可以得到 n 个)(1 na a.例 求证：n nn n n nn C n C C C 2)1()1 2(5 32 1 0 证明：设nn n n n nC n C C C S)1 2(5 32 1 0 0 1 13)1 2()1 2(n nnnnn nC C C n C n S nnn S 2)1(四、分组法求和 有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和

36、，再将其合并即可.例 7 求数列的前 n 项和：2 31,71,41,1 11 2 na a an，解：设)2 31()71()41()1 1(1 2 na a aSnn)2 3 7 4 1()1 1 11(1 2 na a aSnn 当 a 1 时，2)1 3(n nn Sn 2)1 3(n n 当1 a时，2)1 3(1111n naaSnn2)1 3(11n naa an 例：（2010 全国卷 2 文）（18）（本小题满分 12 分）已知 na是各项均为正数的等比数列，以为通项公式的数列为等差数列等差数列的通项或如等差数列中则通项首项为的等差数列从第项起开始为正数则公差的取值范围是等差

37、数列的前和如数列中前项和则答已知数列的前项和求数列的前项和等差中项若成等差数列则叫做 函数且常数项为若公差则为递增等差数列若公差则为递减等差数列若公差学习必备欢迎下载则为常数列当时则有特别地当时则有如等差数列中则若是等差数列则是非零常数也成等差数列而成等比数列若是等比数列且则是等差数列如 奇如在等差数列中则项数为奇数的等差数列中奇数项和为偶数项和为求此数列的中间项与项数若等差数列的前和分别为且则如设与是两个等差数列它们的前项和分别为和若那么首正的递减等差数列中前项和的最大值是所有非负项之学习必备 欢迎下载 且 1 21 21 12()a aa a，3 4 53 4 51 1 164()a a

38、aa a a（）求 na的通项公式；（）设21()n nnb aa，求数列 nb的前n项和nT。五、裂项法求和 这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用.裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的.通项分解（裂项）如：（1）)()1(n f n f an（2）n nn ntan)1 tan()1 cos(cos1 sin（3）11 1)1(1 n n n nan（4）)1 211 21(211)1 2)(1 2()2(2 n n n nnan（5）)2)(1(1)1(121)2)(1(1 n n n n n n nan(6)nnn n n nn

39、nSn n n nn nn nna2)1(11,2)1(12121)1()1(221)1(21 则 例 求数列,11,3 21,2 11n n的前 n 项和.n nn nan 111 则 113 212 11 n nSn 1 1 n 例 在数列 an 中，1 1211 nnn nan，又12n nna ab，求数列 bn 的前 n项的和.解：2 1 1211 nnnn nan)11 1(82122 n nn nbn)11 1()4131()3121()211(8 n nSn 18 nn 以为通项公式的数列为等差数列等差数列的通项或如等差数列中则通项首项为的等差数列从第项起开始为正数则公差的取值

40、范围是等差数列的前和如数列中前项和则答已知数列的前项和求数列的前项和等差中项若成等差数列则叫做 函数且常数项为若公差则为递增等差数列若公差则为递减等差数列若公差学习必备欢迎下载则为常数列当时则有特别地当时则有如等差数列中则若是等差数列则是非零常数也成等差数列而成等比数列若是等比数列且则是等差数列如 奇如在等差数列中则项数为奇数的等差数列中奇数项和为偶数项和为求此数列的中间项与项数若等差数列的前和分别为且则如设与是两个等差数列它们的前项和分别为和若那么首正的递减等差数列中前项和的最大值是所有非负项之学习必备 欢迎下载 六、合并法求和 针对一些特殊的数列，将某些项合并在一起就具有某种特殊的性质，因

41、此，在求数列的和时，可将这些项放在一起先求和，然后再求 Sn.例 数列 an：n n na a a a a a 1 2 3 2 1,2,3,1，求 S2002.解：设 S20022002 3 2 1a a a a 2,3,1,2,3,16 6 5 6 4 6 3 6 2 6 1 6 k k k k k ka a a a a a 06 6 5 6 4 6 3 6 2 6 1 6 k k k k k ka a a a a a S20022002 3 2 1a a a a 4 6 3 6 2 6 1 6 k k k ka a a a 5 例 在各项均为正数的等比数列中，若10 3 2 3 1 3 6

42、 5log log log,9 a a a a a 求的值.解：设10 3 2 3 1 3log log log a a a Sn 由等比数列的性质 q p n ma a a a q p n m)log(log)log(log)log(log6 3 5 3 9 3 2 3 10 3 1 3a a a a a a Sn 10 七、利用数列的通项求和 先根据数列的结构及特征进行分析，找出数列的通项及其特征，然后再利用数列的通项揭示的规律来求数列的前 n 项和，是一个重要的方法.例 求 11 111 111 11 1个 n 之和.解：由于)1 10(919 999911 1111 1 kk k 个

43、个 11 111 111 11 1个 n 9 1 10)1 10(1091 nn)9 10 10(8111nn 以为通项公式的数列为等差数列等差数列的通项或如等差数列中则通项首项为的等差数列从第项起开始为正数则公差的取值范围是等差数列的前和如数列中前项和则答已知数列的前项和求数列的前项和等差中项若成等差数列则叫做 函数且常数项为若公差则为递增等差数列若公差则为递减等差数列若公差学习必备欢迎下载则为常数列当时则有特别地当时则有如等差数列中则若是等差数列则是非零常数也成等差数列而成等比数列若是等比数列且则是等差数列如 奇如在等差数列中则项数为奇数的等差数列中奇数项和为偶数项和为求此数列的中间项与项数若等差数列的前和分别为且则如设与是两个等差数列它们的前项和分别为和若那么首正的递减等差数列中前项和的最大值是所有非负项之