数列求和方法教案_中学教育-高考.pdf

《数列求和方法教案_中学教育-高考.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《数列求和方法教案_中学教育-高考.pdf（10页珍藏版）》请在淘文阁 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、学习必备 欢迎下载 数列求和的基本方法和技巧 数列是高中代数的重要内容，又是学习高等数学的基础.在高考和各种数学竞赛中都占有重要的地位.数列求和是数列的重要内容之一，除了等差数列和等比数列有求和公式外，大部分数列的求和都需要一定的技巧.下面，就几个历届高考数学和数学竞赛试题来谈谈数列求和的基本方法和技巧.一、利用常用求和公式求和 利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法.1、等差数列求和公式：dn nnaa a nS nn2)1(2)(11 2、等比数列求和公式：)1(1 1)1()1(1 11qqq a aqq aq naSnnn 3、)1(211 n n k Snkn 4、)

2、1 2)(1(6112 n n n k Snkn 5、213)1(21 n n k Snkn 例 1 已知3 log1log23 x，求 nx x x x3 2的前 n 项和.解：由212 log log3 log1log3 323 x x x 由等比数列求和公式得 nnx x x x S 3 2（利用常用公式）xx xn1)1(211)211(21n 1n21 例 2 设 Sn 1+2+3+n，n N*,求1)32()(nnS nSn f的最大值.解：由等差数列求和公式得)1(21 n n Sn，)2)(1(21 n n Sn（利用常用公式）1)32()(nnS nSn f64 342 n

3、nn nn64341 50)8(12 nn501 学习必备 欢迎下载 当 88 n，即 n 8 时，501)(max n f 例 3 求2 2 2 2 2 2 2 21 2 3 4 5 6 99 100 解：原式2 2 2 2 2 2 2 2(2 1)(4 3)(6 5)(100 99)3 7 11 199 由等差数列求和公式，得原式50(3 199)50502 二、错位相减法求和 类似于等比数列的前 n 项和的公式的推导方法。若数列各项是由一个等差数列和一个等比数列对应项相乘得到，即数列是一个“差比”数列，则采用错位相减法.若n n na b c，其中 nb 是等差数列，nc 是公比为 q

4、等比数列，令 1 1 2 2 1 1 n n n n nS b c b c b c b c 则nqS 1 2 2 3 1 n n n nb c b c b c b c 两式相减并整理即得 例 4 求和：1 3 2)1 2(7 5 3 1 nnx n x x x S 解：由题可知，1)1 2(nx n 的通项是等差数列 2n 1 的通项与等比数列 1 nx 的通项之积 设nnx n x x x x xS)1 2(7 5 3 14 3 2.（设制错位）得 n nnx n x x x x x S x)1 2(2 2 2 2 2 1)1(1 4 3 2（错位相减）再利用等比数列的求和公式得：nnnx

5、nxxx S x)1 2(112 1)1(1 21)1()1()1 2()1 2(xx x n x nSn nn 小结：错位相减法的步骤是：在等式两边同时乘以等比数列 nb的公比；将两个等式相减；利用等比数列的前 n 项和公式求和.例 5 求数列,22,26,24,223 2 nn前 n 项的和.解：由题可知，nn22 的通项是等差数列 2n 的通项与等比数列 n21 的通项之积 数学竞赛中都占有重要的地位数列求和是数列的重要内容之一除了等差数列和等比数列有求和公式外大部分数列的求和都需要一定的技巧下面就几个历届高考数学和数学竞赛试题来谈谈数列求和的基本方法和技巧一利用常用求和公 求的前项和解

6、由由等比数列求和公式得利用常用公式例设求的最大值解由等差数列求和公式得利用常用公式学习必备欢迎下载当即时例求解原式由等差数列求和公式得原式二错位相减法求和类似于等比数列的前项和的公式的推导方 等差数列是公比为等比数列令若则两式相减并整理即得例求和解由题可知的通项是等差数列的通项与等比数列的通项之积设设制错位得错位相减再利用等比数列的求和公式得小结错位相减法的步骤是在等式两边同时乘以等比数列的学习必备 欢迎下载 设 nnnS222624223 2 1 4 3 22226242221 nnnS（设制错位）得1 4 3 2222222222222)211(n nnnS（错位相减）1 122212 n

7、 nn 1224 nnnS 例 7（2008 年全国 第 19 题第（2）小题，满分 6 分）已知 12nna n，求数列 an的前 n 项和 Sn.解：0 1 2 11 2 2 2(1)2 2n nnS n n 1 2 12 1 2 2 2(1)2 2n nnS n n 得 0 1 12 1 2 2 2 2 2 1n n n nnS n n 小结：错位相减法的求解步骤：在等式两边同时乘以等比数列 nc 的公比 q；将两个等式相减；利用等比数列的前 n 项和的公式求和.三、反序相加法求和 这是推导等差数列的前 n 项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列（反序），再把它与原数列相加，就可

8、以得到 n 个)(1 na a.例 8 求证：n nn n n nn C n C C C 2)1()1 2(5 32 1 0 证明：设nn n n n nC n C C C S)1 2(5 32 1 0.把式右边倒转过来得 0 1 13)1 2()1 2(n nnnnn nC C C n C n S（反序）又由m nnmnC C可得 nnnn n n nC C C n C n S 1 1 03)1 2()1 2(.+得 n nnnn n n nn C C C C n S 2)1(2)(2 2(21 1 0（反序相加）nnn S 2)1(例 9 求 89 sin 88 sin 3 sin 2 s

9、in 1 sin2 2 2 2 2 的值 数学竞赛中都占有重要的地位数列求和是数列的重要内容之一除了等差数列和等比数列有求和公式外大部分数列的求和都需要一定的技巧下面就几个历届高考数学和数学竞赛试题来谈谈数列求和的基本方法和技巧一利用常用求和公 求的前项和解由由等比数列求和公式得利用常用公式例设求的最大值解由等差数列求和公式得利用常用公式学习必备欢迎下载当即时例求解原式由等差数列求和公式得原式二错位相减法求和类似于等比数列的前项和的公式的推导方 等差数列是公比为等比数列令若则两式相减并整理即得例求和解由题可知的通项是等差数列的通项与等比数列的通项之积设设制错位得错位相减再利用等比数列的求和公式

10、得小结错位相减法的步骤是在等式两边同时乘以等比数列的学习必备 欢迎下载 解：设 89 sin 88 sin 3 sin 2 sin 1 sin2 2 2 2 2 S.将式右边反序得 1 s i n 2 s i n 3 s i n 88 sin 89 sin2 2 2 2 2 S.（反序）又因为 1 cos sin),90 cos(sin2 2 x x x x+得（反序相加）)89 cos 89(sin)2 cos 2(sin)1 cos 1(sin 22 2 2 2 2 2 S 89 S 44.5 例 10 求2 2 2 22 2 2 2 2 2 2 21 2 3 101 10 2 9 3 8

11、 10 1 的和 分析：由于数列的第k项与倒数第k项的和为常数 1，故采用倒序相加法求和 解：设2 2 2 22 2 2 2 2 2 2 21 2 3 101 10 2 9 3 8 10 1S 则2 2 2 22 2 2 2 2 2 2 210 9 8 110 1 2 9 3 8 10 1S 两式相加，得 2 1 1 1 1 0 5 S S，小结：对某些具有对称性的数列，可运用此法.例 11 已知函数 22 2xxf x（1）证明：1 1 f x f x；（2）求1 2 8 910 10 10 10f f f f 的值.解：（1）先利用指数的相关性质对函数化简，后证明左边=右边（2）利用第（1

12、）小题已经证明的结论可知，1 9 2 8 5 5110 10 10 10 10 10f f f f f f 1 2 8 910 10 10 10S f f f f 令 9 8 2 110 10 10 10S f f f f 则 两式相加得：1 92 9 910 10S f f 所以92S.数学竞赛中都占有重要的地位数列求和是数列的重要内容之一除了等差数列和等比数列有求和公式外大部分数列的求和都需要一定的技巧下面就几个历届高考数学和数学竞赛试题来谈谈数列求和的基本方法和技巧一利用常用求和公 求的前项和解由由等比数列求和公式得利用常用公式例设求的最大值解由等差数列求和公式得利用常用公式学习必备欢迎

13、下载当即时例求解原式由等差数列求和公式得原式二错位相减法求和类似于等比数列的前项和的公式的推导方 等差数列是公比为等比数列令若则两式相减并整理即得例求和解由题可知的通项是等差数列的通项与等比数列的通项之积设设制错位得错位相减再利用等比数列的求和公式得小结错位相减法的步骤是在等式两边同时乘以等比数列的学习必备 欢迎下载 小结：解题时，认真分析对某些前后具有对称性的数列，可以运用倒序相加法求和.四、分组法求和 有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可.有一类数列，它既不是等差数列，也不是等比数列.若将这类数列适

14、当拆开，可分为几个等差、等比数列或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可.例 12 求和：1 2 32 3 5 4 3 5 6 3 5 2 3 5nnS n 解：1 2 32 3 5 4 3 5 6 3 5 2 3 5nnS n 1 2 32 4 6 2 3 5 5 5 5nn 例 13 求数列的前 n 项和：2 31,71,41,1 11 2 na a an，解：设)2 31()71()41()1 1(1 2 na a aSnn 将其每一项拆开再重新组合得)2 3 7 4 1()1 1 11(1 2 na a aSnn（分组）当 a 1 时，2)1 3(n nn Sn 2)1 3(n n（

15、分组求和）当1 a时，2)1 3(1111n naaSnn2)1 3(11n naa an 例 14 求数列 n(n+1)(2n+1)的前 n 项和.解：设k k k k k k ak 2 33 2)1 2)(1(nknk k k S1)1 2)(1()3 2(2 31k k knk 将其每一项拆开再重新组合得 Snk k knknknk 121313 2（分组）)2 1()2 1(3)2 1(22 2 2 3 3 3n n n 2)1(2)1 2)(1(2)1(2 2 n n n n n n n（分组求和）2)2()1(2 n n n 数学竞赛中都占有重要的地位数列求和是数列的重要内容之一除

16、了等差数列和等比数列有求和公式外大部分数列的求和都需要一定的技巧下面就几个历届高考数学和数学竞赛试题来谈谈数列求和的基本方法和技巧一利用常用求和公 求的前项和解由由等比数列求和公式得利用常用公式例设求的最大值解由等差数列求和公式得利用常用公式学习必备欢迎下载当即时例求解原式由等差数列求和公式得原式二错位相减法求和类似于等比数列的前项和的公式的推导方 等差数列是公比为等比数列令若则两式相减并整理即得例求和解由题可知的通项是等差数列的通项与等比数列的通项之积设设制错位得错位相减再利用等比数列的求和公式得小结错位相减法的步骤是在等式两边同时乘以等比数列的学习必备 欢迎下载 例 15 求数列11 1

17、1 12 4 6 24 8 16 2nn，的前n项和nS 分析：此数列的通项公式是1122nna n，而数列2 n是一个等差数列，数列112n 是一个等比数列，故采用分组求和法求解 解：2 3 4 1 11 1 1 1 1 1(2 4 6 2)(1)2 2 2 2 2 2nn nS n n n 小结：在求和时，一定要认真观察数列的通项公式，如果它能拆分成几项的和，而这些项分别构成等差数列或等比数列，那么我们就用此方法求和.五、裂项法求和 这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用.裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的.通项分解（裂项）如：（

18、1）)()1(n f n f an（2）n nn ntan)1 tan()1 cos(cos1 sin（3）11 1)1(1 n n n nan（4）)1 211 21(211)1 2)(1 2()2(2 n n n nnan（5）)2)(1(1)1(121)2)(1(1 n n n n n n nan(6)nnn n n nnnSn n n nn nn nna2)1(11,2)1(12121)1()1(221)1(21 则 把数列的通项拆成两项之差，即数列的每一项都可按此法拆成两项之差，在求和时一些正负项相互抵消，于是前 n 项的和变成首尾若干少数项之和，这一求和方法称为裂项相消法。适用于类

19、似1 n nca a（其中 na 是各项不为零的等差数列，c为常数）的数列、部分无理数列等。用裂项相消法求和，需要掌握一些常见的裂项方法：（1）1 1 1 1n n k k n n k，特别地当 1 k 时，1 1 11 1 n n n n（2）1 1n k nkn k n，特别地当 1 k 时111n nn n 例 15、数列 na 的通项公式为1(1)nan n，求它的前 n 项和nS 数学竞赛中都占有重要的地位数列求和是数列的重要内容之一除了等差数列和等比数列有求和公式外大部分数列的求和都需要一定的技巧下面就几个历届高考数学和数学竞赛试题来谈谈数列求和的基本方法和技巧一利用常用求和公 求

20、的前项和解由由等比数列求和公式得利用常用公式例设求的最大值解由等差数列求和公式得利用常用公式学习必备欢迎下载当即时例求解原式由等差数列求和公式得原式二错位相减法求和类似于等比数列的前项和的公式的推导方 等差数列是公比为等比数列令若则两式相减并整理即得例求和解由题可知的通项是等差数列的通项与等比数列的通项之积设设制错位得错位相减再利用等比数列的求和公式得小结错位相减法的步骤是在等式两边同时乘以等比数列的学习必备 欢迎下载 解：1 2 3 1 n n nS a a a a a 1 1 1 1 11 2 2 3 3 4 1 1 n n n n=1 1 1 1 1 1 1 1 112 2 3 3 4

21、1 1 n n n n 111 1nn n 小结：裂项相消法求和的关键是数列的通项可以分解成两项的差，且这两项是同一数列的相邻两项，即这两项的结构应一致，并且消项时前后所剩的项数相同.针对训练 5、求数列1 1 1 1,1 2 2 3 3 2 1 n n 的前 n 项和nS.例 16 求数列,11,3 21,2 11n n的前 n 项和.解：设n nn nan 111（裂项）则 113 212 11 n nSn（裂项求和）)1()2 3()1 2(n n 1 1 n 例 17 在数列 an 中，1 1211 nnn nan，又12n nna ab，求数列 bn 的前 n 项的和.解：2 1 1

22、211 nnnn nan)11 1(82122 n nn nbn（裂项）数列 bn 的前 n 项和)11 1()4131()3121()211(8 n nSn（裂项求和）)111(8n 18 nn 例 18 求证：1 s i n1 c o s89 cos 88 cos12 cos 1 cos11 cos 0 cos12 数学竞赛中都占有重要的地位数列求和是数列的重要内容之一除了等差数列和等比数列有求和公式外大部分数列的求和都需要一定的技巧下面就几个历届高考数学和数学竞赛试题来谈谈数列求和的基本方法和技巧一利用常用求和公 求的前项和解由由等比数列求和公式得利用常用公式例设求的最大值解由等差数列求

23、和公式得利用常用公式学习必备欢迎下载当即时例求解原式由等差数列求和公式得原式二错位相减法求和类似于等比数列的前项和的公式的推导方 等差数列是公比为等比数列令若则两式相减并整理即得例求和解由题可知的通项是等差数列的通项与等比数列的通项之积设设制错位得错位相减再利用等比数列的求和公式得小结错位相减法的步骤是在等式两边同时乘以等比数列的学习必备 欢迎下载 解：设 89 cos 88 cos12 cos 1 cos11 cos 0 cos1 S n nn ntan)1 tan()1 cos(cos1 sin（裂项）89 cos 88 cos12 cos 1 cos11 cos 0 cos1 S（裂项求

24、和）88 tan 89 tan)2 tan 3(tan)1 tan 2(tan)0 tan 1(tan1 sin1)0 tan 89(tan1 sin1 1 cot1 sin11 sin1 cos2 原等式成立 例 19 已知2 2 211 2(1)(2 1)6n n n n，求 2 2 2 2 2 2 2 2 23 5 7 2 1()1 1 2 1 2 3 1 2nnn N的和 分析：首先将数列的通项公式化简，然后注意到它可写成两项的差，在求和的过程中，中间的项相互抵消了，从而可求出原数列的前 n 项和.解：2 2 22 1 2 1 611 2(1)(1)(2 1)6nn nan n nn

25、n n，1 1 161 2 2 3(1)1 1 1 1 16 12 2 3 116 11ln.1nSn nn nnn 小结：如果数列 na的通项公式很容易表示成另一个数列 nb的相邻两项的差，即1 n n na b b，则有1 1 n nS b b.这种方法就称为裂项相消求和法.六、合并法求和 针对一些特殊的数列，将某些项合并在一起就具有某种特殊的性质，因此，在求数列的和时，可将这些项放在一起先求和，然后再求 Sn.例 20 求 cos1+cos2+cos3+cos178+cos179的值.解：设 Sn cos1+cos2+cos3+cos178+cos179 数学竞赛中都占有重要的地位数列求

26、和是数列的重要内容之一除了等差数列和等比数列有求和公式外大部分数列的求和都需要一定的技巧下面就几个历届高考数学和数学竞赛试题来谈谈数列求和的基本方法和技巧一利用常用求和公 求的前项和解由由等比数列求和公式得利用常用公式例设求的最大值解由等差数列求和公式得利用常用公式学习必备欢迎下载当即时例求解原式由等差数列求和公式得原式二错位相减法求和类似于等比数列的前项和的公式的推导方 等差数列是公比为等比数列令若则两式相减并整理即得例求和解由题可知的通项是等差数列的通项与等比数列的通项之积设设制错位得错位相减再利用等比数列的求和公式得小结错位相减法的步骤是在等式两边同时乘以等比数列的学习必备 欢迎下载)1

27、80 cos(cos n n（找特殊性质项）Sn（cos1+cos179）+（cos2+cos178）+（cos3+cos177）+（cos89+cos91）+cos90（合并求和）0 例 21 数列 an：n n na a a a a a 1 2 3 2 1,2,3,1，求 S2002.解：设 S20022002 3 2 1a a a a 由n n na a a a a a 1 2 3 2 1,2,3,1可得,2,3,16 5 4 a a a,2,3,1,2,3,112 11 10 9 8 7 a a a a a a 2,3,1,2,3,16 6 5 6 4 6 3 6 2 6 1 6 k

28、k k k k ka a a a a a 06 6 5 6 4 6 3 6 2 6 1 6 k k k k k ka a a a a a（找特殊性质项）S20022002 3 2 1a a a a（合并求和）)()()(6 6 2 6 1 6 12 8 7 6 3 2 1 k k ka a a a a a a a a a 2002 2001 2000 1999 1998 1994 1993)(a a a a a a a 2002 2001 2000 1999a a a a 4 6 3 6 2 6 1 6 k k k ka a a a 5 例 22 在各项均为正数的等比数列中，若10 3 2 3

29、 1 3 6 5log log log,9 a a a a a 求的值.解：设10 3 2 3 1 3log log log a a a Sn 由等比数列的性质 q p n ma a a a q p n m（找特殊性质项）和对数的运算性质 N M N Ma a a log log log 得)log(log)log(log)log(log6 3 5 3 9 3 2 3 10 3 1 3a a a a a a Sn（合并求和）)(log)(log)(log6 5 3 9 2 3 10 1 3a a a a a a 9 log 9 log 9 log3 3 3 10 数学竞赛中都占有重要的地位数列

30、求和是数列的重要内容之一除了等差数列和等比数列有求和公式外大部分数列的求和都需要一定的技巧下面就几个历届高考数学和数学竞赛试题来谈谈数列求和的基本方法和技巧一利用常用求和公 求的前项和解由由等比数列求和公式得利用常用公式例设求的最大值解由等差数列求和公式得利用常用公式学习必备欢迎下载当即时例求解原式由等差数列求和公式得原式二错位相减法求和类似于等比数列的前项和的公式的推导方 等差数列是公比为等比数列令若则两式相减并整理即得例求和解由题可知的通项是等差数列的通项与等比数列的通项之积设设制错位得错位相减再利用等比数列的求和公式得小结错位相减法的步骤是在等式两边同时乘以等比数列的学习必备 欢迎下载

31、七、利用数列的通项求和 先根据数列的结构及特征进行分析，找出数列的通项及其特征，然后再利用数列的通项揭示的规律来求数列的前 n 项和，是一个重要的方法.例 23 求 11 111 111 11 1个 n 之和.解：由于)1 10(919 999911 1111 1 kk k 个 个（找通项及特征）11 111 111 11 1个 n)1 10(91)1 10(91)1 10(91)1 10(913 2 1 n（分组求和）)1 1 1 1(91)10 10 10 10(9113 2 1 个 nn 9 1 10)1 10(1091 nn)9 10 10(8111nn 例 16 已知数列 an：11

32、)(1(,)3)(1(8nn n na a nn na 求的值.解：)4)(2(1)3)(1(1)1(8)(1(1 n n n nn a a nn n（找通项及特征）)4)(3(1)4)(2(1 8 n n n n（设制分组）)4131(8)4121(4n n n n（裂项）1 1 11)4131(8)4121(4)(1(n n nn nn n n na a n（分组、裂项求和）418)4131(4 313 说明：本资料适用于高三总复习，也适用于高一“数列”一章的学习。数学竞赛中都占有重要的地位数列求和是数列的重要内容之一除了等差数列和等比数列有求和公式外大部分数列的求和都需要一定的技巧下面就几个历届高考数学和数学竞赛试题来谈谈数列求和的基本方法和技巧一利用常用求和公 求的前项和解由由等比数列求和公式得利用常用公式例设求的最大值解由等差数列求和公式得利用常用公式学习必备欢迎下载当即时例求解原式由等差数列求和公式得原式二错位相减法求和类似于等比数列的前项和的公式的推导方 等差数列是公比为等比数列令若则两式相减并整理即得例求和解由题可知的通项是等差数列的通项与等比数列的通项之积设设制错位得错位相减再利用等比数列的求和公式得小结错位相减法的步骤是在等式两边同时乘以等比数列的