数学教案向量X教师版_中学教育-高考.pdf

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1、学习必备 欢迎下载 向量 知识清单 一、向量的有关概念 1.向量:既有大小又有方向的量叫做向量.向量的大小叫向量的模(也就是用来表示向量的有向线段的长度).2.向量的表示方法:字母表示法:如,a b c等.几何表示法:用一条有向线段表示向量.如AB,CD等.坐标表示法:在平面直角坐标系中,设向量OA的起点 O 为在坐标原点,终点 A 坐标为,x y,则,x y称为OA的坐标,记为OA=,x y.注:向量既有代数特征,又有几何特征,它是数形兼备的好工具.3.相等向量:长度相等且方向相同的向量.向量可以自由平移,平移前后的向量相等.两向量a与b相等,记为a b.注:向量不能比较大小,因为方向没有大

2、小.4.零向量:长度为零的向量叫零向量.零向量只有一个,其方向是任意的.5.单位向量:长度等于 1 个单位的向量.单位向量有无数个,每一个方向都有一个单位向量.6.共线向量:方向相同或相反的非零向量,叫共线向量.任一组共线向量都可以移到同一直线上.规定:0与任一向量共线.注:共线向量又称为平行向量.7.相反向量:长度相等且方向相反的向量.二、向量的运算(一)运算定义 向量的加减法，实数与向量的乘积，两个向量的数量积,这些运算的定义都是“自然的”，它们都有明显的物理学的意义及几何意义.其中向量的加减法运算结果仍是向量，两个向量数量积运算结果是数量。研究这些运算,发现它们有很好地运算性质,这些运算

3、性质为我们用向量研究问题奠定了基础,向量确实是一个好工具.特别是向量可以用坐标表示,且可以用坐标来运算,向量运算问题可以完全坐标化.刻划每一种运算都可以有三种表现形式：图形、符号、坐标语言。主要内容列表如下：运 算 图形语言 符号语言 坐标语言 加 法 与减法 OA+OB=OC OBOA=AB 记OA=(x1,y1),OB=(x1,y2)则OA OB=(x1+x2,y1+y2)OB OA=（x2-x1,y2-y1）OA+AB=OB 实 数 与向 量 的乘积 AB=a R 记a=(x,y)则 a=(x,y)两 个 向量 的 数量积 cos,a b a b a b 记1 1 2 2(,),(,)a

4、 x y b x y 则ab=x1x2+y1y2(二)运算律 学习必备 欢迎下载 加法：a b b a(交换律);()()a b c a b c(结合律)实数与向量的乘积：()a b a b;()a a a;()()a a 两个向量的数量积:ab=ba;(a)b=a(b)=(ab);(a+b)c=ac+bc 注：根据向量运算律可知，两个向量之间的线性运算满足实数多项式乘积的运算法则，正确迁移实数的运算性质可以简化向量的运算，例如(ab)2=222 a a b b(三)运算性质及重要结论 平面向量基本定理:如果1 2,e e是同一平面内两个不共线的向量,那么对于这个平面内任一向量a,有且只有一对

5、实数1 2,使1 1 2 2a e e，称1 1 2 2e e 为1 2,e e的线性组合。其中1 2,e e叫做表示这一平面内所有向量的基底;平面内任一向量都可以沿两个不共线向量1 2,e e的方向分解为两个向量的和,并且这种分解是唯一的.这说明如果1 1 2 2a e e 且 1 1 2 2a e e,那么1 1 2 2.当基底1 2,e e是两个互相垂直的单位向量时,就建立了平面直角坐标系,因此平面向量基本定理实际上是平面向量坐标表示的基础.向量坐标与点坐标的关系：当向量起点在原点时，定义向量坐标为终点坐标，即若 A(x，y)，则 OA=（x,y）；当向量起点不在原点时，向量 AB 坐标

6、为终点坐标减去起点坐标，即若 A（x1,y1），B（x2,y2），则 AB=(x2-x1,y2-y1)两个向量平行的充要条件 符号语言：)0(/b b a b a 坐标语言为：设非零向量 1 1 2 2,a b x y x y,则ab(x1,y1)=(x2,y2)，即1 21 2x xy y,或 x1y2-x2y1=0,在这里,实数 是唯一存在的,当a与b同向时,0；当a与b异向时,0。|=|b|a|,的大小由a及b的大小确定。因此,当a,b确定时，的符号与大小就确定了.这就是实数乘向量中 的几何意义。两个向量垂直的充要条件 符号语言：b a 0 b a b a 02 1 2 1 y y x

7、x 坐标语言：设非零向量 1 1 2 2,a b x y x y，则两个向量数量积的重要性质：就是用来表示向量的有向线段的长度向量的表示方法字母表示法如等几何表示法用一条有向线段表示向量如等坐标表示法在平面直角坐标系中设向量的起点为在坐标原点终点坐标为则称为的坐标记为注向量既有代数特征又有几何特 等记为注向量不能比较大小因为方向没有大小零向量长度为零的向量叫零向量零向量只有一个其方向是任意的单位向量长度等于个单位的向量单位向量有无数个每一个方向都有一个单位向量共线向量方向相同或相反的非零向量叫共 且方向相反的向量二向量的运算一运算定义向量的减法实数与向量的乘积两个向量的数量积这些运算的定义都是

8、自然的它们都有明显的物理学的意义及几何意义其中向量的减法运算结果仍是向量两个向量数量积运算结果是数量研究学习必备 欢迎下载 22|a a 即 2|a a(求线段的长度);b a 0 b a(垂直的判断);cosa ba b(求角度)。以上结论可以(从向量角度)有效地分析有关垂直、长度、角度等问题,由此可以看到向量知识的重要价值.注:两向量a,b的数量积运算结果是一个数cos a b(其中,a b),这个数的大小与两个向量的长度及其夹角的余弦有关.cosb叫做向量b在a方向上的投影（如图）.数量积的几何意义是数量积a b 等于a的模与b在a方向上的投影的积.如果1 1 1(,)P x y,2 2

9、 2(,)P x y,则1 2PP=2 1 2 1(,)x x y y,2 21 2 2 1 2 1()()PP x x y y,这就是平面内两点间的距离公式.课前预习 1在ABCD中，BC CD BA BC 2.平面内三点(0,3),(3,3),(,1)A B C x,若 AB BC，则 x 的值为 1 3.设a，b，c是任意的非零平面向量，且相互不共线，则：(ab)c(ca)b=0|a|-|b|ab|(bc)a(ca)b不与c垂直(3a+2b)(3a2b)=9|a|2-4b|2中，真命题是 4.OAB 中,OA=a,OB=b,OP=p,若p=()|a bta b，t R，则点 P 在 AO

10、B 平分线所在直线上 5.已知,3,2,4,a x b a b,则实数 x=_6_.6.已知 2,8,6,4,a b a b 则a _(-2,-6)_,b _(4,-2)_,a与b的夹角的余弦值是_102_.7 在 O A B中,(2cos,2sin)OA,(5cos,5sin)OB,若5 OA OB,则OABS=就是用来表示向量的有向线段的长度向量的表示方法字母表示法如等几何表示法用一条有向线段表示向量如等坐标表示法在平面直角坐标系中设向量的起点为在坐标原点终点坐标为则称为的坐标记为注向量既有代数特征又有几何特 等记为注向量不能比较大小因为方向没有大小零向量长度为零的向量叫零向量零向量只有一

11、个其方向是任意的单位向量长度等于个单位的向量单位向量有无数个每一个方向都有一个单位向量共线向量方向相同或相反的非零向量叫共 且方向相反的向量二向量的运算一运算定义向量的减法实数与向量的乘积两个向量的数量积这些运算的定义都是自然的它们都有明显的物理学的意义及几何意义其中向量的减法运算结果仍是向量两个向量数量积运算结果是数量研究学习必备 欢迎下载 23 5.；8.已知 ABC 中，A（2，-1），B（3，2），C（-3，-1），BC 边上的高为 AD，求点 D 和向量 AD 坐标。D(1,1)AD=(-1,2)典型例题 一、平面向量的实际背景与基本概念 例 1.如图，设 O 是正六边形的中心，分别

12、写出图中与DA 的模相等的向量以及方向相同的向量。解：AD,BE,EB,CF CB,EF 二、平面向量的线性运算 例 2.如图，在平行四边形 ABCD 中，AB a，AD b，你能用 a，b 表示向量 AC，DB吗？AC=a+b,DB=a-b 变式 1：如图，在五边形 ABCDE 中，AB a，BC b，CD c，EA d，试用 a，b，c，d 表示向量CE和DE.CE=a+b+d DE=-a-b-c-d 变式 2：已知 OA=a，OB=b,OC=c,OD=d,且四边形 ABCD 为平行四边形，则 a b+c d=0 变式 3：在四边形 ABCD 中，若12AB CD，则此四边形是梯形 变式

13、4：已知 a、b 是非零向量，则|a|=|b|是(a+b)与(a b)垂直的充要条件 变式 5：在四边形 ABCD 中，AB=a+2b，BC=4a b，CD=5a 3b，其中 a、b 不共线，则四边形 ABCD为梯形 例 3 如图，已知任意两个非零向量 a、b，试作OA a+b，OB a+2b，D C A B D E C A B B A C O F D E 就是用来表示向量的有向线段的长度向量的表示方法字母表示法如等几何表示法用一条有向线段表示向量如等坐标表示法在平面直角坐标系中设向量的起点为在坐标原点终点坐标为则称为的坐标记为注向量既有代数特征又有几何特 等记为注向量不能比较大小因为方向没有

14、大小零向量长度为零的向量叫零向量零向量只有一个其方向是任意的单位向量长度等于个单位的向量单位向量有无数个每一个方向都有一个单位向量共线向量方向相同或相反的非零向量叫共 且方向相反的向量二向量的运算一运算定义向量的减法实数与向量的乘积两个向量的数量积这些运算的定义都是自然的它们都有明显的物理学的意义及几何意义其中向量的减法运算结果仍是向量两个向量数量积运算结果是数量研究学习必备 欢迎下载 OC a+3b，你能判断 A、B、C 三点之间的位置关系吗？为什么？A、B、C 三点共线 OA OC 2OB 变式 1：已知OA a+2b，OB 2a+4b，OC 3a+6b(其中 a、b 是两个任意非零向量)

15、，证明：A、B、C 三点共线 证明：AB OB OA a+2b，AC OC OA 2a+4b，2 AC AB 所以，A、B、C 三点共线 变式 2：已知点 A、B、C 在同一直线上，并且OA a+b，(2)OB m a+2b，(1)OC n a+3b(其中 a、b 是两个任意非零向量)，试求 m、n 之间的关系 n=2m-6 例 4.已知四边形 ABCD，点 E、F、G、H 分别是 AB、BC、CD、DA 的中点，求证：EF HG 变式 1：已知任意四边形 ABCD 的边 AD 和 BC 的中点分别为 E、F，求证：2 AB DC EF.三、平面向量的基本定理及坐标表示 例 5.已知 a=(4

16、，2)，b=(6，y)，且 a/b，求 y 3 变式 1：与向量 a=(12，5)平行的单位向量为12 513 13，或12 513 13，-变式 2：已知 a(1,2)，b,1 x，当 a+2b 与 2a b 共线时，x值为12 变式 3：已知 A(0,3)、B(2,0)、C(1,3)与AC AB 2 方向相反的单位向量是(0,1)变式 4：已知 a=(1，0)，b=(2，1)试问：当 k 为何实数时，ka b 与 a+3b 平行,平行时它们是同向还是反向？k=-13 反向 例 6.设点 P 是线段1 2P P上的一点，1P、2P的坐标分别为 1 1y x，2 2y x，(1)当点 P 是线

17、段1 2P P上的中点时，求点 P 的坐标；（2,22 1 2 1y y x x）b a D C E F A B 就是用来表示向量的有向线段的长度向量的表示方法字母表示法如等几何表示法用一条有向线段表示向量如等坐标表示法在平面直角坐标系中设向量的起点为在坐标原点终点坐标为则称为的坐标记为注向量既有代数特征又有几何特 等记为注向量不能比较大小因为方向没有大小零向量长度为零的向量叫零向量零向量只有一个其方向是任意的单位向量长度等于个单位的向量单位向量有无数个每一个方向都有一个单位向量共线向量方向相同或相反的非零向量叫共 且方向相反的向量二向量的运算一运算定义向量的减法实数与向量的乘积两个向量的数量

18、积这些运算的定义都是自然的它们都有明显的物理学的意义及几何意义其中向量的减法运算结果仍是向量两个向量数量积运算结果是数量研究学习必备 欢迎下载 O A P Q B a b(2)当点 P 是线段1 2P P的一个三等分点时，求 P 的坐标（32,322 1 2 1y y x x）变式 1：已知两点 3,2 M，5,5 N，12MP MN，则 P 点坐标是31,2 变式 2：如图，设点 P、Q 是线段 AB 的三等分点，若 OA a，OB b，则 OP 32a b，OQ 32 a b(用 a、b 表示)四、平面向量的数量积 例 7.已知|a|6，|b|4 且 a 与 b 的夹角为60，求(a+2b

19、)(a3 b)-72 变式 1：已知 3,4,2 23,a b a b a b 那么a与b夹角为120 变式 2：已知向量 a 和 b 的夹角为 60，|a|3，|b|4，则（2a b）a 等于 12 变式 3：在 ABC 中，已知|AB|=4，|AC|=1，S ABC=3，则 AB AC 等于 2 变式 4：设向量2 17 2 e e t 与向量2 1e t e 的夹角为钝角，求实数 t 的取值范围.t 0 且 t214 例 8.已知|a|3，|b|4 且 a 与 b 不共线，k 为何实数时，向量 a+kb 与 ak b 互相垂直？k=43 变式 1：已知 a b，|a|2，|b|3，且向量

20、 3a+2b 与 kab 互相垂直，则 k 的值为32 变式 2：已知|a|1，|b|2且（a b）a，则 a 与 b 夹角的大小为 4 例 9.已知 a=(4，2)，求与向量 a 垂直的单位向量的坐标（-52,51）（52,51）就是用来表示向量的有向线段的长度向量的表示方法字母表示法如等几何表示法用一条有向线段表示向量如等坐标表示法在平面直角坐标系中设向量的起点为在坐标原点终点坐标为则称为的坐标记为注向量既有代数特征又有几何特 等记为注向量不能比较大小因为方向没有大小零向量长度为零的向量叫零向量零向量只有一个其方向是任意的单位向量长度等于个单位的向量单位向量有无数个每一个方向都有一个单位向

21、量共线向量方向相同或相反的非零向量叫共 且方向相反的向量二向量的运算一运算定义向量的减法实数与向量的乘积两个向量的数量积这些运算的定义都是自然的它们都有明显的物理学的意义及几何意义其中向量的减法运算结果仍是向量两个向量数量积运算结果是数量研究学习必备 欢迎下载 变式 1：若 i=(1,0),j=(0,1)，则与 2i+3j 垂直的向量是 3i+2j 或 3i 2j 变式 2：已知向量)1,1(a，)3,2(b，若b a k 2 与a垂直，则实数k=1 变式 3：若非零向量b a,互相垂直，则下列各式中一定成立的是（B）Ab a b a B|b a b a C0)(b a b a D0)(2 b

22、 a 变式 4：已知向量 a（3，4），b（2，x），c（2，y）且 a b，ac求|b c|的值625 例 10.已知 A(1，2)，B(2，3)，C(2，5)，试判断ABC 的形状，并给出证明 直角三角形 变式 1：O是ABC 所在的平面内的一点，且满足 0 OB OC OC OA，则 ABC 一定为直角三角形 变式 2：已知 A、B、C 三点不共线，O 是 ABC 内的一点，若 OA OB OC 0，则 O 是 ABC 的重心 变式 3：已知02 AB BC AB，则 ABC 一定是直角三角形 变式 4：四边形ABCD中，)3,2(),(),1,6(CD y x BC AB（1）若DA

23、BC/，试求x与y满足的关系式；x+2y=0（2）满足（1）的同时又有BD AC，求y x,的值及四边形ABCD的面积。x=-6，y=3，S=32 或 x=2，y=-1，S=32 就是用来表示向量的有向线段的长度向量的表示方法字母表示法如等几何表示法用一条有向线段表示向量如等坐标表示法在平面直角坐标系中设向量的起点为在坐标原点终点坐标为则称为的坐标记为注向量既有代数特征又有几何特 等记为注向量不能比较大小因为方向没有大小零向量长度为零的向量叫零向量零向量只有一个其方向是任意的单位向量长度等于个单位的向量单位向量有无数个每一个方向都有一个单位向量共线向量方向相同或相反的非零向量叫共 且方向相反的向量二向量的运算一运算定义向量的减法实数与向量的乘积两个向量的数量积这些运算的定义都是自然的它们都有明显的物理学的意义及几何意义其中向量的减法运算结果仍是向量两个向量数量积运算结果是数量研究