数学高中排列组合知识和典例_中学教育-中学课件.pdf

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1、.-优选 1排列与排列数(1)排列：从 n 个不同元素中取出 m(m n)个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的一个排列(2)排列数：从 n 个不同元素中取出 m(m n)个元素的所有不同排列的个数叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的排列数，记作 Amn.2组合与组合数(1)组合：从 n 个不同元素中取出 m(m n)个元素合成一组，叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的一个组合(2)组合数：从 n 个不同元素中取出 m(m n)个元素的所有不同组合的个数，叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的组合数，记作 Cmn.排列数、组合数的公式及性质

2、排列数 组合数 公式 Amn n(n 1)(n 2)(n m 1)n！(n m)！CmnAmnAmmn(n 1)(n m 1)m！n！m！(n m)！性质 Ann n！；0！1 C0n 1；Cmn Cn mn_；Cmn Cm 1n Cmn 1 注意：易混淆排列与组合问题，区分的关键是看选出的元素是否与顺序有关，排列问题与顺序有关，组合问题与顺序无关 一、排列问题 直接法 把符合条件的排列数直接列式计算 优先法 优先安排特殊元素或特殊位置 捆绑法 把相邻元素看作一个整体与其他元素一起排列，同时注意捆绑元素的部排列 插空法 对不相邻问题，先考虑不受限制的元素的排列，再将不相邻的元素插在前面元素排列

3、的空当中 定序问题除 对于定序问题，可先不考虑顺序限制，排列后，再除以定序元素的全排列.-优选 法处理 间接法 正难那么反、等价转化的方法 排列典型例题：有 3 名男生、4 名女生，在以下不同条件下，求不同的排列方法总数(1)选 5 人排成一排；(2)排成前后两排，前排 3 人，后排 4 人；(3)全体排成一排，甲不站排头也不站排尾；(4)全体排成一排，女生必须站在一起；(5)全体排成一排，男生互不相邻 解：(1)从 7 人中选 5 人排列，有 A57 7 6 5 4 3 2 520(种)(2)分两步完成，先选 3 人站前排，有 A37种方法，余下 4 人站后排，有 A44种方法，共有A37A

4、44 5 040(种)(3)法一：(特殊元素优先法)先排甲，有 5 种方法，其余 6 人有 A66种排列方法，共有 5A66 3 600(种)法二：(特殊位置优先法)首尾位置可安排另 6 人中的两人，有 A26种排法，其他有 A55种排法，共有 A26A55 3 600(种)(4)(捆绑法)将女生看作一个整体与 3 名男生一起全排列，有 A44种方法，再将女生全排列，有 A44种方法，共有 A44A44 576(种)(5)(插空法)先排女生，有 A44种方法，再在女生之间及首尾 5 个空位中任选 3 个空位安排男生，有 A35种方法，共有 A44A35 1 440(种)1.用 0 到 9 这

5、10 个数字，可以组成没有重复数字的三位偶数的个数为()A 324 B 648 C 328 D 360 2.用 1,2,3,4这四个数字组成无重复数字的四位数，其中恰有一个偶数夹在两个奇数之间的四位数的个数为 _ 3.甲、乙两人要在一排 8 个空座上就坐，假设要求甲、乙两人每人的两旁都有空座，那么不同的坐法有()A 10 种 B 16 种 C 20 种 D 24 种 列排列数从个不同元素中取出个元素的所有不同排列的个数叫做从个不同元素中取出个元素的排列数记作组合与组合数组合从个不同元素中取出个元素合成一组叫做从个不同元素中取出个元素的一个组合组合数从个不同元素中取出 合数公式性质注意易混淆排列

6、与组合问题区分的关键是看选出的元素是否与顺序有关排列问题与顺序有关组合问题与顺序无关一排列问题直接法优先法捆绑法插空法把符合条件的排列数直接列式计算优先安排特殊元素或特殊位置把 列再将不相邻的元素插在前面元素排列的空当中定序问题除对于定序问题可先不考虑顺序限制排列后再除以定序元素的全排列优选法处理间接法正难那么反等价转化的方法排列典型例题有名男生名女生在以下不同条件下求不同的排.-优选 二、组合问题 组合典型例题：某运动队有男运发动 6 名，女运发动 4 名，假设选派 5 人外出比赛，在以下情形中各有多少种选派方法？(1)男运发动 3 名，女运发动 2 名；(2)至少有 1 名女运发动 解：(

7、1)任选 3 名男运发动，方法数为 C36，再选 2 名女运发动，方法数为 C24，共有 C36C24 120(种)方法(2)法一：(直接法)至少 1 名女运发动包括以下几种情况：1 女 4 男，2 女 3 男，3 女 2 男，4 女 1 男，由分类加法计数原理可得总选法数为 C14C46 C24C36 C34C26 C44C16 246(种)法二：(间接法)“至少有 1 名女运发动的反面是“全是男运发动，因此用间接法求解，不同选法有 C510 C56 246(种)1.甲、乙两人从 4 门课程中各选修 2 门，那么甲、乙所选的课程中至少有 1 门不一样的选法共有()A 30 种 B 36 种

8、C 60 种 D 72 种 2.假设从 1,2,3，9 这 9 个整数中同时取 4 个不同的数，其和为偶数，那么不同的取法共有()A 60 种 B 63 种 C 65 种 D 66 种 三、排列组合综合问题(1)简单的排列与组合的综合问题；(2)分组、分配问题 1.将标号为 1,2,3,4的四个篮球分给三位小朋友，每位小朋友至少分到一个篮球，且标号1,2 的两个篮球不能分给同一个小朋友，那么不同的分法种数为()A 15 B 20 C 30 D 42 2.将 5 位同学分别保送到大学、交通大学、大学这 3 所大学就读，每所大学至少保送 1人，那么不同的保送方法共有()列排列数从个不同元素中取出个

9、元素的所有不同排列的个数叫做从个不同元素中取出个元素的排列数记作组合与组合数组合从个不同元素中取出个元素合成一组叫做从个不同元素中取出个元素的一个组合组合数从个不同元素中取出 合数公式性质注意易混淆排列与组合问题区分的关键是看选出的元素是否与顺序有关排列问题与顺序有关组合问题与顺序无关一排列问题直接法优先法捆绑法插空法把符合条件的排列数直接列式计算优先安排特殊元素或特殊位置把 列再将不相邻的元素插在前面元素排列的空当中定序问题除对于定序问题可先不考虑顺序限制排列后再除以定序元素的全排列优选法处理间接法正难那么反等价转化的方法排列典型例题有名男生名女生在以下不同条件下求不同的排.-优选 A 15

10、0 种 B 180 种 C 240 种 D 540 种 此题是高考出现频率最高的题型，我把他称为均分问题：对于局部均分，解题时注意重复的次数是均匀分组的阶乘数，即假设有 m 组元素个数相等，那么分组时应除以 m！，分组过程中有几个这样的均匀分组，就要除以几个这样的全排列数(3)涂色问题：涂色的规那么是“相邻区域涂不同的颜色，在处理涂色问题时，可按照选择颜色的总数进展分类讨论，每减少一种颜色的使用，便意味着多出一对不相邻的区域涂一样的颜色还要注意两两不相邻的情况，先列举出所有不相邻区域搭配的可能，再进展涂色即可。例如：最多使用四种颜色涂图中四个区域，不同的涂色方案有多少种？解：可根据使用颜色的种

11、数进展分类讨论 1使用 4 种颜色，那么每个区域涂一种颜色即可：41 4N A 2使用 3 种颜色，那么有一对不相邻的区域涂同一种颜色，首先要选择不相邻的区域：用列举法可得：,I IV不相邻 所以涂色方案有：32 4N A 3使用 2 种颜色，那么无法找到符合条件的情况，所以讨论终止 总计 4 34 448 S A A 种 常见题型 1将 2 名女教师，4 名男教师分成 2 个小组，分别安排到甲、乙两所学校轮岗支教，每个小组由 1 名女教师和 2 名男教师组成，那么不同的安排方案共有()A 24 种 B 12 种 C 10 种 D 9 种 解析：选 B 第一步，为甲校选 1 名女教师，有 C1

12、2 2(种)选法；第二步，为甲校选 2名男教师，有 C24 6(种)选法；第三步，为乙校选 1 名女教师和 2 名男教师，有 1 种选法，列排列数从个不同元素中取出个元素的所有不同排列的个数叫做从个不同元素中取出个元素的排列数记作组合与组合数组合从个不同元素中取出个元素合成一组叫做从个不同元素中取出个元素的一个组合组合数从个不同元素中取出 合数公式性质注意易混淆排列与组合问题区分的关键是看选出的元素是否与顺序有关排列问题与顺序有关组合问题与顺序无关一排列问题直接法优先法捆绑法插空法把符合条件的排列数直接列式计算优先安排特殊元素或特殊位置把 列再将不相邻的元素插在前面元素排列的空当中定序问题除对

13、于定序问题可先不考虑顺序限制排列后再除以定序元素的全排列优选法处理间接法正难那么反等价转化的方法排列典型例题有名男生名女生在以下不同条件下求不同的排.-优选 故不同的安排方案共有 2 6 1 12(种)，选 B.2从 0,1,2,3,4中取出 3 个数字，组成没有重复数字的三位数的个数为()A 24 B 36 C 48 D 60 解析：选 C 法一：百位数字只能从 1,2,3,4中任取一个，有 A14种方法十位与个位可从剩下的 4 个数中取 2 个，有 A24种方法，那么三位数的个数有 A14A24 4 4 3 48.应选 C.法二：从 0,1,2,3,4中取出 3 个数字排在百位、十位与个位

14、的方法总数有 A35，其中 0 作为百位的三位数有 A24，那么三位数的个数有 A35 A24 5 4 3 4 3 48.应选 C.3如图，MON 的边 OM 上有四点 A1，A2，A3，A4，ON 上有三点 B1，B2，B3，那么以 O，A1，A2，A3，A4，B1，B2，B3为顶点的三角形个数为()A 30 B 42 C 54 D 56 解析：选 B 用间接法先从这 8 个点中任取 3 个点，最多构成三角形 C38个，再减去三点共线的情形即可共有 C38 C35 C34 42(个)4有 5 本不同的教科书，其中语文书 2 本，数学书 2 本，物理书 1 本假设将其并排摆放在书架的同一层上，

15、那么同一科目书都不相邻的放法种数是()A 24 B 48 C 72 D 96 解析：选 B 据题意可先摆放 2 本语文书，当 1 本物理书在 2 本语文书之间时，只需将2 本数学书插在前 3 本书形成的 4 个空中即可，此时共有 A22A24种摆放方法；当 1 本物理书放在 2 本语文书一侧时，共有 A22A12C12C13种不同的摆放方法，由分类加法计数原理可得共有 A22A24 A22A12C12C13 48(种)摆放方法 5(2021调研)将 A，B，C，D，E 排成一列，要求 A，B，C 在排列中顺序为“A，B，C或“C，B，A(可以不相邻)，这样的排列数有()A 12 种 B 20

16、种 C 40 种 D 60 种 解析：选 C(排序一定用除法)五个元素没有限制全排列数为 A55，由于要求 A，B，C 的列排列数从个不同元素中取出个元素的所有不同排列的个数叫做从个不同元素中取出个元素的排列数记作组合与组合数组合从个不同元素中取出个元素合成一组叫做从个不同元素中取出个元素的一个组合组合数从个不同元素中取出 合数公式性质注意易混淆排列与组合问题区分的关键是看选出的元素是否与顺序有关排列问题与顺序有关组合问题与顺序无关一排列问题直接法优先法捆绑法插空法把符合条件的排列数直接列式计算优先安排特殊元素或特殊位置把 列再将不相邻的元素插在前面元素排列的空当中定序问题除对于定序问题可先不

17、考虑顺序限制排列后再除以定序元素的全排列优选法处理间接法正难那么反等价转化的方法排列典型例题有名男生名女生在以下不同条件下求不同的排.-优选 次序一定(按 A，B，C 或 C，B，A)，故除以这三个元素的全排列 A33，可得这样的排列数有A55A33 2 40(种)6 现有 2 个红球、3 个黄球、4 个白球，同色球不加区分，将这 9 个球排成一列，有 _种不同的方法(用数字作答)解析：第一步，从 9 个位置中选出 2 个位置，分给一样的红球，有 C29种选法；第二步，从剩余的 7 个位置中选出 3 个位置，分给一样的黄球，有 C37种选法；第三步，剩下的 4 个位置全局部给 4 个白球，有

18、1 种选法根据分步乘法计数原理可得，排列方法共有 C29C37 1 260(种)答案：1 260 7从 6 名同学中选派 4 人分别参加数学、物理、化学、生物四科知识竞赛，假设其中甲、乙两名同学不能参加生物竞赛，那么选派方案共有 _种 解析：特殊位置优先考虑，既然甲、乙都不能参加生物竞赛，那么从另外 4 个人中选择一个参加，有 C14种方案，然后从剩下的 5 个人中选择 3 个人参加剩下 3 科，有 A35种方案，故共有 C14A35 4 60 240(种)方案 答案：240 8(2021黄冈质检)在高三某班进展的演讲比赛中，共有 5 位选手参加，其中 3 位女生，2 位男生，如果 2 位男生

19、不能连续出场，且女生甲不能排第一个，那么出场的顺序的排法种数为 _ 解析：不相邻问题插空法.2 位男生不能连续出场的排法共有 N1 A33 A24 72(种)，女生甲排第一个且 2 位男生不连续出场的排法共有 N2 A22 A23 12(种)，所以出场顺序的排法种数为 N N1 N2 60.答案：60 9把座位编号为 1,2,3,4,5 的五电影票全局部给甲、乙、丙、丁四个人，每人至少一，至多两，且分得的两票必须是连号，那么不同的分法种数为 _(用数字作答)解析：先将票分为符合条件的 4 份，由题意，4 人分 5 票，且每人至少一，至多两，那么三人每人一，一人 2，且分得的票必须是连号，相当于

20、将 1,2,3,4,5这五个数用 3 个板子隔开，分为四局部且不存在三连号在 4 个空位插 3 个板子，共有 C34 4(种)情况，再对应到 4个人，有 A44 24(种)情况，那么共有 4 24 96(种)情况 答案：96 列排列数从个不同元素中取出个元素的所有不同排列的个数叫做从个不同元素中取出个元素的排列数记作组合与组合数组合从个不同元素中取出个元素合成一组叫做从个不同元素中取出个元素的一个组合组合数从个不同元素中取出 合数公式性质注意易混淆排列与组合问题区分的关键是看选出的元素是否与顺序有关排列问题与顺序有关组合问题与顺序无关一排列问题直接法优先法捆绑法插空法把符合条件的排列数直接列式计算优先安排特殊元素或特殊位置把 列再将不相邻的元素插在前面元素排列的空当中定序问题除对于定序问题可先不考虑顺序限制排列后再除以定序元素的全排列优选法处理间接法正难那么反等价转化的方法排列典型例题有名男生名女生在以下不同条件下求不同的排