不等式恒成立问题中的参数求解策略_中学教育-高考.pdf

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1、学习必备 欢迎下载 不等式恒成立问题中的参数求解策略 摘要：不等式恒成立问题的题目一般综合性都比较强，本文结合例题谈谈不等式恒成立问题中参数的求解策略 关键词：不等式；恒成立；求解策略 在不等式中，有一类问题是求参数在什么范围内不等式恒成立。恒成立条件下不等式参数的取值范围问题，涉及的知识面广，综合性强，同时数学语言抽象，如何从题目中提取可借用的知识模块往往捉摸不定，难以寻觅，是同学们学习的一个难点，同时也是高考命题中的一个热点。下面结合例题浅谈不等式恒成立问题的解题策略 题型一、可化为二次函数类型 有关含有参数的一元二次不等式问题，若能把不等式转化成二次函数或二次方程，通过根的判别式或数形结

2、合思想，可使问题得到顺利解决。常常有以下两类情况：可化为二次函数在 R 上恒成立问题 设)0()(2 a c bx ax x f，（1）R x x f 在 0)(上恒成立0 0 且 a；（2）（2）R x x f 在 0)(上恒成立0 0 且 a。例 1 对于 x R，不等式0 m 3 x 2 x2 恒成立，求实数 m 的取值范围。解：不 妨 设m 3 x 2 x)x(f2，其 函 数 图 象 是 开 口 向 上 的 抛 物 线，为 了 使)R x(0)x(f，只需0，即0)m 3(4)2(2，解得 2(m 2 m，。变形：若对于 x R，不等式0 3 mx 2 mx2 恒成立，求实数 m 的

3、取值范围。此题需要对 m 的取值进行讨论，设3 mx 2 mx)x(f2。当 m=0 时，30，显然成立。当 m0 时，则 03 m 0。当 m0 时，显然不等式不恒成立。由知)3 0 m，。关 键 点 拨：对 于 有 关 二 次 不 等 式0 c bx ax2（或 0）的 问 题，可 设 函 数c bx ax)x(f2，由 a 的符号确定其抛物线的开口方向，再根据图象与 x 轴的交点问题，由判别式进行解决。可化为二次函数在闭区间上恒成立问题 设)0()(2 a c bx ax x f（1）当0 a时，,0)(x x f 在上 恒 成 立 0)(2020)(2 fababfab或 或，学习必备

4、 欢迎下载,0)(x x f 在 上恒成立0)(0)(ff（2）当0 a时，,0)(x x f 在上恒成立0)(0)(ff,0)(x x f 在上恒成立 0)(2020)(2 fababfab或 或 例 2 已知函数2 kx 2 x)x(f2，在1 x 时恒有k)x(f，求实数 k 的取值范围。解：令k 2 kx 2 x k)x(f)x(F2，则0)x(F 对一切1 x 恒成立，而)x(F是开口向上的抛物线。当图象与 x 轴无交点满足 0，即0)k 2(4 k 42，解得 2k1。当图象与 x 轴有交点，且在)1 x，时0)x(F，只需 1 k2 k 3 0 k 2 k 2 11 k 2 k1

5、2k 20)1(F0，或由知1 k 3 关键点拨：为了使k)x(f 在)1 x，恒成立，构造一个新函数k)x(f)x(F 是解题的关键，再利用二次函数的图象性质进行分类讨论，使问题得到圆满解决。二、利用函数最值法（分离参数法）如果能够将参数分离出来，建立起明确的参数和变量 x 的关系，则可以利用函数的单调性求解。)x(f a 恒成立max)x(f a，即大于时大于函数)x(f值域的上界。)x(f a 恒成立min)x(f a，即小于时小于函数)x(f值域的下界。例 3（1）求使不等式,0,cos sin x x x a恒成立的实数 a 的范围。解析：由于函43,4)4(),4sin(2 cos

6、 sin x x x x a，显然函数有最大值2，2 a。已知二次函数x ax)x(f2，如果 x 0，1时1|)x(f|，求实数 a 的取值范围。解：x 0，1时，1)x(f 1 1|)x(f|，即1 x ax 12 当 x=0 时，a R 当 x 1 0(，时，问题转化为 1 x ax1 x ax22恒成，由x1x1a2 恒成立，即求x1x12 合例题谈谈不等式恒成立问题中参数的求解策略关键词不等式恒成立求解策略在不等式中有一类问题是求参数在什么范围内不等式恒成立恒成立条件下不等式参数的取值范围问题涉及的知识面广综合性强同时数学语言抽象如何从题 结合例题浅谈不等式恒成立问题的解题策略题型一

7、可化为二次函数类型有关含有参数的一元二次不等式问题若能把不等式转化成二次函数或二次方程通过根的判别式或数形结合思想可使问题得到顺解决常常有以下两类情况可化为二 是开口向上的抛物线为了使只需解得变形若对于不等式恒成立求实数的取值范围即此题需要对的取值进行讨论设立当时则当时显然成当时显然不等式不恒成立由知关键点拨对于有关二次不等式或的问题可设函数由的符号确定其抛物学习必备 欢迎下载 的最大值。设4121x1x1x1)x(u22。因)x(u)1 x1 1 0(x，为减函数，所以当 x=1 时，2)x(umax，可得2 a。由x1x1a2 恒成立，即求x1x12的最小值。设4121x1x1x1)x(v

8、22。因)x(v)1 x1 1 0(x，为增函数，所以当 x=1 时，0)x(vmin，可得 a 0。由知0 a 2。关键点拨：在闭区间 0，1 上使1|)x(f|分离出 a，然后讨论关于x1的二次函数在)1，上的单调性。三、变换主元法，适用于一次函数型 在解含参不等式时，有时若能换一个角度，变参数为主元，可以得到意想不到的效果，使问题能更迅速地得到解决。例 6 若不等式)1 x(m 1 x 22，对满足2 m 2 所有的 x 都成立，求 x 的取值范围。解：原不等式可化为0)1 x 2()1 x(m2 令)2 m 2)(1 x 2(m)1 x()m(f2 是关于 m 的一次函数。由题意知 0

9、)1 x 2()1 x(2)2(f0)1 x 2()1 x(2)2(f22解得23 1x27 1 x 的取值范围是 23 127 1，关键点拨：利用函数思想，变换主元，通过直线方程的性质求解。四、数形结合法 对一些不能把数放在一侧的，可以利用对应函数的图象法求解。例 7、当 x(1,2)时，不等式(x-1)2logax 恒成立，求 a 的取值范围。分析：若将不等号两边分别设成两个函数，则左边为二次函数，右边为对数函数，故可以采用数形结合借助图象位置关系通过特指求解 a 的取值范围。解：设 T1:()f x=2(1)x,T2:()logag x x,则 T1的图象为右图所示的抛物线，要使对一切

10、x(1,2),()f x1,并且必须也只需(2)(2)g f 故 loga21,a1,1a2.x y o 1 2 y1=(x-1)2 y2=logax 合例题谈谈不等式恒成立问题中参数的求解策略关键词不等式恒成立求解策略在不等式中有一类问题是求参数在什么范围内不等式恒成立恒成立条件下不等式参数的取值范围问题涉及的知识面广综合性强同时数学语言抽象如何从题 结合例题浅谈不等式恒成立问题的解题策略题型一可化为二次函数类型有关含有参数的一元二次不等式问题若能把不等式转化成二次函数或二次方程通过根的判别式或数形结合思想可使问题得到顺解决常常有以下两类情况可化为二 是开口向上的抛物线为了使只需解得变形若对

11、于不等式恒成立求实数的取值范围即此题需要对的取值进行讨论设立当时则当时显然成当时显然不等式不恒成立由知关键点拨对于有关二次不等式或的问题可设函数由的符号确定其抛物学习必备 欢迎下载 对应练习：1、设1 2 4()lg,3x xaf x 其中a R，如果(.1)x 时，()f x恒有意义，求a的取值范围。分析：如果(.1)x 时，()f x恒有意义，则可转化为1 2 4 0 x xa 恒成立，即参数分离后21 2(2 2)4xx xxa，(.1)x 恒成立，接下来可转化为二次函数区间最值求解。解：如果(.1)x 时，()f x恒有意义1 2 4 0 x xa，对(,1)x 恒成立.21 2(2

12、2)4xx xxa(.1)x 恒成立。令2xt，2()()g t t t 又(.1)x 则1(,)2t()a g t 对1(,)2t 恒成立，又()g t在1,)2t 上为减函数，max1 3()()2 4t g g，34a。2、设函数是定义在(,)上的增函数，如果不等式2(1)(2)f ax x f a 对于任意0,1 x 恒成立，求实数a的取值范围。分析：本题可利用函数的单调性把原不等式问题转化为21 2 ax x a 对于任意0,1 x恒成立，从而转化为二次函数区间最值求解。解：()f x是增函数2(1)(2)f ax x f a 对于任意0,1 x 恒成立 21 2 ax x a 对于

13、任意0,1 x 恒成立 21 0 x ax a 对于任意0,1 x 恒成立，令2()1 g x x ax a，0,1 x，合例题谈谈不等式恒成立问题中参数的求解策略关键词不等式恒成立求解策略在不等式中有一类问题是求参数在什么范围内不等式恒成立恒成立条件下不等式参数的取值范围问题涉及的知识面广综合性强同时数学语言抽象如何从题 结合例题浅谈不等式恒成立问题的解题策略题型一可化为二次函数类型有关含有参数的一元二次不等式问题若能把不等式转化成二次函数或二次方程通过根的判别式或数形结合思想可使问题得到顺解决常常有以下两类情况可化为二 是开口向上的抛物线为了使只需解得变形若对于不等式恒成立求实数的取值范围

14、即此题需要对的取值进行讨论设立当时则当时显然成当时显然不等式不恒成立由知关键点拨对于有关二次不等式或的问题可设函数由的符号确定其抛物学习必备 欢迎下载 所 以 原 问 题 m i n()0 g x，又 m i n(0),0()(),2 022,2g aag x g aa 即2min1,0()1,2 042,2a aag x a aa 易求得1 a。3、已知当 xR时，不等式 a+cos2x5-4sinx 恒成立，求实数 a 的取值范围。方法一）分析：在不等式中含有两个变量 a 及 x，本题必须由 x 的范围（xR）来求另一变量 a 的范围，故可考虑将 a 及 x 分离构造函数利用函数定义域上的

15、最值求解 a 的取值范围。解：原不等式4sinx+cos2x-a+5 当 xR 时，不等式 a+cos2x(4sinx+cos2x)设 f(x)=4sinx+cos2x则2 2f(x)=4sinx+cos2x=-2sin x+4sinx+1=-2(sinx-1)+3 3-a+53 a2 方法二）题目中出现了 sinx 及 cos2x，而 cos2x=1-2sin2x,故若采用换元法把 sinx换元成 t,则可把原不等式转化成关于 t 的二次不等式，从而可利用二次函数区间最值求解。解：不等式 a+cos2x5-4sinx 可化为 a+1-2sin2x5-4sinx,令 sinx=t,则 t-1,

16、1,不等式 a+cos2x0,t-1,1 恒成立。设 f(t)=2t2-4t+4-a，显 然 f(x)在-1，1 内 单 调 递 减，min)(t f=f(1)=2-a,2-a0a2 合例题谈谈不等式恒成立问题中参数的求解策略关键词不等式恒成立求解策略在不等式中有一类问题是求参数在什么范围内不等式恒成立恒成立条件下不等式参数的取值范围问题涉及的知识面广综合性强同时数学语言抽象如何从题 结合例题浅谈不等式恒成立问题的解题策略题型一可化为二次函数类型有关含有参数的一元二次不等式问题若能把不等式转化成二次函数或二次方程通过根的判别式或数形结合思想可使问题得到顺解决常常有以下两类情况可化为二 是开口向

17、上的抛物线为了使只需解得变形若对于不等式恒成立求实数的取值范围即此题需要对的取值进行讨论设立当时则当时显然成当时显然不等式不恒成立由知关键点拨对于有关二次不等式或的问题可设函数由的符号确定其抛物学习必备 欢迎下载 4、设 f(x)=x2-2ax+2,当 x-1,+)时，都有 f(x)a 恒成立，求 a 的取值范围。分析：在 f(x)a 不等式中，若把 a 移到等号的左边，则原问题可转化为二次函数区间恒成立问题。解：设 F(x)=f(x)-a=x2-2ax+2-a.)当=（-2a）2-4(2-a)=4（a-1)(a+2)0 时，即-2a0,若将等号两边分别构造函数即二次函数 y=x2+20 x

18、与一次函数 y=8x-6a-3，则只需考虑这两个函数的图象在 x 轴上方恒有唯一交点即可。解：令 T1：y1=x2+20 x=（x+10）2-100,T2：y2=8x-6a-3,则如图所示，T1的图象为一抛物线，T2的图象是一条斜率为定值 8，而截距不定的直线，要使 T1和 T2在 x 轴上有唯一交点，则直线必须位于 l1和 l2之间。（包括 l1但不包括l2)当直线为 l1时，直线过点（-20，0）此时纵截距为-1 o x y x y l1 l2 l-20 o 合例题谈谈不等式恒成立问题中参数的求解策略关键词不等式恒成立求解策略在不等式中有一类问题是求参数在什么范围内不等式恒成立恒成立条件下

19、不等式参数的取值范围问题涉及的知识面广综合性强同时数学语言抽象如何从题 结合例题浅谈不等式恒成立问题的解题策略题型一可化为二次函数类型有关含有参数的一元二次不等式问题若能把不等式转化成二次函数或二次方程通过根的判别式或数形结合思想可使问题得到顺解决常常有以下两类情况可化为二 是开口向上的抛物线为了使只需解得变形若对于不等式恒成立求实数的取值范围即此题需要对的取值进行讨论设立当时则当时显然成当时显然不等式不恒成立由知关键点拨对于有关二次不等式或的问题可设函数由的符号确定其抛物学习必备 欢迎下载-6a-3=160,a=6163;当直线为 l2时，直线过点（0，0），纵截距为-6a-3=0，a=21

20、 a 的范围为 6163，21）。6、对于满足|p|2 的所有实数 p,求使不等式 x2+px+12p+x 恒成立的 x 的取值范围。分析：在不等式中出现了两个变量：x、P,并且是给出了 p 的范围要求 x 的相应范围，直接从 x 的不等式正面出发直接求解较难，若逆向思维把 p 看作自变量，x看成参变量，则上述问题即可转化为在-2，2 内关于 p 的一次函数函数值大于 0恒成立求参变量 x 的范围的问题。解：原不等式可化为(x-1)p+x2-2x+10,令 f(p)=(x-1)p+x2-2x+1,则原问题等价于 f(p)0 在 p-2,2 上恒成立，故有：方法一：1 0(2)0 xf 或1 0

21、(2)0 xf x3.方法二：(2)0(2)0ff 即 0 10 3 422xx x解得：1 11 3x xx x或或 x3.o y 2-2 x y-2 2 x 合例题谈谈不等式恒成立问题中参数的求解策略关键词不等式恒成立求解策略在不等式中有一类问题是求参数在什么范围内不等式恒成立恒成立条件下不等式参数的取值范围问题涉及的知识面广综合性强同时数学语言抽象如何从题 结合例题浅谈不等式恒成立问题的解题策略题型一可化为二次函数类型有关含有参数的一元二次不等式问题若能把不等式转化成二次函数或二次方程通过根的判别式或数形结合思想可使问题得到顺解决常常有以下两类情况可化为二 是开口向上的抛物线为了使只需解得变形若对于不等式恒成立求实数的取值范围即此题需要对的取值进行讨论设立当时则当时显然成当时显然不等式不恒成立由知关键点拨对于有关二次不等式或的问题可设函数由的符号确定其抛物