2013年山西省太原中考数学真题及答案.pdf

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1、20132013 年山西省太原中考数学真题及答案年山西省太原中考数学真题及答案（满分 120 分考试时间 120 分钟）第 I 卷选择题（共 24 分）一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 2 分，共 24 分。在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）1计算 2（-3）的结果是（）A6B-6C-1D5【答案】B【解析】异号相乘，得负，所以选 B。2不等式组的解集在数轴上表示为（）【答案】C【解析】解（1）得：2x，解（2）得：x3，所以解集为23x，选 C。3如图是一个长方体包装盒，则它的平面展开图是（）【答案】A【解析】长方体的四个侧面中，有两个对对面

2、的小长方形，另两个是相对面的大长方形，B、C中两个小的与两个大的相邻，错，D 中底面不符合，只有 A 符合。4某班实行每周量化考核制，学期末对考核成绩进行统计，结果显示甲、乙两组的平均成绩相同，方差分别是 S2 甲=36，S2 乙=30，则两组成绩的稳定性：（）A甲组比乙组的成绩稳定B乙组比甲组的成绩稳定C甲、乙两组的成绩一样稳定D无法确定【答案】B【解析】方差小的比较稳定，故选 B。5下列计算错误的是（）Ax3+x3=2x3Ba6a3=a2CD【答案】B【解析】a6a36 33aa，故 B 错，A、C、D 的计算都正确。6解分式方程时，去分母后变形为（）A2+（x+2）=3（x-1）B2-x

3、+2=3（x-1）C2-（x+2）=3（1-x）D 2-（x+2）=3（x-1）【答案】D【解析】原方程化为：，去分母时，两边同乘以 x1，得：2（x2）3（x1），选 D。7下表是我省 11 个地市 5 月份某日最高气温（）的统计结果：太原大同朔州忻州阳泉晋中吕梁长治晋城临汾运城2727282827292828303031该日最高气温的众数和中位数分别是（）A27，28B28，28C27，27D28，29【答案】B【解析】28 出现 4 次，最多，所以众数为 28，由小到大排列为：27,27,27,28,28,28,28,29,30,30,31，所以，中位数为 28，选 B。8如图，正方形地

4、砖的图案是轴对称图形，该图形的对称轴有（）A1 条B2 条C4 条D8 条【答案】C【解析】这是一个正八边形，对称轴有 4 条。9王先生到银行存了一笔三年期的定期存款，年利率是 4.25%，若到期后取出得到本息和（本金+利息）33852 元。设王先生存入的本金为 x 元，则下面所列方程正确的是（）Ax+34.25%x=33825Bx+4.25%x=33825C34.25%x=33825D3(x+4.25%x)=33825【答案】A【解析】一年后产生的利息为 4.25%x，三年后产生的利息为：34.25%x，再加上本金，得到 33852元，所以，A 是正确的。10如图，某地修建高速公路，要从 B

5、 地向 C 地修一座隧道（B，C 在同一水平面上），为了测量 B，C 两地之间的距离，某工程师乘坐热气球从 C 地出发，垂直上升 100m 到达 A 处，在 A 处观察 B 地的俯角为 30，则 BC 两地之间的距离为（）A100mB50mC50mDm【答案】A【解析】依题得：AC100，ABC30，tan30ACBC，BC100100 333，选 A。11起重机将质量为 6.5t 的货物沿竖直方向提升了 2m，则起重机提升货物所做的功用科学记数法表示为（g=10N/kg）（）A1.3106JB13105JC13104JD1.3105J【答案】D【解析】质量 m=6500kg，G=mg=650

6、00，做功为 W=650,02=130000=1.3105J，选 D。12如图，四边形 ABCD 是菱形，A=60，AB=2，扇形 BEF 的半径为 2，圆心角为 60，则图中阴影部分的面积是（B）ABCD【答案】B【解析】扇形 BEF 的面积为：S1=604360=23，菱形 ABCD 的面积为 SABCD=12232 32，如右图，连结 BD，易证：BDPBCQ，所以，BCQ 与BAP 的面积之和为BAD 的面积为：3，因为四边形 BPDQ 的面积为3，阴影部分的面积为：第卷非选择题（共 96 分）二、填空题（本大题共 6 个小题，每小题 3 分，共 18 分。把答案写在题中的横线上）13

7、分解因式：【答案】（）【解析】原式提取公因式 a 即可，本题较简单。14四川雅安发生地震后，某校九（1）班学生开展献爱心活动，积极向灾区捐款。如图是该班同学捐款的条形统计图，写出一条你从图中所获得的信息：【答案】该班有 50 人参与了献爱心活动（只要与统计图中所提供的信息相符即可得分）【解析】能得到的信息较多，答案不唯一，读图可得各组的人数分别为：20、5、10、15，加起来等于 50。15一组按规律排列的式子：，,.则第 n 个式子是_【答案】（n 为正整数）【解析】已知式子可写成：21a，,，分母为奇数，可写成 2n-1，分子中字母 a 的指数为偶数 2n。16如图，矩形 ABCD 在第一

8、象限，AB 在 x 轴正半轴上，AB=3，BC=1，直线 y=x-1 经过点 C交 x 轴于点 E，双曲线经过点 D，则 k 的值为_.【答案】1【解析】显然 C 点的纵坐标为 1，将 y=1 代入，直线方程 y=x-1，得 x=4，即 OB=4，又 AB=3，所以，OA=1，所以 D 点坐标为(1,1)，代入双曲线方程，可得 k=1。17如图，在矩形纸片 ABCD 中，AB=12，BC=5，点 E 在 AB 上，将DAE 沿 DE 折叠，使点 A 落在对角线 BD 上的点 A处，则 AE 的长为_.【答案】【解析】由勾股定理求得：BD=13，DA=DA=BC=5，DAE=DAE=90，设 A

9、E=x，则AE=x，BE=12x，BA=1358，在 RtEAB 中，222(12)8xx，解得：x，即 AE 的长为18如图是我省某地一座抛物线形拱桥，桥拱在竖直平面内，与水平桥面相交于 A，B 两点，桥拱最高点 C 到 AB 的距离为 9m，AB=36m，D，E 为桥拱底部的两点，且 DEAB，点 E 到直线 AB 的距离为 7m，则 DE 的长为_m.【答案】48【解析】以 C 为原点建立平面直角坐标系，如右上图，依题意，得 B（18，9），设抛物线方程为：2yax，将 B 点坐标代入，得 a136，所以，抛物线方程为：2136yx，E 点纵坐标为 y16，代入抛物线方程，162136x

10、，解得：x24，所以，DE 的长为 48m。三、解答题（本大题共 8 个小题，共 78 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）19（本题共 2 个小题，每小题 5 分，共 10 分）（1）计算：.【解析】解：原式=第 17 题=1-1=0（2）下面是小明化简分式的过程，请仔细阅读，并解答所提出的问题。第一步=2（x-2）-x-6第二步=2x-4-x+6第三步=x+2第四步小明的解法从第（2 分）步开始出现错误，正确的化简结果是。（3 分）【答案】二20（本题 7 分）解方程：（2x-1）2=x(3x+2)-7【解析】解：原方程可化为：4x2-4x+1=3x2+2x-7x2-6x+8=0(

11、x-3)2=1x-3=1x1=2x2=421（本题 8 分）如图，在ABC 中，AB=AC，D 是 BA 延长线上的一点，点 E 是 AC 的中点。（1）实践与操作：利用尺规按下列要求作图，并在图中标明相应字母（保留作图痕迹，不写作法）。作DAC 的平分线 AM。连接 BE 并延长交 AM 于点 F。【解析】解：作图正确，并有痕迹。连接 BE 并延长交 AM 于点 F。（2）猜想与证明：试猜想 AF 与 BC 有怎样的位置关系和数量关系，并说明理由。【解析】解：AFBC 且 AF=BC理由如下：AB=AC,ABC=CDAC=ABC+C=2C由作图可知：DAC=2FACC=FAC.AFBC.E

12、是 AC 的中点，AE=CE,AEF=CEBAEFCEBAF=BC.22本题 9 分）小勇收集了我省四张著名的旅游景点图片（大小、形状及背面完全相同）：太原以南的壶口瀑布和平遥古城，太原以北的云岗石窟和五台山。他与爸爸玩游戏：把这四张图片背面朝上洗匀后，随机抽取一张（不放回），再抽取一张，若抽到两个景点都在太原以南或都在太原以北，则爸爸同意带他到这两个景点旅游，否则，只能去一个景点旅游。请你用列表或画树状图的方法求小勇能去两个景点旅游的概率（四张图片分别用（H，P，Y，W 表示）。【解析】解：列表如下：或画树状图如下：由列表（或画树状图）可以看出，所有可能出现的结果共有 12 种，而且每种结果

13、出现的可能性都相同，其中抽到的两个景点都在太原以南或以北的结果共有 4 种。P（小能力能到两个景点旅游）=23（本题 9 分）如图，AB 为的直径，点 C 在O 上，点 P 是直径 AB 上的一点（不与 A，B 重合），过点 P 作 AB 的垂线交 BC 的延长线于点 Q。（1）在线段 PQ 上取一点 D，使 DQ=DC，连接 DC，试判断 CD 与O 的位置关系，并说明理由。（2）若 cosB=，BP=6，AP=1，求 QC 的长。解析】解：（1）CD 是O 的切线,理由如下：连接 OC,OC=OB,B=1.又DC=DQ,Q=2PQAB,QPB=90B+Q=901+2=90DCO=QCB-(

14、1+2)=180-90,OCDC,OC 是O 的半径CD 是O 的切线(2)连接 AC,AB 是O 的直径,ACB=90.在 RtABC 中,BC=ABcosB=(AP+BP)cosB=(1+6)=.在 RtBPQ 中 BQ=10QC=BQ-BC=10=24（本题 8 分）某校实行学案式教学，需印制若干份数学学案。印刷厂有甲、乙两种收费方式，除按印数收取印刷费外，甲种方式还需收取制版费而乙种不需要。两种印刷方式的费用 y（元）与印刷份数 x（份）之间的函数关系如图所示：（1）填空：甲种收费方式的函数关系式是.乙种收费方式的函数关系式是.（2）该校某年级每次需印制 100450（含 100 和

15、450）份学案，选择哪种印刷方式较合算。【解析】（1）y=0.1x+6y=0.12x（2）解：由 0.1x+60.12x，得 x300由 0.1x+6=0.12x，得 x=300由 0.1x+60.12x，得 x300由此可知：当 100 x300 时，选择乙种方式较合算；当 x=300 时，选择甲乙两种方式都可以；当 300 x450 时，选择甲种方式较合算。25（本题 13 分）数学活动求重叠部分的面积。问题情境：数学活动课上，老师出示了一个问题：如图，将两块全等的直角三角形纸片ABC 和DEF 叠放在一起，其中ACB=E=90，BC=DE=6，AC=FE=8，顶点 D 与边 AB 的中点

16、重合，DE 经过点 C，DF 交 AC 于点 G。求重叠部分（DCG）的面积。（1）独立思考：请解答老师提出的问题。【解析】解：ACB=90D 是 AB 的中点,DC=DB=DA,B=DCB又ABCFDE，FDE=BFDE=DCB,DGBCAGD=ACB=90DGAC又DC=DA,G 是 AC 的中点,CG=AC=8=4,DG=BC=6=3SDCG=CGDG=43=6（2）合作交流：“希望”小组受此问题的启发，将DEF 绕点 D 旋转，使 DEAB 交 AC 于点 H，DF 交 AC 于点 G，如图(2)，你能求出重叠部分(DGH)的面积吗？请写出解答过程。【解析】解法一：ABCFDE,B=1

17、C=90,EDAB,A+B=90,A+2=90,B=2,1=2GH=GDA+2=90,1+3=90A=3,AG=GD，AG=GH点 G 是 AH 的中点，在 RtABC 中，AB=10D 是 AB 的中点，AD=AB=5在ADH 与ACB 中，A=A，ADH=ACB=90,ADHACB,=,=,DH=,SDGHSADHDHAD=5=（25 题（1）（25 题（2）解法二：同解法一，G 是 AH 的中点，连接 BH，DEAB，D 是 AB 的中点，AH=BH，设 AH=x 则 CH-在 RtBCH 中，CH2+BC2=BH2，即（8-x）2+36=x2，解得 x=SABH=AHBC=6=S=SA

18、DH=SABH=.解法三：同解法一，1=2连接 CD，由（1）知，B=DCB=1，1=2=B=DCB，DGHBDC,作 DMAC 于点 M，CNAB 于点 N，D 是 AB 的中点，ACB=90CD=AD=BD，点 M 是 AC 的中点，DM=BC=6=3在 RtABC 中，AB=10，ACBC=ABCN，CN.DGHBDC,=（3）提出问题：老师要求各小组向“希望”小组学习，将DEF 绕点 D 旋转，再提出一个求重（25 题（2）（25 题（2）叠部分面积的问题。“爱心”小组提出的问题是：如图(3)，将DEF 绕点 D 旋转，DE，DF 分别交 AC 于点 M，N，使 DM=MN 求重叠部分

19、(DMN)的面积、任务：请解决“爱心”小组所提出的问题，直接写出DMN 的面积是请你仿照以上两个小组，大胆提出一个符合老师要求的问题，并在图中画出图形，标明字母，不必解答（注：也可在图（1）的基础上按顺时针方向旋转）。【答案】注：此题答案不唯一，语言表达清晰、准确得 1 分，画图正确得 1 分，重叠部分未涂阴影不扣分。示例：如图，将DEF 绕点 D 旋转，使 DEBC 于点 M，DF 交 AC 于点 N，求重叠部分（四边形 DMCN）的面积。26（本题 14 分）综合与探究：如图,抛物线与 x 轴交于 A,B 两点(点 B 在点A 的右侧)与 y 轴交于点 C,连接 BC,以 BC 为一边,点

20、 O 为对称中心作菱形 BDEC,点 P 是 x 轴上的一个动点,设点 P 的坐标为（m，0），过点 P 作 x 轴的垂线 l 交抛物线于点Q（1）求点 A,B,C 的坐标。（2）当点 P 在线段 OB 上运动时，直线 l 分别交 BD，BC 于点 M,N。试探究 m 为何值时，四边形CQMD 是平行四边形，此时，请判断四边形 CQBM 的形状，并说明理由。（3）当点 P 在线段 EB 上运动时，是否存在点 Q，使BDQ 为直角三角形，若存在，请直接写出点 Q 的坐标；若不存在，请说明理由。解析：（1）当 y=0 时，解得，点 B 在点 A 的右侧，（25 题（3）（25 题（4）点 A,B

21、的坐标分别为：（-2，0），（8，0）当 x=0 时，y=-4点 C 的坐标为（0，-4），（2）由菱形的对称性可知，点 D 的坐标为（0，4）.设直线 BD 的解析式为 ykxb，则.解得，k=，b=4.直线 BD 的解析式为.lx 轴，点 M，Q 的坐标分别是（m，），（m，）如图，当 MQ=DC 时，四边形 CQMD 是平行四边形.（）-()=4-(-4)化简得：.解得，m1=0，（舍去）m2=4.当 m=4 时，四边形 CQMD 是平行四边形.此时，四边形 CQBM 是平行四边形.解法一：m=4，点 P 是 OB 中点.lx 轴，ly 轴.BPMBOD.BM=DM.四边形 CQMD 是平行四边形，DMCQBMCQ.四边形 CQBM 为平行四边形.解法二：设直线 BC 的解析式为 y=k1x+b1，则.解得，k1=，b1=-4直线 BC 的解析式为 y=x-4又lx 轴交 BC 于点 N.x=4 时，y=-2.点 N 的坐标为（4，-2）由上面可知，点 M,Q 的坐标分别为：（4，2），Q(4,-6).MN=2-（-2）=4，NQ=-2-（-6）=4.MN=QN.又四边形 CQMD 是平行四边形.DBCQ，3=4，又1=2，BMNCQN.BN=CN.四边形 CQBM 为平行四边形.（3）抛物线上存在两个这样的点 Q，分别是 Q1（-2，0），Q2（6，-4）.