2014广西高考理科数学真题及答案.pdf

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1、20142014 广西高考理科数学真题及答案广西高考理科数学真题及答案一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 1212 小题小题,每小题每小题 5 5 分）分）1（5 分）设 z=,则 z 的共轭复数为（）A1+3iB13iC1+3i D13i2（5 分）设集合 M=x|x23x40,N=x|0 x5,则 MN=（）A（0,4B0,4）C1,0）D（1,03（5 分）设 a=sin33,b=cos55,c=tan35,则（）AabcBbcaCcbaDcab4（5 分）若向量、满足:|=1,（+）,（2+）,则|=（）A2BC1D5（5 分）有 6 名男医生、5 名女医生,从中选出 2 名男医

2、生、1 名女医生组成一个医疗小组,则不同的选法共有（）A60 种 B70 种 C75 种 D150 种6（5 分）已知椭圆 C:+=1（ab0）的左、右焦点为 F1、F2,离心率为,过 F2的直线 l 交 C 于 A、B 两点,若AF1B 的周长为 4,则 C 的方程为（）A+=1B+y2=1 C+=1D+=17（5 分）曲线 y=xex1在点（1,1）处切线的斜率等于（）A2eBeC2D18（5 分）正四棱锥的顶点都在同一球面上,若该棱锥的高为 4,底面边长为 2,则该球的表面积为（）AB16 C9D9（5 分）已知双曲线 C 的离心率为 2,焦点为 F1、F2,点 A 在 C 上,若|F1

3、A|=2|F2A|,则 cosAF2F1=（）ABCD10（5 分）等比数列an中,a4=2,a5=5,则数列lgan的前 8 项和等于（）A6B5C4D311（5分）已知二面角l为60,AB,ABl,A为垂足,CD,Cl,ACD=135,则异面直线 AB 与 CD 所成角的余弦值为（）ABCD12（5 分）函数 y=f（x）的图象与函数 y=g（x）的图象关于直线 x+y=0 对称,则 y=f（x）的反函数是（）Ay=g（x）By=g（x）Cy=g（x）Dy=g（x）二、填空题二、填空题(本大题共本大题共 4 4 小题小题,每小题每小题 5 5 分分)13（5 分）的展开式中 x2y2的系数

4、为（用数字作答）14（5 分）设 x、y 满足约束条件,则 z=x+4y 的最大值为15（5 分）直线 l1和 l2是圆 x2+y2=2 的两条切线,若 l1与 l2的交点为（1,3）,则 l1与 l2的夹角的正切值等于16（5 分）若函数 f（x）=cos2x+asinx 在区间（,）是减函数,则 a 的取值范围是三、解答题三、解答题17（10 分）ABC 的内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c,已知 3acosC=2ccosA,tanA=,求 B18（12 分）等差数列an的前 n 项和为 Sn已知 a1=10,a2为整数,且 SnS4（）求an的通项公式；（）设 bn=,求数列bn

5、的前 n 项和 Tn19（12 分）如图,三棱柱 ABCA1B1C1中,点 A1在平面 ABC 内的射影 D 在 AC 上,ACB=90,BC=1,AC=CC1=2（）证明:AC1A1B；（）设直线 AA1与平面 BCC1B1的距离为,求二面角 A1ABC 的大小20（12 分）设每个工作日甲、乙、丙、丁 4 人需使用某种设备的概率分别为 0.6、0.5、0.5、0.4,各人是否需使用设备相互独立（）求同一工作日至少 3 人需使用设备的概率；（）X 表示同一工作日需使用设备的人数,求 X 的数学期望21（12 分）已知抛物线 C:y2=2px（p0）的焦点为 F,直线 y=4 与 y 轴的交点

6、为 P,与 C 的交点为 Q,且|QF|=|PQ|（）求 C 的方程；（）过 F 的直线 l 与 C 相交于 A、B 两点,若 AB 的垂直平分线 l与 C 相交于 M、N 两点,且 A、M、B、N 四点在同一圆上,求 l 的方程22（12 分）函数 f（x）=ln（x+1）（a1）（）讨论 f（x）的单调性；（）设 a1=1,an+1=ln（an+1）,证明:an参考答案与试题解析参考答案与试题解析一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 1212 小题小题,每小题每小题 5 5 分）分）1（5 分）（2014大纲版）设 z=,则 z 的共轭复数为（）A1+3iB13iC1+3i D13i【

7、分析】直接由复数代数形式的除法运算化简,则 z 的共轭可求【解答】解:z=,故选:D【点评】本题考查复数代数形式的除法运算,考查了复数的基本概念,是基础题2（5 分）（2014大纲版）设集合 M=x|x23x40,N=x|0 x5,则 MN=（）A（0,4B0,4）C1,0）D（1,0【分析】求解一元二次不等式化简集合 M,然后直接利用交集运算求解【解答】解:由 x23x40,得1x4M=x|x23x40=x|1x4,又 N=x|0 x5,MN=x|1x4x|0 x5=0,4）故选:B【点评】本题考查了交集及其运算,考查了一元二次不等式的解法,是基础题3（5 分）（2014大纲版）设 a=si

8、n33,b=cos55,c=tan35,则（）AabcBbcaCcbaDcab【分析】可得 b=sin35,易得 ba,c=tan35=sin35,综合可得【解答】解:由诱导公式可得 b=cos55=cos（9035）=sin35,由正弦函数的单调性可知 ba,而 c=tan35=sin35=b,cba故选:C【点评】本题考查三角函数值大小的比较,涉及诱导公式和三角函数的单调性,属基础题4（5 分）（2014大纲版）若向量、满足:|=1,（+）,（2+）,则|=（）A2BC1D【分析】由条件利用两个向量垂直的性质,可得（+）=0,（2+）=0,由此求得|【解答】解:由题意可得,（+）=+=1+

9、=0,=1；（2+）=2+=2+=0,b2=2,则|=,故选:B【点评】本题主要考查两个向量垂直的性质,两个向量垂直,则它们的数量积等于零,属于基础题5（5 分）（2014大纲版）有 6 名男医生、5 名女医生,从中选出 2 名男医生、1 名女医生组成一个医疗小组,则不同的选法共有（）A60 种 B70 种 C75 种 D150 种【分析】根据题意,分 2 步分析,先从 6 名男医生中选 2 人,再从 5 名女医生中选出 1 人,由组合数公式依次求出每一步的情况数目,由分步计数原理计算可得答案【解答】解:根据题意,先从 6 名男医生中选 2 人,有 C62=15 种选法,再从 5 名女医生中选

10、出 1 人,有 C51=5 种选法,则不同的选法共有 155=75 种；故选 C【点评】本题考查分步计数原理的应用,注意区分排列、组合的不同6（5 分）（2014大纲版）已知椭圆 C:+=1（ab0）的左、右焦点为 F1、F2,离心率为,过 F2的直线 l 交 C 于 A、B 两点,若AF1B 的周长为 4,则 C 的方程为（）A+=1B+y2=1 C+=1D+=1【分析】利用AF1B 的周长为 4,求出 a=,根据离心率为,可得 c=1,求出 b,即可得出椭圆的方程【解答】解:AF1B 的周长为 4,AF1B 的周长=|AF1|+|AF2|+|BF1|+|BF2|=2a+2a=4a,4a=4

11、,a=,离心率为,c=1,b=,椭圆 C 的方程为+=1故选:A【点评】本题考查椭圆的定义与方程,考查椭圆的几何性质,考查学生的计算能力,属于基础题7（5 分）（2014大纲版）曲线 y=xex1在点（1,1）处切线的斜率等于（）A2eBeC2D1【分析】求函数的导数,利用导数的几何意义即可求出对应的切线斜率【解答】解:函数的导数为 f（x）=ex1+xex1=（1+x）ex1,当 x=1 时,f（1）=2,即曲线 y=xex1在点（1,1）处切线的斜率 k=f（1）=2,故选:C【点评】本题主要考查导数的几何意义,直接求函数的导数是解决本题的关键,比较基础8（5 分）（2014大纲版）正四棱

12、锥的顶点都在同一球面上,若该棱锥的高为 4,底面边长为2,则该球的表面积为（）AB16 C9D【分析】正四棱锥 PABCD 的外接球的球心在它的高 PO1上,记为 O,求出 PO1,OO1,解出球的半径,求出球的表面积【解答】解:设球的半径为 R,则棱锥的高为 4,底面边长为 2,R2=（4R）2+（）2,R=,球的表面积为 4（）2=故选:A【点评】本题考查球的表面积,球的内接几何体问题,考查计算能力,是基础题9（5分）（2014大纲版）已知双曲线C的离心率为2,焦点为F1、F2,点A在C上,若|F1A|=2|F2A|,则 cosAF2F1=（）ABCD【分析】根据双曲线的定义,以及余弦定理

13、建立方程关系即可得到结论【解答】解:双曲线 C 的离心率为 2,e=,即 c=2a,点 A 在双曲线上,则|F1A|F2A|=2a,又|F1A|=2|F2A|,解得|F1A|=4a,|F2A|=2a,|F1F2|=2c,则由余弦定理得cosAF2F1=故选:A【点评】本题主要考查双曲线的定义和运算,利用离心率的定义和余弦定理是解决本题的关键,考查学生的计算能力10（5 分）（2014大纲版）等比数列an中,a4=2,a5=5,则数列lgan的前 8 项和等于（）A6B5C4D3【分析】利用等比数列的性质可得 a1a8=a2a7=a3a6=a4a5=10再利用对数的运算性质即可得出【解答】解:数

14、列an是等比数列,a4=2,a5=5,a1a8=a2a7=a3a6=a4a5=10lga1+lga2+lga8=lg（a1a2a8）=4lg10=4故选:C【点评】本题考查了等比数列的性质、对数的运算性质,属于基础题11（5 分）（2014大纲版）已知二面角l为 60,AB,ABl,A 为垂足,CD,Cl,ACD=135,则异面直线 AB 与 CD 所成角的余弦值为（）ABCD【分析】首先作出二面角的平面角,然后再构造出异面直线 AB 与 CD 所成角,利用解直角三角形和余弦定理,求出问题的答案【解答】解:如图,过 A 点做 AEl,使 BE,垂足为 E,过点 A 做 AFCD,过点 E 做

15、EFAE,连接 BF,AElEAC=90CDAF又ACD=135FAC=45EAF=45在 RtBEA 中,设 AE=a,则 AB=2a,BE=a,在 RtAEF 中,则 EF=a,AF=a,在 RtBEF 中,则 BF=2a,异面直线 AB 与 CD 所成的角即是BAF,cosBAF=故选:B【点评】本题主要考查了二面角和异面直线所成的角,关键是构造二面角的平面角和异面直线所成的角,考查了学生的空间想象能力和作图能力,属于难题12（5 分）（2014大纲版）函数 y=f（x）的图象与函数 y=g（x）的图象关于直线 x+y=0 对称,则 y=f（x）的反函数是（）Ay=g（x）By=g（x）

16、Cy=g（x）Dy=g（x）【分析】设 P（x,y）为 y=f（x）的反函数图象上的任意一点,则 P 关于 y=x 的对称点 P（y,x）一点在 y=f（x）的图象上,P（y,x）关于直线 x+y=0 的对称点 P（x,y）在 y=g（x）图象上,代入解析式变形可得【解答】解:设 P（x,y）为 y=f（x）的反函数图象上的任意一点,则 P 关于 y=x 的对称点 P（y,x）一点在 y=f（x）的图象上,又函数 y=f（x）的图象与函数 y=g（x）的图象关于直线 x+y=0 对称,P（y,x）关于直线 x+y=0 的对称点 P（x,y）在 y=g（x）图象上,必有y=g（x）,即 y=g（

17、x）y=f（x）的反函数为:y=g（x）故选:D【点评】本题考查反函数的性质和对称性,属中档题二、填空题二、填空题(本大题共本大题共 4 4 小题小题,每小题每小题 5 5 分分)13（5 分）（2014大纲版）的展开式中 x2y2的系数为70（用数字作答）【分析】先求出二项式展开式的通项公式,再令 x、y 的幂指数都等于 2,求得 r 的值,即可求得展开式中 x2y2的系数【解 答】解:的 展 开 式 的 通 项 公 式 为Tr+1=（1）r=（1）r,令 8=4=2,求得 r=4,故展开式中 x2y2的系数为=70,故答案为:70【点评】本题主要考查二项式定理的应用,二项式系数的性质,二项

18、式展开式的通项公式,求展开式中某项的系数,属于中档题14（5 分）（2014大纲版）设 x、y 满足约束条件,则 z=x+4y 的最大值为5【分析】由约束条件作出可行域,化目标函数为直线方程的斜截式,由图得到最优解,联立方程组求出最优解的坐标,代入目标函数得答案【解答】解:由约束条件作出可行域如图,联立,解得 C（1,1）化目标函数 z=x+4y 为直线方程的斜截式,得由图可知,当直线过 C 点时,直线在 y 轴上的截距最大,z 最大此时 zmax=1+41=5故答案为:5【点评】本题考查简单的线性规划,考查了数形结合的解题思想方法,是中档题15（5 分）（2014大纲版）直线 l1和 l2是

19、圆 x2+y2=2 的两条切线,若 l1与 l2的交点为（1,3）,则 l1与 l2的夹角的正切值等于【分析】设 l1与 l2的夹角为 2,由于 l1与 l2的交点 A（1,3）在圆的外部,由直角三角形中的边角关系求得 sin=的值,可得 cos、tan 的值,再根据 tan2=,计算求得结果【解答】解:设 l1与 l2的夹角为 2,由于 l1与 l2的交点 A（1,3）在圆的外部,且点 A 与圆心 O 之间的距离为 OA=,圆的半径为 r=,sin=,cos=,tan=,tan2=,故答案为:【点评】本题主要考查直线和圆相切的性质,直角三角形中的变角关系,同角三角函数的基本关系、二倍角的正切

20、公式的应用,属于中档题16（5 分）（2014大纲版）若函数 f（x）=cos2x+asinx 在区间（,）是减函数,则 a的取值范围是（,2【分析】利用二倍角的余弦公式化为正弦,然后令 t=sinx 换元,根据给出的 x 的范围求出 t的范围,结合二次函数的图象的开口方向及对称轴的位置列式求解 a 的范围【解答】解:由 f（x）=cos2x+asinx=2sin2x+asinx+1,令 t=sinx,则原函数化为 y=2t2+at+1x（,）时 f（x）为减函数,则 y=2t2+at+1 在 t（,1）上为减函数,y=2t2+at+1 的图象开口向下,且对称轴方程为 t=,解得:a2a 的取

21、值范围是（,2故答案为:（,2【点评】本题考查复合函数的单调性,考查了换元法,关键是由换元后函数为减函数求得二次函数的对称轴的位置,是中档题三、解答题三、解答题17（10 分）（2014大纲版）ABC 的内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c,已知3acosC=2ccosA,tanA=,求 B【分析】由 3acosC=2ccosA,利用正弦定理可得 3sinAcosC=2sinCcosA,再利用同角的三角函数基本关系式可得 tanC,利用 tanB=tan（A+B）=tan（A+B）即可得出【解答】解:3acosC=2ccosA,由正弦定理可得 3sinAcosC=2sinCcosA,3t

22、anA=2tanC,tanA=,2tanC=3=1,解得 tanC=tanB=tan（A+C）=tan（A+C）=1,B（0,）,B=【点评】本题考查了正弦定理、同角的三角函数基本关系式、两角和差的正切公式、诱导公式等基础知识与基本技能方法,考查了推理能力和计算能力,属于中档题18（12 分）（2014大纲版）等差数列an的前 n 项和为 Sn已知 a1=10,a2为整数,且 SnS4（）求an的通项公式；（）设 bn=,求数列bn的前 n 项和 Tn【分析】（）由题意得 a40,a50,即 10+3d0,10+4d0,解得 d=3,即可写出通项公式；（）利用裂项相消法求数列和即可【解答】解:

23、（）由 a1=10,a2为整数,且 SnS4得 s3s4,s5s4,即 s4s30,s5s40,a40,a50,即 10+3d0,10+4d0,解得d,d=3,an的通项公式为 an=133n（）bn=（）=（）,Tn=b1+b2+bn=（+）=（）=【点评】本题主要考查数列通项公式及数列和的求法,考查学生对裂项相消求和的能力及运算能力,属中档题19（12 分）（2014大纲版）如图,三棱柱 ABCA1B1C1中,点 A1在平面 ABC 内的射影 D 在 AC上,ACB=90,BC=1,AC=CC1=2（）证明:AC1A1B；（）设直线 AA1与平面 BCC1B1的距离为,求二面角 A1ABC

24、 的大小【分析】（）由已知数据结合线面垂直的判定和性质可得；（）作辅助线可证A1FD 为二面角 A1ABC 的平面角,解三角形由反三角函数可得【解答】解:（）A1D平面 ABC,A1D平面 AA1C1C,平面 AA1C1C平面 ABC,又 BCACBC平面 AA1C1C,连结 A1C,由侧面 AA1C1C 为菱形可得 AC1A1C,又 AC1BC,A1CBC=C,AC1平面 A1BC,AB1平面 A1BC,AC1A1B；（）BC平面 AA1C1C,BC平面 BCC1B1,平面 AA1C1C平面 BCC1B1,作 A1ECC1,E 为垂足,可得 A1E平面 BCC1B1,又直线 AA1平面 BC

25、C1B1,A1E 为直线 AA1与平面 BCC1B1的距离,即 A1E=,A1C 为ACC1的平分线,A1D=A1E=,作 DFAB,F 为垂足,连结 A1F,又可得 ABA1D,A1FA1D=A1,AB平面 A1DF,A1F平面 A1DFA1FAB,A1FD 为二面角 A1ABC 的平面角,由 AD=1 可知 D 为 AC 中点,DF=,tanA1FD=,二面角 A1ABC 的大小为 arctan【点评】本题考查二面角的求解,作出并证明二面角的平面角是解决问题的关键,属中档题20（12 分）（2014大纲版）设每个工作日甲、乙、丙、丁 4 人需使用某种设备的概率分别为 0.6、0.5、0.5

26、、0.4,各人是否需使用设备相互独立（）求同一工作日至少 3 人需使用设备的概率；（）X 表示同一工作日需使用设备的人数,求 X 的数学期望【分析】记 Ai表示事件:同一工作日乙丙需要使用设备,i=0,1,2,B 表示事件:甲需要设备,C表示事件,丁需要设备,D 表示事件:同一工作日至少 3 人需使用设备（）把 4 个人都需使用设备的概率、4 个人中有 3 个人使用设备的概率相加,即得所求（）X 的可能取值为 0,1,2,3,4,分别求出 PXi,再利用数学期望公式计算即可【解答】解:由题意可得“同一工作日至少 3 人需使用设备”的概率为0.60.50.50.4+（10.6）0.50.50.4

27、+0.6（10.5）0.50.4+0.60.5（10.5）0.4+0.60.50.5（10.4）=0.31（）X 的可能取值为 0,1,2,3,4P（X=0）=（10.6）0.52（10.4）=0.06P（X=1）=0.60.52（10.4）+（10.6）0.520.4+（10.6）20.52（10.4）=0.25P（X=4）=P（A2BC）=0.520.60.4=0.06,P（X=3）=P（D）P（X=4）=0.25,P（X=2）=1P（X=0）P（X=1）P（X=3）P（X=4）=10.060.250.250.06=0.38故数学期望 EX=00.06+10.25+20.38+30.25+

28、40.06=2【点评】本题主要考查了独立事件的概率和数学期望,关键是找到独立的事件,计算要有耐心,属于难题21（12 分）（2014大纲版）已知抛物线 C:y2=2px（p0）的焦点为 F,直线 y=4 与 y 轴的交点为 P,与 C 的交点为 Q,且|QF|=|PQ|（）求 C 的方程；（）过 F 的直线 l 与 C 相交于 A、B 两点,若 AB 的垂直平分线 l与 C 相交于 M、N 两点,且 A、M、B、N 四点在同一圆上,求 l 的方程【分析】（）设点 Q 的坐标为（x0,4）,把点 Q 的坐标代入抛物线 C 的方程,求得 x0=,根据|QF|=|PQ|求得 p 的值,可得 C 的方

29、程（）设 l 的方程为 x=my+1（m0）,代入抛物线方程化简,利用韦达定理、中点公式、弦长公式求得弦长|AB|把直线 l的方程代入抛物线方程化简,利用韦达定理、弦长公式求得|MN|由于 MN 垂直平分线段 AB,故 AMBN 四点共圆等价于|AE|=|BE|=|MN|,由此求得 m的值,可得直线 l 的方程【解答】解:（）设点 Q 的坐标为（x0,4）,把点 Q 的坐标代入抛物线 C:y2=2px（p0）,可得 x0=,点 P（0,4）,|PQ|=又|QF|=x0+=+,|QF|=|PQ|,+=,求得 p=2,或 p=2（舍去）故 C 的方程为 y2=4x（）由题意可得,直线 l 和坐标轴

30、不垂直,y2=4x 的焦点 F（1,0）,设 l 的方程为 x=my+1（m0）,代入抛物线方程可得 y24my4=0,显然判别式=16m2+160,y1+y2=4m,y1y2=4 AB的中 点坐 标为D（2m2+1,2m）,弦长|AB|=|y1y2|=4（m2+1）又直线 l的斜率为m,直线 l的方程为 x=y+2m2+3过 F 的直线 l 与 C 相交于 A、B 两点,若 AB 的垂直平分线 l与 C 相交于 M、N 两点,把线 l的方程代入抛物线方程可得 y2+y4（2m2+3）=0,y3+y4=,y3y4=4（2m2+3）故 线 段 MN 的 中 点 E 的 坐 标 为（+2m2+3,

31、）,|MN|=|y3y4|=,MN 垂直平分线段 AB,故 AMBN 四点共圆等价于|AE|=|BE|=|MN|,+DE2=MN2,4（m2+1）2+=,化简可得 m21=0,m=1,直线 l 的方程为 xy1=0,或 x+y1=0【点评】本题主要考查求抛物线的标准方程,直线和圆锥曲线的位置关系的应用,韦达定理、弦长公式的应用,体现了转化的数学思想,属于难题22（12 分）（2014大纲版）函数 f（x）=ln（x+1）（a1）（）讨论 f（x）的单调性；（）设 a1=1,an+1=ln（an+1）,证明:an【分析】（）求函数的导数,通过讨论 a 的取值范围,即可得到 f（x）的单调性；（）

32、利用数学归纳法即可证明不等式【解答】解:（）函数 f（x）的定义域为（1,+）,f（x）=,当 1a2 时,若 x（1,a22a）,则 f（x）0,此时函数 f（x）在（1,a22a）上是增函数,若 x（a22a,0）,则 f（x）0,此时函数 f（x）在（a22a,0）上是减函数,若 x（0,+）,则 f（x）0,此时函数 f（x）在（0,+）上是增函数当 a=2 时,f（x）0,此时函数 f（x）在（1,+）上是增函数,当 a2 时,若 x（1,0）,则 f（x）0,此时函数 f（x）在（1,0）上是增函数,若 x（0,a22a）,则 f（x）0,此时函数 f（x）在（0,a22a）上是减

33、函数,若 x（a22a,+）,则 f（x）0,此时函数 f（x）在（a22a,+）上是增函数（）由（）知,当 a=2 时,此时函数 f（x）在（1,+）上是增函数,当 x（0,+）时,f（x）f（0）=0,即 ln（x+1）,（x0）,又由（）知,当 a=3 时,f（x）在（0,3）上是减函数,当 x（0,3）时,f（x）f（0）=0,ln（x+1）,下面用数学归纳法进行证明an成立,当 n=1 时,由已知,故结论成立假设当 n=k 时结论成立,即,则当 n=k+1 时,an+1=ln（an+1）ln（）,an+1=ln（an+1）ln（）,即当 n=k+1 时,成立,综上由可知,对任何 nN结论都成立【点评】本题主要考查函数单调性和导数之间的关系,以及利用数学归纳法证明不等式,综合性较强,难度较大参与本试卷答题和审题的老师有:sxs123；lincy；caoqz；danbo7801；刘长柏；maths；沂蒙松；whgcn；liu 老师（排名不分先后）菁优网菁优网20172017 年年 3 3 月月 2424 日日