2014年广东高考理科数学真题及答案.pdf

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1、图 1高中生2000 名小学生3500 名初中生4500 名图 2近视率/%301050O小学初中高中年级20142014 年广东高考理科数学真题及答案年广东高考理科数学真题及答案一、一、选择题：选择题：本大题共本大题共 8 8 小题小题，每小题每小题 5 5 分，满分分，满分 4040 分，分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的合题目要求的1已知集合 1,0,1M ，0,1,2N，则MN A0,1B 1,0,2C 1,0,1,2D 1,0,12已知复数z满足(34)25i z，则z A34i B34i C34iD34i3若变量,x y满足

2、约束条件11yxxyy，且2zxy的最大值和最小值分别为m和n，则mnA5B6C7D84若实数k满足09k，则曲线221259xyk与曲线221259xyk的A焦距相等B实半轴长相等C虚半轴长相等D离心率相等5已知向量(1,0,1)a=，则下列向量中与a成60夹角的是A(1,1,0)B(1,1,0)C(0,1,1)D(1,0,1)6已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图 1 和图 2 所示.为了解该地区中小学生的近视形成原因，用分层抽样的方法抽取 2%的学生进行调查，则样本容量和抽取的高中生近视人数分别为A200，20B100，20C200，10D100，107若空间中四条两两不同的直线12

3、34,l l l l，满足12ll，23ll，34ll，则下列结论一定正确的是A14llB14/llC1l与4l既不垂直也不平行D1l与4l的位置关系不确定8设集合12345,|1,0,1,1,2,3,4,5iAx xxxxxi，那么集合A中满足条件“1234513xxxxx”的元素个数为A60B90C120D130二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 7 7 小题，考生作答小题，考生作答 6 6 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，满分分，满分 3030 分分AFEDCB图 3（一）必做题（一）必做题（9 9 1313 题）题）9不等式125xx的解集为10曲线25 xey在点)3,0

4、(处的切线方程为11从 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 中任取七个不同的数，则这七个数的中位数是 6 的概率为12在ABC中，角CBA,所对应的边分别为cba,.已知bBcCb2coscos，则ba13若等比数列 na的各项均为正数，且512911102eaaaa，则1220lnlnlnaaa（二）选做题（二）选做题（1414 1515 题，考生只能从中选做一题）题，考生只能从中选做一题）14（坐标坐标系系与参数方程选做题与参数方程选做题）在极坐标系中，曲线1C和2C的方程分别为2sincos和sin1.以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，则曲线1C和

5、2C交点的直角坐标为15（几何证明选讲选做题几何证明选讲选做题）如图 3，在平行四边形ABCD中，点E在AB上且2EBAE，AC与DE交于点F，则CDFAEF的面积的面积三、解答题：本大题共三、解答题：本大题共 6 6 小题，满分小题，满分 8080 分解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤分解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤16（本小题满分 12 分）已知函数()sin()4f xAx，xR，且23)125(f（1）求A的值；（2）若23)()(ff，)2,0(，求)43(f17（本小题满分 12 分）图 4PABCEDF随机观测生产某种零件的某工厂 25 名工人的日加工零件数（单位：件

6、），获得数据如下：30,42,41,36,44,40,37,37,25,45,29,43,31,36,49,34,33,43,38,42,32,34,46,39,36根据上述数据得到样本的频率分布表如下：分组频数频率25,3030.12(30,3550.20(35,4080.32(40,451n1f(45,502n2f（1）确定样本频率分布表中121,n nf和2f的值；（2）根据上述频率分布表，画出样本频率分布直方图；（3）根据样本频率分布直方图，求在该厂任取 4 人，至少有 1 人的日加工零件数落在区间(30,35的概率18（本小题满分 14 分）如图 4，四边形ABCD为正方形，PD 平

7、面ABCD，30DPC，AFPC于点F，FECD，交PD于点E（1）证明：CF 平面ADF；（2）求二面角DAFE的余弦值19（本小题满分 14 分）设数列 na的前n项和为nS，nS满足21234nnSnann，*nN，且315S（1）求123,a a a的值；（2）求数列 na的通项公式20（本小题满分 14 分）已知椭圆2222:1xyCab(0)ab的一个焦点为(5,0)，离心率为53（1）求椭圆C的标准方程；（2）若动点00(,)P xy为椭圆C外一点，且点P到椭圆C的两条切线相互垂直，求点P的轨迹方程21.（本小题满分 14 分）设函数2221()(2)2(2)3f xxxkxxk

8、，其中2k （1）求函数()f x的定义域D（用区间表示）；（2）讨论()f x在区间D上的单调性；（3）若6k ，求D上满足条件()(1)f xf的x的集合（用区间表示）x2012014 4 年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数数学（理科学（理科）参考答案）参考答案一、一、选择题：本大题共选择题：本大题共 8 8 小题小题，每小题每小题 5 5 分，满分分，满分 4040 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的题目要求的题号12345678答案CDBABADD二、填空题：本大题共二、填空

9、题：本大题共 7 7 小题，考生作答小题，考生作答 6 6 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，满分分，满分 3030 分分（一）必做题（一）必做题（9 9 1313 题）题）9.(,32,)10.530 xy11.1612.213.50（二）选做题（二）选做题（1414 1515 题，考生只能从中选做一题）题，考生只能从中选做一题）14.(1,1)15.9三、三、解答题解答题：本大题共本大题共 6 6 小题，满分小题，满分 8080 分分解答解答须须写出文字说明、证明过程和演算步骤写出文字说明、证明过程和演算步骤16.（本小题满分 12 分）16.解：（1）55233()sin()sin1

10、2124322fAAA，解得3A.（2）由（1）得()3sin()4f xx，所以()()3sin()3sin()44ff222233(cossin)3(cossin)6cos22222所以6cos4，又因为)2,0(，所以210sin1 cos4，所以331030()3sin()3sin()3sin344444f.17.（本小题满分 12 分）17.解：（1）17n，22n，170.2825f，220.0825f.（2）所求的样本频率分布直方图如图所示：（3）设“该厂任取 4 人，至少有 1 人的日加工零件数落在区间(30,35”为事件A，4()1(1 0.2)0.5904P A ，即至少有

11、 1 人的日加工零件数落在区间(30,35概率为0.5904.0253035404550日加工零件数频率组距0.0400.0240.0160.0560.064PABCEDFGHPABCEDFxyz18（本小题满分 14 分）18.（1）证明：因为PD 平面ABCD，AD 平面ABCD，所以PDAD.因为在正方形ABCD中CDAD，又CDPDD，所以AD 平面PCD.因为CF 平面PCD，所以ADCF.因为AFCF，AFADA，所以CF 平面ADF.（2）方法一：以D为坐标原点，DP、DC、DA分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系设正方形ABCD的边长为 1，则33 3(0,0,0),(0,0,

12、1),(0,1,0),(3,0,0),(,0,0),(,0)444DACPEF.由（1）得(3,1,0)CP 是平面BCDE的一个法向量.设平面AEF的法向量为(,)x y zn，3(0,0)4EF ，3(,0,1)4EA ，所以304304EFyEAxz nn.令4x，则0y，3z，所以(4,0,3)n是平面AEF的一个法向量.设二面角DAFE的平面角为，且(0,)2所以4 32 57cos19219CPCP nn，所以二面角DAFE的平面角的余弦值为2 5719.方法二：过点D作DGAE于G，过点D作DHAF于H，连接GH.因为CDPD，CDED，EDADD，所以CD 平面ADE.因为FE

13、CD，所以FE 平面ADE.因为DG 平面ADE，所以FEDG.因为AEFEE，所以DG 平面AEF.根据三垂线定理，有GHAF，所以DHG为二面角DAFE的平面角.设正方形ABCD的边长为 1，在RtADF中，1AD，32DF，所以217DH.在RtADE中，因为1124FCCDPC，所以1344DEPD，所以5719DG.所以226 133133GHDHDG，所以2 57cos19GHDHGDH，所以二面角DAFE的平面角的余弦值为2 5719.19.（本小题满分 14 分）19.解：（1）当2n 时，2123420Saaa，又312315Saaa，所以3342015aa，解得37a.当1

14、n 时，11227Saa，又128aa，解得123,5aa.所以1233,5,7aaa.（2）21234nnSnann当2n时，212(1)3(1)4(1)nnSnann得12(22)61nnnananan.整理得12(21)61nnnanan，即1216122nnnnaann.猜想21nan，*nN.以下用数学归纳法证明：当1n 时，13a，猜想成立；假设当nk时，21kak，当1nk时，212161216141 61(21)232(1)122222kkkkkkkkaakkkkkkkk，猜想也成立，所以数列 na的通项公式为21nan，*nN.20.（本小题满分 14 分）20.解：（1）依

15、题意得5c，53cea，所以3a，2224bac，所以椭圆C的标准方程为22194xy（2）当过点P的两条切线12,l l的斜率均存在时，设100:()lyyk xx，则2001:()lyyxxk 联立2200194()xyyyk xx，得2220000(49)18()9()360kxk ykx xykx，所以22220000(18)()4(49)9()360kykxkykx，整理得2200()49ykxk，即2220000(9)240 xkx y ky，因为12ll，所以201220419yk kx，整理得220013xy；当过点P的两条切线12,l l一条斜率不存在，一条斜率为 0 时，P

16、为(3,2)或(3,2)，均满足220013xy.综上所述，点P的轨迹方程为2213xy.21.（本小题满分 14 分）21.解：（1）221()(23)(21)f xxxkxxk，由22(23)(21)0 xxkxxk，得223xxk 或221xxk，即2(1)2xk 或2(1)2xk ，所以1212kxk 或12xk 或12xk ，其中2k .所以函数()f x的定义域(,12)(12,12)(12,)Dkkkk .（2）令222()(2)2(2)3g xxxkxxk，则1()()f xg x，xD22()2(2)(22)2(22)4(1)(21)g xxxkxxxxxk，令()0g x，

17、解得11xk ，21x ，31xk ，其中2k .因为13121211212kxkkxk ，所以(),()g x g x随x的变化情况如下表：x(,12)k (12,1)k 1(1,12)k (12,)k ()g x0()g x极大值因为函数()yf x与()yg x在区间D上的单调性相反，所以()f x在(,12)k 和(1,12)k 上是增函数，在(12,1)k 和(12,)k 上是减函数.（3）因为(1)(1)gxgx ，所以(1)(1)fxfx ，所以函数()yf x与()yg x的图象关于直线1x 对称，所以(1)(3)ff.因为6k ，所以123112kk .当(12,12)xkk

18、 时，要使()(1)f xf，则(12,3)(1,12)xkk ；当(,12)(12,)xkk 时，令()(1)f xf，即()(1)g xg，22(23)(21)(6)(2)xxkxxkkk，令22txxk(1)t，则(3)(1)(6)(2)ttkk，整理得222(815)0ttkk，即(3)(5)0tktk，因为1t 且6k ，所以(5)tk，即225xxkk ，所以22250 xxk，解得124xk (,12)(12,)kk ，所以()(1)(124)f xffk.要使()(1)f xf，则(124,12)(12,124)xkkkk .综上所述，当6k 时，在D上满足条件()(1)f xf的x的集合为(124,12)(12,3)(1,12)(12,124)kkkkkk .