三角函数最值问题的几种常见类型_中学教育-高考.pdf

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1、精品资料 欢迎下载 求三角函数最值问题的几种常见类型 1：sin cos y a x b y a x b 或 型的函数 此类函数利用 sin 1 cos 1 x x 或 即可求解，显然max min,y a b y a b 例 1 求 sin()cos6y x x 的最大值与最小值 1 sin()cos sin 2 sin6 2 6 61 1=sin 22 6 4y x x xx 解析 maxmin1 1 112 4 41 1 3(1)2 4 4yy 例.在直角三角形中，两锐角为 A 和 B，求 B Asin sin 的最大值。解：A A A A A B A 2 sin21cos sin)2s

2、in(sin sin sin 由20 A，得 A 2 0，则当4 A 时，B Asin sin 有最大值21。2 y=asinx+bcosx 型的函数 特点是含有正余弦函数，并且是一次式。解决此类问题的指导思想是把正、余弦函数转化为只有一种三角函数。应用课本中现成的公式即可：y=2 2a b sin(x+)，其中tanba 例 1（20XX 年全国，理 4）函数 x x y cos 3 sin 在区间 0，2 上的最小值为 _。解析：x x y cos 3 sin=2（x x cos23sin21）=2（3sin cos3cos sin x x）=2.3sinx 因为2,0 x，所以3 2 3

3、 3 x，当 3 2,3 3 x 时，易知 y 的最小值为 12123cos 23 2sin 2min y 答案 所以应填“1”。例 2已知函数 f(x)=2cosxsin(x+3)3sin2x+sinxcosx 精品资料 欢迎下载(1)求函数 f(x)的最小正周期；(2)求 f(x)的最小值及取得最小值时相应的 x 的值；(3)若当 x12，127时，f(x)的反函数为 f1(x)，求 f-1(1)的值.解：(1)f(x)=2cosxsin(x+3)3sin2x+sinxcosx=2cosx(sinxcos3+cosxsin3)3sin2x+sinxcosx=2sinxcosx+3cos2x

4、=2sin(2x+3)f(x)的最小正周期 T=(2)当 2x+3=2k 2，即 x=k 125(k Z)时，f(x)取得最小值 2.(3)令 2sin(2 x+3)=1，又 x27,2,2x+33,23,2x+3=65，则 x=4，故 f-1(1)=4.3 y=asin2x+bsinxcosx+cos2x 型的函数。此类函数可先降次，再整理转化 sin y A x B 形式解决，例 求 y=sin2x+2sinxcosx+3cos2x 的最小值，并求出 y 取最小值时的 x 的集合。2sin cos 3 x x 2 2解析：y=sinx cosx 2sin cos 21 sin 2(1 co

5、s 2)sin 2 cos 2 22 sin(2)243sin(2)1,2 2,4 4 2 832 2,|,8x xx xx xxx x k x k k Zy x x k k Z 2 2 2min sinx+cosx cosx当 即 时 4 y=asin2x+bcosx+c 型的函数 特点是含有 sinx,cosx，并且其中一个是二次，处理方式是应用 sin2x+cos2x=1,使函数式只含有一种三角函数，再应用换元法，转化成形如2(1 1)y At Bt c t 的二次函数来求解。例是否存在实数 a，使得函数 y=sin2x+acosx+85a23在闭区间 0，2上的最大值是最小值解析例在直

6、角三角形中两锐角为和求的最大值解由得型的函数特点是含有正余弦函数并且是一次式解决此类问题的指导思想是把正余弦函数则当时有最大值转化为只有一种三角函数应用课本中现成的公式即可其中例年全国理 小正周期求的最小值及取得最小值时相应的的值时的反函数为求的值若当解的最小正周期即当时取得最小值令又则故型的函数此类函数可先降次再整理转化形式解决例求的最小值并求出取最小值时的的集合解析即当时型的函数特点 求解例是否存在实数使得函数在闭区间的最大值是若存在求出对应的值若不存在试说明理由精品资料欢迎下载解时当若时即则当时舍去若即或则当时舍去若即则当时舍去综合上述知存在符合题设型的函数特点是一个分式分子分母分精品资

7、料 欢迎下载 1？若存在，求出对应的 a 值；若不存在，试说明理由.22 2max2max5 3 5 1.:1 cos cos(cos).8 2 2 4 8 20,0 cos 1.25 31,2,cos 1,12 8 2202(),135 10 1,0 2,cos,12 2 4 8 234 0().20,0,cos 0,2a ay x a x a x ax xaa x y a aaa a aa x y aa aaa x y 解当 时若 时 即 则当 时舍去若 即 则当 时或 舍去若 即 则当 时max5 1 121()8 2 5a a 舍去 综合上述知，存在23 a符合题设 5 y=sinco

8、sa x cb x d型的函数 特点是一个分式，分子、分母分别会有正、余弦的一次式。几乎所有的分式型都可以通过分子，分母的化简，最后整理成这个形式，它的处理方式有多种，如利用万能公式换元后用判别式处理。例 求函数 y=2 sin2 cosxx的最大值和最小值。解法 1：原解析式即：sinx-ycosx=2-2y,即 sin(x+)=22 21yy，|sin(x+)|1,22 21yy 1，解出 y 的范围即可。解法 2：2 sin2 cosxx表示的是过点(2,2)与点(cosx,sinx)的斜率，而点(cosx,sinx)是单位圆上的点，观察图形可以得出在直线与圆相切时取极值。解法 3：应用

9、万能公式设 t=tg(2x)则 y=222 2 23 1t tt，即(2-3y)t2-2t+2-y=0 根据 0 解出 y 的最值即可。最小值解析例在直角三角形中两锐角为和求的最大值解由得型的函数特点是含有正余弦函数并且是一次式解决此类问题的指导思想是把正余弦函数则当时有最大值转化为只有一种三角函数应用课本中现成的公式即可其中例年全国理 小正周期求的最小值及取得最小值时相应的的值时的反函数为求的值若当解的最小正周期即当时取得最小值令又则故型的函数此类函数可先降次再整理转化形式解决例求的最小值并求出取最小值时的的集合解析即当时型的函数特点 求解例是否存在实数使得函数在闭区间的最大值是若存在求出对

10、应的值若不存在试说明理由精品资料欢迎下载解时当若时即则当时舍去若即或则当时舍去若即则当时舍去综合上述知存在符合题设型的函数特点是一个分式分子分母分精品资料 欢迎下载 3 cos5:2 sinxyx 例 求 的值域 3 coscos 22 sinxy x yx 法一：由 得 ysinx-3 22223 sin()2 sin()321 sin()1 1 1 1 13-1,1yy x y xyyx yy 由此解得函数的值域为 3 cos cos 0,2,02 sin sin 23x xy Qx x y法二：由 得 设点 P sinx,cosx 可看作是单位圆上的动点 P 与 Q连线的斜率，设直线的方

11、程为 2 y k x 即 2 0 kx y k，则圆心（0,0）到它的距离2211kdk 解得133k 或231 13k y-1,1 函数的值域为【附】：求2sin 5sin 3xyx的值域（反解法）sin 3 2sin 5 y x y x 法一 2 sin 5 3 y x y 又 x R 5 3 3 7sin 1 12 2 4yx yy 函数2sin 5sin 3xyx的值域3 7,2 4 2 sin 3 112sin 3 sin 3xyx x 法二 1 1 12 sin 3 44 sin 3 23 1 722 sin 3 4xxx 最小值解析例在直角三角形中两锐角为和求的最大值解由得型的函

12、数特点是含有正余弦函数并且是一次式解决此类问题的指导思想是把正余弦函数则当时有最大值转化为只有一种三角函数应用课本中现成的公式即可其中例年全国理 小正周期求的最小值及取得最小值时相应的的值时的反函数为求的值若当解的最小正周期即当时取得最小值令又则故型的函数此类函数可先降次再整理转化形式解决例求的最小值并求出取最小值时的的集合解析即当时型的函数特点 求解例是否存在实数使得函数在闭区间的最大值是若存在求出对应的值若不存在试说明理由精品资料欢迎下载解时当若时即则当时舍去若即或则当时舍去若即则当时舍去综合上述知存在符合题设型的函数特点是一个分式分子分母分精品资料 欢迎下载 利用正（余）弦函数的有界性，

13、转化为以函数 y 为主元的不等式，是解决这类问题的最佳方法。例.求函数2 cos1 sinxxy 的最大值和最小值。解：由已知得 1 sin 2 cos x y x y，即 y x y y x y x 2 1)sin(1 2 1 cos sin2，所以12 1)sin(2 yyx 因 112 11|)sin(|2 yyx，即，0 4 32 y y 解得340 y，故 034min max y y，6 y=sinxcos2x 型的函数。它的特点是关于 sinx，cosx 的三次式（cos2x 是 cosx 的二次式）。因为高中数学不涉及三次函数的最值问题，故几乎所有的三次式的最值问题（不只是在三

14、角）都用均值不等式来解（没有其它的方法）。但需要注意是否符合应用的条件（既然题目让你求，多半是符合使用条件的，但做题不能少这一步），及等号是否能取得。例、如右图，在半径为 R 的圆桌的正中央上空挂一盏电灯，桌子边缘一点处的照度和灯光射到桌子边缘的光线与桌面的夹角 的正弦成正比，角和这一点到光源的距离 r 的平方成反比，即 I=k2sinr，其中 k 是一个和灯光强度有关的常数，那么怎样选择电灯悬挂的高度 h，才能使桌子边缘处最亮？解：R=rcos，由此得：20,cos 1 R r，R R hRkIRkRkIRkRkrk I22tan,33sin,392)32()()sin 1)(sin 1(s

15、in 2)(2)cos(sincos sin sin23 222 2 2 22222 222 此时 时成立 等号在 由此得 注：本题的角和函数很难统一，并且还会出现次数太高的问题。7 含有“sin cos,sin cos x x x x 的三角函数的最值问题 最小值解析例在直角三角形中两锐角为和求的最大值解由得型的函数特点是含有正余弦函数并且是一次式解决此类问题的指导思想是把正余弦函数则当时有最大值转化为只有一种三角函数应用课本中现成的公式即可其中例年全国理 小正周期求的最小值及取得最小值时相应的的值时的反函数为求的值若当解的最小正周期即当时取得最小值令又则故型的函数此类函数可先降次再整理转化

16、形式解决例求的最小值并求出取最小值时的的集合解析即当时型的函数特点 求解例是否存在实数使得函数在闭区间的最大值是若存在求出对应的值若不存在试说明理由精品资料欢迎下载解时当若时即则当时舍去若即或则当时舍去若即则当时舍去综合上述知存在符合题设型的函数特点是一个分式分子分母分精品资料 欢迎下载 此类函数的常用解决方法是 sin cos,2,x x t t 将 sin cos x x 转化为 t 的函数关系x x t cos sin 2 12，2 2 t，并应用(sinx+cosx)2=1+2sinxcosx 进行转化最终划归为二次函数的最值问题。解此类型最值问题通常令 例 求 y=2sinxcosx

17、+sinx+cosx 的最大值。解：令 sinx+cosx=t,(-2 t 2)，则 1+2sinxcosx=t2，所以 2sinxcosx=t2-1,所以 y=t2-1+t=(t+12)2-54.根据二次函数的图象，解出 y 的最大值是 1+2。6 例：已知 0 a 2,求函数 sin cos y x a x a 的最值。2:sin cos sin cos sin cos y x a x a x x a x x a 解析 2222 22min2max1sin cos,2 sin cos21 112 21,212,22tx x t t x xty at a t a aat a yt y a a

18、 设时时 8：利用函数单调性求最值 7.例 求 1 sin 3 sin2 sinx xyx 的最值及对应的 x 的集合 解析：将分子展开转化为ay xx 的形式来解决 21 sin 3 sin sin 2 11sin 22 sin sin 2 sin 2x x xy xx x x 令 sin 2,x t 则 1y f t tt 且 1 3,t 设1 21 3 t t 最小值解析例在直角三角形中两锐角为和求的最大值解由得型的函数特点是含有正余弦函数并且是一次式解决此类问题的指导思想是把正余弦函数则当时有最大值转化为只有一种三角函数应用课本中现成的公式即可其中例年全国理 小正周期求的最小值及取得最

19、小值时相应的的值时的反函数为求的值若当解的最小正周期即当时取得最小值令又则故型的函数此类函数可先降次再整理转化形式解决例求的最小值并求出取最小值时的的集合解析即当时型的函数特点 求解例是否存在实数使得函数在闭区间的最大值是若存在求出对应的值若不存在试说明理由精品资料欢迎下载解时当若时即则当时舍去若即或则当时舍去若即则当时舍去综合上述知存在符合题设型的函数特点是一个分式分子分母分精品资料 欢迎下载 1 21 2 1 2 1 21 2 1 21 1 10t tf t f t t t t tt t t tf t 在 t 1,3 上单调递增 m i nm a x1 0,s i n 1,|2,283,s

20、 i n 1,|2,3 2t f t x x x x k k Zt f t x x x x k k Z 时,此时时,此时 9、形如b x ad x cysinsin的形式 例 4.求函数2 sinsin 2 3xxy 的最大值和最小值。解：22 sin12 sin1)2(sin 22 sin3 sin 22 sinsin 2 3 x xxxxxxy 由 1 sin 1 x，得 1 2 sin 3 x，312 sin11 x，12 sin131 x，即 1 22 sin135 x 351min max y y，此题是利用了分离分母的方法求解的。例 1：求函数xxysin 21 sin 的值域。解

21、：由xxys i n 21 s i n 变 形 为(1)sin 2 1 y x y，知 1 y，则 有2 1sin1yxy，2 1|sin|11yxy 2 2 22 1|1(2 1)(1)1yy yy 203y，则此函数的值域是2,03y 利用函数的有界性求解 10、形如xax ysinsin 的形式 例 5.求)0(sin2sin xxx y 的最小值。解：设 x u sin，则)1 0(2 uuu y。从图 2 中可以看到uu y2 在区间 1 0(，上是减函数（也可以利用函数的单调性定义来证明这一结论）。最小值解析例在直角三角形中两锐角为和求的最大值解由得型的函数特点是含有正余弦函数并且

22、是一次式解决此类问题的指导思想是把正余弦函数则当时有最大值转化为只有一种三角函数应用课本中现成的公式即可其中例年全国理 小正周期求的最小值及取得最小值时相应的的值时的反函数为求的值若当解的最小正周期即当时取得最小值令又则故型的函数此类函数可先降次再整理转化形式解决例求的最小值并求出取最小值时的的集合解析即当时型的函数特点 求解例是否存在实数使得函数在闭区间的最大值是若存在求出对应的值若不存在试说明理由精品资料欢迎下载解时当若时即则当时舍去若即或则当时舍去若即则当时舍去综合上述知存在符合题设型的函数特点是一个分式分子分母分精品资料 欢迎下载 当 1 u 时，3121min y 点评若由 2 2s

23、in2sin 2sin2sin xxxx，可得最小值 2 2 是错误的。这是因为当等号成立时，xxsin2sin，即 1 2 sin x 是不可能的。若把此题改为)0(sin1sin xxx y 就可以用不等式法求解了，同学们不妨琢磨一下。条件最值问题。例 1：已知 sin 2 sin 2 sin 32 2，求 2 2sin sin y 的取值范围。解：sin 2 sin 2 sin 32 2，sin sin23sin2 2 1 sin 02 32sin 01 sin sin230 sin sin2322 解得 21)1(sin21sin sin21sin sin2 2 2 2 y 32sin

24、 0 sin=0 时，0min y；32sin 时，94max y 94sin sin 02 2。最小值解析例在直角三角形中两锐角为和求的最大值解由得型的函数特点是含有正余弦函数并且是一次式解决此类问题的指导思想是把正余弦函数则当时有最大值转化为只有一种三角函数应用课本中现成的公式即可其中例年全国理 小正周期求的最小值及取得最小值时相应的的值时的反函数为求的值若当解的最小正周期即当时取得最小值令又则故型的函数此类函数可先降次再整理转化形式解决例求的最小值并求出取最小值时的的集合解析即当时型的函数特点 求解例是否存在实数使得函数在闭区间的最大值是若存在求出对应的值若不存在试说明理由精品资料欢迎下载解时当若时即则当时舍去若即或则当时舍去若即则当时舍去综合上述知存在符合题设型的函数特点是一个分式分子分母分