2014广西高考文科数学真题及答案.pdf

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1、20142014 广西高考文科数学真题及答案广西高考文科数学真题及答案一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 1212 小题小题,每小题每小题 5 5 分）分）1（5 分）设集合 M=1,2,4,6,8,N=1,2,3,5,6,7,则 MN 中元素的个数为（）A2B3C5D72（5 分）已知角的终边经过点（4,3）,则 cos=（）ABCD3（5 分）不等式组的解集为（）Ax|2x1Bx|1x0Cx|0 x1Dx|x14（5 分）已知正四面体 ABCD 中,E 是 AB 的中点,则异面直线 CE 与 BD 所成角的余弦值为（）ABCD5（5 分）函数 y=ln（+1）（x1）的反函数是（）A

2、y=（1ex）3（x1）By=（ex1）3（x1）Cy=（1ex）3（xR）Dy=（ex1）3（xR）6（5 分）已知,为单位向量,其夹角为 60,则（2 ）=（）A1B0C1D27（5 分）有 6 名男医生、5 名女医生,从中选出 2 名男医生、1 名女医生组成一个医疗小组,则不同的选法共有（）A60 种 B70 种 C75 种 D150 种8（5 分）设等比数列an的前 n 项和为 Sn若 S2=3,S4=15,则 S6=（）A31B32C63D649（5 分）已知椭圆 C:+=1（ab0）的左、右焦点为 F1、F2,离心率为,过 F2的直线 l 交 C 于 A、B 两点,若AF1B 的周

3、长为 4,则 C 的方程为（）A+=1B+y2=1 C+=1D+=110（5 分）正四棱锥的顶点都在同一球面上,若该棱锥的高为 4,底面边长为 2,则该球的表面积为（）AB16 C9D11（5 分）双曲线 C:=1（a0,b0）的离心率为 2,焦点到渐近线的距离为,则 C 的焦距等于（）A2B2C4D412（5 分）奇函数 f（x）的定义域为 R,若 f（x+2）为偶函数,且 f（1）=1,则 f（8）+f（9）=（）A2B1C0D1二、填空题二、填空题(本大题共本大题共 4 4 小题小题,每小题每小题 5 5 分分)13（5 分）（x2）6的展开式中 x3的系数是（用数字作答）14（5 分）

4、函数 y=cos2x+2sinx 的最大值是15（5 分）设 x,y 满足约束条件,则 z=x+4y 的最大值为16（5 分）直线 l1和 l2是圆 x2+y2=2 的两条切线,若 l1与 l2的交点为（1,3）,则 l1与 l2的夹角的正切值等于三、解答题三、解答题17（10 分）数列an满足 a1=1,a2=2,an+2=2an+1an+2（）设 bn=an+1an,证明bn是等差数列；（）求an的通项公式18（12 分）ABC 的内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c,已知 3acosC=2ccosA,tanA=,求 B19（12 分）如图,三棱柱 ABCA1B1C1中,点 A1在平

5、面 ABC 内的射影 D 在 AC 上,ACB=90,BC=1,AC=CC1=2（）证明:AC1A1B；（）设直线 AA1与平面 BCC1B1的距离为,求二面角 A1ABC 的大小20（12 分）设每个工作日甲,乙,丙,丁 4 人需使用某种设备的概率分别为 0.6,0.5,0.5,0.4,各人是否需使用设备相互独立（）求同一工作日至少 3 人需使用设备的概率；（）实验室计划购买 k 台设备供甲,乙,丙,丁使用,若要求“同一工作日需使用设备的人数大于 k”的概率小于 0.1,求 k 的最小值21（12 分）函数 f（x）=ax3+3x2+3x（a0）（）讨论 f（x）的单调性；（）若 f（x）在

6、区间（1,2）是增函数,求 a 的取值范围22（12 分）已知抛物线 C:y2=2px（p0）的焦点为 F,直线 y=4 与 y 轴的交点为 P,与 C 的交点为 Q,且|QF|=|PQ|（）求 C 的方程；（）过 F 的直线 l 与 C 相交于 A、B 两点,若 AB 的垂直平分线 l与 C 相交于 M、N 两点,且 A、M、B、N 四点在同一圆上,求 l 的方程20142014 年全国统一高考数学试卷（文科年全国统一高考数学试卷（文科）（大纲版）（大纲版）参考答案与试题解析参考答案与试题解析一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 1212 小题小题,每小题每小题 5 5 分）分）1（5

7、分）（2014大纲版）设集合 M=1,2,4,6,8,N=1,2,3,5,6,7,则 MN 中元素的个数为（）A2B3C5D7【分析】根据 M 与 N,找出两集合的交集,找出交集中的元素即可【解答】解:M=1,2,4,6,8,N=1,2,3,5,6,7,MN=1,2,6,即 MN 中元素的个数为 3故选:B【点评】此题考查了交集及其运算,熟练掌握交集的定义是解本题的关键2（5 分）（2014大纲版）已知角的终边经过点（4,3）,则 cos=（）ABCD【分析】由条件直接利用任意角的三角函数的定义求得 cos的值【解答】解:角的终边经过点（4,3）,x=4,y=3,r=5cos=,故选:D【点评

8、】本题主要考查任意角的三角函数的定义,两点间的距离公式的应用,属于基础题3（5 分）（2014大纲版）不等式组的解集为（）Ax|2x1Bx|1x0Cx|0 x1Dx|x1【分析】解一元二次不等式、绝对值不等式,分别求出不等式组中每个不等式的解集,再取交集,即得所求【解答】解:由不等式组可得,解得 0 x1,故选:C【点评】本题主要考查一元二次不等式、绝对值不等式的解法,属于基础题4（5 分）（2014大纲版）已知正四面体 ABCD 中,E 是 AB 的中点,则异面直线 CE 与 BD 所成角的余弦值为（）ABCD【分析】由 E 为 AB 的中点,可取 AD 中点 F,连接 EF,则CEF 为异

9、面直线 CE 与 BD 所成角,设出正四面体的棱长,求出CEF 的三边长,然后利用余弦定理求解异面直线 CE 与 BD 所成角的余弦值【解答】解:如图,取 AD 中点 F,连接 EF,CF,E 为 AB 的中点,EFDB,则CEF 为异面直线 BD 与 CE 所成的角,ABCD 为正四面体,E,F 分别为 AB,AD 的中点,CE=CF设正四面体的棱长为 2a,则 EF=a,CE=CF=在CEF 中,由余弦定理得:=故选:B【点评】本题考查异面直线及其所成的角,关键是找角,考查了余弦定理的应用,是中档题5（5 分）（2014大纲版）函数 y=ln（+1）（x1）的反函数是（）Ay=（1ex）3

10、（x1）By=（ex1）3（x1）Cy=（1ex）3（xR）Dy=（ex1）3（xR）【分析】由已知式子解出 x,然后互换 x、y 的位置即可得到反函数【解答】解:y=ln（+1）,+1=ey,即=ey1,x=（ey1）3,所求反函数为 y=（ex1）3,故选:D【点评】本题考查反函数解析式的求解,属基础题6（5 分）（2014大纲版）已知,为单位向量,其夹角为 60,则（2 ）=（）A1B0C1D2【分析】由条件利用两个向量的数量积的定义,求得、的值,可得（2 ）的值【解答】解:由题意可得,=11cos60=,=1,（2 ）=2=0,故选:B【点评】本题主要考查两个向量的数量积的定义,属于基

11、础题7（5 分）（2014大纲版）有 6 名男医生、5 名女医生,从中选出 2 名男医生、1 名女医生组成一个医疗小组,则不同的选法共有（）A60 种 B70 种 C75 种 D150 种【分析】根据题意,分 2 步分析,先从 6 名男医生中选 2 人,再从 5 名女医生中选出 1 人,由组合数公式依次求出每一步的情况数目,由分步计数原理计算可得答案【解答】解:根据题意,先从 6 名男医生中选 2 人,有 C62=15 种选法,再从 5 名女医生中选出 1 人,有 C51=5 种选法,则不同的选法共有 155=75 种；故选 C【点评】本题考查分步计数原理的应用,注意区分排列、组合的不同8（5

12、 分）（2014大纲版）设等比数列an的前 n 项和为 Sn若 S2=3,S4=15,则 S6=（）A31B32C63D64【分析】由等比数列的性质可得 S2,S4S2,S6S4成等比数列,代入数据计算可得【解答】解:S2=a1+a2,S4S2=a3+a4=（a1+a2）q2,S6S4=a5+a6=（a1+a2）q4,所以 S2,S4S2,S6S4成等比数列,即 3,12,S615 成等比数列,可得 122=3（S615）,解得 S6=63故选:C【点评】本题考查等比数列的性质,得出 S2,S4S2,S6S4成等比数列是解决问题的关键,属基础题9（5 分）（2014大纲版）已知椭圆 C:+=1

13、（ab0）的左、右焦点为 F1、F2,离心率为,过 F2的直线 l 交 C 于 A、B 两点,若AF1B 的周长为 4,则 C 的方程为（）A+=1B+y2=1 C+=1D+=1【分析】利用AF1B 的周长为 4,求出 a=,根据离心率为,可得 c=1,求出 b,即可得出椭圆的方程【解答】解:AF1B 的周长为 4,AF1B 的周长=|AF1|+|AF2|+|BF1|+|BF2|=2a+2a=4a,4a=4,a=,离心率为,c=1,b=,椭圆 C 的方程为+=1故选:A【点评】本题考查椭圆的定义与方程,考查椭圆的几何性质,考查学生的计算能力,属于基础题10（5 分）（2014大纲版）正四棱锥的

14、顶点都在同一球面上,若该棱锥的高为 4,底面边长为2,则该球的表面积为（）AB16 C9D【分析】正四棱锥 PABCD 的外接球的球心在它的高 PO1上,记为 O,求出 PO1,OO1,解出球的半径,求出球的表面积【解答】解:设球的半径为 R,则棱锥的高为 4,底面边长为 2,R2=（4R）2+（）2,R=,球的表面积为 4（）2=故选:A【点评】本题考查球的表面积,球的内接几何体问题,考查计算能力,是基础题11（5 分）（2014大纲版）双曲线 C:=1（a0,b0）的离心率为 2,焦点到渐近线的距离为,则 C 的焦距等于（）A2B2C4D4【分析】根据双曲线的离心率以及焦点到直线的距离公式

15、,建立方程组即可得到结论【解答】解:=1（a0,b0）的离心率为 2,e=,双曲线的渐近线方程为 y=,不妨取 y=,即 bxay=0,则 c=2a,b=,焦点 F（c,0）到渐近线 bxay=0 的距离为,d=,即,解得 c=2,则焦距为 2c=4,故选:C【点评】本题主要考查是双曲线的基本运算,利用双曲线的离心率以及焦点到直线的距离公式,建立方程组是解决本题的关键,比较基础12（5 分）（2014大纲版）奇函数 f（x）的定义域为 R,若 f（x+2）为偶函数,且 f（1）=1,则 f（8）+f（9）=（）A2B1C0D1【分析】根据函数的奇偶性的性质,得到 f（x+8）=f（x）,即可得

16、到结论【解答】解:f（x+2）为偶函数,f（x）是奇函数,设 g（x）=f（x+2）,则 g（x）=g（x）,即 f（x+2）=f（x+2）,f（x）是奇函数,f（x+2）=f（x+2）=f（x2）,即 f（x+4）=f（x）,f（x+8）=f（x+4+4）=f（x+4）=f（x）,则 f（8）=f（0）=0,f（9）=f（1）=1,f（8）+f（9）=0+1=1,故选:D【点评】本题主要考查函数值的计算,利用函数奇偶性的性质,得到函数的对称轴是解决本题的关键二、填空题二、填空题(本大题共本大题共 4 4 小题小题,每小题每小题 5 5 分分)13（5 分）（2014大纲版）（x2）6的展开式

17、中 x3的系数是160（用数字作答）【分析】根据题意,由二项式定理可得（x2）6的展开式的通项,令 x 的系数为 3,可得 r=3,将 r=3 代入通项,计算可得 T4=160 x3,即可得答案【解答】解:根据题意,（x2）6的展开式的通项为 Tr+1=C6rx6r（2）r=（1）r2rC6rx6r,令 6r=3 可得 r=3,此时 T4=（1）323C63x3=160 x3,即 x3的系数是160；故答案为160【点评】本题考查二项式定理的应用,关键要得到（x2）6的展开式的通项14（5 分）（2014大纲版）函数 y=cos2x+2sinx 的最大值是【分 析】利 用 二 倍 角 公 式

18、对 函 数 化 简 可 得y=cos2x+2sinx=1 2sin2x+2sinx=,结合1sinx1 及二次函数的性质可求函数有最大值【解答】解:y=cos2x+2sinx=12sin2x+2sinx=又1sinx1当 sinx=时,函数有最大值故答案为:【点评】本题主要考查了利用二倍角度公式对三角函数进行化简,二次函数在闭区间上的最值的求解,解题中要注意1sinx1 的条件15（5 分）（2014大纲版）设 x,y 满足约束条件,则 z=x+4y 的最大值为5【分析】由约束条件作出可行域,化目标函数为直线方程的斜截式,由图得到最优解,联立方程组求出最优解的坐标,代入目标函数得答案【解答】解

19、:由约束条件作出可行域如图,联立,解得 C（1,1）化目标函数 z=x+4y 为直线方程的斜截式,得由图可知,当直线过 C 点时,直线在 y 轴上的截距最大,z 最大此时 zmax=1+41=5故答案为:5【点评】本题考查简单的线性规划,考查了数形结合的解题思想方法,是中档题16（5 分）（2014大纲版）直线 l1和 l2是圆 x2+y2=2 的两条切线,若 l1与 l2的交点为（1,3）,则 l1与 l2的夹角的正切值等于【分析】设 l1与 l2的夹角为 2,由于 l1与 l2的交点 A（1,3）在圆的外部,由直角三角形中的边角关系求得 sin=的值,可得 cos、tan 的值,再根据 t

20、an2=,计算求得结果【解答】解:设 l1与 l2的夹角为 2,由于 l1与 l2的交点 A（1,3）在圆的外部,且点 A 与圆心 O 之间的距离为 OA=,圆的半径为 r=,sin=,cos=,tan=,tan2=,故答案为:【点评】本题主要考查直线和圆相切的性质,直角三角形中的变角关系,同角三角函数的基本关系、二倍角的正切公式的应用,属于中档题三、解答题三、解答题17（10 分）（2014大纲版）数列an满足 a1=1,a2=2,an+2=2an+1an+2（）设 bn=an+1an,证明bn是等差数列；（）求an的通项公式【分析】（）将 an+2=2an+1an+2 变形为:an+2an

21、+1=an+1an+2,再由条件得 bn+1=bn+2,根据条件求出 b1,由等差数列的定义证明bn是等差数列；（）由（）和等差数列的通项公式求出 bn,代入 bn=an+1an并令 n 从 1 开始取值,依次得（n1）个式子,然后相加,利用等差数列的前 n 项和公式求出an的通项公式 an【解答】解:（）由 an+2=2an+1an+2 得,an+2an+1=an+1an+2,由 bn=an+1an得,bn+1=bn+2,即 bn+1bn=2,又 b1=a2a1=1,所以bn是首项为 1,公差为 2 的等差数列（）由（）得,bn=1+2（n1）=2n1,由 bn=an+1an得,an+1an

22、=2n1,则 a2a1=1,a3a2=3,a4a3=5,anan1=2（n1）1,所以,ana1=1+3+5+2（n1）1=（n1）2,又 a1=1,所以an的通项公式 an=（n1）2+1=n22n+2【点评】本题考查了等差数列的定义、通项公式、前 n 项和公式,及累加法求数列的通项公式和转化思想,属于中档题18（12 分）（2014大纲版）ABC 的内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c,已知3acosC=2ccosA,tanA=,求 B【分析】由 3acosC=2ccosA,利用正弦定理可得 3sinAcosC=2sinCcosA,再利用同角的三角函数基本关系式可得 tanC,利用

23、tanB=tan（A+B）=tan（A+B）即可得出【解答】解:3acosC=2ccosA,由正弦定理可得 3sinAcosC=2sinCcosA,3tanA=2tanC,tanA=,2tanC=3=1,解得 tanC=tanB=tan（A+C）=tan（A+C）=1,B（0,）,B=【点评】本题考查了正弦定理、同角的三角函数基本关系式、两角和差的正切公式、诱导公式等基础知识与基本技能方法,考查了推理能力和计算能力,属于中档题19（12 分）（2014大纲版）如图,三棱柱 ABCA1B1C1中,点 A1在平面 ABC 内的射影 D 在 AC上,ACB=90,BC=1,AC=CC1=2（）证明:

24、AC1A1B；（）设直线 AA1与平面 BCC1B1的距离为,求二面角 A1ABC 的大小【分析】（）由已知数据结合线面垂直的判定和性质可得；（）作辅助线可证A1FD 为二面角 A1ABC 的平面角,解三角形由反三角函数可得【解答】解:（）A1D平面 ABC,A1D平面 AA1C1C,平面 AA1C1C平面 ABC,又 BCACBC平面 AA1C1C,连结 A1C,由侧面 AA1C1C 为菱形可得 AC1A1C,又 AC1BC,A1CBC=C,AC1平面 A1BC,AB1平面 A1BC,AC1A1B；（）BC平面 AA1C1C,BC平面 BCC1B1,平面 AA1C1C平面 BCC1B1,作

25、A1ECC1,E 为垂足,可得 A1E平面 BCC1B1,又直线 AA1平面 BCC1B1,A1E 为直线 AA1与平面 BCC1B1的距离,即 A1E=,A1C 为ACC1的平分线,A1D=A1E=,作 DFAB,F 为垂足,连结 A1F,又可得 ABA1D,A1FA1D=A1,AB平面 A1DF,A1F平面 A1DFA1FAB,A1FD 为二面角 A1ABC 的平面角,由 AD=1 可知 D 为 AC 中点,DF=,tanA1FD=,二面角 A1ABC 的大小为 arctan【点评】本题考查二面角的求解,作出并证明二面角的平面角是解决问题的关键,属中档题20（12 分）（2014大纲版）设

26、每个工作日甲,乙,丙,丁 4 人需使用某种设备的概率分别为0.6,0.5,0.5,0.4,各人是否需使用设备相互独立（）求同一工作日至少 3 人需使用设备的概率；（）实验室计划购买 k 台设备供甲,乙,丙,丁使用,若要求“同一工作日需使用设备的人数大于 k”的概率小于 0.1,求 k 的最小值【分析】（）把 4 个人都需使用设备的概率、4 个人中有 3 个人使用设备的概率相加,即得所求（）由（）可得若 k=2,不满足条件若 k=3,求得“同一工作日需使用设备的人数大于3”的概率为 0.060.1,满足条件,从而得出结论【解答】解:（）由题意可得“同一工作日至少 3 人需使用设备”的概率为0.6

27、0.50.50.4+（10.6）0.50.50.4+0.6（10.5）0.50.4+0.60.5（10.5）0.4+0.60.50.5（10.4）=0.31（）由（）可得若 k=2,则“同一工作日需使用设备的人数大于 2”的概率为 0.310.1,不满足条件若 k=3,则“同一工作日需使用设备的人数大于 3”的概率为 0.60.50.50.4=0.060.1,满足条件故 k 的最小值为 3【点评】本题主要考查相互独立事件的概率乘法公式,体现了分类讨论的数学思想,属于中档题21（12 分）（2014大纲版）函数 f（x）=ax3+3x2+3x（a0）（）讨论 f（x）的单调性；（）若 f（x）在

28、区间（1,2）是增函数,求 a 的取值范围【分析】（）求出函数的导数,通过导数为 0,利用二次函数的根,通过 a 的范围讨论 f（x）的单调性；（）当 a0,x0 时,f（x）在区间（1,2）是增函数,当 a0 时,f（x）在区间（1,2）是增函数,推出 f（1）0 且 f（2）0,即可求 a 的取值范围【解答】解:（）函数 f（x）=ax3+3x2+3x,f（x）=3ax2+6x+3,令 f（x）=0,即 3ax2+6x+3=0,则=36（1a）,若 a1 时,则0,f（x）0,f（x）在 R 上是增函数；因 为 a 0,a 1 且 a 0 时,0,f（x）=0 方 程 有 两 个根,x1=

29、,x2=,当 0a1 时,则当 x（,x2）或（x1,+）时,f（x）0,故函数在（,x2）或（x1,+）是增函数；在（x2,x1）是减函数；当 a0 时,则当 x（,x1）或（x2,+）,f（x）0,故函数在（,x1）或（x2,+）是减函数；在（x1,x2）是增函数；（）当 a0,x0 时,f（x）=3ax2+6x+30 故 a0 时,f（x）在区间（1,2）是增函数,当 a0 时,f（x）在区间（1,2）是增函数,当且仅当:f（1）0 且 f（2）0,解得,a 的取值范围）（0,+）【点评】本题考查函数的导数的应用,判断函数的单调性以及已知单调性求解函数中的变量的范围,考查分类讨论思想的应

30、用22（12 分）（2014大纲版）已知抛物线 C:y2=2px（p0）的焦点为 F,直线 y=4 与 y 轴的交点为 P,与 C 的交点为 Q,且|QF|=|PQ|（）求 C 的方程；（）过 F 的直线 l 与 C 相交于 A、B 两点,若 AB 的垂直平分线 l与 C 相交于 M、N 两点,且 A、M、B、N 四点在同一圆上,求 l 的方程【分析】（）设点 Q 的坐标为（x0,4）,把点 Q 的坐标代入抛物线 C 的方程,求得 x0=,根据|QF|=|PQ|求得 p 的值,可得 C 的方程（）设 l 的方程为 x=my+1（m0）,代入抛物线方程化简,利用韦达定理、中点公式、弦长公式求得弦

31、长|AB|把直线 l的方程代入抛物线方程化简,利用韦达定理、弦长公式求得|MN|由于 MN 垂直平分线段 AB,故 AMBN 四点共圆等价于|AE|=|BE|=|MN|,由此求得 m的值,可得直线 l 的方程【解答】解:（）设点 Q 的坐标为（x0,4）,把点 Q 的坐标代入抛物线 C:y2=2px（p0）,可得 x0=,点 P（0,4）,|PQ|=又|QF|=x0+=+,|QF|=|PQ|,+=,求得 p=2,或 p=2（舍去）故 C 的方程为 y2=4x（）由题意可得,直线 l 和坐标轴不垂直,y2=4x 的焦点 F（1,0）,设 l 的方程为 x=my+1（m0）,代入抛物线方程可得 y

32、24my4=0,显然判别式=16m2+160,y1+y2=4m,y1y2=4 AB的中 点坐 标为D（2m2+1,2m）,弦长|AB|=|y1y2|=4（m2+1）又直线 l的斜率为m,直线 l的方程为 x=y+2m2+3过 F 的直线 l 与 C 相交于 A、B 两点,若 AB 的垂直平分线 l与 C 相交于 M、N 两点,把线 l的方程代入抛物线方程可得 y2+y4（2m2+3）=0,y3+y4=,y3y4=4（2m2+3）故 线 段 MN 的 中 点 E 的 坐 标 为（+2m2+3,）,|MN|=|y3y4|=,MN 垂直平分线段 AB,故 AMBN 四点共圆等价于|AE|=|BE|=|MN|,+DE2=MN2,4（m2+1）2+=,化简可得 m21=0,m=1,直线 l 的方程为 xy1=0,或 x+y1=0【点评】本题主要考查求抛物线的标准方程,直线和圆锥曲线的位置关系的应用,韦达定理、弦长公式的应用,体现了转化的数学思想,属于难题