2014年湖南高考理科数学真题及答案.pdf

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1、20142014 年湖南高考理科数学真题及答案年湖南高考理科数学真题及答案一一、选择题选择题：本大题共本大题共 1010 小题小题，每小题每小题 5 5 分分，共共 5050 分分，在每小题的四个选项中在每小题的四个选项中，只有一项是符合只有一项是符合题目要求的题目要求的1、满足1ziz（i 的虚数单位）的复数 z=A、1122iB、1122iC、1122iD、1122i2、对一个容量为 N 的总体抽取容量为 n 的样本，当选取简单随机抽样、系统抽样和分层抽样三种不同方法抽取样本时，总体中每个个体被抽中的概率分别为1p、2p、3p，则A、123pppB、123pppC、132pppD、132p

2、pp3、已知 f（x），g（x）分别是定义在 R 上的偶函数和奇函数，且 f（x）-g（x）=321xx，则(1)(1)fgA、3B、1C、1D、34、51(2)2xy的展开式中23x y的系数是A、-20B、-5C、5D、205、已知命题 p：若 xy，则-xy，在命题p qpq()pq()pq中，真命题是A、B、C、D、6、执行如图 1 所示的程序框图，如果输入的 2,2t，则输出的S 属于A、-6,-2B、-5,-1C、-4，5D、-3,67、一块石材表示的几何体的三视图如图 2 所示，将该石材切削、打磨、加工成球，则能得到的最大球的半径等于A、1B、2C、3D、48、某市生产总值连续两

3、年持续增加，第一年的增长率为 p，第二年的增长率为 q，则该市这两年的生产总值的年平均增长率为A、2pqB、(1)(1)12pqC、pqD、(1)(1)1pq9、已知函数发()sin(x)f x，且230()0 xf x dx，则函数()f x的图象的一条对称轴是A、5x=6B、x=712C、x=3D、x=610、已知函数21()-(0)2xf xxex与2()ln()g xxxa的图象在存在关于 y 轴对称点，则 a的取值范围是A、1-e（，）B、-e（，）C、1-ee（，）D、1-ee（，）二、填空题，本大题共 6 小题，考生作答 5 小题，每小题 5 分，共 25 分（一）选做题(请考生

4、在第 11，12，13 三题中任选两题作答，如果全做，则按前两题记分）11在平面直角坐标系中，倾斜角为4的直线l与曲线2cos:1 sinxaCya（a 为参数）交于 A，B两点，且2AB.以坐标原点 O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，则直线l的极坐标方程是_。12.如图 3，已知AB，BC是O的两条弦，AOBC,3AB,2 2BC，则O的半径等于_。13若关于 x 的不等式23ax的解集为51|33xx，则a=_.(二)必做题(14-16 题)14.若变量x,y满足约束条件,4,yxxyyk且2zxy的最小值为-6，则k _。15.如图 4 正方形 ABCD 和正方形 DEFG 的

5、边长分别为 a,b(ab0）的左、右焦点分别为1F，2F，离心率为1e：双曲线2C：2222xy-=1ab的左、右焦点分别为3F，4F，离心率为2e。已知12e e=32，且24=3-1F F。（）求1C、2C的的方程；（）过1F做1C的不垂直于 y 轴的弦 AB，M 为 AB 的中点，当直线 OM 与2C交于 P，Q 两点时，求四边形 APBQ 面积的最小值22、已知常数 a0，函数2()ln(1)2xf xaxx。（）讨论 f（x）在区间0+（，）上的单调性；（）若 f（x）存在两个极值点1x、2x，且 f（1x）+f（2x）0，求 a 的取值范围参考答案参考答案1-5 BDCAC6-10

6、 DBDAB11.2sin42 12.3213.-314.-215.2116.2 317.解：（1）设至少有一组研发成功的事件为事件A且事件B为事件A的对立事件,则事件B为一种新产品都没有成功，因为甲、乙成功的概率分别为2 3,3 5，则23122()11353515P B ，再根据对立事件概率之间的公式可得13()1()15P AP B，所以至少一种产品研发成功的概率为1315（2）由题可得，设该企业可获得利润为，则的取值有 0，120+0，100+0，120+100，即=0，120，100，220由独立试验的概率计算公式可得：232(0)113515P 234(120)13515P231(

7、100)1355P232(220)355P所以的分布列如下：则数学期望24120120100220151555E322088130.18.解：0100120220()P2151541525（1）在ADC中，由余弦定理可得2227 1 42 7cos272 7ACADCDCADAC AD（2）设BAC，则BADCAD 因为2 7cos7CAD，7cos14BAD 所以222 721sin1 cos177CADCAD2273 21sin1 cos11414BADBAD 于是sinsin()BADCADsincoscossinBADCADBADCAD3 212 7721147147 32在ABC中，

8、由正弦定理，得sinsinBCACCBA故37sin23sin216ACBCCBA19.（1）证明：因为四边形11ACC A为矩形，所以1CCAC又因为点O是AC的中点，点1O是11AC的中点，所以11/OOCC，所以1OOAC同理，在矩形11BDD B中，可得1OOBDBD和AC是平面ABCD的两条相交的直线，故可得，1OO 底面ABCD（2）方法一：如图（a），过1O做11O HOB于H，连接1HC由（1）知，1OO 底面ABCD，所以1OO 底面1111ABC D，于是111OOAC又因为四棱柱1111ABCDABC D的所有棱长都相等，所以四边形1111ABC D是菱形，因此1111B

9、 DAC，从而11AC 平面11BDD B，所以，111ACOB，于是1OB 平面11O HC进而11OBC H，故11C HO是二面角11COBD的平面角。不妨设2AB，因为60CBA，所以13,1,7OBOCOB在11Rt OO B中，易知11111327OO O BO HOB，而111OC，于是得2211111219177C HOCO H故1111322 577cos19197O HC HOC H即二面角11COBD的余弦值为2 5719方法二：因为四棱柱1111ABCDABC D的所有棱长都相等，所以四边形ABCD是菱形，因此ACBD，又1OO 底面ABCD，从而1,OB OC OO两

10、两垂直。如图（b），以O为坐标原点，1,OB OC OO坐在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系Oxyz。设2AB，因 为60CBA，所 以3,1OBOC，于是相关各点的坐标为11(0,0,0),(3,0,2),(0,1,2)OBC，易知1(0,1,0)n 是平面11BDD B的一个法向量设2(,)nx y z是平面11OBC的一个法向量，则32020 xzyz取3z ，则2,2 3xy，所以2(2,2 3,3)n，设二面角11C OB D的大小为，易知是锐角，于是12122 32 57cos|1919n nnn故二面角11COBD的余弦值为2 571920.解：（1）因为数列na是

11、递增数列，所以11|nnnnnaaaap而11a，令1,2n，得到2231,1apapp又因为123,2,3aaa是等差数列，所以21343aaa因而230pp解得0p 或13p 当0p 时，1nnaa，这与na是递增数列矛盾，故舍去，所以13p（2）由于21na是递增数列，因而21210nnaa，于是212221()()0nnnnaaaa因为2211122nn，所以212221|nnnnaaaa由知，2210nnaa因此212221211(1)22nnnnnaa因为2na是递减数列，同理可得，2120nnaa故22121221(1)22nnnnnaa 由可知，11(1)2nnnnaa于是12

12、1321()().()nnnaaaaaaaa2111(1)1.222nn 1111211212n 141(1)332nn故数列na的通项公式是141(1)332nnna21.解：（1）因为1 232ee，所以222232ababaa，即44434aba因此222ab从而24(,0),(3,0)F bFb，于是243|31bbF F所以21,2ba故12,C C的方程分别为222212:1,:122xxCyCy（2）因为AB不垂直于y轴，且过点1(1,0)F，故可设直线AB的方程为1xmy，由22112xmyxy得22(2)210mymy 易知此方程的判别式大于 0，设1122(,),(,)A

13、x yB xy，则12,y y是上述方程的两个实根所以12122221,22myyy ymm因此121224()22xxm yym，于是AB的中点为222,22mmm，故直线PQ的斜率为2m，PQ的方程为2myx，即20mxy由22212myxxy 得22(2)4mx所以220m，且222224,22mxymm从而22224|222mPQxym设点A到直线PQ的距离为d，则点B到直线PQ的距离也为d，所以11222|2|2|24mxymxydm因为点,A B在直线20mxy的异侧，所以1122(2)(2)0mxymxy于是11221122|2|2|22|mxymxymxymxy，从而2122(

14、2)|24myydm又因为2212121222 21|()42myyyyy ym所以222 2124mdm故四边形APBQ的面积22212 213|22 21222mSPQdmm 而2022m故当0m 时，S取最小值 2综上所述，四边形APBQ面积的最小值为 222.解：（1）对函数()f x求导，可得2222(2)24(1)()1(2)(1)(2)axxaxafxaxxax x（*）因为2(1)(2)0ax x，所以当1a 时，()0fx，此时，()f x在区间(0,)上单调递增；当01a时，由()0fx得12112,2aaxxaa（舍去）当1(0,)xx时，()0fx；当1(,)xx时，(

15、)0fx故()f x在区间1(0,2)aa上单调递减，在1(2,)aa上单调递增。综上所述，当1a 时，()f x在区间(0,)上单调递增；当01a时，()f x在区间1(0,2)aa上单调递减，在1(2,)aa上单调递增。（2）由（1）可知，当1a 时，()0fx，此时()f x不存在极值点，因而要使得()f x有两个极值点，必有01a，又()f x的极值点只可能是121122aaxxaa 和，且由()f x的定义可知，1xa 且2x ，所以112aaa，122aa 解得12a，此时，由（*）式易知，12,x x分别是()f x的极小值点和极大值点。而1212121222()()ln(1)l

16、n 122xxf xf xaxaxxx212121212121244()ln1()2()4x xxxa xxa x xx xxx241)ln(21)21aaa（22ln(21)221aa令21ax，由01a且12a 知当102a时，10 x；当112a时，01x；记22()ln2g xxx（）当10 x 时，2()2ln()2g xxx，所以222222()0 xg xxxx因此，()g x在区间(1,0)上单调递减从而()(1)40g xg 故当102a时，12()()0f xf x（）01x时，2()2ln2g xxx所以222222()0 xg xxxx因此，()g x在区间(0,1)上单调递减，从而()(1)0g xg，故当112a时，12()()0f xf x综上所述，满足条件的a的取值范围为1,12