2015年河北高考理科数学试题及答案.pdf

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1、2015 年河北高考理科数学试题及答案注意事项：注意事项：1.1.本试卷分第本试卷分第卷（选择题）和第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分。第卷（非选择题）两部分。第卷卷 1 1 至至 3 3 页，第页，第卷卷 3 3 至至 5 5 页。页。2.2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置。答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置。3.3.全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效。全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效。4.4.考试结束后，将本试题和答题卡一并交回。考试结束后，将本试题和答题卡一并交回。第第卷卷一一.选择题：本大题共选择题：本大题共 1

2、212 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。（1）设复数 z 满足1+z1z=i，则|z|=（A）1（B）2（C）3（D）2【解析】1+1ziz可得1(1)(1)1(1)(1)iiiziiii，故可得|1z，选择 A.【点评】本题考查复数的运算。该题目在 高二数学（理）强化提高班 课程讲座 第四章 复数 第 02 讲 模的运算部分做了专题讲解，高考原题与讲义中给出的题目只是数字不同，考查的知识点及解题方法完全相同。（2）sin20cos10-cos160sin10=（A）32（B）32

3、（C）12（D）12【解析】本题三角函数公式，故可得1sin20 cos10-cos160 sin10=sin20 cos10-cos 180-20sin10=sin20 cos10+cos20 sin10=sin 20+10=sin30=2。（）（），选择 D.【点评】本题考查三角函数公式。该题目在数学（理）强化提高班 课程讲座 第八章 三角函数 第 01 讲 三角函数（一）部分做了专题讲解，高考原题与讲义中给出的题目只是数字不同，考查的知识点及解题方法完全相同。（3）设命题 P：nN，2n2n，则P 为（A）nN,2n2n（B）nN,2n2n（C）nN,2n2n（D）nN,2n=2n【解析

4、】本题考查命题的否定，条件和结论都需要否定，因此选择 C.【点评】本题考查命题的否定。该题目在数学（理）强化提高班 课程讲座 第十五章 常用逻辑语 第 01 讲常用逻辑语（一）部分做了专题讲解，高考原题与讲义中给出的题目只是数字不同，考查的知识点及解题方法完全相同。（4）投篮测试中，每人投 3 次，至少投中 2 次才能通过测试。已知某同学每次投篮投中的概率为 0.6，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为（A）0.648（B）0.432（C）0.36（D）0.312【解析】本题考查事件的概率，至少投中 2 次才能通过，那么投中的次数是 2 或 3，因此概率为223333(0.6)

5、0.4(0.6)0.648PCC，选择 A.【点评】本题考查事件的概率。该题目在数学（理）强化提高班 课程讲座 第十四章 概率 第 02 讲 概率（二）部分做了专题讲解，高考原题与讲义中给出的题目只是数字不同，考查的知识点及解题方法完全相同。（5）已知 M（x0，y0）是双曲线 C：2212xy上的一点，F1、F2是 C 上的两个焦点，若1MF 2MF 0，则 y0的取值范围是（A）（-33，33）（B）（-36，36）（C）（2 23，2 23）（D）（2 33，2 33）【解析】本题考查双曲线通过120MF MFuuuu r uuuu r可得2000(3)(3)0 xxy，而220012x

6、y，因此可得2013y，故答案为 A.【点评】本题考查双曲线。该题目在数学（理）强化提高班 课程讲座 第十二章圆锥曲线的方程与性质 第01 讲 圆锥曲线的方程与性质（一）部分做了专题讲解，高考原题与讲义中给出的题目只是数字不同，考查的知识点及解题方法完全相同。（6）九章算术是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题:“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺。问:积及为米几何?”其意思为:“在屋内墙角处堆放米(如图，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆底部的弧度为 8 尺，米堆的高为 5 尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少?”已知 1 斛米的体积约为 1.62 立方尺，

7、圆周率约为 3，估算出堆放斛的米约有A.14 斛B.22 斛C.36 斛D.66 斛【解析】本题考查空间立体几何，有四分之一圆弧的周长为 8 尺可以得出，1284r，3，因此163r，故体积为211 133 4Shr h，通过计算可得3209V 换算单位可得3209221.62，因此选择 B.【点评】本题考查空间立体几何。该题目在数学（理）强化提高班 课程讲座 第十一章立体几何 第 01 讲立体几何（一）部分做了专题讲解，高考原题与讲义中给出的题目只是数字不同，考查的知识点及解题方法完全相同。（7）设 D 为 ABC 所在平面内一点=3，则（A）=+(B)=（C）=+(D)=【解析】本题考查平

8、面向量，画出图形，1114()3333ADACCDACBCACACABABAC uuu ruuu ruuu ruuu ruuu ruuu ruuu ruuu ruuu ruuu r可知答案为 A.【点评】本题考查平面向量。该题目在数学（理）强化提高班 课程讲座 第九章平面向量 第 01 讲 平面向量（一）部分做了专题讲解，高考原题与讲义中给出的题目只是数字不同，考查的知识点及解题方法完全相同。(8)函数 f(x)=的部分图像如图所示，则 f（x）的单调递减区间为(A)（）,k(b)（）,k(C)（）,k(D)（）,k【解析】本题考查三角函数的单调性，根据图像确定函数的解析式，然后再确定单调区间

9、，故可得答案为B.【点评】本题考查三角函数的单调性。该题目在数学（理）强化提高班 课程讲座 第八章三角函数第 03 讲三角函数（三）部分做了专题讲解，高考原题与讲义中给出的题目只是数字不同，考查的知识点及解题方法完全相同。（9）执行右面的程序框图，如果输入的 t=0.01，则输出的 n=（A）5（B）6（C）7（D）8【解析】本题考查算法，过程为【点评】本题考查算法。该题目在数学（理）强化提高班 课程讲座 第十三章算法与统计 第 01 讲 算法与统计 部分做了专题讲解，高考原题与讲义中给出的题目只是数字不同，考查的知识点及解题方法完全相同。（10）的展开式中，y的系数为（A）10（B）20（C

10、）30（D）60【解析】本题考查二项式公式，把 x+y 看做是一个整体，因此可得52x y只能是22235()()Cxxy中的某一项，故可得系数为：215310 330C C ，故选择 C.（11）圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为 r)组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示。若该几何体的表面积为 16+20，则 r=（A）1（B）2（C）4（D）8【解析】本题考查三视图，由正视图和俯视图知，该几何体是半球与半个圆柱的组合体，圆柱的半径与球的半径都为 r，圆柱的高为2r，其表面积为22142222rrrrrr=2254rr=16+20，解得 r=2，故选 B.【点评】本

11、题考查三视图。该题目在数学（理）强化提高班 课程讲座 第十一章立体几何 第 01 讲 立体几何（一）部分做了专题讲解，高考原题与讲义中给出的题目只是数字不同，考查的知识点及解题方法完全相同。12.设函数 f(x)=ex(2x-1)-ax+a,其中 a1，若存在唯一的整数 x0，使得 f（x0）0，则 a 的取值范围是（）A.-，1）B.-，）C.，）D.，1）【解析】【点评】本题考查导数的应用。该题目在数学（理）强化提高班 课程讲座 第四章函数的值域、最值求法及应用 第 02 讲 函数的值域、最值求法及应用（二）部分做了专题讲解，高考原题与讲义中给出的题目只是数字不同，考查的知识点及解题方法完

12、全相同。第 II 卷本卷包括必考题和选考题两部分。第（13）题第（21）题为必考题，每个试题考生都必须作答。第（22）题第（24）题未选考题，考生根据要求作答。二、填空题：本大题共 3 小题，每小题 5 分（13）若函数 f(x)=xln（x+2xa）为偶函数，则 a=【解析】本题考查偶函数，因此有22()ln()()ln()fxxxaxf xxxax ，故可得221xaxxax 因此可得1a.【点评】本题考查偶函数。该题目在数学（理）强化提高班 课程讲座 第三章函数的性质及其应用 第 03讲 函数的性质及其应（三）部分做了专题讲解，高考原题与讲义中给出的题目只是数字不同，考查的知识点及解题方

13、法完全相同。（14）一个圆经过椭圆的三个顶点，且圆心在 x 轴上，则该圆的标准方程为。【解析】本题考查圆的方程，设圆心坐标为（a，0），因此可得244aa，或244aa解得32a ，因此圆的方程为22325()24xy【点评】本题考查圆的方程。该题目在数学（理）强化提高班 课程讲座 第十二章圆锥曲线的方程与性质 第02 讲 曲线的方程与性质（一）部分做了专题讲解，高考原题与讲义中给出的题目只是数字不同，考查的知识点及解题方法完全相同。（15）若 x,y 满足约束条件则yx的最大值为.【解析】本题考查线性规划，根据题意画出可行域，yx可以看做是与原点连线的斜率，因此如果yx最大值，也就是求斜率的

14、最大值，通过图形观察可知在(1,3)处有最大值是 3，因此xy的最大值是 3.【点评】本题考查线性规划。该题目在高一数学下（讲座 2）强化提高班 课程讲座 第五章不等式 第 06 讲不等式（六）部分做了专题讲解，高考原题与讲义中给出的题目只是数字不同，考查的知识点及解题方法完全相同。（16）在平面四边形 ABCD 中，A=B=C=75，BC=2，则 AB 的取值范围是【解析】如下图所示，延长 BA，CD 交于点 E，则可知ADE中，105DAE。，45ADE。，30E。，设1=2ADx，则262=,=24AEx DEx62,2,()sin1514CDmBCxmQ。，故可得62624xm所以04

15、x，而622622624242ABxmxxmx因此可得AB的范围是(62,62).【点评】本题考查三角形。该题目在数学（理）强化提高班 课程讲座 第八章三角函数 第 04 讲 三角函数（四）部分做了专题讲解，高考原题与讲义中给出的题目只是数字不同，考查的知识点及解题方法完全相同。三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。（17）（本小题满分 12 分）Sn 为数列an的前 n 项和.已知 an0，（）求an的通项公式：（）设,求数列的前 n 项和【解析】（）因为2243nnnaaS，所以2111243nnnaaS，两式相减可得2211224nnnnnaaaaa即111()()2()n

16、nnnnnaaaaaa，0na Q，10nnaa，故可得12nnaa所以na是等差数列，将1n 代入2243nnnaaS中可得13a 或11a （舍去）因此可得通项公式为3(1)221nann（）1111()(21)(23)2 2123nbnnnn，因此它的前 n 项和为1 1111111 11()()2 355721232 323nTnnnL【点评】本题考查数列。该题目在数学（理）强化提高班 课程讲座 第六章数列 第 05 讲 数列（五）部分做了专题讲解，高考原题与讲义中给出的题目只是数字不同，考查的知识点及解题方法完全相同。（18）如图，四边形 ABCD 为菱形，ABC=120，E，F 是

17、平面 ABCD 同一侧的两点，BE平面 ABCD，DF平面 ABCD，BE=2DF，AEEC。（1）证明：平面 AEC平面 AFC（2）求直线 AE 与直线 CF 所成角的余弦值【解析】连结BD，设BDACGI，连结,EG FG EF在菱形ABCD中，不妨设1GB，由120ABC。可得3AGGC由BEABCD 面，ABBC可知AEEC.又AEEC，所以3EG 且EGAC在tREBG中，可得=2BE故2=2DF在tRFDG中，可得6=2FG在直角梯形BDFE中，=2BD，=2BE，可得3 22EF 从而有222EGFGEF，所以EGFG又ACFGGI可得EGAFC 面，又EGAFC 面，所以AE

18、CAFC面面(2)如图，以G为坐标原点，分别以GBuuu r和GCuuu r为 x 轴和 y 轴正方向，|GBuuu r为单位长度，建立直角坐标系，因此可得2(03 0)(102)(10),(03 0)2AEFC，所以2(132)(13)2AECF uuu ruuu r，-，故可得3cos=3|AE CFAE CFAE CFuuu r uuu ruuu ruuu ruuu r uuu r（，）所以直线AE与直线CF所成角的余弦值是33.【点评】本题考查立体几何。该题目在数学（理）强化提高班 课程讲座 第十一章立体几何 第 03 讲 立体几何（三）部分做了专题讲解，高考原题与讲义中给出的题目只是

19、数字不同，考查的知识点及解题方法完全相同。（19）某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费 x（单位：千元）对年销售量 y（单位：t）和年利润 z（单位：千元）的影响，对近 8 年的年宣传费 x1 和年销售量 y1（i=1,2，8）数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值。xy w 11x（x1-x）211x（w1-w）211x（x1-x）(y-y)11x（w1-w）(y-y)46.656.36.8289.81.61469108.8表中 w1=x1,，w=18111xw（1）根据散点图判断，y=a+bx 与 y=c+dx哪一个适宜作为年销售量 y 关于年宣传费 x 的

20、回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）（）根据（）的判断结果及表中数据，建立 y 关于 x 的回归方程；（）以知这种产品的年利率 z 与 x、y 的关系为 z=0.2y-x。根据（）的结果回答下列问题：（i）年宣传费 x=49 时，年销售量及年利润的预报值是多少？（ii）年宣传费 x 为何值时，年利率的预报值最大？附：对于一组数据（u1v1）,（u2v2）.（unvn）,其回归线 v=u 的斜率和截距的最小二乘估计分别为：【解析】（1）ycdx适宜，由图像分析可知符合抛物线的方程（2）81821()()108.8681.6()iiiiiww yydww56368 6.8100.6cydw

21、$所以68100.6yx（3）0.213.620.1213.620.12zyxxxxx 由49x 可得49 13.6 720.1266.32z 2()13.620.12zxx 当6.8x 可得46.24x 时，年利率的预报值最大【点评】本题考查回归方程。该题目在高二数学上（理）强化提高班 课程讲座 第二章统计 第 01 讲 统计（一）部分做了专题讲解，高考原题与讲义中给出的题目只是数字不同，考查的知识点及解题方法完全相同。（20）（本小题满分 12 分）在直角坐标系 xoy 中，曲线 C：y=24x与直线 y=ks+a(a0)交与 M,N 两点，（）当 k=0 时，分别求 C 在点 M 和 N

22、 处的切线方程；（）y 轴上是否存在点 P，使得当 K 变动时，总有OPM=OPN？说明理由。【解析】（）当0k 时，直线:l ya，则 C 与l的交点为 M,N，它们的横坐标是2 a或2 a不妨设(2,),(2,)Ma a Na a对24xy 求导可得2xy 所以M点切线的斜率为a，N点切线的斜率为a所以M点切线方程为：0yaxaN点切线方程为：30yaxa（）设01122(0,),(,),(,)PyM x yN xyOPMOPN，则直线PM与直线PN的斜率互为相反数，也就是MPPNkk 即102012yyyyxx 1204x xy 联立方程24xyykxa可得2440 xkxa因此可得12

23、4x xa，所以0ya 也就是P的坐标与k无关，所以存在点P在k变动时，使得OPMOPN【点评】本题考查圆锥曲线。该题目在数学（理）强化提高班 课程讲座 第十二章圆锥曲线的方程与性质 第01 讲 曲线的方程与性质（一）部分做了专题讲解，高考原题与讲义中给出的题目只是数字不同，考查的知识点及解题方法完全相同。（21）（本小题满分 12 分）已知函数 f（x）=31,()ln4xaxg xx()当 a 为何值时，x 轴为曲线()yf x的切线；（）用min,m n表示 m,n 中的最小值，设函数()min(),()(0)h xf x g xx，讨论 h（x）零点的个数【解析】()根据已知，2()3

24、fxxa，若x轴为曲线的切线，设切点横坐标为t，则可得()0()0ftf t即2330104tatat，解得3412at 所以当34a 时，x轴为曲线()yf x的切线.（）当0a 时，2()30fxxa，于是()f x单调递增，而1(0)4f，于是()yf x与()yg x有唯一交点，且交点的横坐标(0,1)p，此时函数()h x的零点个数为 1.当304a时，()f x在(0,)3a上递减，在(,)3a上递增，在3ax处有极小值为3311()()2()0333483aaaafa此时()yf x与()yg x在(0,1)内忧唯一交点，函数()h x的零点个数为 1.当34a 时，此时极小值为

25、 0，函数()h x的零点个数为 2当5344a 时，此时的极小值小于 0，因此函数()h x的零点个数为 3当54a 时，此时()yf x与()yg x相交于(1,0)，函数()h x的零点个数为 2当54a 时，此时()yf x与()yg x的交点的横坐标大于 1，此时函数()h x的零点个数为 1综上可得，数()h x的零点个数为：531,44532,44533,44aaaaa 或或【点评】本题考查函数的性质。该题目在数学（理）强化提高班 课程讲座 第三章函数的性质及其应用 第01 讲 函数的性质及其应用（一）部分做了专题讲解，高考原题与讲义中给出的题目只是数字不同，考查的知识点及解题方

26、法完全相同。请考生在（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答。注意：只能做所选定的题目。如果多做，则按所做第一个题目计分，做答时，请用 2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑。（22）（本题满分 10 分）选修 4-1：几何证明选讲如图，AB 是O 的直径，AC 是C 的 Q 切线，BC 交O 于 E（I）若 D 为 AC 的中点，证明：DE 是O 的切线；（II）若 OA=CE，求ACB 的大小.【解析】（1）连结AE，由已知可得AEBC，ACAB在tRAEC中，因为D是AC中点，因此可得DEDC，故DECDCE 连结OE，则有OBEOEB，又90ACBABC。，所以90DECOE

27、B。，故90OED。，所以DE是圆的切线.（2）设1CE，AEx，由已知得22 3,12ABBEx由射影定理可得：2AECE BE，所以2212xx，解得3x，所以60ACB。【点评】本题考查直线与圆的关系。该题目在数学（理）强化提高班 课程讲座 第十章直线与圆 第 03 讲 直线与圆（一）部分做了专题讲解，高考原题与讲义中给出的题目只是数字不同，考查的知识点及解题方法完全相同。（23）（本小题满分 10 分）选修 4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系O 中。直线1C:=2，圆2C：22121,以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系。（I）求1C，2C的极坐标方程；（II）若直线3C的

28、极坐标方程为4R，设2C与3C的交点为M,N,求2C MN的面积【解析】（1）1:2Cx 即cos2 222:(1)(2)1Cxy即222440 xyxy，也就是22 cos4 sin40（2）3:4C代入可得22 cos4 sin4044即23 240则2 2或2即(2 2,),(2,)44MN，故|2MN 因此圆心到直线的距离为22d 故21212222C MNS【点评】本题考查曲线极坐标方程。该题目在高二数学下（理）强化提高班 课程讲座 第九章极坐标系 第01 讲 极坐标系 部分做了专题讲解，高考原题与讲义中给出的题目只是数字不同，考查的知识点及解题方法完全相同。（24）（本小题满分 1

29、0 分）选修 45：不等式选讲已知函数=|x+1|-2|x-a|，a0.（）当 a=1 时，求不等式f(x)1 的解集；（）若 f(x)的图像与 x 轴围成的三角形面积大于 6，求 a 的取值范围(1)【解析】（1）当1a 时，()|1|2|1|f xxx因此当1x 时，()1223f xxxx ，若()1f x 则有31x，故4x，这与1x 无交集；当11x 时，()12231f xxxx，若()1f x 则有311x 故23x，这11x 的交集为213x；当1x 时，()1 223f xxxx，若()1f x 则有31x故2x，这1x 的交集为12x综上可得2(,2)3x（2）由于0a，则可得1 2,1()31 2,112,xa xf xxaxaax xa 画出分段函数的图像，可得3120 xa 时，1213ax，当120ax时，221xa因此可得三角形的面积为：121(1)(21)623aaa 解得2a 或4a （舍去）故可得2a【点评】本题考查函数的综合应用。该题目在数学（理）强化提高班 课程讲座 第五章函数图象的画法及应用 第 02 讲 函数图象的画法及应用（二）部分做了专题讲解，高考原题与讲义中给出的题目只是数字不同，考查的知识点及解题方法完全相同。