三角形知识点总结(完)_中学教育-中考.pdf

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1、学习必备 欢迎下载 三角形知识点全面总结 1、三角形全等的性质及判定 全等三角形的对应边相等，对应角也相等 判定：SSS、SAS、ASA、AAS、HL（Rt Rt）2、等腰三角形的判定及性质 性质：两腰相等 等边对等角（即“等腰三角形的两个底角相等”）三线合一（即“等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合”）判定：有两边相等的三角形是等腰三角形 有两个角相等的三角形是等腰三角形（等角对等边）结论总结：等腰三角形底边上的 任意 一点到两腰的距离之和 等于 一腰上的高【即：DE+DF=CP，（D 为 BC 上的任意一点）】3、等边三角形的性质及判定定理 性质：三条边都相等三个角都相

2、等，并且每个角都等于 60 度 三线合一（即“等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合”）等边三角形是轴对称图形，有 3 条对称轴。判定：三条边都相等的三角形是等边三角形三个角都相等的三角形是等边三角形。有一个角是 60 度的等腰三角形是等边三角形。结论总结：高=23边【即：AB AD23】面积=243边【即：243AB SABC】4、直角三角形的性质及判定 性质：两锐角互余勾股定理 30角所对的直角边等于斜边的一半。斜边中线等于斜边一半 判定：有一个内角是直角的三角形是直角三角形 勾股定理的逆定理（即“如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形。”）一

3、边中线等于这边一半的三角形是直角三角形 结论总结：直角三角形斜边上的高=斜边直角边的乘积【即：ABBC ACCD】5、线段的垂直平分线（1）线段垂直平分线的性质及判定 性质：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等。判定：定义法到一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上。（2）三角形三边的垂直平分线的性质 三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等。（3）如何用尺规作图法作线段的垂直平分线:分别以线段的两个端点 A、B 为圆心，以大于 AB 的一半长为半径作弧，两弧交于点 M、N；作直线 MN，则直线 MN就是线段 AB 的垂直平分线。6、角平分线（

4、1）角平分线的性质及判定定理 性质：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等；判定：定义法在一个角的内部，且到角的两边的距离相等的点，在这个角的平分线上。（2）三角形三条角平分线的性质定理 性质：三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等。（3）如何用尺规作图法作出角平分线 A B C D A B C D A B C D A B P O E P D A B A B C D E P F A C B D 学习必备 欢迎下载 结论总结：如图，在 ABC 中，O 是 ABC 与 ACB 的平分线 BO 和 CO 的交点，则 A B O C 2190 如图,在 ABC 中，O 是 ABC

5、 与外角 ACD 的平分线 BO 和 CO 的交点，则 A B O C 21 如图,在 ABC 中，O 是外角 DBC 与外角 ECB 的平分线 BO 和 CO 的交点，则 A BOC 2190 如图 1，在 ABC 中，AE 平分 BAC，AD BC，垂足为 D，则)(21B C EAD 二、基础知识梳理（一）、基本概念 1、“全等”的理解 全等的图形必须满足：（1）形状相同的图形；（2）大小相等的图形；即能够完全重合的两个图形叫全等形。同样我们把能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。2、全等三角形的性质（1）全等三角形对应边相等；（2）全等三角形对应角相等；3、全等三角形的判定方法（1）

6、三边对应相等的两个三角形全等。（2）两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等。（3）两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等。（4）两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。（5）斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。4、角平分线的性质及判定 性质：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等 判定：到一个角的两边距离相等的点在这个角平分线上 4.等腰三角形的性质（1）等腰三角形的两个底角相等（简称“等边对等角”）.（2）等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合.（3）等腰三角形是轴对称图形，底边上的中线（顶角平分线、底边上的高）所在直线就是它的对称轴.（4）等腰三角形两

7、腰上的高、中线分别相等，两底角的平分线也相等.（5）等腰三角形一腰上的高与底边的夹角是顶角的一半。（6）等腰三角形顶角的外角平分线平行于这个三角形的底边.5.等边三角形的性质（1）等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于 60.（2）等边三角形是轴对称图形，共有三条对称轴.（3）等边三角形每边上的中线、高和该边所对内角的平分线互相重合.三、有关判定 1.与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上.2.如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”）.3.三个角都相等的三角形是等边三角形.4.有一个角是 60的等腰三角形是等边三角形.B A C

8、D E 腰三角形的判定及性质性质两腰相等等边对等角即等腰三角形的两个底角相等三线合一即等腰三角形顶角的平分线底边上的中线底边上的高互相重合判定有两边相等的三角形是等腰三角形有两个角相等的三角形是等腰三角形等角对 质及判定定理性质三条边都相等三个角都相等并且每个角都等于度三线合一即等腰三角形顶角的平分线底边上的中线底边上的高互相重合等边三角形是轴对称图形有条对称轴判定三条边都相等的三角形是等边三角形三个角都相等的 性质两锐角互余勾股定理角所对的直角边等于斜边的一半斜边中线等于斜边一半判定有一个内角是直角的三角形是直角三角形勾股定理的逆定理即如果三角形两边的平方和等于第三边的平方那么这个三角形是直

9、角三角形一边中线等学习必备 欢迎下载 四边形 1、平行四边形的性质及判定 性质：边：对边平行且相等 角：对角相等 对角线：互相平分 对称性：中心对称图形 判定：两组对边分别平行的四边形是平行四边形 两组对边分别相等的四边形是平行四边形 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 两组对角分别相等的四边形是平行四边形 对角线互相平分的四边形是平行四边行。结论总结：A B C D D A C O D B O C A O BS S S S S410 AF BC DE AB SABCD 2、等腰梯形的性质及判定 性质：边：两地平行，两腰相等 角：等腰梯形在同一底上的两个角相等 对角线：等腰梯形的两条对角线

10、相等 对称性：轴对称图形 判定：两腰相等的梯形是等腰梯形 同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形 3、三角形中位线定义及性质 定义：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。性质：三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半。4、特殊平行四边形（1）矩形的性质及判定 性质：边：对边平行且相等 角：四个角都是直角 对角线：互相平分且相等 对称性：既是中心对称图形，又是轴对称图形 判定：有一个内角是直角的平行四边形是矩形 对角线相等的平行四边形是矩形 A B C D O C B A D F E A C D B A C B D E A C D B O 腰三角形的判定及性质性质两腰相等等边对等角即等

11、腰三角形的两个底角相等三线合一即等腰三角形顶角的平分线底边上的中线底边上的高互相重合判定有两边相等的三角形是等腰三角形有两个角相等的三角形是等腰三角形等角对 质及判定定理性质三条边都相等三个角都相等并且每个角都等于度三线合一即等腰三角形顶角的平分线底边上的中线底边上的高互相重合等边三角形是轴对称图形有条对称轴判定三条边都相等的三角形是等边三角形三个角都相等的 性质两锐角互余勾股定理角所对的直角边等于斜边的一半斜边中线等于斜边一半判定有一个内角是直角的三角形是直角三角形勾股定理的逆定理即如果三角形两边的平方和等于第三边的平方那么这个三角形是直角三角形一边中线等学习必备 欢迎下载 有三个内角是直角

12、的四边形是矩形 结论总结：解决矩形问题要联想等腰三角形和直角三角形（2）菱形的性质及判定 性质：边：四条边都相等，对边平行 角：对角相等 对角线：对角线互相平分且垂直，并且每一条对角线平分一组对角 对称性：既是中心对称图形，又是轴对称图形 判定：有一组邻边相等的平行四边形是菱形 对角线互相垂直的平行四边形是菱形 四条边都相等的四边形是菱形 结论总结：2BD ACSABCD菱形 解决菱形问题要联想等腰三角形和直角三角形（3）正方形的性质及判定 性质：边：四条边都相等，对边平行 角：四个角都是直角 对角线：对角线互相平分、垂直且相等，并且每一条对角线平分一组对角 对称性：既是中心对称图形，又是轴对

13、称图形 判定：菱形+矩形=正方形（4）中点四边形（平行四边形）中点四边形的形状取决原四边形的对角线的数量关系和位置关系。原四边形的对角线互相垂直则中点四边形是矩形，原四边形的对角线相等则中点四边形是菱形，原四边形的对角线互相垂直且相等则中点四边形是正方形形 B A C D O 腰三角形的判定及性质性质两腰相等等边对等角即等腰三角形的两个底角相等三线合一即等腰三角形顶角的平分线底边上的中线底边上的高互相重合判定有两边相等的三角形是等腰三角形有两个角相等的三角形是等腰三角形等角对 质及判定定理性质三条边都相等三个角都相等并且每个角都等于度三线合一即等腰三角形顶角的平分线底边上的中线底边上的高互相重合等边三角形是轴对称图形有条对称轴判定三条边都相等的三角形是等边三角形三个角都相等的 性质两锐角互余勾股定理角所对的直角边等于斜边的一半斜边中线等于斜边一半判定有一个内角是直角的三角形是直角三角形勾股定理的逆定理即如果三角形两边的平方和等于第三边的平方那么这个三角形是直角三角形一边中线等