2014年天津高考理科数学真题及答案.pdf

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1、20142014 年天津高考理科数学真题及答案年天津高考理科数学真题及答案本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分，共 150 分，考试用时 120 分钟。第卷 1至 2 页，第卷 3 至 5 页。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考号填写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码。答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。祝各位考生考试顺利！第第卷卷注意事项：注意事项：1.每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。2 本卷共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。参考公式：如

2、果事件A，B互斥，那么如果事件A，B相互独立，那么()()()P ABP AP B()()()P ABP A P B.圆柱的体积公式VSh.圆锥的体积公式13VSh.其中S表示圆柱的底面面积，其中S表示圆锥的底面面积，h表示圆柱的高.h表示圆锥的高.一、选择题：在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的一、选择题：在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的.（1）i是虚数单位，复数734ii+=+（）（A）1i-（B）1i-+（C）17312525i+（D）172577i-+（2）设变量x，y满足约束条件0,20,12,yxyyx 则目标函数2zxy的最小值为（）（A）2（B）3（

3、C）4（D）5（3）阅读右边的程序框图，运行相应的程序，输出的S的值为（）（A）15（B）105（C）245（D）945（4）函数()()212log4f xx=-的单调递增区间是（）（A）()0,+（B）(),0-（C）()2,+（D）(),2-（5）已知双曲线22221xyab-=()0,0ab的一条渐近线平行于直线l：210yx=+，双曲线的一个焦点在直线l上，则双曲线的方程为（）（A）221520 xy-=（B）221205xy-=（C）2233125100 xy-=（D）2233110025xy-=（6）如图，ABCD是圆的内接三角形，BAC的平分线交圆于点D，交BC于点E，过点B的

4、圆的切线与AD的延长线交于点F.在上述条件下，给出下列四个结论：BD平分CBF；2FBFD FA=；AE CEBE DE=；AF BDAB BF=.则所有正确结论的序号是（）（A）（B）（C）（D）（7）设,a bR，则|“ab”是“a ab b”的（）（A）充要不必要条件（B）必要不充分条件（C）充要条件（D）既不充要也不必要条件（8）已知菱形ABCD的边长为 2，120BAD=，点,E F分别在边,BC DC上，BEBCl=，DFDCm=.若1AE AF=，23CE CF=-，则lm+=（）（A）12（B）23（C）56（D）712第第卷卷注意事项：1用黑色墨水钢笔或签字笔将答案写在答题卡

5、上。2本卷共 12 小题，共 110 分。二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 6 6 个小题，每小题个小题，每小题 5 5 分，共分，共 3030 分分.把答案填在题中横线上把答案填在题中横线上.）（9）某大学为了解在校本科生对参加某项社会实践活动的意向，拟采用分层抽样的方法，从该校四个年级的本科生中抽取一个容量为 300的样本进行调查.已知该校一年级、二年级、三年级、四年级的本科生人数之比为 4：5：5：6，则应从一年级本科生中抽取_名学生.（10）已知一个几何体的三视图如图所示（单位：m），则该几何体的体积为_3m.（11）设 na是首项为1a，公差为-1 的等差数列，nS为其前n项

6、和.若124,S S S成等比数列，则1a的值为_.（12）在ABCD中，内角,A B C所对的边分别是,a b c.已知14bca-=，2sin3sinBC=，则cos A的值为_.（13）在以O为极点的极坐标系中，圆4sinrq=和直线sinarq=相交于,A B两点.若AOBD是等边三角形，则a的值为_.（14）已知函数()23f xxx=+，xR.若方程()10f xa x-=恰有 4 个互异的实数根，则实数a的取值范围为_.三、解答题（本题共三、解答题（本题共 6 6 道大题，满分道大题，满分 8080 分分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤

7、）（15）（本小题满分本小题满分 1313 分分）已知函数 23cossin3cos34f xxxx，xR.（）求 f x的最小正周期；（）求 f x在闭区间,4 4 上的最大值和最小值.（16）（本小题满分本小题满分 1313 分分）某大学志愿者协会有 6 名男同学，4 名女同学.在这 10 名同学中，3 名同学来自数学学院，其余 7 名同学来自物理、化学等其他互不相同的七个学院.现从这 10 名同学中随机选取 3 名同学，到希望小学进行支教活动（每位同学被选到的可能性相同）.（）求选出的 3 名同学是来自互不相同学院的概率；（）设X为选出的 3 名同学中女同学的人数，求随机变量X的分布列和

8、数学期望.（17）（本小题满分本小题满分 1313 分分）如图，在四棱锥PABCD-中，PA底面ABCD，ADAB，/ABDC，2ADDCAP=，1AB=，点E为棱PC的中点.（）证明BEDC；（）求直线BE与平面PBD所成角的正弦值；（）若F为棱PC上一点，满足BFAC，求二面角FABP-的余弦值.（18）（本小题满分本小题满分 1313 分分）设椭圆22221xyab（0ab）的左、右焦点为12,F F，右顶点为A，上顶点为B.已知1232ABFF=.（）求椭圆的离心率；（）设P为椭圆上异于其顶点的一点，以线段PB为直径的圆经过点1F，经过原点的直线l与该圆相切.求直线的斜率.（19）（本

9、小题满分本小题满分 1414 分分）已知q和n均为给定的大于 1 的自然数.设集合0,1,2,1,qM=-，集合112,1,2,nniAx xxx qx qxM in-+=+.（）当2q=，3n=时，用列举法表示集合A；（）设,s tA，112nnsaa qa q-=+，112nntbb qb q-=+，其中（20）（本小题满分本小题满分 1414 分分）已知函数()xf xxae=-()aR，xR.已知函数()yf x=有两个零点12,x x，且12xx，解得2x.由复合函数的单调性知()f x的单调递增区间为(),2-.（5）已知双曲线22221xyab-=()0,0ab的一条渐近线平行于

10、直线l：210yx=+，双曲线的一个焦点在直线l上，则双曲线的方程为（）（A）221520 xy-=（B）221205xy-=（C）2233125100 xy-=（D）2233110025xy-=解：A依题意得22225baccab=+，所以25a=，220b=，双曲线的方程为221520 xy-=.（6）如图，ABCD是圆的内接三角形，BAC的平分线交圆于点D，交BC于点E，过点B的圆的切线与AD的延长线交于点F.在上述条件下，给出下列四个结论：BD平分CBF；2FBFD FA=；AE CEBE DE=；AF BDAB BF=.则所有正确结论的序号是（）（A）（B）（C）（D）解：D由弦切角

11、定理得FBDEACBAE=，又BFDAFB=，所以BFDDAFBD，所以BFBDAFAB=，即AF BDAB BF=，排除 A、C.又FBDEACDBC=，排除 B.（7）设,a bR，则|“ab”是“a ab b”的（）（A）充要不必要条件（B）必要不充分条件（C）充要条件（D）既不充要也不必要条件解：C设()f xx x=，则()220,0,xxxxf x-=”是“a ab b”的充要条件.（8）已知菱形ABCD的边长为 2，120BAD=，点,E F分别在边,BC DC上，BEBCl=，DFDCm=.若1AE AF=，23CE CF=-，则lm+=（）（A）12（B）23（C）56（D）

12、712解：C因为120BAD=，所以cos1202AB ADABAD鬃=-.因为BEBCl=，所以AEABADl=+，AFABADm=+.因为1AE AF=，所以()()1ABADABADlm+=，即3222lmlm+-=同理可得23lmlm-=-，+得56lm+=.第第卷卷注意事项：1用黑色墨水钢笔或签字笔将答案写在答题卡上。2本卷共 12 小题，共 110 分。二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 6 6 个小题，每小题个小题，每小题 5 5 分，共分，共 3030 分分.把答案填在题中横线上把答案填在题中横线上.）（9）某大学为了解在校本科生对参加某项社会实践活动的意向，拟采用分层抽

13、样的方法，从该校四个年级的本科生中抽取一个容量为 300的样本进行调查.已知该校一年级、二年级、三年级、四年级的本科生人数之比为 4：5：5：6，则应从一年级本科生中抽取_名学生.解：60应从一年级抽取4604556300=+名.（10）已知一个几何体的三视图如图所示（单位：m），则该几何体的体积为_3m.解：203p该几何体的体积为212042233ppp鬃=3m.（11）设 na是首项为1a，公差为-1 的等差数列，nS为其前n项和.若124,S S S成等比数列，则1a的值为_.解：12-依题意得2214SS S=，所以()()21112146aaa-=-，解得112a=-.（12）在A

14、BCD中，内角,A B C所对的边分别是,a b c.已知14bca-=，2sin3sinBC=，则cos A的值为_.解：14-因为2sin3sinBC=，所以23bc=，解得32cb=，2ac=.所以2221cos24bcaAbc+-=-.（13）在以O为极点的极坐标系中，圆4sinrq=和直线sinarq=相交于,A B两点.若AOBD是等边三角形，则a的值为_.解：3圆的方程为()2224xy+-=，直线为ya=.因为AOBD是等边三角形，所以其中一个交点坐标为,3aa骣桫，代入圆的方程可得3a=.（14）已知函数()23f xxx=+，xR.若方程()10f xa x-=恰有 4 个

15、互异的实数根，则实数a的取值范围为_.解：01a显然0a.（）当()1ya x=-与23yxx=-相切时，1a=，此时()10f xa x-=恰有 3 个互异的实数根.（）当直线()1ya x=-与函数23yxx=+相切时，9a=，此时()10f xa x-=恰有 2 个互异的实数根.结合图象可知01a.解 2：显然1a，所以231xxax+=-.令1tx=-，则45att=+.因为(),444tt-+，所以()45,19,tt+.结合图象可得01a.三三、解答题解答题（本题共本题共 6 6 道大题道大题，满分满分 8080 分分解答应解答应写出文字写出文字说明，证明过程或演算步骤说明，证明过

16、程或演算步骤）（15）（本小题满分本小题满分 1313 分分）已知函数 23cossin3cos34f xxxx，xR.（）求 f x的最小正周期；（）求 f x在闭区间,4 4 上的最大值和最小值.（15）本小题主要考查两角和与差的正弦公式、二倍角公式与余弦公式，三角函数的最小正周期、单调性等基础知识.考查基本运算能力.满分 13 分.（）解：解：由已知，有()2133cossincos3cos224f xxxxx骣=诅+-+桫2133sincoscos224xxx=-+()133sin21cos2444xx=-+13sin2cos244xx=-1sin 223xp骣=-桫.所以，()f x

17、的最小正周期22Tpp=.（）解：解：因为()f x在区间,412pp轾犏-犏臌上是减函数，在区间,12 4pp轾犏-犏臌上是增函数.144fp骣-=-桫，1122fp骣-=-桫，144fp骣=桫.所以，函数()f x在闭区间,4 4p p轾犏-犏臌上的最大值为14，最小值为12-.（16）（本小题满分本小题满分 1313 分分）某大学志愿者协会有 6 名男同学，4 名女同学.在这 10 名同学中，3 名同学来自数学学院，其余 7 名同学来自物理、化学等其他互不相同的七个学院.现从这 10 名同学中随机选取 3 名同学，到希望小学进行支教活动（每位同学被选到的可能性相同）.（）求选出的 3 名

18、同学是来自互不相同学院的概率；（）设X为选出的 3 名同学中女同学的人数，求随机变量X的分布列和数学期望.（16）本小题主要考查古典概型及其概率计算公式，互斥事件、离散型随机变量的分布列与数学期望等基础知识.考查运用概率知识解决简单实际问题的能力.满分 13 分.（）解：解：设“选出的 3 名同学来自互不相同的学院”为事件A，则()120337373104960CCCCP AC+=.所以，选出的 3 名同学来自互不相同学院的概率为4960.所以，()f x的最小正周期22Tpp=.（）解：解：随机变量X的所有可能值为 0，1，2，3.()346310kkCCP xkC-=()0,1,2,3k=

19、.所以，随机变量X的分布列是X0123P1612310130随机变量X的数学期望()1131612362103050E X+=+=.（17）（本小题满分本小题满分 1313 分分）如图，在四棱锥PABCD-中，PA底面ABCD，ADAB，/ABDC，2ADDCAP=，1AB=，点E为棱PC的中点.（）证明BEDC；（）求直线BE与平面PBD所成角的正弦值；（）若F为棱PC上一点，满足BFAC，求二面角FABP-的余弦值.（17）本小题主要考查空间两条直线的位置关系，二面角、直线与平面所成的角，直线与平面垂直等基础知识.考查用空间向量解决立体几何问题的方法.考查空间想象能力、运算能力和推理论证能

20、力.满分 13 分.（方法一）依题意，以点A为原点建立空间直角坐标系（如图），可得()1,0,0B，()2,2,0C，()0,2,0D，()0,0,2P.由E为棱PC的中点，得()1,1,1E.（）证明：证明：向量()0,1,1BE=，()2,0,0DC=，故0BE DC=.所以，BEDC.（）解：解：向量()1,2,0BD=-，()1,0,2PB=-.设(),nx y z=为平面PBD的法向量，则0,0,n BDn PB=即20,20.xyxz-+=-=不妨令1y=，可得()2,1,1n=为平面PBD的一个法向量.于是有23cos,362n BEn BEnBE=.所以，直线BE与平面PBD所

21、成角的正弦值为33.（）解：解：向量()1,2,0BC=，()2,2,2CP=-，()2,2,0AC=，()1,0,0AB=.由点F在棱PC上，设CFCPl=，01l.故()12,22,2BFBCCFBCCPllll=+=+=-.由BFAC，得0BF AC=，因此，()()2 122 220ll-+-=，解得34l=.即1 1 3,2 2 2BF骣=-桫.设()1,nx y z=为平面FAB的法向量，则110,0,nABnBF=即0,1130.222xxyz=-+=不妨令1z=，可得()10,3,1n=-为平面FAB的一个法向量.取平面ABP的法向量()20,1,0n=，则12121133 1

22、0cos,10101n nn nnn-=-.易知，二面角FABP-是锐角，所以其余弦值为3 1010.（方法二）（）证明：证明：如图，取PD中点M，连接EM，AM.由于,E M分别为,PC PD的中点，故/EMDC，且12EMDC=，又由已知，可得/EMAB且EMAB=，故四边形ABEM为平行四边形，所以/BEAM.因为PA底面ABCD，故PACD，而CDDA，从而CD 平面PAD，因为AM 平面PAD，于是CDAM，又/BEAM，所以BECD.（）解：解：连接BM，由（）有CD 平面PAD，得CDPD，而/EMCD，故PDEM.又因为ADAP=，M为PD的中点，故PDAM，可得PDBE，所以

23、PD 平面BEM，故平面BEM 平面PBD.所以直线BE在平面PBD内的射影为直线BM，而BEEM，可得EBM为锐角，故EBM为直线BE与平面PBD所成的角.依题意，有2 2PD=，而M为PD中点，可得2AM=，进而2BE=.故在直角三角形BEM中，tan12EMABEBMBEBE=，因此3in3sEMB=.所以，直线BE与平面PBD所成角的正弦值为33.（）解解：如图，在PACD中，过点F作/FHPA交AC于点H.因为PA底面ABCD，故FH 底面ABCD，从而FHAC.又BFAC，得AC 平面FHB，因此ACBH.在底面ABCD内，可得3CHHA=，从而3CFFP=.在平面PDC内，作/F

24、GDC交PD于点G，于是3DGGP=.由于/DCAB，故/GFAB，所以,A B F G四点共面.由ABPA，ABAD，得AB 平面PAD，故ABAG.所以PAG为二面角FABP-的平面角.在PAGD中，2PA=，1242PGPD=，45APG=，由余弦定理可得102AG=，3os100c1PAG=.所以，二面角FABP-的斜率值为3 1010.（18）（本小题满分本小题满分 1313 分分）设椭圆22221xyab（0ab）的左、右焦点为12,F F，右顶点为A，上顶点为B.已知1232ABFF=.（）求椭圆的离心率；（）设P为椭圆上异于其顶点的一点，以线段PB为直径的圆经过点1F，经过原点

25、的直线l与该圆相切.求直线的斜率.（18）本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线的方程、圆的方程等基础知识.考查用代数方法研究圆锥曲线的性质.考查运算求解能力，以及用方程思想解决问题的能力.满分 13 分.（）解解：设设椭圆的右焦点2F的坐标为(),0c.由1232ABFF=，可得2223abc+=，又222bac=-，则2212ca=.所以，椭圆的离心率22e=.223abc+=，所以22223acc-=，解得2ac=，22e=.（）解：解：由（）知222ac=，22bc=.故椭圆方程为222212xycc+=.设()00,P xy.由()1,0Fc-，()0,Bc，有()100,FP

26、xc y=+，()1,FBc c=.由已知，有110FP FB=，即()000 xc cy c+=.又0c，故有000 xyc+=.又因为点P在椭圆上，故22002212xycc+=.由和可得200340 xcx+=.而点P不是椭圆的顶点，故043cx=-，代入得03cy=，即点P的坐标为4,3 3c c骣-桫.设圆的圆心为()11,T x y，则1402323cxc-+=-，12323ccyc+=，进而圆的半径()()2211503rxycc=-+-=.设直线l的斜率为k，依题意，直线l的方程为ykx=.由l与圆相切，可得1121kxyrk-=+，即22233531cckck骣-桫=+，整理

27、得2810kk-+=，解得415k=.所以，直线l的斜率为415+或415-.（19）（本小题满分本小题满分 1414 分分）已知q和n均为给定的大于 1 的自然数.设集合0,1,2,1,qM=-，集合112,1,2,nniAx xxx qx qxM in-+=+.（）当2q=，3n=时，用列举法表示集合A；（）设,s tA，112nnsaa qa q-=+，112nntbb qb q-=+，其中,iia bM，1,2,in=.证明：若nnab，则st.（19）本小题主要考查集合的含义和表示，等比数列的前n项和公式，不等式的证明等基础知识和基本方法.考查运算能力、分析问题和解决问题的能力.满分

28、 14 分.（）解：解：当2q=，3n=时，0,1M=，12324,1,2,3iAx xxxxMxi=+=+.可得，0,1,2,3,4,5,6,7A=.（）证明证明：由,s tA，112nnsaa qa q-=+，112nntbb qb q-=+，,iia bM，1,2,in=及nnab，可得()()()()11222111nnnnnnabqab qstabab q-=-+-+-+-()()()21111nnqqqqqq-+-+-()()111 11nnqqqq-=-10=-.所以，st.（20）（本小题满分本小题满分 1414 分分）已知函数()xf xxae=-()aR，xR.已知函数()

29、yf x=有两个零点12,x x，且12xx在R上恒成立，可得()f x在R上单调递增，不合题意.（2）0a时，由()0fx=，得lnxa=-.当x变化时，()fx，()f x的变化情况如下表：x(),lna-lna-()ln,a-+()fx0()f xln1a-这时，()f x的单调递增区间是(),lna-；单调递减区间是()ln,a-+.于是，“函数()yf x=有两个零点”等价于如下条件同时成立：1()ln0fa-；2存在()1,lnas -，满足()10f s；3存在()2ln,as -+，满足()20f s，即ln10a-，解得10ae-，而此时，取10s=，满足()1,lnas -

30、，且()10f sa=-；取222lnsaa=+，满足()2ln,as -+，且()22222ln0aaf seeaa骣骣鼢珑鼢=-+-.由已知，12,x x满足()1ag x=，()2ag x=.由()10,ae-，及()g x的单调性，可得()10,1x，()21,x+.对于任意的()1120,a ae-，设12aa，()()121ggaxx=，其中1201xx；()()122ggahh=，其中1201hh，即()()11ggxh，可得11xh；类似可得22xh，得222111xhhxxh，且2121,ln,xtxxxt=-=解得1ln1txt=-，2ln1ttxt=-.所以，()121 ln1ttxxt+=-.令()()1 ln1xxh xx+=-，()1,x+，则()()212ln1xxxh xx-+-=-.令()12lnu xxxx=-+-，得()21xuxx骣-=桫.当()1,x+时，()0ux.因此，()u x在()1,+上单调递增，故对于任意的()1,x+，()()10u xu=，由此可得()0h x，故()h x在()1,+上单调递增.因此，由可得12xx+随着t的增大而增大.而由（），t随着a的减小而增大，所以12xx+随着a的减小而增大.