2014山西高考理科数学真题及答案.pdf

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1、20142014 山西高考理科数学真题及答案山西高考理科数学真题及答案理科数学（一）理科数学（一）注意事项：1.本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分。答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2.回答第卷时，选出每个小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮搽干净后，再选涂其他答案标号，写在本试卷上无效.3.回答第卷时，将答案写在答题卡上，答在本试题上无效.4.考试结束，将本试题和答题卡一并交回.第卷一选择题：共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项。1.已知集合 A=x|2230 x

2、x，B=x|2x2，则AB=A.-2,-1B.-1,2）C.-1,1D.1,2）【答案】A【难度】容易【点评】本题考查集合之间的运算关系，即包含关系.在高一数学强化提高班上学期课程讲座 1，第一章集合中有详细讲解，其中第 02 节中有完全相同类型题目的计算.在高考精品班数学（理）强化提高班中有对集合相关知识的总结讲解.2.32(1)(1)ii=A.1 iB.1 iC.1 i D.1 i【答案】D【难度】容易【点评】本题考查复数的计算。在高二数学（理）强化提高班下学期，第四章复数中有详细讲解，其中第 02 节中有完全相同类型题目的计算。在高考精品班数学（理）强化提高班中有对复数相关知识的总结讲解

3、。3.设函数()f x，()g x的定义域都为 R，且()f x时奇函数，()g x是偶函数，则下列结论正确的是A.()f x()g x是偶函数B.|()f x|()g x是奇函数C.()f x|()g x|是奇函数D.|()f x()g x|是奇函数【答案】C【难度】中等【点评】本题考查函数的奇偶性。在高一数学强化提高班上学期课程讲座 1，第二章函数有详细讲解，在高考精品班数学（理）强化提高班中有对函数相关知识的总结讲解。4.已知F是双曲线C：223(0)xmym m的一个焦点，则点F到C的一条渐近线的距离为A.3B.3C.3mD.3m【答案】A【难度】中等【点评】本题考查双曲线的渐近线方程

4、。在高二数学（理）强化提高班，第六章圆锥曲线与方程中有详细讲解，其中在第 02 讲有相似题目的详细讲解。在高考精品班数学（理）强化提高班中有对圆锥曲线相关知识的总结讲解。5.4 位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率A.18B.38C.58D.78【答案】D【难度】中等【点评】本题考查排列的定义及计算方法。在高一数学强化提高班上学期课程讲座 1，第九章排列、组合、二项式有详细讲解，在高考精品班数学（理）强化提高班中有对概率、排列、组合相关知识的总结讲解。6.如图，圆 O 的半径为 1，A 是圆上的定点，P 是圆上的动点，角x的始边为射线OA，终

5、边为射线OP，过点P作直线OA的垂线，垂足为M，将点M到直线OP的距离表示为x的函数()f x，则y=()f x在0,上的图像大致为【答案】C【难度】中等【点评】本题考查利用导数判断函数的相关性质、图像。在高二数学（理）强化提高班下学期，第一章导数有详细讲解，在高考精品班数学（理）强化提高班中有对函数、导数综合知识的总结讲解。7.执行下图的程序框图，若输入的,a b k分别为 1,2,3，则输出的M=A.203B.165C.72D.158【答案】D【难度】中等【点评】本题算法初步。在高二数学（理）强化提高班上学期，第一章算法初步有详细讲解，其中第02 讲有完全相似的题目。在高考精品班数学（理）

6、强化提高班中有对程序框图题目相关的总结讲解。8.设(0,)2，(0,)2，且1 sintancos，则A.32B.22C.32D.22【答案】C【难度】中等【点评】本题考查分段函数值域求解。在高一数学强化提高班上学期课程讲座 1，第二章章函数有详细讲解，在高考精品班数学（理）强化提高班中有对函数相关知识的总结讲解。9.不等式组124xyxy的解集记为D.有下面四个命题：1p：(,),22x yD xy，2p：(,),22x yD xy,3P：(,),23x yD xy，4p：(,),21x yD xy.其中真命题是A.2p，3PB.1p，4pC.1p，2pD.1p，3P【答案】B【难度】容易【

7、点评】本题考查分段函数值域求解。在高一数学强化提高班上学期课程讲座 1，第二章函数有详细讲解，在高考精品班数学（理）强化提高班中有对函数相关知识的总结讲解。10.已知抛物线C：28yx的焦点为F，准线为l，P是l上一点，Q是直线PF与C的一个焦点，若4FPFQ ，则|QF=A.72B.52C.3D.2【答案】B【难度】中等【点评】本题考查在抛物线的简单性质。在高一数学强化提高班下学期课程讲座 2，第三章圆锥曲线与方程有详细讲解，在高考精品班数学（理）强化提高班、百日冲刺班中均有对圆锥曲线、解三角形相关知识的总结讲解。11.已知函数()f x=3231axx，若()f x存在唯一的零点0 x，且

8、0 x0，则a的取值范围为A.（2，+）B.（-，-2）C.（1，+）D.（-，-1）【答案】C【难度】中等【点评】本题考查分段函数值域求解。在高一数学强化提高班上学期课程讲座 1，第二章函数有详细讲解，在高考精品班数学（理）强化提高班中有对函数相关知识的总结讲解。12.如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的个条棱中，最长的棱的长度为A.6 2B.4 2C.6D.4【答案】B【难度】中等【点评】本题考查圆的综合知识。在高一数学强化提高班下学期课程讲座 2，第三章圆锥曲线与方程有详细讲解，在高考精品班数学（理）强化提高班、百日冲刺班中均有对圆椭圆、双曲线

9、、抛物线相关知识的总结讲解，同时高清课程平面解析几何专题也有圆的专题讲解。理科数学（二）理科数学（二）第第卷卷本卷包括必考题和选考题两个部分。第（13）题-第（21）题为必考题，每个考生都必须作答。第（22）题-第（24）题为选考题，考生根据要求作答。二填空题：本大题共四小题，每小题二填空题：本大题共四小题，每小题5 5分。分。13.8()()xy xy的展开式中22x y的系数为.(用数字填写答案)【答案】-20【难度】容易【点评】本题考查二项式的意义。在高一数学强化提高班上学期课程讲座 1，第九章排列、组合、二项式有详细讲解，在高考精品班数学（理）强化提高班中有对概率、排列、组合相关知识的

10、总结讲解，同时包含概率与立体几何相结合的综合题目。14.甲、乙、丙三位同学被问到是否去过 A，B，C 三个城市时，甲说：我去过的城市比乙多，但没去过 B 城市；乙说：我没去过 C 城市；丙说：我们三人去过同一个城市.由此可判断乙去过的城市为.【答案】A【难度】中等【点评】本题考查逻辑推理。在高二数学强化提高班下学期课程讲座，第三章推理证明有详细讲解。在高考精品班数学（理）强化提高班中逻辑推理相关知识的总结讲解。15.已知 A，B，C 是圆 O 上的三点，若1()2AOABAC，则AB 与AC的夹角为.【答案】90 度【难度】中等【点评】本题考查向量的计算问题。在高一数学强化提高班上学期课程讲座

11、 1，第六章平面向量有详细讲解，其中第 01 讲，有向量计算问题的专题讲解。在高考精品班数学（理）强化提高班中有对向量相关知识的总结讲解，在百日冲刺班有向量与三角函数综合类型题目的讲解。16.已知,a b c分别为ABC的三个内角,A B C的对边，a=2，且(2)(sinsin)()sinbABcbC，则ABC面积的最大值为.【答案】3【难度】较难【点评】本题考查解三角形及三角函数综合题。在高一数学强化提高班下学期课程讲座 2，第一章解三角形应用问题有详细讲解，在高考精品班数学（理）强化提高班中有对解三角形相关知识的总结讲解。三三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。解答题：解答

12、应写出文字说明，证明过程或演算步骤。17.(本小题满分 12 分)已知数列na的前n项和为nS，1a=1，0na，11nnna aS，其中为常数.()证明：2nnaa；（）是否存在，使得na为等差数列？并说明理由.【答案】（1）证明：由题意得112111nnnnnna aSaaS所以1211nnnnnaaa aa又因为0na 所以10na所以2nnaa（2）解：假设存在，使得 na为等差数列.由（1）知121311a aaaa因为11a 所以2311aa因为1322aaa所以221所以4故24,nnaa所以21na是首项为 1，公差为 4 的等差数列，2143;nan2na是首项为 3，公差为

13、 4 的等差数列，241.nan所以121,2.nnnanaa因此存在4，使得 na为等差数列.【难度】容易【点评】本题考查等比数列的性质。在高一数学强化提高班下学期课程讲座 2，第二章数列有详细讲解，在高考精品班数学（理）强化提高班中有对数列相关知识的总结讲解。18.(本小题满分 12 分)从某企业的某种产品中抽取 500 件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频率分布直方图：()求这 500 件产品质量指标值的样本平均数x和样本方差2s（同一组数据用该区间的中点值作代表）；（）由频率分布直方图可以认为，这种产品的质量指标值Z服从正态分布2(,)N，其中近似为样本平均数x，2近似

14、为样本方差2s.(i)利用该正态分布，求(187.8212.2)PZ；（ii）某用户从该企业购买了100件这种产品，记X表示这100件产品中质量指标值为于区间（187.8,212.2）的产品件数，利用（i）的结果，求EX.附：15012.2.若Z2(,)N，则()PZ=0.6826，(22)PZ=0.9544.【答案】（）抽取产品的质量指标值的样本平均数170 0.02 180 0.09 190 0.22200 0.33x 210 0.24220 0.08230 0.022002222300.02200.09100.22s 2220 0.33 100.24200.08300.02 150（）由

15、上述可知，ZN(200，165),从而P（187.8Z212.2）=P(200-12.2Z200+12.2)=0.6826一件产品的质量指标值位于区间（187.8,212.2）的概率为 0.6826依题意可知 XB(100,0.6826),所以 EX=1000.6826=68.26【难度】中等【点评】本题考查概率、期望、方差的计算。在高二数学（理）强化提高班下学期，第六章概率有详细讲解。在高考精品班数学（理）强化提高班中有对概率相关知识的总结讲解。19.(本小题满分 12 分)如图三棱锥111ABCABC中，侧面11BBC C为菱形，1ABBC.()证明：1ACAB；（）若1ACAB，o160

16、CBB，AB=BC，求二面角111AABC的余弦值.【答案】（1）连结1BC，交1BC于O，连结AO.因为侧面11BBC C为菱形，所以11BCBC，且O为1BC与1BC的中点.又1BOCO，故1ACAB（2）因为1ACAB且O为1BC的中点，所以AOCO又因为ABBC，所以BOABOC故OAOB，从而OA，OB，1OB两两互相垂直.以O为坐标原点，OB 的方向为x轴正方向，OB 为单位长，建立如图所示空间直角坐标系Oxyz.因为160CBB，所以1CBB为等边三角形.又ABBC，则30,0,3A，1,0,0B，130,03B，30,03C1330,33AB，1131,0,3ABAB ，113

17、1,03BCBC 设,nx y z是平面11AAB的法向量，11100n ABn AB 即33033303yzxz所以可取1,3,3n 设m是平面111ABC的法向量，则111100m BCm AB 同理可取1,3,3m 则1cos,7n mn mn m 所以二面角111AABC的余弦值为17.【难度】较难【点评】本题考查立体几何中垂直关系的证明及计算二面角等。在高一数学强化提高班下学期课程讲座 2，第四章立体几何，高二数学（理）强化提高班上学期，第七章空间向量与立体几何有详细讲解，有完全相似的题目剖析。在高考精品班数学（理）强化提高班、寒假特训班中有对立体几何相关知识的总结讲解。20.(本小

18、题满分 12 分)已知点A（0，-2），椭圆E：22221(0)xyabab的离心率为32，F是椭圆的焦点，直线AF的斜率为2 33，O为坐标原点.()求E的方程；（）设过点A的直线l与E相交于,P Q两点，当OPQ的面积最大时，求l的方程.【答案】（1）设 F(c,0)，由条件知，22 3,c33c得又2223,a2,b12caca所以故 E 的方程为214xy（2）依题意设直线l：2ykx将2ykx代入2214xy得221416120kxkx当216 430k，即234k 时，21,2282 4341kkxk从而22212241 43141kkPQkxxk又点O到直线PQ的距离221dk，

19、所以OPQ的面积2214 43241OPQkSd PQk设243kt，则0t，24444OPQtSttt因为44tt，当且仅当2t，即72k 时等号成立，且满足0 所以当OPQ的面积最大时，l的方程为722yx.【难度】中等【点评】本题考查椭圆的综合知识。在高一数学强化提高班下学期课程讲座 2，第三章圆锥曲线与方程有详细讲解，在高考精品班数学（理）强化提高班、百日冲刺班中均有对椭圆、双曲线、抛物线相关知识的总结讲解，同时高清课程平面解析几何专题也有对椭圆的专题讲解。21.(本小题满分 12 分)设函数1()lnxxbef xaexx，曲线()yf x在点（1，(1)f处的切线为(1)2ye x

20、.()求,a b；（）证明：()1f x.【答案】（I）函数 f（x）的定义域为0,，n11l2abbxxxxaxeeeefxxxx（），由题意可得 f（1）=2，f（1）=e故 a=1，b=2.（II）由（I）知，f（x）=12lnxxxxee，从而 f（x）1 等价于 xlnx2xxee.设函数 g（x）=xlnx，则 g(x)=1+lnx所以当 x(0,1e)时，g(x)0；当 x（1,e）时，g(x)0.故 g（x）在（0，1e）单调递减，在（1e，+）单调递增，从而 g（x）在(0,)的最小值为 g（1e）=-1e设函数 h（x）=2xxee，则 h（x）=(1x)xe.所以当(0,

21、1)x时，h（x）0；当(1,)x时，h（x）0.故 h（x）在（0,1）单调递增，在(1,)单调递减，从而 h（x）在(0,)的最大值为 h（1）=1e.综上，当 x0 时，g（x）h（x），即 f（x）1【难度】中等【点评】本题考查利用导数判断函数的相关性质及函数与不等式的综合问题。在高二数学（理）强化提高班下学期，第一章 导数 有详细讲解，在高一数学强化提高班下学期课程讲座 2，在高考精品班数学（理）强化提高班中有对函数、导数及不等式综合知识的总结讲解。请考生请考生从从第（第（2222）、（2323）、（2424）三题中任选一题作答。注意：只能做所选定的题目。如果多做，则按所做）三题中任

22、选一题作答。注意：只能做所选定的题目。如果多做，则按所做的第一个题目计分，作答时请用的第一个题目计分，作答时请用 2B2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的铅笔在答题卡上将所选题号后的 方框涂黑。方框涂黑。22.（本小题满分 10 分）选修 41：几何证明选讲如图，四边形 ABCD 是O 的内接四边形，AB 的延长线与 DC 的延长线交于点 E，且 CB=CE()证明：D=E；（）设 AD 不是O 的直径，AD 的中点为 M，且 MB=MC，证明：ADE 为等边三角形.【答案】（I）由题设知 A,B,C,D 四点共圆，所以D=CBE，由已知得CBE=E,故D=E（II）设 BC 的中点为 N,连结

23、 MN，则由 MB=MC 知 MNBC，故 O 在直线 MN 上。又 AD 不是O 的直径，M 为 AD 的中点，故 OMAD，即 MNAD所以 AD/BC,故A=CBE又CBE=E，故A=E。由（I）知，D=E，所以ADE 为等边三角形。【难度】较难【点评】本题考查立体几何中垂直关系的证明及直线与平面所成角的求解。在高一数学强化提高班下学期课程讲座 2，第四章立体几何有详细讲解，在高考精品班数学（理）强化提高班、寒假特训班中有对立体几何相关知识的总结讲解。23.（本小题满分 10 分）选修 44：坐标系与参数方程已知曲线C：22149xy，直线l：222xtyt（t为参数）.()写出曲线C的

24、参数方程，直线l的普通方程；（）过曲线C上任一点P作与l夹角为o30的直线，交l于点A，求|PA的最大值与最小值.【答案】（I）曲线 C 的参数方程为2cos,3sin,xy（为参数）直线 l 的普通方程为 2x+y-6=0（II）曲线 C 上任意一点 P（2cos，3sin）到 l 的距离为54cos3sin65d则02 55sin6sin305dPA，其中为锐角，且 tan=43当sin=-1 时，PA取得最大值，最大值为22 55当sin=1 时，PA取得最小值，最小值为2 55【难度】较难【点评】本题考查圆锥曲线的极坐标方程。在高一数学强化提高班下学期课程讲座 2，第三章圆锥曲线与方程

25、有详细讲解，在高考精品班数学（理）强化提高班、百日冲刺班中均有对椭圆、双曲线、抛物线的极坐标方程等相关知识的总结讲解。24.（本小题满分 10 分）选修 45：不等式选讲若0,0ab，且11abab.()求33ab的最小值；（）是否存在,a b，使得236ab？并说明理由.【答案】（I）由112ababab，得 ab2，且当 a=b=2时等号成立故3333a+b2 a b4 2a=b=2，且当时等号成立所以33a+b的最小值为4 2（II）由（I）知，2a+3b2 6 ab 4 3由于4 36，从而不存在 a，b，使得 2a+3b=6【难度】较难【点评】本题考查求关于不等式求最值。在高一数学强化提高班下学期课程讲座1，第五章不等式对不等式的相关知识有详细讲解。在高二数学（理）强化提高班下学期，第一章导数求最值有详细讲解，在高考精品班数学（理）强化提高班中有对函数、导数综合知识的总结讲解。