2015湖南高考理科数学真题及答案.pdf

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1、2015 湖南高考理科数学真题及答案本试题包括选择题，填空题和解答题三部分，共 6 页，时间 120 分钟，满分 150 分.一.选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分，贼每小题给出的四个选项中，只有一项是复合题目要求的.1.已知211iiz（i为虚数单位），则复数z=（）A.1 iB.1 iC.1 i D.1 i 2.设 A,B 是两个集合，则”ABA”是“AB”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.冲要条件D.既不充分也不必要条件3.执行如图 1 所示的程序框图，如果输入3n，则输出的S()A.67B.37C.89D.494.若变量,x y满足约束条件1211x

2、yxyy，则3zxy的最小值为（）A.-7B.-1C.1D.25.设函数()ln(1)ln(1)f xxx，则()f x是（）A.奇函数，且在(0,1)上是增函数B.奇函数，且在(0,1)上是减函数C.偶函数，且在(0,1)上是增函数D.偶函数，且在(0,1)上是减函数6.已知5axx的展开式中含32x的项的系数为 30，则a（）A.3B.3C.6D-67.在如图 2 所示的正方形中随机投掷 10000 个点，则落入阴影部分（曲线C 为正态分布 N(0,1)的密度曲线）的点的个数的估计值为（）A.2386B.2718C.3413D.47728.已知点 A,B,C 在圆221xy上运动，且ABB

3、C.若点 P的坐标为（2,0），则PAPBPC 的最大值为（）A.6B.7C.8D.99.将函数()2f xisn x的图像向右平移(0)2个单位后得到函数()g x的图像，若对满足12()()2f xg x的12,x x，有12min3xx，则（）A.512B.3C.4D.610.某工件的三视图如图 3 所示，现将该工件通过切割，加工成一个体积尽可能大的长方体新工件，并使新工件的一个面落在原工件的一个面内，则原工件材料的利用率为（材料利用率=新工件的体积原工件的体积）（）A.89B.169C.34(21)D.312(21)二、填空题：本大题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分.11.2

4、0(1)xdx.12.在一次马拉松比赛中，35名运动员的成绩（单位：分钟）的茎叶图如图 4 所示.若将运动员按成绩由好到差编为135号，再用系统抽样方法从中抽取 7人，则其中成绩在区间139,151上的运动员人数是.13.设 F 是双曲线 C：22221xyab的一个焦点，若 C 上存在点 P，使线段 PF 的中点恰为其虚轴的一个端点，则 C 的离心率为.14.设nS为等比数列 na的前项和，若11a，且1233,2,SSS成等差数列，则na.15.已知32,(),xxaf xxxa，若存在实数b，使函数()()g xf xb有两个零点，则的取值范围是.三、解答题16.()如图，在圆 O 中，

5、相交于点 E 的两弦 AB、CD 的中点分别是 M、N，直线 MO 与直线 CD 相交于点 F，证明：（1）0180MENNOM；（2）FE FNFMFO（）已知直线352:132xtlyt（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C 的极坐标方程为2cos.（1）将曲线 C 的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）设点 M 的直角坐标为(5,3)，直线l与曲线 C 的交点为 A，B，求|MAMB的值.（）设0,0ab，且11abab.（1）2ab；（2）22aa与22bb不可能同时成立.17.设ABC的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，tanabA，且

6、B 为钝角(1)证明：2BA（2）求sinsinAC的取值范围18.某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额商品后即可抽奖，每次抽奖都从装有 4 个红球、6 个白球的甲箱和装有 5 个红球、5 个白球的乙箱中，各随机摸出 1 个球，在摸出的 2 个球中，若都是红球，则获一等奖；若只有 1 个红球，则获二等奖；若没有红球，则不获奖.（1）求顾客抽奖 1 次能获奖的概率；（2）若某顾客有 3 次抽奖机会，记该顾客在 3 次抽奖中获一等奖的次数为 X，求 X 的分布列和数学期望.19.如图，已知四棱台1111ABCDABC D上、下底面分别是边长为 3 和 6 的正方形，16AA，且1AA 底面 A

7、BCD，点 P、Q 分别在棱1DD、BC 上.（1）若 P 是1DD的中点，证明：1ABPQ；（2）若 PQ/平面11ABB A，二面角 P-QD-A 的余弦值为37，求四面体 ADPQ 的体积.20.已知抛物线21:4Cxy的焦点 F 也是椭圆22222:1(0)yxCabab的一个焦点，1C与2C的公共弦的长为2 6.（1）求2C的方程；（2）过点 F 的直线l与1C相交于 A、B 两点，与2C相交于 C、D 两点，且AC与BD 同向（）若|ACBD，求直线l的斜率（）设1C在点 A 处的切线与 x 轴的交点为 M，证明：直线l绕点 F 旋转时，MFD总是钝角三角形21.已知0a，函数()sin(0,)axf xex x.记nx为()f x的从小到大的第 n*()nN个极值点,证明：（1）数列()nf x是等比数列（2）若211ae，则对一切*nN，|()|nnxf x恒成立.