2014福建考研数学二真题及答案.pdf

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1、2014 福建考研数学二真题及答案福建考研数学二真题及答案一、选择题一、选择题:1:18 8 小题小题,每小题每小题 4 4 分分,共共 3232 分分.下列每题给出的四个选项中下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求的只有一个选项符合题目要求的,请将所选项前的字母填在请将所选项前的字母填在答题纸答题纸指定位置指定位置上上.(1)当0 x时，若ln(12)x，1(1 cos)x均是比x高阶的无穷小，的取值范围是()(A)(2,)(B)(1,2)(C)1(,1)2(D)1(0,)2(2)下列曲线中有渐近线的是()(A)sinyxx(B)2sinyxx(C)1sinyxx(D)21sin

2、yxx(3)设函数()f x具有2阶导数，()(0)(1)(1)g xfxfx，则在区间0,1上（）(A)当()0fx时，()()f xg x(B)当()0fx时，()()f xg x(C)当()0fx时，()()f xg x(D)当()0fx时，()()f xg x(4)曲 线22741xtytt 上 对 应 于1t 的 点 处 的 曲 率 半 径 是（）(A)1050(B)10100(C)10 10(D)5 10(5)设 函 数()arctanf xx，若()()f xxf，则220limxx（）(A)1(B)23(C)12(D)13(6)设函数(,)u x y在有界闭区域D上连续，在D的

3、内部具有 2 阶连续偏导数，且满足20ux y 及22220uuxy，则（）(A)(,)u x y的最大值和最小值都在D的边界上取得(B)(,)u x y的最大值和最小值都在D的内部上取得(C)(,)u x y的最大值在D的内部取得，最小值在D的边界上取得(D)(,)u x y的最小值在D的内部取得，最大值在D的边界上取得(7)行列式00000000ababcdcd（）(A)2()adbc(B)2()adbc(C)2222a db c(D)2222b ca d(8)设123,均 为 3 维 向 量，则 对 任 意 常 数,k l，向 量 组1323,kl 线性无关是向量组123,线性无关的（）

4、(A)必要非充分条件(B)充分非必要条件(C)充分必要条件(D)既非充分也非必要条件二二、填空题填空题：9 91414 小题小题,每小题每小题 4 4 分分,共共 2424 分分.请将答案写在请将答案写在答题纸答题纸指定位指定位置上置上.(9)12125dxxx_.(10)设()f x是周期为4的可导奇函数，且()fx2(1),x0,2x，则(7)f_.(11)设(,)zz x y是 由 方 程2274yzexyz确 定 的 函 数，则1 1(,)2 2dz_.(12)曲线()rr的极坐标方程是r，则L在点(,)(,)2 2r 处的切线的直角坐标方程是_.(13)一 根 长 为 1 的 细 棒

5、 位 于x轴 的 区 间0,1上,若 其 线 密 度 221xxx,则该细棒的质心坐标x _.(14)设二次型22123121323,24f x x xxxax xx x的负惯性指数为 1，则a的取值范围为_.三、解答题：三、解答题：15152323 小题小题,共共 9494 分分.请将解答写在请将解答写在答题纸答题纸指定位置上指定位置上.解答解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤应写出文字说明、证明过程或演算步骤.(15)(本题满分 10 分)求极限12121lim.1ln 1xtxtet dtxx(16)(本题满分 10 分)已知函数 yy x满足微分方程221xy yy，且 20y，求

6、y x的极大值与极小值.(17)(本题满分 10 分)设 平 面 区 域22,14,0,0,Dx yxyxy计 算22sinDxxydxdyxy.(18)(本题满分 10 分)设 函 数()f u具 有 二 阶 连 续 导 数，(e cosy)xzf满 足22222(4e cos)exxzzzyxy，若(0)0,(0)0ff，求()f u的表达式.(19)(本题满分 10 分)设函数(),()f x g x的区间a,b上连续，且()f x单调增加，0()1g x.证明：(I)0(),xag t dtxa xa b,(II)()()d()g()baag t dtbaaf xxf xx dx.(2

7、0)(本题满分 11 分)设函数(x),0,11xfxx，定义函数列121()(),()(),f xf xfxf f x,1()(),nnfxf fx，记nS是由曲线()nyfx，直线1x 及x轴所围成平面图形的面积，求极限limnnnS.(21)(本题满分 11 分)已知函数(,)f x y满足2(1)fyy，且2(,)(1)(2)ln,f y yyyy求曲线(,)0f x y 所围成的图形绕直线1y 旋转所成的旋转体的体积.(22)(本题满分 11 分)设矩阵12340 11 11203A，E为三阶单位矩阵.(I)求方程组0Ax 的一个基础解系；(II)求满足ABE的所有矩阵.(23)(本

8、题满分 11 分)证明n阶矩阵1 111 111 11与00100200n相似.参考答案参考答案一、选择题一、选择题:1:18 8 小题小题,每小题每小题 4 4 分分,共共 3232 分分.下列每题给出的四个选项中下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求的只有一个选项符合题目要求的,请将所选项前的字母填在请将所选项前的字母填在答题纸答题纸指定位置指定位置上上.(1)当0 x时，若ln(12)x，1(1 cos)x均是比x高阶的无穷小，则的取值范围是()(A)(2,)(B)(1,2)(C)1(,1)2(D)1(0,)2【答案】B【解析】由定义1000ln(12)(2)limlimli

9、m20 xxxxxxxx所以10，故1.当0 x时，211(1 cos)2xx是 比x的 高 阶 无 穷 小，所 以210，即2.故选 B(2)下列曲线中有渐近线的是()(A)sinyxx(B)2sinyxx(C)1sinyxx(D)21sinyxx【答案】C【解析】关于 C 选项：11sinsinlimlim1lim1 01xxxxxxxx.11limsinlimsin0 xxxxxx，所以1sinyxx存在斜渐近线yx.故选 C(3)设函数()f x具有2阶导数，()(0)(1)(1)g xfxfx，则在区间0,1上（）(A)当()0fx时，()()f xg x(B)当()0fx时，()(

10、)f xg x(C)当()0fx时，()()f xg x(D)当()0fx时，()()f xg x【答案】D【解析】令()()()(0)(1)(1)()F xg xf xfxfxf x，则(0)(1)0FF,()(0)(1)()F xfffx,()()Fxfx.若()0fx，则()0Fx，()F x在0,1上为凸的.又(0)(1)0FF，所以当0,1x时，()0F x，从而()()g xf x.故选 D.(4)曲 线22741xtytt 上 对 应 于1t 的 点 处 的 曲 率 半 径 是（）(A)1050(B)10100(C)10 10(D)5 10【答案】C【解析】11122112243

11、2212tttttdytdxtd ydytdxdxt 3322211,10 1011ykRkqy故选 C(5)设 函 数()arctanf xx，若()()f xxf，则220limxx（）(A)1(B)23(C)12(D)13【答案】D【解析】因为2()1()1f xfx，所以2()()xf xf x222222000011()arctan11limlimlimlim()arctan33xxxxxf xxxxxx f xxxx故选 D.(6)设函数(,)u x y在有界闭区域D上连续，在D的内部具有 2 阶连续偏导数，且满足20ux y 及22220uuxy，则（）(A)(,)u x y的最

12、大值和最小值都在D的边界上取得(B)(,)u x y的最大值和最小值都在D的内部上取得(C)(,)u x y的最大值在D的内部取得，最小值在D的边界上取得(D)(,)u x y的最小值在D的内部取得，最大值在D的边界上取得【答案】A【解析】记22222,0,uuuABCBA Cxx yy 相反数则2=AC-B0,所以(x,y)u在D内无极值，则极值在边界处取得.故选 A(7)行列式00000000ababcdcd()(A)2()adbc(B)2()adbc(C)2222a db c(D)2222b ca d【答案】B【解析】由行列式的展开定理展开第一列0000000000000000ababa

13、baba cdcbcddcdcd()()ad adbcbc adbc 2()adbc.(8)设123,a a a均为三维向量，则对任意常数,k l,向量组13aka,23ala线性无关是向量组123,a a a线性无关的()(A)必要非充分条件(B)充分非必要条件(C)充分必要条件(D)既非充分也非必要条件【答案】A【解析】13231231001klkl.)记1323Akl，123B，1001klC.若123,线性无关，则()()()2r Ar BCr C，故1323,kl 线性无关.)举反例.令30，则12,线性无关，但此时123,却线性相关.综上所述，对任意常数,k l，向量1323,kl

14、 线性无关是向量123,线性无关的必要非充分条件.故选 A二二、填空题填空题：9 91414 小题小题,每小题每小题 4 4 分分,共共 2424 分分.请将答案写在请将答案写在答题纸答题纸指定位指定位置上置上.(9)12125dxxx_.【答案】38【解析】111221111arctan252214132 428xdxdxxxx(10)设()f x是周期为4的可导奇函数，且()fx2(1),x0,2x，则(7)f_.【答案】1【解析】210,2fxxx，且为偶函数则 212,0fxxx ，又 22f xxxc 且为奇函数，故=0c 222,0f xxxx ，又 f x的周期为 4，711ff

15、(11)设(,)zz x y是 由 方 程2274yzexyz确 定 的 函 数，则1 1(,)2 2dz_.【答案】1()2dxdy【解析】对2274yzexyz方程两边同时对,x y求偏导22210(22)20yzyzzzeyxxzzezyyyy 当11,22xy时,0z 故1 11 1(,)(,)2 22 211,22zzxy 故1 1(,)2 2111()()222dzdxdydxdy (12)曲线limnnnS的极坐标方程是r，则L在点(,)(,)2 2r 处的切线的直角坐标方程是_.【答案】22yx【解析】由直角坐标和极坐标的关系coscossinsinxryr，于是,2 2r 对

16、应于,0,2x y切线斜率cossincossindydyddxdxd0,22dydx 所以切线方程为202yx 即2=2yx(13)一 根 长 为 1 的 细 棒 位 于x轴 的 区 间0,1上,若 其 线 密 度 221xxx,则该细棒的质心坐标x _.【答案】1120【解析】质心横坐标 1010 xx dxxx dx 31122100042112310005=2133211=2143212xx dxxxdxxxxxxx dxxxxdxx 111112=5203x(13)设二次型22123121323,24f x x xxxax xx x的负惯性指数是 1，则a的取值范围_.【答案】2,2

17、【解析】配方法：22222123133233,24f x x xxaxa xxxx由于二次型负惯性指数为 1，所以240a，故22a.三、解答题：三、解答题：15152323 小题小题,共共 9494 分分.请将解答写在请将解答写在答题纸答题纸指定位置上指定位置上.解答解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤应写出文字说明、证明过程或演算步骤.(15)(本题满分 10 分)求极限12121lim.1ln 1xtxtet dtxx【解析】11221122dd(e1)(e1)limlim11ln(1)xxttxxttttttxxxx12lim(e1)xxxx12000e1e11limlimlim22

18、2tttxtttttttt.(16)(本题满分 10 分)已知函数 yy x满足微分方程221xy yy，且 20y，求 y x的极大值与极小值.【解析】由221xy yy，得22(1)1yyx 此时上面方程为变量可分离方程，解的通解为331133yyxxc由(2)0y得23c 又由可得221()1xy xy当()0y x时，1x ，且有：1,()011,()01,()0 xy xxy xxy x 所以()y x在1x 处取得极小值，在1x 处取得极大值(1)0,(1)1yy即：()y x的极大值为 1，极小值为 0.(17)(本题满分 10 分)设 平 面 区 域22,14,0,0,Dx y

19、xyxy计 算22sinDxxydxdyxy.【解析】D 关于yx对称，满足轮换对称性，则：2222sin()ysin()DDxxyxydxdydxdyxyxy222222sin()sin()sin()12DDxxyxxyyxyIdxdydxdyxyxyxy 221sin()2Dxydxdy2201211sin21()cos4dr rdrrdr22111cos|cos4r rrdr 21112 1sin|4r 34(18)(本题满分 10 分)设 函 数()f u具 有 二 阶 连 续 导 数，(e cosy)xzf满 足22222(4e cos)exxzzzyxy，若(0)0,(0)0ff，

20、求()f u的表达式.【解析】由cos,xzf ey(cos)cos,(cos)sinxxxxzzfeyeyfeyeyxy 22(cos)coscos(cos)cosxxxxxzfeyey eyfeyeyx，22(cos)sinsin(cos)cosxxxxxzfeyeyeyfeyeyy 由22222+4cosxxzzzey exy，代入得，22cos4coscos xxxxxfeyef eyey e即cos4coscosxxxfeyf eyey，令cos=,xey t得 4ftf tt特征方程240,2 得齐次方程通解2212ttyc ec e设特解*yatb，代入方程得1,04ab，特解*

21、14yt 则原方程通解为 22121=4tty f tc ec et由 00,00ff，得1211,1616cc,则 22111=16164uuy f ueeu.(19)(本题满分 10 分)设 函 数(),()f x g x在 区 间,a b上 连 续，且()f x单 调 增 加，0()1g x，证明：（I）0(),xag t dtxa xa b,（II）()()d()g()baag t dtbaaf xxf xx dx.【解析】（I）由积分中值定理 ,xag t dtgxaa x 01g x，0gxaxa 0 xag t dtxa（II）直接由 01g x，得到 01=xxaag t dt

22、dtxa（II）令 uauag t dtaaF uf x g x dxf x dx uauaFuf u g uf ag t dtg ug uf uf ag t dt由（I）知 0uag t dtua uaaag t dtu又由于 f x单增，所以 0uaf uf ag t dt 0FuF u，单调不减，0F uF a取ub，得 0F b，即（II）成立.(20)(本题满分 11 分)设函数(x),0,11xfxx，定义函数列1211()(),()(),()(),nnf xf xfxf f xfxf fx，记nS是由曲线()nyfx，直线1x 及x轴所围成平面图形的面积，求极限limnnnS.【

23、解析】123(),(),(),(),1121 31nxxxxf xfxfxfxxxxnx11100011()11nnxxnnSfx dxdxdxnxnx1110200111111ln(1)1dxdxnxnnnxnn211ln(1)nnnln(1)ln(1)1lim1 lim1 lim1 lim1nnnxxnxnSnxx 1 01(21)(本题满分 11 分)已知函数(,)f x y满足2(1)fyy，且2(,)(1)(2)ln,f y yyyy求曲线(,)0f x y 所围成的图形绕直线1y 旋转所成的旋转体的体积.【解析】因为2(1)fyy,所以2(,)2(),f x yyyx其中()x为待

24、定函数.又因为2(,)(1)2ln,f y yyyy则()12lnyyy，从而22(,)212ln(1)2lnf x yyyxxyxx.令(,)0,f x y 可得2(1)2lnyxx，当1y 时，1x 或2x，从而所求的体积为2221122112lnln22Vydxxxdxxxdx22211221ln(2)222552ln2(2)2ln22ln2.444xxxxdxxx(22)(本题满分 11 分)设矩阵12340 11 11203A，E为三阶单位矩阵.(I)求方程组0Ax 的一个基础解系；(II)求满足ABE的所有矩阵B.【解析】12341001234100011 1010011 1010

25、1203001043 1101A E12341001001261011 1010010213100131410013141,(I)0Ax 的基础解系为1,2,3,1T(II)1231,0,0,0,1,0,0,0,1TTTeee1Axe的通解为111112,1,1,02,12,1 3,TTxkkkk k 2Axe的通解为222226,3,4,06,32,43,TTxkkkk k 3Axe的通解为333331,1,1,01,12,1 3,TTxkkkk k 1231231231232611232121 3431 3kkkkkkBkkkkkk （123,k k k为任意常数）(23)(本题满分 11 分)证明n阶矩阵1 111 111 11与00100200n相似.【解析】已知1111A ，12001Bn =，则A的特征值为n，0(1n重).A属于n的特征向量为(1,1,1)T；()1r A，故0Ax 基础解系有1n个线性无关的解向量，即A属于0有1n个线性无关的特征向量；故A相似于对角阵0=0n.B的特征值为n，0(1n重)，同理B属于0有1n个线性无关的特征向量，故B相似于对角阵.由相似关系的传递性，A相似于B.