不等式知识结构及知识点_中学教育-高考.pdf

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1、不等式知识结构及知识点总结 一知识结构 二知识点 1、不等式的基本性质（对 称 性）a b b a（传 递 性）,a b b c a c（可 加 性）a b a c b c（同 向 可 加 性）d b c a d c b a,（异 向 可 减 性）d b c a d c b a,（可积性）bc ac c b a 0,bc ac c b a 0,（同向正数 可乘性）0,0 a b c d ac bd（异向正数 可除性）0,0a ba b c dc d（平方法则）0(,1)n na b a b n N n 且（开方法则）0(,1)n n a b a b n N n 且（倒数法则）b ab ab a

2、b a1 10;1 10 2、几个重要不等式 2 22 a b ab a b R，,（当且仅当a b 时取 号）.变形公式：2 2.2a bab（基本不等式）2a bab a b R，,（当且仅当a b 时取到等号）.变形公式：2 a b ab 2.2a bab 用基本不等式求最值时（积定和最小，和定积最大），要注意满足三个条件“一正、二定、三相等”.（三个正数的算术几何平均不等式）33a b cabc()a b c R、（当且仅当a b c 时取到等号）.2 2 2a b c ab bc ca a b R，（当且仅当a b c 时取到等号）.3 3 33(0,0,0)a b c abc a

3、b c（当且仅当a b c 时取到等号）.0,2b aaba b 若 则（当仅当 a=b 时取等号）0,2b aaba b 若 则（当仅当 a=b时取等号）ban bn am am bab 1其中(0 0 0)a b m n，规律：小于 1 同加则变大，大于 1同加则变小.2 20;a x a x a x a x a 当 时，或 2 2.x a x a a x a 绝对值三角不等式.a b a b a b 3、几个著名不等式平均不等式：2 21 122 2a b a baba b a b R，,（当且仅当a b 时取 号）.（即调和平均几何平均算术平均平方平均）.变形公式：22 2;2 2a

4、b a bab 22 2().2a ba b 幂平均不等式：2 2 2 21 2 1 21.(.).n na a a a a an 二维形式的三角不等式：2 2 2 2 2 21 1 2 2 1 2 1 2()()x y x y x x y y 1 1 2 2(,).x y x y R 二维形式的柯西不等式2 2 2 2 2()()()(,).a b c d ac bd a b c d R 当且仅当ad bc 时，等号成立.三维形式的柯西不等式：2 2 2 2 2 2 21 2 3 1 2 3 1 1 2 2 3 3()()().a a a b b b a b a b a b 一般形式的柯西不

5、等式：2 2 2 2 2 21 2 1 2(.)(.)n na a a b b b 21 1 2 2(.).n na b a b a b 可积性同向正数可乘性异向正数可除性平方法则且开方法则且倒数法则几个重要不等式当且仅当时取号变形公式基本不等式当且仅当时取到等号变形公式用基本不等式求最值时积定和最小和定积最大要注意满足三个条件一正二定三 取等号若则当仅当时取等号其中规律小于同加则变大大于同加则变小当时或绝对值三角不等式几个著名不等式平均不等式当且仅当时取号即调和平均几何平均算术平均平方平均变形公式幂平均不等式二维形式的三角不等式二维形式 向量则当且仅当是零向量或存在实数使时等号成立排序不等式

6、排序原理设为两组实数是的任一排列则反序和乱序和顺序和当且仅当或时反序和等于顺序和琴生不等式特例凸函数凹函数若定义在某区间上的函数对于定义域中任意两点向量形式的柯西不等式：设,是两个向量，则,当且仅当是零向量，或存在实数k，使k 时，等号成立.排序不等式（排序原理）：设1 2 1 2.,.n na a a b b b 为两组实数.1 2,.,nc c c是1 2,.,nb b b的任一排列，则 1 2 1 1 1 1 2 2.n n n n na b a b a b a c a c a c 1 1 2 2.n na b a b a b（反序和乱序和顺序和）当且仅当1 2.na a a 或1 2.

7、nb b b 时，反序和等于顺序和.琴生不等式:（特例:凸函数、凹函数）若定义在某区间上的函数()f x,对于定义域中任意两点1 2 1 2,(),x x x x 有1 2 1 2 1 2 1 2()()()()()().2 2 2 2x x f x f x x x f x f xf f 或则称 f(x)为凸（或凹）函数.4、不等式证明的几种常用方法 常用方法有：比较法（作差，作商法）、综合法、分析法；其它方法有：换元法、反证法、放缩法、构造法，函数单调性法，数学归纳法 等.常见不等式的放缩方法：舍去或加上一些项，如2 21 3 1()();2 4 2a a 将分子或分母放大（缩小），如 21

8、 1,(1)k k k 21 1,(1)k k k2 2 1 2(),2 1 k k k k k k*1 2(,1)1k N kk k k 等.5、一元二次不等式的解法 求一元二次不等式20(0)ax bx c 或2(0,4 0)a b ac 解集的步骤：一化：化二次项前的系数为正数.二判：判断对应方程的根.三求：求对应方程的根.四画：画出对应函数的图象.五解集：根据图象写出不等式的解集.规律：当二次项系数为正时，小于取中间，大于取两边.6、高次不等式的解法：穿根法.分解因式，把根标在数轴上，从右上方依次往下穿（奇穿偶切），结合原式不等号的方向，写出不等式的解集.7、分式不等式的解法：先 移项

9、通分 标准化，则()0()()0()()()0()0()0()f xf x g xg xf x g xf xg x g x（“或”时可积性同向正数可乘性异向正数可除性平方法则且开方法则且倒数法则几个重要不等式当且仅当时取号变形公式基本不等式当且仅当时取到等号变形公式用基本不等式求最值时积定和最小和定积最大要注意满足三个条件一正二定三 取等号若则当仅当时取等号其中规律小于同加则变大大于同加则变小当时或绝对值三角不等式几个著名不等式平均不等式当且仅当时取号即调和平均几何平均算术平均平方平均变形公式幂平均不等式二维形式的三角不等式二维形式 向量则当且仅当是零向量或存在实数使时等号成立排序不等式排序原

10、理设为两组实数是的任一排列则反序和乱序和顺序和当且仅当或时反序和等于顺序和琴生不等式特例凸函数凹函数若定义在某区间上的函数对于定义域中任意两点同理）规律：把分式不等式等价转化为整式不等式求解.8、无理不等式的解法：转化为有理不等式求解 2()0()(0)()f xf x a af x a 2()0()(0)()f xf x a af x a 2()0()0()()()0()0()()f xf xf x g x g xg xf x g x 或 2()0()()()0()()f xf x g x g xf x g x()0()()()0()()f xf x g x g xf x g x 规律：把无

11、理不等式等价转化为有理不等式，诀窍在于从“小”的一边分析求解.9、指数不等式的解法：当1 a 时,()()()()f x g xa a f x g x 当0 1 a 时,()()()()f x g xa a f x g x 规律：根据指数函数的性质转化.10、对数不等式的解法 当1 a 时,()0log()log()()0()()a af xf x g x g xf x g x 当0 1 a 时,()0log()log()()0.()()a af xf x g x g xf x g x 规律：根据对数函数的性质转化.11、含 绝 对 值 不 等 式 的 解 法：定 义 法：(0).(0)a a

12、aa a 平 方 法：2 2()()()().f x g x f x g x 同解变形法，其同解定理有：(0);x a a x a a(0);x a x a x a a 或()()()()()()0)f x g x g x f x g x g x()()()()()()()0)f x g x f x g x f x g x g x 或 规律：关键是去掉绝对值的符号.可积性同向正数可乘性异向正数可除性平方法则且开方法则且倒数法则几个重要不等式当且仅当时取号变形公式基本不等式当且仅当时取到等号变形公式用基本不等式求最值时积定和最小和定积最大要注意满足三个条件一正二定三 取等号若则当仅当时取等号其中

13、规律小于同加则变大大于同加则变小当时或绝对值三角不等式几个著名不等式平均不等式当且仅当时取号即调和平均几何平均算术平均平方平均变形公式幂平均不等式二维形式的三角不等式二维形式 向量则当且仅当是零向量或存在实数使时等号成立排序不等式排序原理设为两组实数是的任一排列则反序和乱序和顺序和当且仅当或时反序和等于顺序和琴生不等式特例凸函数凹函数若定义在某区间上的函数对于定义域中任意两点12、含有两个（或两个以上）绝对值的不等式的解法：规律：找零点、划区间、分段讨论去绝对值、每段中取交集，最后取各段的并集.13、含参数的不等式的解法 解形如20 ax bx c 且含参数的不等式时，要对参数进行分类讨论，分

14、类讨论的标准有：讨论a与 0 的大小；讨论与 0 的大小；讨论两根的大小.14、恒成立问题 不 等 式20 ax bx c 的 解 集 是 全 体 实 数（或 恒 成 立）的 条 件 是：当0 a 时 0,0;b c 当0 a 时00.a 不等式20 ax bx c 的解集是全体实数（或恒成立）的条件是：当0 a 时0,0;b c 当0 a 时00.a()f x a 恒成立max();f x a()f x a 恒成立max();f x a()f x a 恒成立min();f x a()f x a 恒成立min().f x a 15、线性规划问题 二元一次不等式所表示的平面区域的判断：法一：取点

15、定域法：由于直线0 Ax By C 的同一侧的所有点的坐标代入Ax By C 后所得的实数的符号相同.所以，在实际判断时，往往只需在直线某一侧任取一特殊点0 0(,)x y（如原点），由0 0Ax By C 的正负即可判断出0 Ax By C(或0)表示直线哪一侧的平面区域.即：直线定边界，分清虚实；选点定区域，常选原点.法二：根据0 Ax By C(或0)，观察B的符号与不等式开口的符号，若同号，0 Ax By C(或0)表示直线上方的区域；若异号，则表示直线上方的区域.即：同号上方，异号下方.二元一次不等式组所表示的平面区域：不等式组表示的平面区域是各个不等式所表示的平面区域的公共部分.利

16、用线性规划求目标函数z Ax By(,A B为常数）的最值：法一：角点法：如果目标函数z Ax By（x y、即为公共区域中点的横坐标和纵坐标）的最值存在，则这些最值都在该公共区域的边界角点处取得，将这些角点的坐标代入目标函数，得到一组对应z值，最大的那个数为目标函数z的最大值，最小的那个数为目标函数z的最小值 法二：画移定求：第一步，在平面直角坐标系中画出可行域；第二步，作直线0:0 l Ax By，平移直线0l（据可行域，将直线0l平行移动）确定最优解；第三步，求出最优解(,)x y；第四步，将最优解(,)x y代入目标函数z Ax By 即可求出最大值或最小值.可积性同向正数可乘性异向正

17、数可除性平方法则且开方法则且倒数法则几个重要不等式当且仅当时取号变形公式基本不等式当且仅当时取到等号变形公式用基本不等式求最值时积定和最小和定积最大要注意满足三个条件一正二定三 取等号若则当仅当时取等号其中规律小于同加则变大大于同加则变小当时或绝对值三角不等式几个著名不等式平均不等式当且仅当时取号即调和平均几何平均算术平均平方平均变形公式幂平均不等式二维形式的三角不等式二维形式 向量则当且仅当是零向量或存在实数使时等号成立排序不等式排序原理设为两组实数是的任一排列则反序和乱序和顺序和当且仅当或时反序和等于顺序和琴生不等式特例凸函数凹函数若定义在某区间上的函数对于定义域中任意两点第二步中 最优解

18、的确定方法：利用z的几何意义：A zy xB B,zB为直线的纵截距.若0,B 则使目标函数z Ax By 所表示直线的纵截距最大的角点处，z取得最大值，使直线的纵截距最小的角点处，z取得最小值；若0,B 则使目标函数z Ax By 所表示直线的纵截距最大的角点处，z取得最小值，使直线的纵截距最小的角点处，z取得最大值.常见的目标函数的类型：“截距”型：;z Ax By“斜率”型：yzx或;y bzx a“距离”型：2 2z x y 或2 2;z x y 2 2()()z x a y b 或2 2()().z x a y b 在求该“三型”的目标函数的最值时，可结合线性规划与代数式的 几何意义

19、 求解，从而使问题简单化.16.利用均值不等式：a b ab a b R a b ab aba b2 222 22，；求最值时，你是否注 意到“，”且“等号成立”时的条件，积 或和 其中之一为定 a b R ab a b()()值？（一正、二定、三相等）注意如下结论：a b a bababa ba b R2 22 22，当且仅当 时等号成立。a b a b c ab bc ca a b R2 2 2，当且仅当 时取等号。a b c a b m n 0 0 0，则 bab ma ma nb nab 1 如：若，的最大值为 x xx 0 2 34（设 y xx 2 342 2 12 2 4 3 当

20、且仅当，又，时，）3402 332 4 3 xxx x y max 可积性同向正数可乘性异向正数可除性平方法则且开方法则且倒数法则几个重要不等式当且仅当时取号变形公式基本不等式当且仅当时取到等号变形公式用基本不等式求最值时积定和最小和定积最大要注意满足三个条件一正二定三 取等号若则当仅当时取等号其中规律小于同加则变大大于同加则变小当时或绝对值三角不等式几个著名不等式平均不等式当且仅当时取号即调和平均几何平均算术平均平方平均变形公式幂平均不等式二维形式的三角不等式二维形式 向量则当且仅当是零向量或存在实数使时等号成立排序不等式排序原理设为两组实数是的任一排列则反序和乱序和顺序和当且仅当或时反序和

21、等于顺序和琴生不等式特例凸函数凹函数若定义在某区间上的函数对于定义域中任意两点 又如：，则 的最小值为 x yx y 2 1 2 4（，最小值为）2 2 2 2 2 2 2 22 2 1 x y x y 17.不等式证明的基本方法都掌握了吗？（比较法、分析法、综合法、数学归纳法等）并注意简单放缩法的应用。如：证明 11213122 2 2 n（112131111 212 3112 2 2 n n n 1 1121213111212）n nn 18 的一般步骤是什么？解分式不等式 0)()(.a ax gx f（移项通分，分子分母因式分解，x 的系数变为 1，穿轴法解得结果。）19.用“穿轴法”

22、解高次不等式“奇穿，偶切”，从最大根的右上方开始 如：x x x 1 1 2 02 3 20.解含有参数的不等式要注意对字母参数的讨论 如：对数或指数的底分 或 讨论 a a 1 0 1 21.对含有两个绝对值的不等式如何去解？（找零点，分段讨论，去掉绝对值符号，最后取各段的并集。）例如：解不等式|x x 3 1 1（解集为）x x|12 22、证明较简单的不等问题 会用不等式|b a b a b a 如：设，实数 满足 f x x x a x a()|213 1 求证：f x f a a()()(|)2 1 可积性同向正数可乘性异向正数可除性平方法则且开方法则且倒数法则几个重要不等式当且仅当

23、时取号变形公式基本不等式当且仅当时取到等号变形公式用基本不等式求最值时积定和最小和定积最大要注意满足三个条件一正二定三 取等号若则当仅当时取等号其中规律小于同加则变大大于同加则变小当时或绝对值三角不等式几个著名不等式平均不等式当且仅当时取号即调和平均几何平均算术平均平方平均变形公式幂平均不等式二维形式的三角不等式二维形式 向量则当且仅当是零向量或存在实数使时等号成立排序不等式排序原理设为两组实数是的任一排列则反序和乱序和顺序和当且仅当或时反序和等于顺序和琴生不等式特例凸函数凹函数若定义在某区间上的函数对于定义域中任意两点 证明：|()()|()()|f x f a x x a a 2 213

24、13|()()|(|)|x a x a x ax a x a x ax a1 11 11 又，|x a x a x a 1 1 f x f a a a()()|2 2 2 1（按不等号方向放缩）23.不等式恒成立问题，常用的处理方式是什么？（可转化为最值问题，或“”问题）如：恒成立 的最小值 a f x a f x()()a f x a f x()()恒成立 的最大值 a f x a f x()()能成立 的最小值 例如：对于一切实数，若 恒成立，则 的取值范围是 x x x a a 3 2（设，它表示数轴上到两定点 和 距离之和 u x x 3 2 2 3 u a am i n 3 2 5

25、5 5，即 或者：，）x x x x a 3 2 3 2 5 5 可积性同向正数可乘性异向正数可除性平方法则且开方法则且倒数法则几个重要不等式当且仅当时取号变形公式基本不等式当且仅当时取到等号变形公式用基本不等式求最值时积定和最小和定积最大要注意满足三个条件一正二定三 取等号若则当仅当时取等号其中规律小于同加则变大大于同加则变小当时或绝对值三角不等式几个著名不等式平均不等式当且仅当时取号即调和平均几何平均算术平均平方平均变形公式幂平均不等式二维形式的三角不等式二维形式 向量则当且仅当是零向量或存在实数使时等号成立排序不等式排序原理设为两组实数是的任一排列则反序和乱序和顺序和当且仅当或时反序和等于顺序和琴生不等式特例凸函数凹函数若定义在某区间上的函数对于定义域中任意两点