浙江省名校协作体2023-2024学年高三上学期开学适应性考试数学含答案.pdf

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1、2023 学年第一学期浙江省名校协作体适应性适应性试题 高三年级数学学科一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的 1 1.已知集合2560Ax xx=，20222022xBx=，则AB=A1,12B1,62 C11,2D1,322.2.设复数z满足(1)4i zi=，i为虚数单位，则z在复平面上对应的点在 A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 3 3在ABC中，点M，N分别是BC，AC边上的中点，线段AM，BN交于点D，则|AMAD的值为 A.21B52C32D434 4.如图是我国古代量粮食的器具“升”，其形

2、状是正四棱台，上、下底面边长分别为20cm和10cm，侧棱长为5 6cm“升”装满后用手指或筷子沿升口刮平，这叫“平升”则该“升”的“平升”约可装3(10001)cmL=A1.5L B1.7LC2.3LD2.7L5.5.已 知 数 列 na的 前n 项 和 为nS 若:p数 列 na是 等 比 数 列；21122:()()nnnqSaSSS+=，则p是q的 A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 6.6.某校银杏大道上共有 20 盏路灯排成一列，为了节约用电，学校打算关掉 3 盏路灯，头尾两盏路灯不能关闭，关掉的相邻两盏路灯之间至少有两盏亮的路灯，则不同的方

3、案种数是 A324 B364 C.560 D680 7.7.已知函数()sin()(0)3f xx=+在(,)3上恰有 1 个零点，则的取值范围是 A 25 8(0,),33 3B 2 58(,2,3 33C58 11,2),33 3 D 8 11(0,2,3 38.8.在三棱锥DABC中，2ABBC=，90ADC=，二面角DACB的平面角为30，则三棱锥DABC外接球表面积的最小值为 A)132(16B)332(16C)132(16+D)332(16+二、选择题：本题共 4 个小题，每小题 5 分，共 20 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得 5 分，部分选对的得 2

4、 分，有选错的得 0 分.9.9.下列说法正确的是A数据 7,5,3,10,2,6,8,9 的中位数为 7B已知()01P M，()01P N，若()()|1P N MP N+=，则M,N相互独立 C.已知一组数据1x，2x3x，nx的方差为 3，则11x+，21x+31x+，1nx+的方差为 3 D.根据一组样本数据的散点图判断出两个变量线性相关，由最小二乘法求得其回归直线方程为0.3yxm=，若其中一个散点为(),0.28m，则4m=10.10.已知甲盒中有 2 个红球，1 个蓝球，乙盒中有 1 个红球，2 个蓝球.从甲、乙两个盒中各取 1 个球放入原来为空的丙盒中.现从甲、乙、丙三个盒子

5、中分别取 1个球，记从各盒中取得红球的概率为(1,2,3)ip i=,从各盒中取得红球的个数为(1,2,3)ii=，则 A.12332ppp+=.B.132()()()EEEC.12()()DD=D.23()()DD11.11.已知非零实数1,(,)2a b c,2323aaebbbc=+=，则可能正确的是 A.abcB.bacC.cbaD.cab1 12.2.意大利著名数学家莱昂纳多斐波那契(Leonardo Fibonacci)在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1，1，2，3，5，8，13，21，34，该数列的特点是：前两个数都是 1，从第三个数起，每一个数都等于它的前面两个数的和，

6、人们把这样的一列数称为“斐波那契数列”同时，随着n趋于无穷大，其前一项与后一项的比值越来越逼近黄金分割510.6182，因此又称“黄金分割数列”，记斐波那契数列为 na，则下列结论正确的有 A1202420221=aakkB.12024101112=aakkC.20232022202212aaakk=D.)(112221+=nnnnnnaaaaaa三、填空题：本小题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分 13.13.8()xyxyyx+展开式中62x y的系数为_ 14.14.写出两个与直线10 x+=相切和圆22430 xyx+=外切的圆的圆心坐标_ 15.15.设F是双曲线22221x

7、yab=（00ab，）的右焦点，O为坐标原点，过F作斜率为-3 的直线l交双曲线的渐近线点A，B两点（点A第一象限），过O作AB的垂线，垂足为H，且HAHF=，则该双曲线的离心率是 _ 16.16.若函数()(ln1)xf xaxx=(0a 且1)a 存在极大值点，则a的取值范围是_ 四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.1 17 7(10(10 分分)已知数列 na满足12a=，_,以下三个条件中任选一个填在横线上并完成问题.()12nnnnaaa+=，1222nnnaa+=2123222(1)2nnaaaan n+=+()求数列 na的通项公式

8、；()记数列 na的前n项积为nT，求nT的最大值 EABCDP1818（1212 分）分）ABC的内角,A B C的对边分别为,2(2)a b cCB CAbbc=()求A；()若2bca+=，求tan 2C 1 19 9.(12.(12 分分)如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为平行四边形，侧面PAD是边长为2的正三角形，平面PAD 平面ABCD，ABPD()求证：平行四边形ABCD为矩形；()若E为侧棱PD的中点，且平面ACE与平面ABP所成角的余弦值为64，求点B到平面ACE的距离 20.20.(12(12 分分)某校有一个露天的篮球场和一个室内乒乓球馆为学生提供锻炼场所，甲、乙

9、两位学生每天上下午都各花半小时进行体育锻炼，近 50 天天气不下雨的情况下，选择体育锻炼情况统计如下：上下午体育锻炼项目的情况（上午，下午）(,)篮球 篮球(,)篮球 乒乓球(,)乒乓球 篮球()乒乓球，乒乓球甲 20 天 15 天 5 天 10 天 乙 10 天 10 天 5 天 25 天 假设甲、乙选择上下午锻炼的项目相互独立，用频率估计概率.()分别估计一天中甲上午和下午都选择篮球的概率，以及甲上午选择篮球的条件下，下午仍旧选择篮球的概率；()记X为甲、乙在一天中选择体育锻炼项目的个数，求X的分布列和数学期望()E X；()假设A表示事件“室外温度低于 10 度”，B表示事件“某学生去打

10、乒乓球”，()0P A，一般来说在室外温度低于 10 度的情况下学生去打乒乓球的概率会比室外温度不低于 10 度的情况下去打乒乓球的概率要大，证明：(|)(|)P A BP A B.2121（1212 分）分）已知点(2,0)A，64,55B在椭圆2222:1(0)xyMabab+=上.()求椭圆M的方程；()直线l与椭圆M交于 C，D 两个不同的点（异于 A，B），过 C 作x轴的垂线分别交直线 AB，AD 于点 P，Q，当P是CQ中点时，证明直线l过定点.22.22.（1212 分）分）已知函数()ln2f xxxxa=有两个零点12,x x.()证明：0ea；()求证：212x xe 2

11、12xxe+2023 学年第一学期浙江省名校协作体适应性适应性试题 高三年级数学学科解析一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的 1 1.已知集合2560Ax xx=，20222022xBx=，则AB=A1,12B1,62 C11,2D1,32命题意图：本题为原创题，本题考查集合的交运算、一元二次不等式、指数不等式的解法，意在考查学生对基本概念的掌握情况 解析：()1,6A=，1,2B=+，1,62AB=，故选B 答案：B 2.2.设复数z满足(1)4i zi=，i为虚数单位，则z在复平面上对应的点在 A第一象限 B第二

12、象限 C第三象限 D第四象限 命题意图：本题为原创题，本题考查复数的四则运算和几何意义，意在考查学生的计算能力 解析：4(1)444221(1)(1)2iiiiziiii+=+，故z在复平面上对应的点为()2,2，在第四象限，故选D 答案：D 3 3在ABC中，点M，N分别是BC，AC边上的中点，线段AM，BN交于点D，则|AMAD的值为 A.21B52C32D43命题意图：本题为原创题，本题考查用向量方法解决平面几何问题，考查学生的化归与转化思想 解析：方法一：可由三角形重心的性质知：|2|3ADAM=方法二：设ADAM=uuu ruuur，则11()222ADAMABACABAN=+=+u

13、uu ruuuruuu ruuu ruuu ruuu r，由,B D N共线可知，1+12=，23=，故|2|3ADAM=，故选 C 答案：C4 4.如图是我国古代量粮食的器具“升”，其形状是正四棱台，上、下底面边长分别为20cm和10cm，侧棱长为5 6cm“升”装满后用手指或筷子沿升口刮平，这叫“平升”则该“升”的“平升”约可装3(10001)cmL=A1.5L B1.7LC2.3LD2.7L命题意图：本题为改编题本题考查棱台的体积公式，意在考查学生的数学抽象和计算能力 解析：棱台的高()()225 65 210h=，3311()(400100200)102.3 102.333VSSSS

14、hcmL=+=+=答案：C5.5.已 知 数 列 na的 前n 项 和 为nS 若:p数 列 na是 等 比 数 列；21122:()()nnnqSaSSS+=，则p是q的 A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 命题意图：本题为原创题，本题在数列的背景下考查常用逻辑用语，考查学生的逻辑推理能力和对基本概念的掌握 解 析：若 na是 等 比 数 列，则23112()nnaaaq aaa+=+，342231()nnaaaq aaa+=+，于是 223134212()()()nnnaaaaaaaaa+=+，即21122:()()nnnqSaSSS+=；若2112

15、2()()nnnSaSSS+=，取*0,nan=，显然 na不是等比数列，故p是q的充分不必要条件 答案：A 6.6.某校银杏大道上共有 20 盏路灯，为了节约用电，学校打算关掉 3 盏路灯，头尾两盏路灯不能关闭，关掉的相邻两盏路灯之间至少有两盏亮的路灯，则不同的方案种数是 A324B364 C.560D680 命题意图：本题是原创题，本题主要考查了插空法，考查学生建立模型的能力，旨在考查学生的分析问题、解决问题的能力.解析：关掉的三盏路灯不相邻，故选择用插空法，首先拿出两盏亮的路灯备用，把 15 盏亮的路灯先放好，把三盏关掉的等插进去，因为头尾两盏路灯不能关闭，所以是除头尾之外的 14 个位

16、置上插入三盏关掉的灯，共314364C=种，再在每两盏关掉的路灯之间再各放入一盏备用的路灯，这样就保证了关掉的相邻两盏路灯之间至少有两盏亮的路灯，故选B.答案B.7.7.已知函数()sin()(0)3f xx=+在(,)3上恰有 1 个零点，则的取值范围是 A 25 8(0,),33 3B 2 58(,2,3 33C58 11,2),33 3 D 8 11(0,2,3 3命题意图：该题是原创题，本题主要考查了复合函数零点问题、三角函数的性质，旨在考查学生转化化归思想，考查学生的分析问题、解决问题的能力.解析：令(,)3333tx=+，因为函数()sin()(0)3f xx=+在(,)3上恰有

17、1 个零点，即转化为sinyt=，(,)333t+只有 1 个零点，故可得333kkkk+，即34311233kkkk+，又0，要使上述方程组有解，则需13132343203310kkkkkk+，所以1733k，故1,2k=，当1k=时，2533，当2k=时，823，故选 B；答案：B 8.8.在三棱锥DABC中，2ABBC=，90ADC=，二面角DACB的平面角为30，则三棱锥DABC外接球表面积的最小值为 A)132(16 B)332(16 C)132(16+D)332(16+命题意图：该题是原创题，本题主要考查了三棱锥外接球的求法、三角函数的最值问题，考察学生的空间想象能力和逻辑思维能力

18、，考查学生的推理运算能力.解析：如图,先作出ACD 的外接圆，当 D 在ACD 的外接圆上动的时候，该三棱锥的外接球不变，故可使 D 点动到一个使得 DA=DC 的位置，取 AC 的中点 M，因为2ABBC=，DA=DC，所以ACBM,ACDM,故DMB即为二面角DACB的平面角，ACB 的外心为 O1，过 O1作平面 ABC 的垂线，过ACD的外心 M 作平面 ACD 的垂线，两条垂线均在平面 BMD 内，它们的交点就是球心 O，画出平面 BMD，如图所示；在平面 ABC 内，设2CBA=，则1112coscosBCrBO=，11cos2cos2cosO MOC=，因为30DMB=，所以16

19、0O MO=，所以113cos23cosOOO M=，所以 222212213cos 2coscosRrOO=+=+令2cos(0,1)t=，则2213(21)412122 48128 312tRtttt=+=+=，所 以2416(2 33)SR=，当且仅当33t=时取等，故选 B 答案：B 二、选择题：本题共 4 个小题，每小题 5 分，共 20 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分.9.9.下列说法正确的是A数据 7,5,3,10,2,6,8,9 的中位数为 7B已知()01P M，()01P N，若()()|1P N

20、 MP N+=，则M,N相互独立 C.已知一组数据1x，2x3x，nx的方差为 3，则11x+，21x+31x+，1nx+的方差为 3 D.根据一组样本数据的散点图判断出两个变量线性相关，由最小二乘法求得其回归直线方程为0.3yxm=，若其中一个散点为(),0.28m，则4m=命题意图：本题为改编题，本题考查概率统计中的中位数、独立事件、方差、回归方程等基本概念，意在考查学生对概念的掌握情况 解析：对于 A 选项，将这些数从小到大排列 2，3，5，6，7，8，9，10，中位数C A D M O1 O B M B D O1 O 为6和7的 平 均 数，即6.5，故A错 误；对 于B选 项，()(

21、)()|1()1()P NMP N MP NP NP M+=+=，于是()()()P NMP M P N=，故 B 正确；对于 C 选项，每一个数据都加 1 不改变离散程度，方差不变，故 C 正确；对于 D选项，散点不一定在回归方程上，故 D 错误。综上，选 BC 答案：BC 10.10.已知甲盒中有 2 个红球，1 个蓝球，乙盒中有 1 个红球，2 个蓝球.从甲、乙两个盒中各取 1 个球放入原来为空的丙盒中.现从甲、乙、丙三个盒子中分别取 1个球，记从各盒中取得红球的概率为(1,2,3)ip i=,从各盒中取得红球的个数为(1,2,3)ii=，则 A.12332ppp+=.B.132()()

22、()EEEC.12()()DD=D.23()()DD命题意图：该题是解法原创，题目部分改编，本题主要考查了全概率公式、离散型随机变量的分布列、数学期望、方差，数学期望的本质就是平均值，旨在培养学生的思维能力、运算求解能力、数学建模能力.解析：方法一：可以利用平均值的原理去快速解决问题，甲盒中有 2 个红球，1个蓝球，拿出一个球，相当于平均拿出23个红球，13个蓝球；乙盒中有 1 个红球，2 个蓝球，拿出一个球，相当于平均拿出13个红球，23个蓝球，那么拿出一个球后，放入丙盒子中后，相当于甲盒子内还有43个红球，23个蓝球，乙盒子内还有23个红球，43个蓝球，丙盒子中有 1 个红球，1 个蓝球，

23、故142323p=，221323p=，312p=，(1,2,3)ii=满足两点分布，故122()133E=，1212()339D=，211()133E=，2122()339D=，311()122E=，3111()224D=，故选 ABC.方法二：也可用全概率公式求解(1,2,3)ip i=，比如1211213233p=+=，以下同方法一.答案：ABC 11.11.已知非零实数1,(,)2a b c,2323aaebbbc=+=，则可能正确的是 A.abcB.bacC.cbaD.cab命题意图：该题是原创题，本题主要考查函数与方程思想、数形结合思想，旨在培养学生的思维能力、运算求解能力、数学建模

24、能力.解析：令()xf xxe=，23()g xxxx=+，2()3h xx=，先可证得 2211131,(0,),(1)1,(0,)232xxxxxexxxxxexe+，所以1()()(),(0,)2h xf xg x x，当0 x 时，()0f x，()0g x，而因为0c，所以23230aaebbbc=+=，所以0,0ba，而c有两解,一正一负，因为 1()()(),(0,)2g bf ag a a=，而23()g xxxx=+在1(0,)2单调递增，所以ba.当0c 时，1()()(),(0,)2f ah cf c c=，而()xf xxe=在1(0,)2单调递增，所以ac，所以bac

25、;当0c 时，cba,故选：BC 注：可画出()xf xxe=，23()g xxxx=+，2()3h xx=三个函数的图像 答案：BC 1 12.2.意大利著名数学家莱昂纳多斐波那契(Leonardo Fibonacci)在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1，1，2，3，5，8，13，21，34，该数列的特点是：前两个数都是 1，从第三个数起，每一个数都等于它的前面两个数的和，人们把这样的一列数称为“斐波那契数列”同时，随着n趋于无穷大，其前一项与后一项的比值越来越逼近黄金分割510.6182，因此又称“黄金分割数列”，记斐波那契数列为 na，则下列结论正确的有 A1202420221=

26、aakkB.12024101112=aakkC.20232022202212aaakk=D.)(112221+=nnnnnnaaaaaa命题意图：该题是改编题，本题主要考查数列的裂项相消求和，旨在培养学生的思维能力、运算求解能力,创新能力，让学生体会数学之美，发现数学之美 解析：因为21nnnaaa+=+，所以21nnnaaa+=，所以 202232432024202320242202411kkaaaaaaaaaa=+=故 A 正确；因为21nnnaaa+=+，所以21221kkkaaa+=+，即22121kkkaaa+=，所 以1011231532023202120231202311kkaa

27、aaaaaaaa=+=，而20242023aa，故 B 错误；21111()(2)kkkkkkkkaaaaa aaak+=，所以 20222022211231 23423202220232021 202220222023121()1kkkkkkkaa aaaa aa aa aa aaaaaaa+=+=+=故 C 正确；222212111111()()nnnnnnnnnnnnnnaa aaaaaaaaaaaa+=+=,进 一步可得，212(1)nnnnaa a+=，故 D 正确 答案：ACD 三、填空题：本小题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分 13.13.8()xyxyyx+展开式中6

28、2x y的系数为_ 命题意图：本题为原创题，本题考查二项式定理的应用和分类的思想 解析：62x y的系数来自两个方面，如果第一个括号提供了xy，则第二个括号提供7xy，故系数为778(1)8C=，如果第一个括号提供了yx，则第二个括号提供了35x y，故系数为558(1)56C=，所以62x y的系数为 56864=答案：64 14.14.写出两个与直线10 x+=相切和圆22430 xyx+=外切的圆的圆心坐标_ 命题意图：本题为改编题，本题考查直线与圆的位置关系、圆与圆的位置关系，抛物线的概念 解析：22430 xyx+=的圆心为(2,0)，半径为 1，设圆心坐标为(,)a b，则221(

29、2)1aab+=+，故圆心(,)a b到()2,0的距离和到直线 x=-2 的距离相等，圆心的轨迹是以()2,0为焦点的抛物线，故28ba=，只要满足该式即可 答案:比如（0,0），（2,4），不唯一，圆心坐标（a，b）只要满足28ba=1515.设F是双曲线22221xyab=（00ab，）的右焦点，O为坐标原点，过F作斜率为-3 的直线l交双曲线的渐近线点A，B两点（点A第一象限），过O作AB的垂线，垂足为H，且HAHF=，则该双曲线的离心率是 _ 命题意图：本题为原创题，本题主要考查双曲线中与离心率有关的问题，意在考查学生的运算求解能力、推理论证能力 解析：设AFO=，则tan3=，由题

30、意知，,OHAB HAHF=，故AOOF=，则22tan3tantan(2)tan 241tanAOF=，而tanAObAOFka=，所以34ba=，从而54cea=答案：5416.若函数()(ln1)xf xaxx=(0a 且1)a 存在极大值点，则a的取值范围是_ 命题意图：本题为原创题，本题主要考查函数的极值的概念、同构、分类讨论思想等，意在考查学生的运算求解能力、推理论证能力 解析：令()lnln0 xfxaax=，可得lnln(ln)(ln)xaxexax e=，令()xg xxe=，所以(ln)(ln)g xagx=，当1a 时，ln0 xa，()g x在(0,)+上单调递增，且当

31、(0,)x+，()0g x，当(,0)x，()0g x，故(ln)(ln)0ln01g xagxxx=，所以 lnlnxax=，即lnln(1)xaxx=有变号根，所以10lnae，11eae当01a，0 x，()fx +，当x+，()fx ，此时()fx必存在一个零点，且这个零点的左边导函数为正，右边导函数为负数，该零点即为极大值点故1(0,1)(1,)eaeU 答案:1(0,1)(1,)eeU四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.1 17 7(10(10 分分)已知数列 na满足12a=，_,以下三个条件中任选一个填在横线上并完成问题.()12

32、nnnnaaa+=，1222nnnaa+=2123222(1)2nnaaaan n+=+()求数列 na的通项公式；()记数列 na的前n项积为nT，求nT的最大值 命题意图：本题为原创题，本题考查等比数列、等差数列的定义和通项公式，考查通过构造法求通项公式，以及数列单调性的应用，旨在考查考生的逻辑推理能力、运算求解能力.解：()若选：已知数列 na满足()12nnnnaaa+=，则12(1)nnnana+=+，则1112nnaann+=+，nan是首项为121a=，公比为12的等比数列，故11112nnaan=，即22nnna=5 分 若选：1222nnnaa+=11422nnnnaa+=，

33、则2nna是首项为124a=，公差为 4的等差数列，故24(1)44nnann=+=，即22nnna=.5 分 若选：因为2123222(1)2nnaaaan n+=+，所以当2n 时，31231(122)22nnaannaa+=，两式作差得22nnna=，即22nnna=，又因为12a=满足上式，所以22nnna=5 分（2）1112nnanan+=，故na不增，又41a=，故当3n=或 4 时，nT最大，最大值为341011236222TT=10 分 EABCDP1818（1212 分）分）ABC的内角,A B C的对边分别为,2(2)a b cCB CAbbc=()求A；()若2bca+

34、=，求tan 2C 命题意图：本题为改编题，本题考查向量数量积、正、余弦定理的应用，旨在考查学生分析问题、解决问题的能力，以及运算求解能力 解()因为2(2)CB CAbbc=，所以2cos(2)abCbbc=，即22 cosbcaC=+，2 分 由正弦定理2sinsin2sincosBCAC=+，且2sin2sin()2sin cos2cos sinBA CACAC=+=+，4 分所以sin2cossinCAC=，且sin0C 则1cos,(0,)2AA=，所以3A=6 分（2）因为2bca+=，由正弦定理得sinsin2sinBCA+=8 分 又sinsin()sincoscossin,3

35、BACACAC A=+=+=，所以316cossinsin222CCC+=，整理可得336sincos222CC+=，即336sincos3sin2262CCC+=+=，所以2sin62C+=，所以64C+=或364C+=，即12C=或712C=，10 分 当12C=时，3tan2tan63C=；当712C=时，73tan2tan63C=综上，3tan23C=12 分 1 19 9.(12.(12 分分)如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为平行四边形，侧面PAD是边长为2的正三角形，平面PAD 平面ABCD，ABPD()求证：平行四边形ABCD为矩形；()若E为侧棱PD的中点，且平面AC

36、E与平面ABP所成角的余弦值为64，求点B到平面ACE的距离 命题意图：本题为改编题，本题考查直线和平面垂直的判定、面面垂直的性质定理，二面角的夹角的求解、以及点到面的距离的求解，旨在考查考生的空间想象能力、逻辑推理能力和运算求解能力 xyzMEABCDPMEABCDP解：()取AD中点M，连接PMPAD为正三角形，M为AD中点 PMADPADABCD面面，PADABCDAD=面面，PMPAD面，PMAD2 分 PMABCD面PMABABPM，ABPD，PMPAD面，PDPAD面，PMPDP=4 分 ABPAD面ABAD平行四边形ABCD为矩形6 分（2）以A为原点，AB为x轴，AD为y轴建立

37、坐标系，设ABt=()0,0,0A，(),0,0B t，(),2,0C t，()0,1,3P，330,22E8 分 设面ACE的法向量为()111,nx y z=00n ACn AE=，即11112033022txyyz+=+=令12x=，则1yt=，13zt=()2,3ntt=设面ABP的法向量为()222,mxyz=00m ABm AP=，即222030txyz=+=令21z=，则20 x=，23y=()0,3,1m=22 36cos,4244m ntm nm nt=+，解得1t=，10 分 面ACE的法向量为()2,1,3n=点B到平面ACE的距离2228AB nn=12 分 20.20

38、.（1212 分）分）某校有一个露天的篮球场和一个室内乒乓球馆为学生提供锻炼场所，甲、乙两位学生每天上下午都各花半小时进行体育锻炼，近 50 天天气不下雨的情况下，选择体育锻炼情况统计如下：上下午体育锻炼项目的情况（上午，下午）(,)篮球 篮球(,)篮球 乒乓球(,)乒乓球 篮球()乒乓球，乒乓球甲 20 天 15 天 5 天 10 天 乙 10 天 10 天 5 天 25 天 假设甲、乙选择上下午锻炼的项目相互独立，用频率估计概率.()分别估计一天中甲上午和下午都选择篮球的概率，以及甲上午选择篮球的条件下，下午仍旧选择篮球的概率；()记X为甲、乙在一天中选择体育锻炼项目的个数，求X的分布列和

39、数学期望()E X；()假设A表示事件“室外温度低于 10 度”，B表示事件“某学生去打乒乓球”，()0P A，一般来说在室外温度低于 10 度的情况下学生去打乒乓球的概率会比室外温度不低于 10 度的情况下去打乒乓球的概率要大，证明：(|)(|)P A BP A B.命题意图：本题为改编题，本题考查样本频率和概率、条件概率、分布列和数学期望等知识，旨在培养学生理性思维和数学应用能力 解：()设事件C为“早上甲打篮球”，事件D为“下午甲打篮球”，则20()0.450P CD=，()204(|)35(7)nnCCDP D C=.4 分()由题意知，甲上下午都选择篮球的概率为0.4，乙上下午都选择

40、篮球的概率为0.2，甲上下午都选择乒乓球的概率为0.2，乙上下午都选择乒乓球的概率为0.5，记X为甲、乙在一天中选择体育锻炼项目的个数，则X的所有 可 能 取 值 为1、2，所 以(1)0.4 0.20.2 0.50.18P X=+=，(2)1(1)0.82P XP X=.6 分 所以X的分布列为：.X1 2 P0.180.82所以()1 0.182 0.821.82E X=+=.8 分()由题知(|)(|)P B AP B A，即()()()()()1()()P ABP BAP BP ABP AP AP A=，即()()()P ABP BP A 即()()()()()()()P ABP B

41、P ABP BP AP B P AB，即()()()()P ABP BP BP AB，即()()()()P ABP ABP BP B，即(|)(|)P A BP A B.12 分 2121（1212 分）分）已知点(2,0)A，64,55B在椭圆2222:1(0)xyMabab+=上.()求椭圆M的方程;()直线l与椭圆M交于 C，D 两个不同的点（异于 A，B），过 C 作x轴的垂线分别交直线 AB，AD 于点 P，Q，当P是CQ中点时，证明直线l过定点.命题意图：本题主要考察直线和椭圆的位置关系，定点定值问题，通过将题目中的几何条件代数化考察运算求解能力，培养考生理性思维和数学探索能力 解

42、:()由题知,222216141455ab=+=,得21b=，所以椭圆M的方程为2214xy+=.4 分(II)由题意知,当lx轴时，不符合题意，故l的斜率存在，设l的方程为ykxm=+,联立2214ykxmxy=+=消去y得()222484401kxkmxm+=+,则()()()222222641614116 410k mmkkm=+=+，即2241km+设()11,C x y,()22,D xy，12284+1kmxxk+=，2122444+1mx xk=.6 分 AB 的方程为1(2)4yx=，令1xx=得112,4xP x，AD 的方程为22(2)2yyxx=，令 1xx=得11222

43、,2xQ xyx，由P是CQ中点,得111222222xxyyx=+，即12121222yyxx+=，.8 分 即()()()()()12211212122242kxmxkxmxx xxx+=+，即()1212(1 4)(422)480k x xkmxxm+=，即22416+816+160mkmkk+=（），所以(2)(2+2)0mk mk+=，.10 分 得22mk=或2mk=，当22mk=，此时由 0，得38k ，符合题意；当2mk=，此时直线l经过点A，与题意不符，舍去.所以l的方程为22ykxk=，即(2)2yk x=，所以l过定点(2,2).12 分 22.22.（1212 分）分）

44、已知函数()ln2f xxxxa=有两个零点12,x x ()证明：0ea；(II)求证：212x xe212xxe+命题意图：本题是原创题，本题的背景是指数平均不等式以及切割线放缩，考察利用导数作为工具研究函数的零点，证明不等式等，培养学生逻辑思维能力、运算求解能力和创新能力 解()由，()ln10fxx=，得到xe=，当(0,)xe时，()0fx，(,)xe+时，()0fx，所以()f x在(0,)e上单调递减，在(,)e+上单调递增，则min()()0f xf eea=，所以ae，由因为当(0,1)x时，ln0 xx，20 x，所以()ln2f xxxxaa=，若0a,即0a 时，则当(

45、0,1)x时，()0f x，此时()f x在(0,)e上不存在零点，故0ea.4 分；(II)要证明212x xe，不妨设120 xex，只要证221exx因为()f x在(,)e+上单调递增，故即证2121()()()ef xf xfx=，令2()()()eg xf xfx=，(0,)xe222222()()()=(ln1)0eexeg xfxfxxxx=+所以()g x在(0,)xe单调递增，所以()(e)0g xg=，所以1()(e)0g xg=，即212x xe，得证；8 分 再证明:212xxe+引理 1：当(0,)xe时，()f xxa ；证明：当(0,)xe时，()ln22f xxxxaxxaxa=，得证.利用引理 1:110=()f xxa，所以1xa 10 分 引理 2：2()f xxea证明：令22()()ln3h xf xxeaxxxe=+=+()ln20h xx=,2xe=,当2(0,)xe时，()0h x，2(,)xe+时，()0h x，所以()h x在2(0,)e上单调递减，在2(,)e+上单调递增，所以2()()0h xh e=利用引理 2，因为22(ln2)0 xxa=，所以22xe，可得2220=()f xxea，所以22xae+，所以由，可知212xxe+12 分