2015天津考研数学二真题及答案.pdf
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1、2 0 1 5 天 津 考 研 数 学 二 真 题 及 答 案一、选 择 题:1 8 小 题,每 小 题 4 分,共 3 2 分.下 列 每 题 给 出 的 四 个 选 项 中,只 有 一 个 选 项 符 合 题 目 要 求 的,请 将 所 选 项 前 的 字 母 填 在 答 题 纸 指 定 位 置上.(1)下 列 反 常 积 分 收 敛 的 是()(A)21dxx(B)2l n xd xx(C)21l nd xx x(D)2xxd xe【答 案】(D)【解 析】(1)xxxd x x ee,则2 22 2(1)3 l i m(1)3x xxxxd x x e e x e ee.(2)函 数
2、20s i nl i m(1)xtttf xx 在(,)内()(A)连 续(B)有 可 去 间 断 点(C)有 跳 跃 间 断 点(D)有 无 穷 间 断 点【答 案】(B)【解 析】2 20s i nl i m0s i n()l i m(1)tx t xxt x tttf x e ex,0 x,故()f x 有 可 去 间 断点 0 x.(3)设 函 数 1c o s,00,0 x xxf xx(0,0),若 f x 在0 x 处 连 续 则:()(A)0(B)0 1(C)2(D)0 2【答 案】(A)【解 析】0 x 时,0 f x 0 0 f 10 01c os 010 l i m l
3、i m c osx xxxf xx x 0 x 时,111 1 1c o s 1 s i n f x x xx x x 1 11 1c o s s i n x xx x f x 在 0 x 处 连 续 则:1010 0 l i m c o s 0 xf f xx 得1 0+1 10 01 10 l i m=l i m c o s s i n=0 x xf f x x xx x 得:1 0,答 案 选 择 A(4)设 函 数()f x 在,内 连 续,其 中 二 阶 导 数()f x 的 图 形如 图 所 示,则 曲 线()y f x 的 拐 点 的 个 数 为()(A)0(B)1(C)2(D)
4、3【答 案】(C)【解 析】根 据 图 像 观 察 存 在 两 点,二 阶 导 数 变 号.则 拐 点 个 数 为 2 个。(5)设 函 数,f u v 满 足2 2,yf x y x yx,则11uvfu与11uvfv依 次 是()(A)1,02(B)10,2(C)1,02(D)10,2【答 案】(D)【解 析】此 题 考 查 二 元 复 合 函 数 偏 导 的 求 解.令,yu x y vx,则,1 1u u vx yv v,从 而2 2(,)yf x y x yx 变为2 22(1)(,)1 1 1u u v u vf u vv v v.故222(1)2,1(1)f u v f uu v
5、 v v,因 而1 11 110,2u uv vf fu v.故 选(D).(6)设 D 是 第 一 象 限 由 曲 线 2 1 x y,4 1 x y 与 直 线 y x,3 y x 围 成 的 平 面 区 域,函 数,f x y 在 D 上 连 续,则,Df x y d x d y()(A)13 s i n 214 2 s i n 2c o s,s i n d f r r r dr(B)1s i n 2 314 2 s i n 2c o s,s i n d f r r r d r(C)13 s i n 214 2 s i n 2c o s,s i n d f r r dr(D)1s i n
6、 2 314 2 s i n 2c o s,s i n d f r r d r【答 案】(B)【解 析】根 据 图 可 得,在 极 坐 标 系 下 计 算 该 二 重 积 分 的 积 分 区 域 为1 1(,),4 3 2 s i n 2 s i n 2D r r 所 以1n 2 314 2 s i n 2(,)(c o s,s i n)s iDf x y d x d y d f r r r d r 故 选 B.(7)设 矩 阵21 1 11 21 4aa A,21dd b.若 集 合 1,2,则 线性 方 程 组 Ax b 有 无 穷 多 解 的 充 分 必 要 条 件 为:()(A),a
7、d(B),a d(C),a d(D),a d【答 案】D【解 析】2 21 1 1 1 1 1 1 1(,)1 2 0 1 1 11 4 0 0(1)(2)(1)(2)A b a d a da d a a d d,由()(,)3 r A r A b,故1 a 或2 a,同 时1 d 或2 d。故 选(D)(8)设 二 次 型 1 2 3,f x x x 在 正 交 变 换 x Py 下 的 标 准 形 为2 2 21 2 32 y y y,其 中1 2 3(,)P e e e,若1 3 2(,)Q e e e 则1 2 3(,)f x x x 在 正 交 变 换 x Qy 下 的 标 准 形
8、为:()(A)2 2 21 2 32 y y y(B)2 2 21 2 32 y y y(C)2 2 21 2 32 y y y(D)2 2 21 2 32 y y y【答 案】(A)【解 析】由x P y,故2 2 21 2 3()2T T Tf x A x y P A P y y y y.且2 0 00 1 00 0 1TP A P.1 0 00 0 10 1 0Q P P C 2 0 0()0 1 00 0 1T T TQ A Q C P A P C 所 以2 2 21 2 3()2T T Tf x A x y Q A Q y y y y。选(A)二、填 空 题:9 1 4 小 题,每
9、小 题 4 分,共 2 4 分.请 将 答 案 写 在 答 题 纸指 定 位 置 上.(9)3a r c t a n3x ty t t 则21 2 td ydx【答 案】4 8【解 析】22 223 33(1)11dydy tdttdxdxdtt 22 22 3(1)d y dtdx dx 2 222 22 3(1)1 2(1)1 2(1)11d tt td tt td xd tt 22148td ydx.(1 0)函 数2()2xf x x 在 0 x 处 的 n 阶 导 数(0)nf _ _ _ _ _ _ _ _ _【答 案】21 l n 2nn n【解 析】根 据 莱 布 尼 茨 公
10、式 得:(2)2 220(1)0 2 2 2 l n 2(1)l n 22nn nn xnxn nf C n n(1 1)设 f x 连 续,20 xx x f t d t,若 1 1,1 5,则 1 f【答 案】2【解 析】已 知20()()xx x f t d t,求 导 得22 20()()2()xx f t d t x f x,故有10(1)()1,f t d t(1)1 2(1)5,f 则(1)2 f.(1 2)设 函 数 y y x 是 微 分 方 程 2 0 y y y 的 解,且 在 0 x 处 y x 取 得 极 值 3,则 y x=。【答 案】22x xe e【解 析】由
11、题 意 知:0 3 y,0 0 y,由 特 征 方 程:22 0 解得1 21,2 所 以 微 分 方 程 的 通 解 为:21 2x xy C e C e 代 入 0 3 y,0 0 y 解 得:12 C 21 C 解 得:22x xy e e(1 3)若 函 数,Z z x y 由 方 程2 31x y ze x y z 确 定,则 0,0dz=。【答 案】1d 2 d3x y【解 析】当 0,0 x y 时 0 z,则 对 该 式 两 边 求 偏 导 可 得2 3 2 3(3)x y z x y zze x y y z ex 2 3 2 3(3)2x y z x y zze x y x
12、z ey。将(0,0,0)点 值 代 入 即 有1 2,.(0,0)(0,0)3 3z zx y 则 可 得(0,0)1 2 1|d 2 d.3 3 3d z d x d y x y(1 4)若 3 阶 矩 阵 A 的 特 征 值 为 2,2,1,2B A A E,其 中 E 为3阶 单位 阵,则 行 列 式 B.【答 案】2 1【解 析】A的 所 有 特 征 值 为2,2,1.B的 所 有 特 征 值 为3,7,1.所 以|3 7 1 2 1 B。三、解 答 题:1 5 2 3 小 题,共 9 4 分.请 将 解 答 写 在 答 题 纸 指 定 位 置 上.解 答应 写 出 文 字 说 明、
13、证 明 过 程 或 演 算 步 骤.(1 5)(本 题 满 分 1 0 分)设 函 数()l n(1)s i n f x x a x b x x,3()g x k x.若()f x 与()g x 在0 x 时 是 等 价 无 穷 小,求,a b k 的 值.【答 案】1 11,3 2a k b【解 析】方 法 一:因 为2 33l n(1)()2 3x xx x o x,33s i n()3!xx x o x,那 么,2 3 33 30 0 0(1)()()()l n(1)s i n2 31 l i m l i m l i m()x x xa aa x b x x o xf x x a x b
14、x xg x k x k x,可 得:1 00213aabak,所 以,11213abk 方 法 二:由 题 意 得30 0s i n)1 l n(l i m)()(l i m 1k xx bx x a xx gx fx x 203c os s i n11l i mk xx bx x bxax 由 分 母 0 3 l i m20k xx,得 分 子)c o s s i n11(l i m0 x b x x bxax 0)1(l i m0 ax,求 得 c;于 是)()(l i m 10 x gx fx 203c os s i n111l i mk xx bx x bxx)(x k xx x b
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