2014年江苏高考数学真题及答案.pdf

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1、2 0 1 4 年 江 苏 高 考 数 学 真 题 及 答 案一、填 空 题：本 大 题 共 1 4 小 题，每 小 题 5 分，共 计 7 0 分 请 把 答 案 填 写 在 答 题 卡 相 应 位 置 上 1.已 知 集 合 A=4,3,1,2，3,2,1 B，则 B A.2.已 知 复 数2)i 2 5(z(i 为 虚 数 单 位),则 z 的 实 部 为.3.右 图 是 一 个 算 法 流 程 图,则 输 出 的 n 的 值 是.4.从 1,2,3,6 这 4 个 数 中 一 次 随 机 地 取 2 个 数,则 所 取 2 个 数 的 乘 积 为 6 的 概 率 是.5.已 知 函 数

2、 x y c o s 与)2 s i n(x y(0),z x x k 它 们 的 图 象 有 一 个 横 坐 标 为3的交 点,则 的 值 是.6.设 抽 测 的 树 木 的 底 部 周 长 均 在 区 间 8 0,1 3 0 上,其 频 率 分 布 直 方 图 如 图 所 示,则 在 抽 测的 6 0 株 树 木 中,有 株 树 木 的 底 部 周 长 小 于 1 0 0 c m.7.在 各 项 均 为 正 数 的 等 比 数 列 na中,12 a4 6 82 a a a,则6a 的 值 是.8.设 甲、乙 两 个 圆 柱 的 底 面 分 别 为1S，2S，体 积 分 别 为1V，2V，若

3、 它 们 的 侧 面 积 相 等，且4921SS，则21VV的 值 是.9.在 平 面 直 角 坐 标 系 x O y 中,直 线 0 3 2 y x 被 圆 4)1()2(2 2 y x 截 得 的 弦 长 为.1 0.已 知 函 数,1)(2 m x x x f 若 对 于 任 意 1,m m x,都 有 0)(x f 成 立,则 实 数 m 的取 值 范 围 是.1 1.在 平 面 直 角 坐 标 系 x O y 中，若 曲 线xba x y 2(a，b 为 常 数)z x x k 过 点)5,2(P，且 该曲 线 在 点 P 处 的 切 线 与 直 线 0 3 2 7 y x 平 行，

4、则 b a 的 值 是.1 2.如 图，在 平 行 四 边 形 A B C D 中，已 知 8 A B，5 A D，P D C P 3，2 B P A P，则 A D A B 的 值 是.1 3.已 知)(x f 是 定 义 在 R 上 且 周 期 为 3 的 函 数,当开 始0 n 1 n n2 0 2 n输 出 n 结 束（第 3 题）N Y组 距频 率 1 0 0 8 0 9 0 1 1 0 1 2 0 1 3 0 0.0 1 0 0.0 1 5 0.0 2 0 0.0 2 5 0.0 3 0 底部周长/c m（第 6 题）A B D C P（第 1 2 题）)3,0 x 时,|212|

5、)(2 x x x f.若 函 数 a x f y)(在 区 间 4,3 上 有 1 0 个 零 点(互 不相 同),则 实 数 a 的 取 值 范 围 是.1 4.若 A B C 的 内 角 满 足 C B A s i n 2 s i n 2 s i n,则 C c o s 的 最 小 值 是.二、解 答 题：本 大 题 共 6 小 题，共 计 9 0 分 请 在 答 题 卡 指 定 区 域 内 作 答，学 科 网 解 答 时 应 写 出文 字 说 明、证 明 过 程 或 演 算 步 骤 1 5.(本 小 题 满 分 1 4 分)已 知),2(,55s i n.(1)求)4s i n(的 值

6、；(2)求)265c o s(的 值.1 6.(本 小 题 满 分 1 4 分)如 图，在 三 棱 锥 A B C P 中，D，E，F 分 z x x k 别 为 棱 A B A C P C,的 中 点.已 知A C P A,6 P A.5,8 D F B C求 证:(1)直 线/P A 平 面 D E F；(2)平 面 B D E 平 面 A B C.1 7.(本 小 题 满 分 1 4 分)如 图,在 平 面 直 角 坐 标 系 x O y 中,2 1,F F 分 别 是 椭 圆)0(12322 b abyax的 左、右 焦 点，顶 点 B 的 坐 标 为),0(b，连 结2B F 并 延

7、 长 交 椭 圆 于 点 A，过 点 A 作 x 轴 的 垂 线 交 椭 圆 于 另一 点 C，连 结 C F1.(1)若 点 C 的 坐 标 为)31,34(,且 22 B F,求 椭 圆 的 方程；(2)若,1A B C F 求 椭 圆 离 心 率 e 的 值.1 8.(本 小 题 满 分 1 6 分)如 图,为 了 保 护 河 上 古 桥 O A,规 划 建 一 座 新 桥 B C,同 时 设 立 一 个 圆 形 学 科 网 保 护 区.规划 要 求:新 桥 B C 与 河 岸 A B 垂 直;保 护 区 的 边 界 为 圆 心 M 在 线 段 O A 上 并 与 B C 相 切 的 圆

8、.且 古 桥 两 端 O 和 A 到 该 圆 上 任 意 一 点 的 距 离 均 不 少 于 8 0 m.经 测 量，点 A 位 于 点 O 正 北方 向 6 0 m 处,点 C 位 于 点 O 正 东 方 向 1 7 0 m 处(O C 为 河 岸),34t a n B C O.(1)求 新 桥 B C 的 长；(2)当 O M 多 长 时,圆 形 保 护 区 的 面 积最 大？1 7 0 m 6 0 m 东 北 O A B M C（第 1 8 题）F 1 F 2 O x y B C A(第 1 7 题)1 9.(本 小 题 满 分 1 6 分)已 知 函 数x xx f e e)(,其 中

9、 e 是 自 然 对 数 的 底 数.(1)证 明:)(x f 是 R 上 的 偶 函 数；(2)若 关 于 x 的 不 等 式)(x m f 1 e mx在),0(上 恒 成 立，学 科 网 求 实 数 m 的 取 值 范围；(3)已 知 正 数 a 满 足：存 在),1 0 x，使 得)3()(030 0 x x a x f 成 立.试 比 较1e a与1 e a的 大 小，并 证 明 你 的 结 论.2 0.(本 小 题 满 分 1 6 分)设 数 列 na 的 前 n 项 和 为nS.若 对 任 意 正 整 数 n，学 科 网 总 存 在 正 整 数 m，使 得m na S，则 称 n

10、a 是“H 数 列”.(1)若 数 列 na 的 前 n 项 和nnS 2(n N),证 明:na 是“H 数 列”;(2)设 na 是 等 差 数 列,其 首 项 11 a,公 差 0 d.若 na 是“H 数 列”,求 d 的 值；(3)证 明：对 任 意 的 等 差 数 列 na，总 存 在 两 个“H 数 列”nb 和 nc，使 得n n nc b a(n N)成 立.2 0 1 4 年 江 苏 省 高 考 数 学 试 卷参 考 答 案 与 试 题 解 析一、填 空 题（本 大 题 共 1 4 小 题，每 小 题 5 分，共 计 7 0 分）1（5 分）（2 0 1 4 江 苏）已 知

11、 集 合 A=2，1，3，4，B=1，2，3，则 A B=1，3 考 点：交 集 及 其 运 算 菁 优 网 版 权 所 有专 题：集 合 分 析：根 据 集 合 的 基 本 运 算 即 可 得 到 结 论 解 答：解：A=2，1，3，4，B=1，2，3，A B=1，3，故 答 案 为：1，3 点 评：本 题 主 要 考 查 集 合 的 基 本 运 算，比 较 基 础 2（5 分）（2 0 1 4 江 苏）已 知 复 数 z=（5+2 i）2（i 为 虚 数 单 位），则 z 的 实 部 为 2 1 考 点：复 数 的 基 本 概 念；复 数 代 数 形 式 的 乘 除 运 算 菁 优 网 版

12、 权 所 有专 题：数 系 的 扩 充 和 复 数 分 析：根 据 复 数 的 有 关 概 念，即 可 得 到 结 论 解 答：解：z=（5+2 i）2=2 5+2 0 i+4 i2=2 5 4+2 0 i=2 1+2 0 i，故 z 的 实 部 为 2 1，故 答 案 为：2 1点 评：本 题 主 要 考 查 复 数 的 有 关 概 念，利 用 复 数 的 基 本 运 算 是 解 决 本 题 的 关 键，比 较 基 础 3（5 分）（2 0 1 4 江 苏）如 图 是 一 个 算 法 流 程 图，则 输 出 的 n 的 值 是 5 考 点：程 序 框 图 菁 优 网 版 权 所 有专 题：算

13、 法 和 程 序 框 图 分 析：算 法 的 功 能 是 求 满 足 2n 2 0 的 最 小 的 正 整 数 n 的 值，代 入 正 整 数 n 验 证 可 得 答 案 解 答：解：由 程 序 框 图 知：算 法 的 功 能 是 求 满 足 2n 2 0 的 最 小 的 正 整 数 n 的 值，24=1 6 2 0，25=3 2 2 0，输 出 n=5 故 答 案 为：5 点 评：本 题 考 查 了 直 到 型 循 环 结 构 的 程 序 框 图，根 据 框 图 的 流 程 判 断 算 法 的 功 能 是 解 题 的 关键 4（5 分）（2 0 1 4 江 苏）从 1，2，3，6 这 4 个

14、 数 中 一 次 随 机 抽 取 2 个 数，则 所 取 2 个 数 的乘 积 为 6 的 概 率 是 考 点：古 典 概 型 及 其 概 率 计 算 公 式 菁 优 网 版 权 所 有专 题：概 率 与 统 计 分 析：首 先 列 举 并 求 出“从 1，2，3，6 这 4 个 数 中 一 次 随 机 抽 取 2 个 数”的 基 本 事 件 的 个数 再 从 中 找 到 满 足“所 取 2 个 数 的 乘 积 为 6”的 事 件 的 个 数，利 用 概 率 公 式 计 算 即 可 解 答：解：从 1，2，3，6 这 4 个 数 中 一 次 随 机 抽 取 2 个 数 的 所 有 基 本 事

15、件 有（1，2），（1，3），（1，6），（2，3），（2，6），（3，6）共 6 个，所 取 2 个 数 的 乘 积 为 6 的 基 本 事 件 有（1，6），（2，3）共 2 个，故 所 求 概 率 P=故 答 案 为：点 评：本 题 主 要 考 查 了 古 典 概 型 的 概 率 公 式 的 应 用，关 键 是 一 一 列 举 出 所 有 的 基 本 事 件 5（5 分）（2 0 1 4 江 苏）已 知 函 数 y=c o s x 与 y=s i n（2 x+）（0），它 们 的 图 象 有 一个 横 坐 标 为 的 交 点，则 的 值 是 考 点：三 角 方 程；函 数 的 零 点 菁

16、 优 网 版 权 所 有专 题：三 角 函 数 的 求 值；三 角 函 数 的 图 像 与 性 质 分 析：由 于 函 数 y=c o s x 与 y=s i n（2 x+），它 们 的 图 象 有 一 个 横 坐 标 为 的 交 点，可 得=根 据 的 范 围 和 正 弦 函 数 的 单 调 性 即 可 得 出 解 答：解：函 数 y=c o s x 与 y=s i n（2 x+），它 们 的 图 象 有 一 个 横 坐 标 为 的 交 点，=0，+=，解 得=故 答 案 为：点 评：本 题 考 查 了 三 角 函 数 的 图 象 与 性 质、三 角 函 数 求 值，属 于 基 础 题 6（

17、5 分）（2 0 1 4 江 苏）为 了 了 解 一 片 经 济 林 的 生 长 情 况，随 机 抽 测 了 其 中 6 0 株 树 木 的 底部 周 长（单 位：c m），所 得 数 据 均 在 区 间 8 0，1 3 0 上，其 频 率 分 布 直 方 图 如 图 所 示，则 在 抽测 的 6 0 株 树 木 中，有 2 4 株 树 木 的 底 部 周 长 小 于 1 0 0 c m 考 点：频 率 分 布 直 方 图 菁 优 网 版 权 所 有专 题：概 率 与 统 计 分 析：根 据 频 率=小 矩 形 的 面 积=小 矩 形 的 高 组 距 底 部 求 出 周 长 小 于 1 0 0

18、 c m 的 频 率，再 根 据频 数=样 本 容 量 频 率 求 出 底 部 周 长 小 于 1 0 0 c m 的 频 数 解 答：解：由 频 率 分 布 直 方 图 知：底 部 周 长 小 于 1 0 0 c m 的 频 率 为（0.0 1 5+0.0 2 5）1 0=0.4，底 部 周 长 小 于 1 0 0 c m 的 频 数 为 6 0 0.4=2 4（株）故 答 案 为：2 4 点 评：本 题 考 查 了 频 率 分 布 直 方 图，在 频 率 分 布 直 方 图 中 频 率=小 矩 形 的 面 积=小 矩 形 的 高 组 距=7（5 分）（2 0 1 4 江 苏）在 各 项 均

19、 为 正 数 的 等 比 数 列 an 中，若 a2=1，a8=a6+2 a4，则 a6的 值是 4 考 点：等 比 数 列 的 通 项 公 式 菁 优 网 版 权 所 有专 题：等 差 数 列 与 等 比 数 列 分 析：利 用 等 比 数 列 的 通 项 公 式 即 可 得 出 解 答：解：设 等 比 数 列 an 的 公 比 为 q 0，a1 0 a8=a6+2 a4，化 为 q4 q2 2=0，解 得 q2=2 a6=1 22=4 故 答 案 为：4 点 评：本 题 考 查 了 等 比 数 列 的 通 项 公 式，属 于 基 础 题 8（5 分）（2 0 1 4 江 苏）设 甲、乙 两

20、 个 圆 柱 的 底 面 积 分 别 为 S1，S2，体 积 分 别 为 V1，V2，若它 们 的 侧 面 积 相 等，且=，则 的 值 是 考 点：棱 柱、棱 锥、棱 台 的 体 积；旋 转 体（圆 柱、圆 锥、圆 台）菁 优 网 版 权 所 有专 题：立 体 几 何 分 析：设 出 两 个 圆 柱 的 底 面 半 径 与 高，通 过 侧 面 积 相 等，推 出 高 的 比，然 后 求 解 体 积 的 比 解 答：解：设 两 个 圆 柱 的 底 面 半 径 分 别 为 R，r；高 分 别 为 H，h；=，它 们 的 侧 面 积 相 等，=故 答 案 为：点 评：本 题 考 查 柱 体 体 积

21、 公 式 以 及 侧 面 积 公 式 的 直 接 应 用，是 基 础 题 目 9（5 分）（2 0 1 4 江 苏）在 平 面 直 角 坐 标 系 x O y 中，直 线 x+2 y 3=0 被 圆（x 2）2+（y+1）2=4 截 得 的 弦 长 为 考 点：直 线 与 圆 的 位 置 关 系 菁 优 网 版 权 所 有专 题：直 线 与 圆 分 析：求 出 已 知 圆 的 圆 心 为 C（2，1），半 径 r=2 利 用 点 到 直 线 的 距 离 公 式，算 出 点 C 到直 线 直 线 l 的 距 离 d，由 垂 径 定 理 加 以 计 算，可 得 直 线 x+2 y 3=0 被 圆

22、截 得 的 弦 长 解 答：解：圆（x 2）2+（y+1）2=4 的 圆 心 为 C（2，1），半 径 r=2，点 C 到 直 线 直 线 x+2 y 3=0 的 距 离 d=，根 据 垂 径 定 理，得 直 线 x+2 y 3=0 被 圆（x 2）2+（y+1）2=4 截 得 的 弦 长 为2=2=故 答 案 为：点 评：本 题 给 出 直 线 与 圆 的 方 程，求 直 线 被 圆 截 得 的 弦 长，着 重 考 查 点 到 直 线 的 距 离 公 式、圆 的 方 程 和 直 线 与 圆 的 位 置 关 系 等 知 识，属 于 基 础 题 1 0（5 分）（2 0 1 4 江 苏）已 知

23、函 数 f（x）=x2+m x 1，若 对 于 任 意 x m，m+1，都 有 f（x）0 成 立，则 实 数 m 的 取 值 范 围 是（，0）考 点：二 次 函 数 的 性 质 菁 优 网 版 权 所 有专 题：函 数 的 性 质 及 应 用 分 析：由 条 件 利 用 二 次 函 数 的 性 质 可 得，由 此求 得 m 的 范 围 解 答：解：二 次 函 数 f（x）=x2+m x 1 的 图 象 开 口 向 上，对 于 任 意 x m，m+1，都 有 f（x）0 成 立，即，解 得 m 0，故 答 案 为：（，0）点 评：本 题 主 要 考 查 二 次 函 数 的 性 质 应 用，体

24、 现 了 转 化 的 数 学 思 想，属 于 基 础 题 1 1（5 分）（2 0 1 4 江 苏）在 平 面 直 角 坐 标 系 x O y 中，若 曲 线 y=a x2+（a，b 为 常 数）过 点 P（2，5），且 该 曲 线 在 点 P 处 的 切 线 与 直 线 7 x+2 y+3=0 平 行，则 a+b 的 值 是 3 考 点：利 用 导 数 研 究 曲 线 上 某 点 切 线 方 程 菁 优 网 版 权 所 有专 题：导 数 的 概 念 及 应 用 分 析：由 曲 线 y=a x2+（a，b 为 常 数）过 点 P（2，5），且 该 曲 线 在 点 P 处 的 切 线 与 直 线

25、7 x+2 y+3=0 平 行，可 得 y|x=2=5，且 y|x=2=，解 方 程 可 得 答 案 解 答：解：直 线 7 x+2 y+3=0 的 斜 率 k=，曲 线 y=a x2+（a，b 为 常 数）过 点 P（2，5），且 该 曲 线 在 点 P 处 的 切 线 与 直 线 7 x+2 y+3=0平 行，y=2 a x，解 得：，故 a+b=3，故 答 案 为：3点 评：本 题 考 查 的 知 识 点 是 利 用 导 数 研 究 曲 线 上 某 点 切 线 方 程，其 中 根 据 已 知 得 到 y|x=2=5，且 y|x=2=，是 解 答 的 关 键 1 2（5 分）（2 0 1

26、4 江 苏）如 图，在 平 行 四 边 形 A B C D 中，已 知 A B=8，A D=5，=3，=2，则 的 值 是 2 2 考 点：向 量 在 几 何 中 的 应 用；平 面 向 量 数 量 积 的 运 算 菁 优 网 版 权 所 有专 题：平 面 向 量 及 应 用 分 析：由=3，可 得=+，=，进 而 由 A B=8，A D=5，=3，=2，构 造 方 程，进 而 可 得 答 案 解 答：解：=3，=+，=，又 A B=8，A D=5，=（+）（）=|2|2=2 5 1 2=2，故=2 2，故 答 案 为：2 2 点 评：本 题 考 查 的 知 识 点 是 向 量 在 几 何 中

27、 的 应 用，平 面 向 量 数 量 积 的 运 算，其 中 根 据 已 知 得到=+，=，是 解 答 的 关 键 1 3（5 分）（2 0 1 4 江 苏）已 知 f（x）是 定 义 在 R 上 且 周 期 为 3 的 函 数，当 x 0，3）时，f（x）=|x2 2 x+|，若 函 数 y=f（x）a 在 区 间 3，4 上 有 1 0 个 零 点（互 不 相 同），则实 数 a 的 取 值 范 围 是（0，）考 点：根 的 存 在 性 及 根 的 个 数 判 断 菁 优 网 版 权 所 有专 题：函 数 的 性 质 及 应 用 分 析：在 同 一 坐 标 系 中 画 出 函 数 的 图

28、象 与 直 线 y=a 的 图 象，利 用 数 形 结 合 判 断 a 的 范 围 即 可 解 答：解：f（x）是 定 义 在 R 上 且 周 期 为 3 的 函 数，当 x 0，3）时，f（x）=|x2 2 x+|，若 函 数 y=f（x）a 在 区 间 3，4 上 有 1 0 个 零 点（互 不 相 同），在 同 一 坐 标 系 中 画出 函 数 f（x）与 y=a 的 图 象 如 图：由 图 象 可 知 故 答 案 为：（0，）点 评：本 题 考 查 函 数 的 图 象 以 函 数 的 零 点 的 求 法，数 形 结 合 的 应 用 1 4（5 分）（2 0 1 4 江 苏）若 A B

29、C 的 内 角 满 足 s i n A+s i n B=2 s i n C，则 c o s C 的 最 小 值 是考 点：余 弦 定 理；正 弦 定 理 菁 优 网 版 权 所 有专 题：三 角 函 数 的 图 像 与 性 质；解 三 角 形 分 析：根 据 正 弦 定 理 和 余 弦 定 理，利 用 基 本 不 等 式 即 可 得 到 结 论 解 答：解：由 正 弦 定 理 得 a+b=2 c，得 c=（a+b），由 余 弦 定 理 得 c o s C=，当 且 仅 当 时，取 等 号，故 c o s C 1，故 c o s C 的 最 小 值 是 故 答 案 为：点 评：本 题 主 要 考

30、 查 正 弦 定 理 和 余 弦 定 理 的 应 用，利 用 基 本 不 等 式 是 解 决 本 题 的 关 键 二、解 答 题（本 大 题 共 6 小 题，共 计 9 0 分）1 5（1 4 分）（2 0 1 4 江 苏）已 知（，），s i n=（1）求 s i n（+）的 值；（2）求 c o s（2）的 值 考 点：两 角 和 与 差 的 正 弦 函 数；两 角 和 与 差 的 余 弦 函 数 菁 优 网 版 权 所 有专 题：三 角 函 数 的 求 值；三 角 函 数 的 图 像 与 性 质 分 析：（1）通 过 已 知 条 件 求 出 c o s，然 后 利 用 两 角 和 的 正

31、 弦 函 数 求 s i n（+）的 值；（2）求 出 c o s 2，然 后 利 用 两 角 差 的 余 弦 函 数 求 c o s（2）的 值 解 答：解：（，），s i n=c o s=（1）s i n（+）=s i n c o s+c o s s i n=；s i n（+）的 值 为：（2）（，），s i n=c o s 2=1 2 s i n2=，s i n 2=2 s i n c o s=c o s（2）=c o s c o s 2+s i n s i n 2=c o s（2）的 值 为：点 评：本 题 考 查 两 角 和 与 差 的 三 角 函 数，三 角 函 数 的 基 本 关

32、 系 式 的 应 用，考 查 计 算 能 力 1 6（1 4 分）（2 0 1 4 江 苏）如 图，在 三 棱 锥 P A B C 中，D，E，F 分 别 为 棱 P C，A C，A B 的 中点，已 知 P A A C，P A=6，B C=8，D F=5 求 证：（1）直 线 P A 平 面 D E F；（2）平 面 B D E 平 面 A B C 考 点：平 面 与 平 面 垂 直 的 判 定；直 线 与 平 面 垂 直 的 判 定 菁 优 网 版 权 所 有专 题：空 间 位 置 关 系 与 距 离；空 间 角；立 体 几 何 分 析：（1）由 D、E 为 P C、A C 的 中 点，得

33、 出 D E P A，从 而 得 出 P A 平 面 D E F；（2）要 证 平 面 B D E 平 面 A B C，只 需 证 D E 平 面 A B C，即 证 D E E F，且 D E A C 即 可 解 答：证 明：（1）D、E 为 P C、A C 的 中 点，D E P A，又 P A 平 面 D E F，D E 平 面 D E F，P A 平 面 D E F；（2）D、E 为 P C、A C 的 中 点，D E=P A=3；又 E、F 为 A C、A B 的 中 点，E F=B C=4；D E2+E F2=D F2，D E F=9 0，D E E F；D E P A，P A A

34、 C，D E A C；A C E F=E，D E 平 面 A B C；D E 平 面 B D E，平 面 B D E 平 面 A B C 点 评：本 题 考 查 了 空 间 中 的 平 行 与 垂 直 问 题，解 题 时 应 明 确 空 间 中 的 线 线、线 面、面 面 之 间的 垂 直 与 平 行 的 互 相 转 化 关 系，是 基 础 题 目 1 7（1 4 分）（2 0 1 4 江 苏）如 图，在 平 面 直 角 坐 标 系 x O y 中，F1，F2分 别 为 椭 圆+=1（a b 0）的 左、右 焦 点，顶 点 B 的 坐 标 为（0，b），连 接 B F2并 延 长 交 椭 圆

35、于 点 A，过 点 A 作x 轴 的 垂 线 交 椭 圆 于 另 一 点 C，连 接 F1C（1）若 点 C 的 坐 标 为（，），且 B F2=，求 椭 圆 的 方 程；（2）若 F1C A B，求 椭 圆 离 心 率 e 的 值 考 点：椭 圆 的 简 单 性 质；椭 圆 的 标 准 方 程 菁 优 网 版 权 所 有专 题：圆 锥 曲 线 的 定 义、性 质 与 方 程 分 析：（1）根 据 椭 圆 的 定 义，建 立 方 程 关 系 即 可 求 出 a，b 的 值（2）求 出 C 的 坐 标，利 用 F1C A B 建 立 斜 率 之 间 的 关 系，解 方 程 即 可 求 出 e 的

36、 值 解 答：解：（1）C 的 坐 标 为（，），即，a2=（）2=2，即 b2=1，则 椭 圆 的 方 程 为+y2=1（2）设 F1（c，0），F2（c，0），B（0，b），直 线 B F2：y=x+b，代 入 椭 圆 方 程+=1（a b 0）得（）x2=0，解 得 x=0，或 x=，A（，），且 A，C 关 于 x 轴 对 称，C（，），则=，F1C A B，（）=1，由 b2=a2 c2得，即 e=点 评：本 题 主 要 考 查 圆 锥 曲 线 的 综 合 问 题，要 求 熟 练 掌 握 椭 圆 方 程 的 求 法 以 及 直 线 垂 直 和 斜率 之 间 的 关 系，运 算 量 较

37、 大 1 8（1 6 分）（2 0 1 4 江 苏）如 图，为 保 护 河 上 古 桥 O A，规 划 建 一 座 新 桥 B C，同 时 设 立 一 个圆 形 保 护 区，规 划 要 求：新 桥 B C 与 河 岸 A B 垂 直；保 护 区 的 边 界 为 圆 心 M 在 线 段 O A 上 并 与B C 相 切 的 圆，且 古 桥 两 端 O 和 A 到 该 圆 上 任 意 一 点 的 距 离 均 不 少 于 8 0 m，经 测 量，点 A 位 于点 O 正 北 方 向 6 0 m 处，点 C 位 于 点 O 正 东 方 向 1 7 0 m 处（O C 为 河 岸），t a n B C

38、O=（1）求 新 桥 B C 的 长；（2）当 O M 多 长 时，圆 形 保 护 区 的 面 积 最 大？考 点：圆 的 切 线 方 程；直 线 与 圆 的 位 置 关 系 菁 优 网 版 权 所 有专 题：直 线 与 圆 分 析：（1）在 四 边 形 A O C B 中，过 B 作 B E O C 于 E，过 A 作 A F B E 于 F，设 出 A F，然 后 通过 解 直 角 三 角 形 列 式 求 解 B E，进 一 步 得 到 C E，然 后 由 勾 股 定 理 得 答 案；（2）设 B C 与 M 切 于 Q，延 长 Q M、C O 交 于 P，设 O M=x m，把 P C、

39、P Q 用 含 有 x 的 代 数式 表 示，再 结 合 古 桥 两 端 O 和 A 到 该 圆 上 任 意 一 点 的 距 离 均 不 少 于 8 0 m 列 式 求 得 x 的范 围，得 到 x 取 最 小 值 时 圆 的 半 径 最 大，即 圆 形 保 护 区 的 面 积 最 大 解 答：解：（1）如 图，过 B 作 B E O C 于 E，过 A 作 A F B E 于 F，A B C=9 0，B E C=9 0，A B F=B C E，设 A F=4 x（m），则 B F=3 x（m）A O E=A F E=O E F=9 0，O E=A F=4 x（m），E F=A O=6 0（m

40、），B E=（3 x+6 0）m，C E=（m）（m），解 得：x=2 0 B E=1 2 0 m，C E=9 0 m，则 B C=1 5 0 m；（2）如 图，设 B C 与 M 切 于 Q，延 长 Q M、C O 交 于 P，P O M=P Q C=9 0，P M O=B C O 设 O M=x m，则 O P=m，P M=m P C=m，P Q=m 设 M 半 径 为 R，R=M Q=m=m A、O 到 M 上 任 一 点 距 离 不 少 于 8 0 m，则 R A M 8 0，R O M 8 0，1 3 6（6 0 x）8 0，1 3 6 x 8 0 解 得：1 0 x 3 5 当 且

41、 仅 当 x=1 0 时 R 取 到 最 大 值 O M=1 0 m 时，保 护 区 面 积 最 大 点 评：本 题 考 查 圆 的 切 线，考 查 了 直 线 与 圆 的 位 置 关 系，解 答 的 关 键 在 于 对 题 意 的 理 解，是中 档 题 1 9（1 6 分）（2 0 1 4 江 苏）已 知 函 数 f（x）=ex+e x，其 中 e 是 自 然 对 数 的 底 数（1）证 明：f（x）是 R 上 的 偶 函 数；（2）若 关 于 x 的 不 等 式 m f（x）e x+m 1 在（0，+）上 恒 成 立，求 实 数 m 的 取 值 范 围；（3）已 知 正 数 a 满 足：存

42、 在 x0 1，+），使 得 f（x0）a（x03+3 x0）成 立，试 比 较 ea 1与 ae 1的 大 小，并 证 明 你 的 结 论 考 点：利 用 导 数 求 闭 区 间 上 函 数 的 最 值 菁 优 网 版 权 所 有专 题：导 数 的 综 合 应 用 分 析：（1）根 据 函 数 奇 偶 性 的 定 义 即 可 证 明 f（x）是 R 上 的 偶 函 数；（2）利 用 参 数 分 离 法，将 不 等 式 m f（x）e x+m 1 在（0，+）上 恒 成 立，进 行 转化 求 最 值 问 题 即 可 求 实 数 m 的 取 值 范 围；（3）构 u 造 函 数，利 用 函 数

43、的 单 调 性，最 值 与 单 调 性 之 间 的 关 系，分 别 进 行 讨 论 即可 得 到 结 论 解 答：解：（1）f（x）=ex+e x，f（x）=e x+ex=f（x），即 函 数：f（x）是 R 上 的 偶 函 数；（2）若 关 于 x 的 不 等 式 m f（x）e x+m 1 在（0，+）上 恒 成 立，即 m（ex+e x 1）e x 1，x 0，ex+e x 1 0，即 m 在（0，+）上 恒 成 立，设 t=ex，（t 1），则 m 在（1，+）上 恒 成 立，=，当 且 仅 当 t=2时 等 号 成 立，m（3）令 g（x）=ex+e x a（x3+3 x），则 g（

44、x）=ex e x+3 a（x2 1），当 x 1，g（x）0，即 函 数 g（x）在 1，+）上 单 调 递 增，故 此 时 g（x）的 最 小 值 g（1）=e+2 a，由 于 存 在 x0 1，+），使 得 f（x0）a（x03+3 x0）成 立，故 e+2 a 0，即 a（e+），令 h（x）=x（e 1）l n x 1，则 h（x）=1，由 h（x）=1=0，解 得 x=e 1，当 0 x e 1 时，h（x）0，此 时 函 数 单 调 递 减，当 x e 1 时，h（x）0，此 时 函 数 单 调 递 增，h（x）在（0，+）上 的 最 小 值 为 h（e 1），注 意 到 h（1

45、）=h（e）=0，当 x（1，e 1）（0，e 1）时，h（e 1）h（x）h（1）=0，当 x（e 1，e）（e 1，+）时，h（x）h（e）=0，h（x）0，对 任 意 的 x（1，e）成 立 a（e+），e）（1，e）时，h（a）0，即 a 1（e 1）l n a，从 而 ea 1 ae 1，当 a=e 时，ae 1=ea 1，当 a（e，+）（e 1，+）时，当 a e 1 时，h（a）h（e）=0，即 a 1（e 1）l n a，从 而 ea 1 ae 1点 评：本 题 主 要 考 查 函 数 奇 偶 性 的 判 定，函 数 单 调 性 和 最 值 的 应 用，利 用 导 数 是 解

46、 决 本 题 的关 键，综 合 性 较 强，运 算 量 较 大 2 0（1 6 分）（2 0 1 4 江 苏）设 数 列 an 的 前 n 项 和 为 Sn，若 对 任 意 的 正 整 数 n，总 存 在 正 整数 m，使 得 Sn=am，则 称 an 是“H 数 列”（1）若 数 列 an 的 前 n 项 和 为 Sn=2n（n N*），证 明：an 是“H 数 列”；（2）设 an 是 等 差 数 列，其 首 项 a1=1，公 差 d 0，若 an 是“H 数 列”，求 d 的 值；（3）证 明：对 任 意 的 等 差 数 列 an，总 存 在 两 个“H 数 列”bn 和 cn，使 得

47、an=bn+cn（n N*）成 立 考 点：数 列 的 应 用；等 差 数 列 的 性 质 菁 优 网 版 权 所 有专 题：等 差 数 列 与 等 比 数 列 分 析：（1）利 用“当 n 2 时，an=Sn Sn 1，当 n=1 时，a1=S1”即 可 得 到 an，再 利 用“H”数列 的 意 义 即 可 得 出（2）利 用 等 差 数 列 的 前 n 项 和 即 可 得 出 Sn，对 n N*，m N*使 Sn=am，取 n=2 和 根据 d 0 即 可 得 出；（3）设 an 的 公 差 为 d，构 造 数 列：bn=a1（n 1）a1=（2 n）a1，cn=（n 1）（a1+d），

48、可 证 明 bn 和 cn 是 等 差 数 列 再 利 用 等 差 数 列 的 前 n 项 和 公 式 及 其 通 项 公 式、“H”的 意 义 即 可 得 出 解 答：解：（1）当 n 2 时，an=Sn Sn 1=2n 2n 1=2n 1，当 n=1 时，a1=S1=2 当 n=1 时，S1=a1当 n 2 时，Sn=an+1 数 列 an 是“H”数 列（2）Sn=，对 n N*，m N*使 Sn=am，即，取 n=2 时，得 1+d=（m 1）d，解 得，d 0，m 2，又 m N*，m=1，d=1（3）设 an 的 公 差 为 d，令 bn=a1（n 1）a1=（2 n）a1，对 n

49、 N*，bn+1 bn=a1，cn=（n 1）（a1+d），对 n N*，cn+1 cn=a1+d，则 bn+cn=a1+（n 1）d=an，且 数 列 bn 和 cn 是 等 差 数 列 数 列 bn 的 前 n 项 和 Tn=，令 Tn=（2 m）a1，则 当 n=1 时，m=1；当 n=2 时，m=1 当 n 3 时，由 于 n 与 n 3 的 奇 偶 性 不 同，即 n（n 3）为 非 负 偶 数，m N*因 此 对 n N*，都 可 找 到 m N*，使 Tn=bm成 立，即 bn 为 H 数 列 数 列 cn 的 前 n 项 和 Rn=，令 cm=（m 1）（a1+d）=Rn，则

50、m=对 n N*，n（n 3）为 非 负 偶 数，m N*因 此 对 n N*，都 可 找 到 m N*，使 Rn=cm成 立，即 cn 为 H 数 列 因 此 命 题 得 证 点 评：本 题 考 查 了 利 用“当 n 2 时，an=Sn Sn 1，当 n=1 时，a1=S1”求 an、等 差 数 列 的 前 n项 和 公 式 及 其 通 项 公 式、新 定 义“H”的 意 义 等 基 础 知 识 与 基 本 技 能 方 法，考 查 了 推理 能 力 和 计 算 能 力、构 造 法，属 于 难 题 三、附 加 题（本 大 题 包 括 选 做 题 和 必 做 题 两 部 分）（一）选 择 题（