2015年内蒙古高考文科数学真题及答案.pdf

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1、-1-2 0 1 5 年 内 蒙 古 高 考 文 科 数 学 真 题 及 答 案第 一 卷一、选 择 题：本 大 题 共 1 2 小 题，每 小 题 5 分，在 每 小 题 给 出 的 四 个 选 项 中，只 有 一 项 是 符合 题 目 要 求 的。（1）已 知 集 合 A=B A x x B x x 则,3 0,2 1A.(-1，3)B.(-1，0)C.(0，2)D.(2，3)(2)若 a 实 数，且 a iiai则,312A.-4 B.-3 C.3 D.4(3)根 据 下 面 给 出 的 2 0 0 4 年 至 2 0 1 3 年 我 国 二 氧 化 碳 年 排 放 量（单 位：万 吨）

2、柱 形 图，以 下结 论 中 不 正 确 的 是2 7 0 02 6 0 02 5 0 02 4 0 02 3 0 02 2 0 02 1 0 02 0 0 01 9 0 02 0 1 3(年)2 0 1 22 0 1 12 0 1 02 0 0 92 0 0 82 0 0 72 0 0 62 0 0 52 0 0 4A.逐 年 比 较，2 0 0 8 年 减 少 二 氧 化 碳 排 放 量 的 效 果 最 显 著；B.2 0 0 7 年 我 国 治 理 二 氧 化 碳 排 放 显 现 成 效；C.2 0 0 6 年 以 来 我 国 二 氧 化 碳 排 放 量 呈 减 少 趋 势；D.2 0

3、0 6 年 以 来 我 国 二 氧 化 碳 年 排 放 量 与 年 份 正 相 关。（4）已 知 向 量 a b a b a）则（2),2,1(),1,0(A.-1 B.0 C.1 D.2(5)设 项和，的前 是等差数列 n a Sn n若 5 5 3 1,3 S a a a 则A.5 B.7 C.9 D.1 1(6)一 个 正 方 体 被 一 个 平 面 截 去 一 部 分 后，剩 余 部 分 的 三 视 图 如 右 图，则 截 去 部 分 体 积 与 剩余 部 分 体 积 的 比 值 为A.81B.71C.61D.51(7)已 知 三 点)3 2()3 0(),0 1(，C B A,则 A

4、 B C 外 接 圆的 圆 心 到 原 点 的 距 离 为A.35B.321C.35 2D.34-2-(8)右 边 程 序 框 图 的 算 法 思 路 来 源 于 我 国 古 代 数 学 名 著 九 章 算 术 中 的“更 相 减 损 术”。执行 该 程 序 框 图，若 输 入 的 a,b 分 别 为 1 4,1 8，则 输 出 的 a 为是 否是 否A.0 B.2 C.4 D.1 4(9)已 知 等 比 数 列 2 4 5 3 1),1(4,41a a a a a an则 满足 CA.2 B.1 C.21D.81（1 0）已 知 A,B 是 球 O 的 球 面 上 两 点，为该球面上动点，C

5、 A O B,90 若 三 棱 锥 O-A B C体 积 的 最 大 值 为 3 6，则 球 O 的 表 面 积 为A.3 6 B.6 4 C.1 4 4 D.2 5 6(1 1)如 图，长 方 形 的 边 A B=2，B C=1,O 是 A B 的 中 点，点 P 沿 着 边 B C,C D,与 D A 运 动，记的图像大致为 则 数 两点距离之和表示为函 到 将动点)(),(,x f x f B A P x B O P xPODCBADCBA3 4243 4423 42222243 424XOYXYOXOYYXO开 始输 入 a,ba bb=b-a a=a-b输 出 a结 束a b-3-（

6、1 2）设 函 数 的范围是 成立的 则使得 x x f x fxx x f)1 2()(,11)1 l n()(2 A.)1,31(B.),1()31,(C.)31,31(D.),31()31,(第 二 卷二、填 空 题：本 大 题 共 4 个 小 题，每 小 题 5 分（1 3）已 知 函 数 a x ax x f），则 的图像过点（4,1-2)(3。（1 4）若 x,y 满 足 约 束 条 件 的最大值为 则 y x zy xy xy x2,0 1 2,0 1 2,0 5。（1 5）已 知 双 曲 线 过 点），（3,4，且 渐 近 线 方 程 为 x y21，则 该 双 曲 线 的 标

7、 准 方 程 为。（1 6）已 知 曲 线 x x y l n 在 点（1,1）处 的 切 线 与 曲 线 a x a ax y 相切，则 1)2(2。三、解 答 题：解 答 应 写 出 文 字 说 明，证 明 过 程 或 演 算 步 骤。（1 7）（本 小 题 满 分 1 2 分）.2,D C B D B A C A D B C D A B C 平 分 上 的 点，是 中，（）求;s i ns i nCB（）若.,60 B B A C 求1 8.（本 小 题 满 分 1 2 分）某 公 司 为 了 了 解 用 户 对 其 产 品 的 满 意 度,从 A,B 两 地 区 分 别 随 机调 查

8、了 4 0 个 用 户,根 据 用 户 对 其 产 品 的 满 意 度 的 评 分,得 到 A 地 区 用 户 满 意 度 评 分 的 频 率 分布 直 方 图 和 B 地 区 用 户 满 意 度 评 分 的 频 率 分 布 表.-4-4 00.0 0 50.0 1 00.0 3 5A 地 区 用 户 满 意 度 评 分 的 频 率 分 布 直 方 图0.0 4 00.0 3 00.0 2 50.0 2 00.0 1 51 0 09 08 07 06 05 0O满 意 度 评 分频 率组 距B 地 区 用 户 满 意 度 评 分 的 频 数 分 布 表满 意 度 评 分 分 组 5 0,6 0

9、)6 0,7 0)7 0,8 0)8 0,9 0)9 0,1 00 频 数 2 8 1 4 1 0 6（I）在 答 题 卡 上 作 出 B 地 区 用 户 满 意 度 评 分 的 频 率 分 布 直 方 图,并 通 过 此 图 比 较 两 地 区 满 意度 评 分 的 平 均 值 及 分 散 程 度,（不 要 求 计 算 出 具 体 值,给 出 结 论 即 可）0.0 0 50.0 1 00.0 3 5B 地 区 用 户 满 意 度 评 分 的 频 率 分 布 直 方 图0.0 4 00.0 3 00.0 2 50.0 2 00.0 1 51 0 09 08 07 06 05 0O满 意 度

10、评 分频 率组 距（I I）根 据 用 户 满 意 度 评 分,将 用 户 的 满 意 度 评 分 分 为 三 个 等 级：满 意 度 评 分 低 于 7 0 分 7 0 分 到 8 9 分 不 低 于 9 0 分满 意 度 等 级 不 满 意 满 意 非 常 满 意估 计 那 个 地 区 的 用 户 的 满 意 度 等 级 为 不 满 意 的 概 率 大,说 明 理 由.1 9.（本 小 题 满 分 1 2 分）如 图,长 方 体1 1 1 1A B C D A B C D 中 A B=1 6,B C=1 0,18 A A,点 E,F分 别 在1 1 1 1,A B D C 上,1 14.A

11、 E D F 过 点 E,F 的 平 面 与 此 长 方 体 的 面 相 交,交 线 围 成 一-5-个 正 方 形.FED1C1B1A1DCBA（I）在 图 中 画 出 这 个 正 方 形（不 必 说 明 画 法 与 理 由）；（I I）求 平 面 把 该 长 方 体 分 成 的 两 部 分 体 积 的 比 值.2 0.（本 小 题 满 分 1 2 分）已 知 椭 圆 2 22 2:1 0 x yC a ba b 的 离 心 率 为22,点 2,2 在 C 上.（I）求 C 的 方 程；（I I）直 线 l 不 经 过 原 点 O,且 不 平 行 于 坐 标 轴,l 与 C 有 两 个 交

12、点 A,B,线 段 A B 中 点 为 M,证明：直 线 O M 的 斜 率 与 直 线 l 的 斜 率 乘 积 为 定 值.2 1.（本 小 题 满 分 1 2 分）已 知 l n 1 f x x a x.（I）讨 论 f x 的 单 调 性；（I I）当 f x 有 最 大 值,且 最 大 值 大 于 2 2 a 时,求 a 的 取 值 范 围.请 考 生 在 2 2、2 3、2 4 题 中 任 选 一 题 作 答,如 果 多 做,则 按 所 做 的 第 一 题 计 分,作 答 时 请 写 清题 号-6-2 2.（本 小 题 满 分 1 0 分）选 修 4-1：几 何 证 明 选 讲如 图

13、 O 是 等 腰 三 角 形 A B C 内 一 点,O 与 A B C 的 底边 B C 交 于 M,N 两 点,与 底 边 上 的 高 交 于 点 G,且 与A B,A C 分 别 相 切 于 E,F 两 点.（I）证 明 E F B C.（I I）若 A G 等 于 O 的 半 径,且 2 3 A E M N,求 四 边 形 E D C F 的 面 积.2 3.（本 小 题 满 分 1 0 分）选 修 4-4：坐 标 系 与 参 数 方程在 直 角 坐 标 系 x O y 中,曲 线1c os,:s i n,x tCy t（t 为 参 数,且 0 t）,其 中 0,在 以O 为 极 点,

14、x 轴 正 半 轴 为 极 轴 的 极 坐 标 系 中,曲 线2 3:2 s i n,:2 3 c o s.C C（I）求2C 与3C 交 点 的 直 角 坐 标；（I I）若1C 与2C 相 交 于 点 A,1C 与3C 相 交 于 点 B,求 A B 最 大 值.2 4.（本 小 题 满 分 1 0 分）选 修 4-5：不 等 式 证 明 选 讲设,a b c d 均 为 正 数,且 a b c d.证 明：（I）若 a b c d,则 a b c d；（I I）a b c d 是 a b c d 的 充 要 条 件.2 0 1 5 普 通 高 等 学 校 招 生 全 国 统 一 考 试

15、卷 文 科 数 学 答 案一、选 择 题1、选 A2、解：因 为.4,4 2)1)(3(2 a i i i ai 所以 故 选 DNMGOFEDCBA-7-3、选 D4、选 B5、解：在 等 差 数 列 中，因 为.,5 525)(,1,335 15 3 5 3 1A aa aS a a a a 故选 所以 6、解：如 图 所 示，选 D.7、解：根 据 题 意，三 角 形 A B C 是 等 边 三 角 形，设 外接 圆 的 圆 心 为 D，则 D（1，33 2）所 以，.32137341 O D 故 选 B.8、解：1 8-1 4=4,1 4=4=1 0,1 0-4=6,6-4=2,4-2

16、=2,所 以 a=b=2，故 选 B.9、解：因 为),1(4,414 5 3 1 a a a a an满足 所 以，.21241,2,2),1(41 231 4 4 424 q a a q q a a a a a 所以，所以 又 解得 故 选C.1 0、解：因 为 A,B 都 在 球 面 上，又 为该球面上动点，C A O B,90 所 以三 棱 锥 的 体 积 的 最 大 值 为 366121313 2 R R R，所 以 R=6，所 以 球 的 表 面 积 为S=144 42 R，故 选 C.1 1、解：如 图，当 点 P 在 B C 上 时，,t a n 4 t a n,t a n 4

17、,t a n,22x x P B P Ax P A x P B x B O P 当4 x 时 取 得 最 大 值 5 1，以 A,B 为 焦 点 C,D 为 椭 圆 上 两 定 点 作 椭 圆，显 然，当 点 P 在 C,D 之 间 移 动 时 P A+P B 5 1.又 函 数)(x f 不 是 一 次 函 数，故 选 B.1 2、解：因 为 函 数 时函数是增函数 是偶函数，),0,11)1 l n()(2 xxx x f.131,)1 2(,1 2)1 2()(2 2 x x x x x x f x f 解得 故 选 A.二、填 空 题1 3、答：a=-21 4、解：当 x=3,y=2

18、时，z=2 x+y 取 得 最 大 值 8.xPODCBA-8-1 5、解：设 双 曲 线 的 方 程 为.4 3,4),0(42 2 k k k y x）代入方程，解得，点（1422 yx双曲线的标准方程为1 6、解：.1 2 2,11 x yxy，切线方程为 切线的斜率为.81 2 0.0 8,0 8,0 2 1)2(1 222 2 ax y a a a a aax ax x a ax y x y所以与切线平行，不符。时曲线为 或 解得 由联立得 与 将四、解 答 题1 7、解：（）由 正 弦 定 理 得,s i ns i nA BA CCB再 由 三 角 形 内 角 平 分 线 定 理

19、得，21B DD CA BA C.21s i ns i nCB（）120,60 C B B A C.30,33t a n,s i n 2)120 s i n(,s i n 2 s i n.21s i ns i n1 B BB B B CCB展开得）得 由（1 8、解：（1）B 地 区 频 率 分 布 直 方 图 如 图 所 示0.0 0 50.0 1 00.0 3 5B 地 区 用 户 满 意 度 评 分 的 频 率 分 布 直 方 图0.0 4 00.0 3 00.0 2 50.0 2 00.0 1 51 0 09 08 07 06 05 0O满 意 度 评 分频 率组 距比 较 A,B 两

20、 个 地 区 的 用 户，由 频 率 分 布 直 方 图 可 知：A 地 区 评 分 均 值 为 4 5 x 0.1+5 5 x 0.2+6 5 x 0.3+7 5 x 0.2+8 5 x 0.1 5+9 5 x 0.0 5=6 7.5 分B 地 区 评 分 均 值 为 5 5 x 0.0 5+6 5 x 0.2+7 5 x 0.3 5+8 5 x 0.2 5+9 5 x 0.1 5=7 6.5 分A 地 区 用 户 评 价 意 见 较 分 散，B 地 区 用 户 评 价 意 见 相 对 集 中。（2）A 地 区 的 用 户 不 满 意 的 概 率 为 0.3+0.2+0.1=0.6，B 地

21、区 的 用 户 不 满 意 的 概 率 为 0.0 5+0.2 0=0.2 5，所 以 A 地 区 的 用 户 满 意 度 等 级 为 不 满 意 的 概 率 大。1 9、解：（I）在 A B 上 取 点 M,在 D C 上 取 点 N，使 得 A M=D N=1 0,然 后 连 接 E M,M N,N F,即 组 成 正 方 形 E M N F，即 平 面。FED1C1B1A1DCBA-9-（I I）两 部 分 几 何 体 都 是 高 为 1 0 的 四 棱 柱，所 以 体 积 之 比 等 于 底 面 积 之 比，即.9712 610 41121 E M B BA M E ASSVV2 0、

22、解、（I）如 图 所 示，由 题 设 得,22ac又 点 的 坐 标 满 足 椭 圆 的 方 程，所 以 12 42 2 b a，联 立 解 得：.14 8,4,82 22 2 y xC b a 的方程为：所以切线（I I）设 A,B 两 点 的 坐 标 为.,2 2 1 1mnk n m M y x y xom）的坐标为（点），（,8 2,8 222222121 y x y x 则上 面 两 个 式 子 相 减 得：.2 222121.0)()(22 12 11 21 221222122nmnmy yx xx xy yx x y y 变形得.21)2(1 21 2 mnnmmnx xy yk

23、 kom l（定 值）2 1、解：已 知 l n 1 f x x a x.),1()1,0)(00)(0.1)()1(上是减函数 上是增函数，在 在（时，函数 当）上是增函数；，在（时，函数 当 a ax f ax f aaxx f（I I）由（1）知，当.l n 1)1(1)(0 a aafax x f a 时取得最大值 在 时，函数.0 1 l n,2 2 l n 1 a a a a a 整理得 由.1,0(,1 0),1()(,0)1(0)(,0)(,0 0,11,1 l n)(）即 上述不等式即 函数。又）是增，在（）（则 设 a a g a g gx g x g x axx g x

24、x x g 选 做 题：2 2、（I）证 明：由 切 线 的 性 质 得 A E=A F，所 以 A E F 是 等 腰 三C(2,2)YXOMBANMGOFEDCBA-1 0-角 形，又 A B=A C,所 以 E F A B C A E FA CA FA BA E,.B C（I I）解：,R O G O E A G A E O E O E 则 连接2 2)3 2(4,22 2 2 O M R R R R O A，.,60 30,.31030 c os,5 1 2 1,321都是等边三角形，A E F A B C B A C B A D A B O EA DA B R A D O D M N

25、 M D.33 1660 s i n 3 22160 s i n3102122 E B C FS四边形2 3.在 直 角 坐 标 系 x O y 中,曲 线1c os,:s i n,x tCy t（t 为 参 数,且 0 t）,其 中 0,在 以 O 为 极 点,x 轴 正 半 轴 为 极 轴 的 极 坐 标 系 中,曲 线2 3:2 s i n,:2 3 c o s.C C（I）求2C 与3C 交 点 的 直 角 坐 标；（I I）若1C 与2C 相 交 于 点 A,1C 与3C 相 交 于 点 B,求 A B 最 大 值.解：（I）曲 线2 3:2 s i n,:2 3 c o s.C C

26、 的 直 角 坐 标 方 程 是.0 3 2:;0:2 222 21 x y x C y y x C.23230,0,.23,23.0,02 1），、（）交点的直角坐标为（联立解得 C Cyxyx（I I）曲 线.0 01），（的极坐标方程为 R C.465.)3s i n(4 c os 3 2 s i n 2,c os 3 2,s i n 2取得最大值，最大值为 时，当所以）的极坐标为（点）的极坐标为（因此点A BA BB A 2 4、证 明：（I）因 为,2,222c d d c d c ab b a b a）（-1 1-由 题 设 知.,d c b a c d ab d c b a（I I）（必 要 性）.4)(4)(,)()(,2 2 2 2c d d c ab b a d c b a d c b a 变形得 则 若.1,d c b a c d ab d c b a）得 由（充 分 性）若 2 2,d c b a d c b a 则.4 4 4.,2 22 2 2 2 2d c b ad c c d d c ab d c ab b a b ac d ab d c b a c d d c ab b a 成立的充要条件。是 所以，d c b a d c b a