2015年福建高考理科数学真题及答案.pdf

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1、2 0 1 5 年 福 建 高 考 理 科 数 学 真 题 及 答 案第 I 卷（选 择 题 共 5 0 分）一、选 择 题：本 题 共 1 0 小 题，每 小 题 5 分，共 5 0 分，在 每 小 题 给 出 的 四 个 选 项 中，只 有 一 项 是 符 合 题 目要 求 的.1、若 集 合 2 3 4,A i i i i（i 是 虚 数 单 位），1,1 B，则 A B 等 于A.1 B.1 C.1,1 D.2、下 列 函 数 为 奇 函 数 的 是A.y x B.s i n y x C.c os y x D.x xy e e 3、若 双 曲 线2 2:19 16x yE 的 左、右

2、焦 点 分 别 为1 2,F F，点 P 在 双 曲 线 E 上，且13 P F，则2P F 等 于A.1 1 B.9 C.5 D.34、为 了 解 某 社 区 居 民 的 家 庭 年 收 入 所 年 支 出 的 关 系，随 机 调 查 了 该 社 区 5 户 家 庭，得 到 如 下 统 计 数 据 表：收 入 x（万 元）8.2 8.6 1 0.0 1 1.3 1 1.9支 出 y（万 元）6.2 7.5 8.0 8.5 9.8根 据 上 表 可 得 回 归 本 线 方 程 y bx a，其 中 0.76,b a y b x，据 此 估 计，该 社 区 一 户 收 入 为 1 5 万元 家

3、庭 年 支 出 为A.1 1.4 万 元 B.1 1.8 万 元 C.1 2.0 万 元 D.1 2.2 万 元5、若 变 量,x y 满 足 约 束 条 件2 0,0,2 2 0,x yx yx y 则 2 z x y 的 最 小 值 等 于A.52 B.2 C.32 D.26、阅 读 如 图 所 示 的 程 序 框 图，运 行 相 应 的 程 序，则 输 出 的 结 果 为A.2 B.1 C.0 D.1 7、若,l m 是 两 条 不 同 的 直 线，m 垂 直 于 平 面，则“l m”是“/l”的A.充 分 而 不 必 要 条 件 B.必 要 而 不 充 分 条 件 C.充 分 必 要

4、条 件 D.既 不 充 分 也 不 必 要 条 件8、若,a b 是 函 数 20,0 f x x px q p q 的 两 个 不 同 的 零 点，且,2 a b 这 三 个 数 可 适 当 排 序后 成 等 差 数 列，也 可 适 当 排 序 后 成 等 比 数 列，则 p q 的 值 等 于A.6 B.7 C.8 D.99、已 知1,A B A C A B A C tt，若 P 点 是 A B C 所 在 平 面 内 一 点，且4 A B A CA PA B A C，则P B P C 的 最 大 值 等 于A.1 3 B.1 5 C.1 9 D.2 11 0、若 定 义 在 R 上 的

5、函 数 f x 满 足 0 1 f，其 导 函 数 f x 满 足 1 f x k，则 下 列 结 论 中一 定 错 误 的 是A.1 1fk k B.1 11fk k C.1 11 1fk k D.11 1kfk k 第 I I 卷（非 选 择 题 共 1 0 0 分）二、填 空 题：本 大 题 共 5 小 题，每 小 题 4 分，共 2 0 分.把 答 案 填 在 答 题 卡 的 相 应 位 置.1 1、52 x 的 展 开 式 中，2x 的 系 数 等 于.（用 数 字 作 答）1 2、若 锐 角 A B C 的 面 积 为 10 3，且 5,8 A B A C，则 B C 等 于.1

6、3、如 图，点 A 的 坐 标 为 1,0，点 C 的 坐 标 为 2,4，函 数 2f x x，若 在 矩 形 A B C D 内 随 机 取一 点，则 此 点 取 自 阴 影 部 分 的 概 率 等 于.1 4、若 函 数 6,2,3 l og,2,ax xf xx x（0 a 且 1 a）的 值 域 是 4,，则 实数 a 的 取 值 范 围 是.1 5、一 个 二 元 码 是 由 0 和 1 组 成 的 数 字 串*1 2 nx x x n N，其 中 1,2,kx k n 称 为 第 k 位 码 元，二 元 码 是 通 信 中 常 用 的 码，但 在 通 信 过 程 中 有 时 会

7、发 生 码 元 错 误（即码 元 由 0 变 为 1，或 者 由 1 变 为 0）已 知 某 种 二 元 码1 2 7x x x 的 码 元 满 足 如 下 校 验 方 程 组：4 5 6 72 3 6 71 3 5 70,0,0,x x x xx x x xx x x x 其 中 运 算 定 义 为：0 0 0,0 1 1,1 0 1,1 1 0.现 已 知 一 个 这 种 二 元 码 在 通 信 过 程 中 仅 在 第 k 位 发 生 码 元 错 误 后 变 成 了 1 1 0 1 1 0 1，那 么 利 用 上 述 校 验 方 程组 可 判 定 k 等 于.1 6.某 银 行 规 定，一

8、 张 银 行 卡 若 在 一 天 内 出 现 3 次 密 码 尝 试 错 误，该 银 行 卡 将 被 锁 定，小 王 到 银 行 取 钱 时，发 现 自 己 忘 记 了 银 行 卡 的 密 码，但 是 可 以 确 定 该 银 行 卡 的 正 确 密 码 是 他 常 用 的 6 个 密 码 之 一，小 王 决 定 从中 不 重 复 地 随 机 选 择 1 个 进 行 尝 试.若 密 码 正 确，则 结 束 尝 试；否 则 继 续 尝 试，直 至 该 银 行 卡 被 锁 定.(1)求 当 天 小 王 的 该 银 行 卡 被 锁 定 的 概 率；(2)设 当 天 小 王 用 该 银 行 卡 尝 试

9、密 码 次 数 为 X，求 X 的 分 布 列 和 数 学 期 望.1 7.如 图，在 几 何 体 A B C D E 中，四 边 形 A B C D 是 矩 形，A B 平 面 B E G，B E E C，A B=B E=E C=2，G，F 分 别 是 线段 B E，D C 的 中 点.(1)求 证：G F 平 面 A D E(2)求 平 面 A E F 与 平 面 B E C 所 成 锐 二 面 角 的 余 弦 值.1 8.已 知 椭 圆 E：2 22 21(a 0)x yba b+=过 点(0,2），且 离 心 率 为22.(1)求 椭 圆 E 的 方 程；(2)设 直 线 1 x m

10、y m R=-，()交 椭 圆 E 于 A，B 两 点，判 断 点 G9(4-,0)与 以 线 段 A B 为 直 径 的 圆 的 位 置 关 系，并 说 明 理 由.1 9.已 知 函 数 f()x 的 图 像 是 由 函 数()c os g x x=的 图 像 经 如 下 变 换 得 到：先 将()g x 图 像 上 所 有 点 的 纵 坐 标 伸长 到 原 来 的 2 倍（横 坐 标 不 变），再 将 所 得 到 的 图 像 向 右 平 移2p个 单 位 长 度.(1)求 函 数 f()x 的 解 析 式，并 求 其 图 像 的 对 称 轴 方 程；(2)已 知 关 于 x 的 方 程

11、f()g()x x m+=在 0,2)p 内 有 两 个 不 同 的 解,a b1)求 实 数 m 的 取 值 范 围；2)证 明：22c os)1.5ma b-=-(2 0.已 知 函 数 f()l n(1)x x=+，(),(k),g x k x R=(1)证 明：当 0 x x x 时，f()；(2)证 明：当 1 k,使 得 对0(0),x x 任 意，恒 有 f()()x g x；(3)确 定 k 的 所 以 可 能 取 值，使 得 存 在 0 t，对 任 意 的(0),x，t 恒 有2|f()()|x g x x-.2 1.本 题 设 有 三 个 选 考 题，请 考 生 任 选 2

12、 题 作 答.选 修 4-2：矩 阵 与 变 换已 知 矩 阵2 1 1 1,.4 3 0 1A B骣 骣琪 琪=琪 琪-桫 桫(1)求 A 的 逆 矩 阵1A-；(2)求 矩 阵 C，使 得 A C=B.选 修 4-4：坐 标 系 与 参 数 方 程在 平 面 直 角 坐 标 系 x oy 中，圆 C 的 参 数 方 程 为1 3 c os(t)2 3 s i nx ty t=+=-+为 参 数.在 极 坐 标 系（与 平 面 直 角 坐 标 系x oy 取 相 同 的 长 度 单 位，且 以 原 点 O 为 极 点，以 x 轴 非 负 半 轴 为 极 轴）中，直 线 l 的 方 程 为2

13、s i n()m,(m R).4pr q-=(1)求 圆 C 的 普 通 方 程 及 直 线 l 的 直 角 坐 标 方 程；(2)设 圆 心 C 到 直 线 l 的 距 离 等 于 2，求 m 的 值.选 修 4-5：不 等 式 选 讲已 知 函 数()|f x x a x b c=+的 最 小 值 为 4.(1)求 a b c+的 值;(2)求2 2 21 14 9a b c+的 最 小 值 为.数 学 试 题（理 工 农 医 类）参 考 答 案一、选 择 题：本 大 题 考 查 基 础 知 识 和 基 本 运 算，每 小 题 5 分，满 分 5 0 分。1.C 2.D 3.B 4.B 5

14、.A 6.C 7.B 8.D 9.A 1 0.C二、填 空 题：本 大 题 考 查 基 础 知 识 和 基 本 运 算，每 小 题 4 分，满 分 2 0 分。1 1.8 0 1 2.7 1 3.5121 4.(1,2 1 5.5三、解 答 题：本 大 题 共 6 小 题，共 8 0 分。解 答 应 写 出 文 字 说 明、证 明 过 程 或 演 算 步 骤。1 6.本 小 题 主 要 考 查 古 典 概 型、相 互 独 立 事 件 的 概 率、随 机 变 量 的 分 布 列、数 学 期 望 等 基 础 知 识，考 查 运 算求 解 能 力、应 用 意 识，考 查 必 然 与 或 然 思 想，

15、满 分 1 3 分解：（1）设“当 天 小 王 的 该 银 行 卡 被 锁 定”的 事 件 为 A，则5 4 3 1(A)=6 5 4 2P=创（2）依 题 意 得，X 所 有 可 能 的 取 值 是 1，2，3又1 5 1 1 5 4 2(X=1),(X=2),(X=3)1=.6 6 5 6 6 5 3P P P=创所 以 X 的 分 布 列 为所 以1 1 2 5E(X)1 2 36 6 3 2=+=.1 7.本 小 题 主 要 考 查 直 线 与 直 线、直 线 与 平 面、平 面 与 平 面 的 位 置 关 系 等 基 础 知 识，考 查 空 间 想 象 能 力、推理 论 证 能 力、

16、运 算 求 解 能 力，考 查 数 形 结 合 思 想、函 数 与 方 程 思 想、化 归 与 转 化 思 想.满 分 1 3 分.解 法 一：（1）如 图，取 A E 的 中 点 H，连 接 H G，H D，又 G 是 B E 的 中 点，1G H A B G H=A B2 所 以，且，又 F 是 C D 中 点，1D F=C D2所 以，由 四 边 形 A B C D 是 矩 形 得，A B C D A B=C D，所 以 G H D F G H=D F，且.从 而 四 边 形 H G F D 是 平 行 四 边 形，G F D H 所 以，又 D H A D E G F A D E 趟

17、平 面，平 面，所 以 G F A D E 平 面.(2)如 图，在 平 面 B E G 内，过 点 B 作 E C BQ,因 为 B E C E B Q B E，所 以又 因 为 A B 平 面 B E C，所 以 A B B E，A B B Q以 B 为 原 点，分 别 以,B E B Q B A 的 方 向 为 x 轴，y 轴，z 轴 的 正 方 向建 立 空 间 直 角 坐 标 系，则 A(0,0,2),B(0,0,0),E(2,0,0),F(2,2,1)因 为 A B 平 面 B E C，所 以 A=(B 0,0,2)为 平 面 B E C 的 法 向 量，设(x,y,z)n=为 平

18、 面 A E F 的 法 向 量.又 A E(2,0,-2)A F=(2,2,-1)=，由A E 0 2 2 0,2 2 0,A F 0n x zx y zn=-=镲眄+-=镲=，得，取 2 z=得=(2,-1,2)n.从 而A 4 2c os,A=,3 2 3|A|n Bn Bn B狁=所 以 平 面 A E F 与 平 面 B E C 所 成 锐 二 面 角 的 余 弦 值 为23.解 法 二：(1)如 图，取 A B 中 点 M，连 接 M G，M F，又 G 是 B E 的 中 点，可 知 G M A E，又 A D E G M A D E A E 趟 平 面，平 面，所 以 G M

19、平 面 A D E.在 矩 形 A B C D 中，由，分 别 是，的 中 点 得 又 A D E M A D E A 趟 平 面，平 面，所 以 M A D E 平 面 又 因 为 M，M 烫 平 面，平 面 所 以 平 面 平 面，因 为 平 面，所 以 平 面（）同 解 法 一 1 8 本 小 题 主 要 考 查 椭 圆、圆、直 线 与 椭 圆 的 位 置 关 系 等 基 础 知 识，考 查 推 理 论 证 能 力、运 算 求 解 能 力，考 查 数 形 结 合 思 想、化 归 与 转 化 思 想、函 数 与 方 程 思 想.满 分 1 3 分解 法 一：(1)由 已 知 得2 2 22

20、22222bacbaca b c=镲=眄镲镲=+解 得所 以 椭 圆 E 的 方 程 为2 214 2x y+=.(2)设 点1 1 2 2(y),B(,y),A x x A B 中 点 为0 0H(,y)x.由2 22 21(m 2)y 2 3 0,14 2x m ym yx y=-+-=+=得所 以1 2 1 2 2 22 3y+y=,y y=m 2 m 2m+，从 而0 22ym 2=+.所 以2 2 2 2 2 2 20 0 0 0 0 09 5 5 25G H|()y(m y)y(m+1)y+m y+4 4 2 16x=+=+=.2 2 2 2 21 2 1 2 1 2()(y)(m

21、+1)(y)|A B|4 4 4x x y y-+-=2 22 2 1 2 1 20 1 2(m+1)(y)4 y(m+1)(y y)4y yy+-=-,故2 2 2 22 20 1 2 2 2 2|A B|5 25 5 3(m+1)25 17 2|G H|m y(m+1)y 04 2 16 2(m 2)m 2 16 16(m 2)m my+-=+=-+=+所 以|A B|G H|2，故 G9(4-,0)在 以 A B 为 直 径 的 圆 外.解 法 二：(1)同 解 法 一.(2)设 点1 1 2 2(y),B(,y),A x x，则1 1 2 29 9G A(,),G B(,).4 4x

22、y x y=+=+由2 22 21(m 2)y 2 3 0,14 2x m ym yx y=-+-=+=得 所 以1 2 1 2 2 22 3y+y=,y y=m 2 m 2m+，从 而1 2 1 2 1 2 1 29 9 5 5G A G B()()(m y)(m y)4 4 4 4x x y y y y=+=+2 221 2 1 2 2 25 25 5 3(m+1)25(m+1)y(y)4 16 2(m 2)m 2 16my m y=+=-+2217 2016(m 2)m+=+所 以 c os G A,G B 0,G A G B 狁 又，不 共 线，所 以 A G B 为 锐 角.故 点

23、G9(4-,0)在 以 A B 为 直 径 的 圆 外.1 9.本 小 题 主 要 考 查 三 角 函 数 的 图 像 与 性 质、三 角 恒 等 变 换 等 基 础 知 识，考 查 运 算 求 解 能 力、抽 象 概 括 能力、推 理 论 证 能 力，考 查 函 数 与 方 程 思 想、分 类 与 整 体 思 想、化 归 与 转 化 思 想、数 形 结 合 思 想.满 分 1 3 分.解 法 一：(1)将()c os g x x=的 图 像 上 所 有 点 的 纵 坐 标 伸 长 到 原 来 的 2 倍（横 坐 标 不 变）得 到 y 2 c os x=的图 像，再 将 y 2 c os x

24、=的 图 像 向 右 平 移2p个 单 位 长 度 后 得 到 y 2 c os()2xp=-的 图 像，故 f()2 s i n x x=从 而 函 数 f()2 s i n x x=图 像 的 对 称 轴 方 程 为(k Z).2x kpp=+(2)1)2 1f()g()2 s i n c os 5(s i n c os)5 5x x x x x x+=+=+1 25 s i n()(s i n,c os5 5x j j j=+=其 中)依 题 意，s i n()=5mx j+在 区 间 0,2)p 内 有 两 个 不 同 的 解,a b 当 且 仅 当|15m，故 m 的 取 值 范 围

25、 是(5,5)-.2)因 为,a b 是 方 程 5 s i n()=m x j+在 区 间 0,2)p 内 有 两 个 不 同 的 解，所 以 s i n()=5ma j+，s i n()=5mb j+.当 1 m 5 时，+=2(),2();2pa b j a b p b j-=-+即当 5 m 1-时,3+=2(),3 2();2pa b j a b p b j-=-+即所 以22 22c os)c os 2()2 s i n()1 2()1 1.5 5m ma b b j b j-=-+=+-=-=-(解 法 二：(1)同 解 法 一.(2)1)同 解 法 一.2)因 为,a b 是

26、方 程 5 s i n()=m x j+在 区 间 0,2)p 内 有 两 个 不 同 的 解，所 以 s i n()=5ma j+，s i n()=5mb j+.当 1 m 5 时，+=2(),+();2pa b j a j p b j-=-+即当 5 m 1-时,3+=2(),+3();2pa b j a j p b j-=-+即所 以 c os+)c os()a j b j=-+(于 是 c os)c os()()c os()c os()s i n()s i n()a b a j b j a j b j a j b j-=+-+=+(22 2 22c os()s i n()s i n()

27、1()()1.5 5 5m m mb j a j b j=-+=-+=-2 0.本 小 题 主 要 考 查 导 数 及 其 应 用 等 基 础 知 识，考 查 推 理 论 证 能 力、运 算 求 解 能 力、创 新 意 识，考 查 函 数 与方 程 思 想、化 归 与 转 化 思 想、分 类 与 整 合 思 想、有 限 与 无 限 思 想、数 形 结 合 思 想.满 分 1 4 分.解 法 一：(1)令()f()l n(1),0,),F x x x x x x=-=+-+则 有1()11+1+xF xx x=-=-当 0,),x+()0 F x,所 以 G()x 在 0,)+上 单 调 递 增

28、,G()(0)0 x G=故 对 任 意 正 实 数0 x 均 满 足 题 意.当1 10 1()0,=1 0kk x xk k-时，令 G 得.取0 01=1(0,),G()0 x x x xk-，对 任 意 恒 有,所 以 G()x 在0 0,x)上 单 调 递 增,G()(0)0 x G=,即f()()x g x.综 上，当 1 k,使 得 对 任 意 的0(0),x x 任 意，恒 有 f()()x g x.(3)当 1 k 时，由（1）知，对 于(0,),x 违+()f()()f()g x x x g x x，故，|f()()|()()k l n(1)x g x g x f x x

29、x-=-=-+，令2M()k l n(1),0)x x x x x=-+-违，+，则 有21-2+(k-2)1M()k 2=,1 1x x kx xx x+-=-+故 当22(k 2)8(k 1)0)4kx-+-+-（，时，M()0 x,M()x 在22(k 2)8(k 1)0)4k-+-+-，上 单 调 递 增，故 M()M(0)0 x=,即2|f()()|x g x x-,所 以 满 足 题 意 的 t 不 存 在.当 1 k,使 得 对 任 意 的0(0),x x 任 意，恒 有 f()()x g x.此 时|f()()|f()()l n(1)k x g x x g x x x-=-=+

30、-,令2N()l n(1)k,0)x x x x x=+-违，+，则 有21-2-(k+2)1M()2=,1 1x x kx k xx x-+=-+故 当2(+2(k+2)8(1 k)0)4kx-+-）（，时，N()0 x,M()x 在2(2)(k 2)8(1 k)0)4k-+-，上 单调 递 增，故 N()(0)0 x N=,即2f()()x g x x-,记0 x 与2(2)(k 2)8(1 k)4k-+-中 较 小 的 为1x，则 当21(0)|f()()|x x x g x x-，时，恒 有，故 满 足 题 意 的 t 不 存 在.当=1 k，由（1）知，(0,),x 违 当+|f()

31、()|()()l n(1)x g x g x f x x x-=-=-+，令2H()l n(1),0)x x x x x=-+-违，+，则 有21-2H()1 2=,1 1x xx xx x-=-+当 0 x 时，H()0 x,所 以 H()x 在 0+，）上 单 调 递 减，故 H()(0)0 x H 时，恒 有2|f()()|x g x x-时，由（1）知，对 于(0,),x 违+()f()g x x x，故|f()()|()()k l n(1)k(k 1)x g x g x f x x x x x x-=-=-+-=-，令2(k 1),0 1 x x x k-时，(0,1)x k-对 于

32、 恒 有2|f()()|x g x x-,所 以 满 足 题 意 的 t 不 存 在.当 1 k 时，取1 1k+1=12k k k,使 得0(0),x x 任 意，恒 有1f()()x k x k x g x=.此 时11|f()()|f()()(k)2kx g x x g x k x x-=-=,令21 k 1 k,02 2x x x-,记0 x 与1-k2中 较 小 的 为1x，则 当21(0)|f()()|x x x g x x-，时，恒 有，故 满 足 题 意 的 t 不 存 在.当=1 k，由（1）知，(0,),x 违 当+|f()()|()()l n(1)x g x g x f

33、x x x-=-=-+，令2M()l n(1),0)x x x x x，+，则 有21 2M()1 2,1 1x xx xx x 当 0 x 时，M()0 x,所 以 M()x 在 0+，）上 单 调 递 减，故 M()M(0)0 x 时，恒 有2|f()()|x g x x-,此 时，任 意 实 数 t 满 足 题 意.综 上，=1 k.2 1.选 修 4-2：矩 阵 与 变 换本 小 题 主 要 考 查 矩 阵、逆 矩 阵 等 基 础 知 识，考 查 运 算 求 解 能 力，考 查 化 归 与 转 化 思 想.满 分 7 分.解：(1)因 为|A|=2 3-1 4=2 创所 以13 13

34、12 22 24 22 12 2A(2)由 A C=B 得1 1()C A A A B-=,故13 1 31 1 2C=2 2 20 12 1 2 3A B 选 修 4-4：坐 标 系 与 参 数 方 程本 小 题 主 要 考 查 极 坐 标 与 直 角 坐 标 的 互 化、圆 的 参 数 方 程 等 基 础 知 识，考 查 运 算 求 解 能 力，考 查 化 归 与 转化 思 想.满 分 7 分.解：(1)消 去 参 数 t，得 到 圆 的 普 通 方 程 为()()2 21 2 9 x y-+=,由 2 s i n()m4pr q-=，得 s i n c os m 0 r q r q-=,

35、所 以 直 线 l 的 直 角 坐 标 方 程 为 0 x y m-=.(2)依 题 意，圆 心 C 到 直 线 l 的 距 离 等 于 2，即()|1 2 m|2 22-+=，解 得 m=-3 2选 修 4-5：不 等 式 选 讲本 小 题 主 要 考 查 绝 对 值 不 等 式、柯 西 不 等 式 等 基 础 知 识，考 查 推 理 论 证 能 力，考 查 化 归 与 转 化 思 想.满 分 7分.解：(1)因 为(x)|x|x|(x)(x)|a|f a b c a b c b c=+-+=+当 且 仅 当 a x b-时，等 号 成 立又 0,0 a b，所 以|a b|a b+=+,所 以(x)f 的 最 小 值 为 a b c+,所 以 a b c 4+=(2)由(1)知 a b c 4+=，由 柯 西 不 等 式 得()()222 2 21 14 9 1 2+3+1 164 9 2 3a ba b c c a b c骣 骣琪 琪+炒 创=+=琪 琪桫 桫,即2 2 21 1 84 9 7a b c+.当 且 仅 当1 13 22 3 1b ac=,即8 18 2,7 7 7a b c=时，等 号 成 立所 以2 2 21 14 9a b c+的 最 小 值 为87.