2014四川考研数学二真题及答案.pdf
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1、2014 四 川 考 研 数 学 二 真 题 及 答 案一、选 择 题:1 8 小 题,每 小 题 4 分,共 3 2 分.下 列 每 题 给 出 的 四 个 选 项 中,只 有 一 个 选 项 符 合 题 目 要 求 的,请 将 所 选 项 前 的 字 母 填 在 答 题 纸 指 定 位 置上.(1)当 0 x 时,若 l n(1 2)x,1(1 c os)x 均 是 比 x 高 阶 的 无 穷 小,的 取 值 范 围 是()(A)(2,)(B)(1,2)(C)1(,1)2(D)1(0,)2(2)下 列 曲 线 中 有 渐 近 线 的 是()(A)s i n y x x(B)2s i n y
2、 x x(C)1s i n y xx(D)21s i n y xx(3)设 函 数()f x 具 有 2 阶 导 数,()(0)(1)(1)g x f x f x,则 在 区 间 0,1 上()(A)当()0 f x 时,()()f x g x(B)当()0 f x 时,()()f x g x(C)当()0 f x 时,()()f x g x(D)当()0 f x 时,()()f x g x(4)曲 线2274 1x ty t t 上 对 应 于 1 t 的 点 处 的 曲 率 半 径 是()(A)1050(B)10100(C)10 10(D)5 10(5)设 函 数()a r c t a n
3、 f x x,若()()f x x f,则220l i mxx()(A)1(B)23(C)12(D)13(6)设 函 数(,)u x y 在 有 界 闭 区 域 D 上 连 续,在 D 的 内 部 具 有 2 阶 连 续 偏 导数,且 满 足20ux y 及2 22 20u ux y,则()(A)(,)u x y 的 最 大 值 和 最 小 值 都 在 D 的 边 界 上 取 得(B)(,)u x y 的 最 大 值 和 最 小 值 都 在 D 的 内 部 上 取 得(C)(,)u x y 的 最 大 值 在 D 的 内 部 取 得,最 小 值 在 D 的 边 界 上 取 得(D)(,)u x
4、 y 的 最 小 值 在 D 的 内 部 取 得,最 大 值 在 D 的 边 界 上 取 得(7)行 列 式0 00 00 00 0a ba bc dc d()(A)2()ad bc(B)2()ad bc(C)2 2 2 2a d b c(D)2 2 2 2b c a d(8)设1 2 3,均 为 3 维 向 量,则 对 任 意 常 数,k l,向 量 组1 3 2 3,k l 线 性 无 关 是 向 量 组1 2 3,线 性 无 关 的()(A)必 要 非 充 分 条 件(B)充 分 非 必 要 条 件(C)充 分 必 要 条 件(D)既 非 充 分 也 非 必 要 条 件二、填 空 题:9
5、 1 4 小 题,每 小 题 4 分,共 2 4 分.请 将 答 案 写 在 答 题 纸 指 定 位置 上.(9)1212 5dxx x _ _ _ _ _ _ _ _ _ _.(1 0)设()f x 是 周 期 为 4 的 可 导 奇 函 数,且()f x 2(1),x 0,2 x,则(7)f _ _ _ _ _ _ _ _ _ _.(1 1)设(,)z z x y 是 由 方 程2 274y ze x y z 确 定 的 函 数,则1 1(,)2 2dz _ _ _ _ _ _ _ _ _ _.(1 2)曲 线()r r 的 极 坐 标 方 程 是 r,则 L 在 点(,)(,)2 2r
6、处 的 切线 的 直 角 坐 标 方 程 是 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _.(1 3)一 根 长 为 1 的 细 棒 位 于 x 轴 的 区 间 0,1 上,若 其 线 密 度 22 1 x x x,则 该 细 棒 的 质 心 坐 标 x _ _ _ _ _ _ _ _ _ _.(1 4)设 二 次 型 2 21 2 3 1 2 1 3 2 3,2 4 f x x x x x ax x x x 的 负 惯 性 指 数 为 1,则 a 的 取 值 范 围 为 _ _ _ _ _ _ _.三、解 答 题:1 5 2 3 小 题,共 9 4 分.请 将 解 答 写 在 答 题 纸 指 定
7、位 置 上.解 答应 写 出 文 字 说 明、证 明 过 程 或 演 算 步 骤.(1 5)(本 题 满 分 1 0 分)求 极 限12121l i m.1l n 1xtxt e t dtxx(1 6)(本 题 满 分 1 0 分)已 知 函 数 y y x 满 足 微 分 方 程2 21 x y y y,且 2 0 y,求 y x 的 极 大 值 与 极 小值.(1 7)(本 题 满 分 1 0 分)设 平 面 区 域 2 2,1 4,0,0,D x y x y x y 计 算 2 2s i nDx x ydx dyx y.(1 8)(本 题 满 分 1 0 分)设 函 数()f u 具 有
8、 二 阶 连 续 导 数,(e c os y)xz f 满 足2 222 2(4 e c os)ex xz zz yx y,若(0)0,(0)0 f f,求()f u 的 表 达 式.(1 9)(本 题 满 分 1 0 分)设 函 数(),()f x g x 的 区 间 a,b 上 连 续,且()f x 单 调 增 加,0()1 g x.证 明:(I)0(),xag t dt x a x a b,(I I)()()d()g()baa g t dt ba af x x f x x dx.(2 0)(本 题 满 分 1 1 分)设 函 数(x),0,11xf xx,定 义 函 数 列1 2 1()
9、(),()(),f x f x f x f f x,1()(),n nf x f f x,记nS 是 由 曲 线()ny f x,直 线 1 x 及 x 轴 所 围成 平 面 图 形 的 面 积,求 极 限 l i mnnnS.(2 1)(本 题 满 分 1 1 分)已 知 函 数(,)f x y 满 足 2(1)fyy,且2(,)(1)(2)l n,f y y y y y 求 曲 线(,)0 f x y 所 围 成 的 图 形 绕 直线 1 y 旋 转 所 成 的 旋 转 体 的 体 积.(2 2)(本 题 满 分 1 1 分)设 矩 阵1 2 3 40 1 1 11 2 0 3A,E 为
10、三 阶 单 位 矩 阵.(I)求 方 程 组 0 A x 的 一 个 基 础 解 系;(I I)求 满 足 A B E 的 所 有 矩 阵.(2 3)(本 题 满 分 1 1 分)证 明 n 阶 矩 阵1 1 11 1 11 1 1 与0 0 10 0 20 0 n 相 似.参 考 答 案一、选 择 题:1 8 小 题,每 小 题 4 分,共 3 2 分.下 列 每 题 给 出 的 四 个 选 项 中,只 有 一 个 选 项 符 合 题 目 要 求 的,请 将 所 选 项 前 的 字 母 填 在 答 题 纸 指 定 位 置上.(1)当 0 x 时,若 l n(1 2)x,1(1 c os)x
11、均 是 比 x 高 阶 的 无 穷 小,则 的 取 值 范 围 是()(A)(2,)(B)(1,2)(C)1(,1)2(D)1(0,)2【答 案】B【解 析】由 定 义10 0 0l n(1 2)(2)l i m l i m l i m 2 0 x x xx xxx x 所 以 1 0,故 1.当 0 x 时,211(1 c os)2xx 是 比 x 的 高 阶 无 穷 小,所 以21 0,即 2.故 选 B(2)下 列 曲 线 中 有 渐 近 线 的 是()(A)s i n y x x(B)2s i n y x x(C)1s i n y xx(D)21s i n y xx【答 案】C【解 析
12、】关 于 C 选 项:1 1s i n s i nl i m l i m 1 l i m 1 0 1x x xxx xx x.1 1l i m s i n l i m s i n 0 x xx xx x,所 以1s i n y xx 存 在 斜 渐 近 线y x.故 选 C(3)设 函 数()f x 具 有 2 阶 导 数,()(0)(1)(1)g x f x f x,则 在 区 间 0,1 上()(A)当()0 f x 时,()()f x g x(B)当()0 f x 时,()()f x g x(C)当()0 f x 时,()()f x g x(D)当()0 f x 时,()()f x g
13、x【答 案】D【解 析】令()()()(0)(1)(1)()F x g x f x f x f x f x,则(0)(1)0 F F,()(0)(1)()F x f f f x,()()F x f x.若()0 f x,则()0 F x,()F x 在 0,1 上 为 凸 的.又(0)(1)0 F F,所 以 当 0,1 x 时,()0 F x,从 而()()g x f x.故 选 D.(4)曲 线2274 1x ty t t 上 对 应 于 1 t 的 点 处 的 曲 率 半 径 是()(A)1050(B)10100(C)10 10(D)5 10【答 案】C【解 析】1112 21 1 22
14、 432212tttt tdy tdx td y dytdx dx t 3 3 22 21 1,10 1011yk Rkqy 故 选 C(5)设 函 数()a r c t a n f x x,若()()f x x f,则220l i mxx()(A)1(B)23(C)12(D)13【答 案】D【解 析】因 为2()1()1f xfx,所 以2()()x f xf x 222 2 2 20 0 0 011()a r c t a n 11l i m l i m l i m l i m()a r c t a n 3 3x x x xx f x x xxx x f x x x x 故 选 D.(6)设
15、 函 数(,)u x y 在 有 界 闭 区 域 D 上 连 续,在 D 的 内 部 具 有 2 阶 连 续 偏 导数,且 满 足20ux y 及2 22 20u ux y,则()(A)(,)u x y 的 最 大 值 和 最 小 值 都 在 D 的 边 界 上 取 得(B)(,)u x y 的 最 大 值 和 最 小 值 都 在 D 的 内 部 上 取 得(C)(,)u x y 的 最 大 值 在 D 的 内 部 取 得,最 小 值 在 D 的 边 界 上 取 得(D)(,)u x y 的 最 小 值 在 D 的 内 部 取 得,最 大 值 在 D 的 边 界 上 取 得【答 案】A【解 析
16、】记2 2 22 2,0,u u uA B C B A Cx x y y 相 反 数则2=A C-B 0,所 以(x,y)u 在 D 内 无 极 值,则 极 值 在 边 界 处 取 得.故 选 A(7)行 列 式0 00 00 00 0a ba bc dc d()(A)2()ad bc(B)2()ad bc(C)2 2 2 2a d b c(D)2 2 2 2b c a d【答 案】B【解 析】由 行 列 式 的 展 开 定 理 展 开 第 一 列0 00 00 00 0 00 00 0 00 0a ba b a ba ba c d c bc dd c dc d()()ad ad bc bc
17、ad bc 2()ad bc.(8)设1 2 3,a a a 均 为 三 维 向 量,则 对 任 意 常 数,k l,向 量 组1 3a k a,2 3a l a 线 性 无 关 是 向 量 组1 2 3,a a a 线 性 无 关 的()(A)必 要 非 充 分 条 件(B)充 分 非 必 要 条 件(C)充 分 必 要 条 件(D)既 非 充 分 也 非 必 要 条件【答 案】A【解 析】1 3 2 3 1 2 31 00 1 k lk l.)记 1 3 2 3A k l,1 2 3B,1 00 1k l C.若1 2 3,线 性 无 关,则()()()2 r A r B C r C,故1
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