2024年新高考数学题型全归纳之排列组合专题09 间接法模型含答案.docx

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1、2024年新高考数学题型全归纳之排列组合专题9 间接法模型例1为抗击新冠病毒，某部门安排甲、乙、丙、丁、戊五名专家到三地指导防疫工作.因工作需要，每地至少需安排一名专家，其中甲、乙两名专家必须安排在同一地工作，丙、丁两名专家不能安排在同一地工作，则不同的分配方法总数为（ ） A18B24C30D36例2某校从8名教师中选派4名同时去4个边远地区支教（每地1名教师），其中甲和乙不能都去，甲和丙只能都去或都不去，则不同的选派方案有（ ）A900种B600种C300种D150种例3某市政府决定派遣名干部（男女）分成两个小组，到该市甲、乙两个县去检查扶贫工作，若要求每组至少人，且女干部不能单独成组，则

2、不同的派遣方案共有（ ）种ABCD例4某校高一开设4门选修课，有4名同学选修，每人只选1门，恰有2门课程没有同学选修，则不同的选课方案有（ ）A96种B84种C78种D16种例5从5名男生和5名女生中选3人组队参加某集体项目的比赛，其中至少有一名女生入选的组队方案数为A100B110C120D180例6某教师一天上3个班级的课，每班上1节，如果一天共9节课，上午5节，下午4节，并且教师不能连上3节课（第5节和第6节不算连上），那么这位教师一天的课表的所有不同排法有（ ）A474种B77种C462种D79种例7从甲、乙、丙、丁、戊五名志愿者中选派三人分别从事翻译、导游、礼仪三项不同工作，若其中乙

3、和丙只能从事前两项工作，其余三人均能从事这三项工作，则不同的选派方案共有( )A36种B12种C18种D24种例8某教育局公开招聘了4名数学老师，其中2名是刚毕业的“新教师”，另2名是有了一段教学时间的“老教师”，现随机分配到A、B两个学校任教，每个学校2名，其中分配给学校A恰有1名“新教师”和1名“老教师”的概率是（ ）ABCD例9某校教师迎春晚会由个节目组成，为考虑整体效果，对节目演出顺序有如下要求，节目甲不排在第一位和最后一位，节目丙、丁必须排在一起，则该校迎春晚会节目演出顺序的编排方案共有（ ）A种B种C种D种例10某公园新购进盆锦紫苏、盆虞美人、盆郁金香，盆盆栽，现将这盆盆栽摆成一排

4、，要求郁金香不在两边，任两盆锦紫苏不相邻的摆法共（ ）种ABCD例112019年4月23日中国人民海军建军70周年.为展现人民海军70年来的辉煌历程和取得的巨大成就，我国在山东青岛及附近海空举行盛大的阅兵仪式.我国第一艘航空母舰“辽宁舰”作战群将参加军演，要求2艘攻击型核潜艇一前一后，3艘驱逐舰和3艘护卫舰分列左右，每侧3艘，同侧不能都是同种舰艇，则舰艇分配方案的方法种数为（ ）A1296B648C324D72例12现“学习强国”平台设有“阅读文章”、“视听学习”等多个栏目.在某时段时，更新了2篇文章和4个视频，一位学习者准备学习这2篇文章和其中2个视频，则这2篇文章学习顺序不相邻的学法有（

5、）种.A24B36C72D144例13在报名的名男教师和名女教师中，选取人参加义务献血，要求男、女教师都有，则不同的选取方式的种数为（ ）ABCD例14某部门在一周的7天内给3名实习生每人安排1天的工作，若每天最多安排一名实习生，且这3名实习生不能安排在连续的3天，则不同的安排方案的种数为（ ）A30B120C180D210例15我省某医院呼吸科要从2名男医生，3名女医生中选派3人支持湖北省参加疫情防控工作，若这3人中至少有1名男医生，则选派方案有（ ）A60种B12种C10种D9种例16有13名医生，其中女医生6人，现从中抽调5名医生组成医疗小组前往湖北疫区，若医疗小组至少有2名男医生，同时

6、至多有3名女医生，设不同的选派方法种数为，则下列等式能成为的算式是（ ）.A；B；C；D；例17在100件产品中，有98件合格品，2件不合格品，从这100件产品中任意抽出3件，则( )A抽出的3件中恰好有1件是不合格品的抽法有种B抽出的3件中恰好有1件是不合格品的抽法有种C抽出的3件中至少有1件是不合格品的抽法有种D抽出的3件中至少有1件是不合格品的抽法有种例18新型冠状病毒疫情期间，位党员需要被安排到个不同的路口执勤，每个路口至少安排一人，其中党员甲和乙不能被安排到同一个路口，那么总共有_种不同安排方法（用数字作答）例19某单位拟安排6位员工在今年6月14号至16号（某节假期）值班，每天安排

7、2人，每人值班1天.若6位员工中的甲不值16号，乙不值14号，则不同的安排方法共有_种.例20从数字0，1，2，3，4，5，6中任取3个，这3个数的乘积为偶数时的不同取法共有_种（用数字作答）.例21中国有十二生肖，又叫十二属相，是以十二种动物（鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪）形象化代表人的出生年份，现有十二生肖的吉祥物各一个，三位属相不同的小朋友依次每人选一个，则三位小朋友都不选和自己属相相同的吉祥物的选法有_种例22从正方体的8个顶点中选4个点作一个平面，可作_个不同的平面，从正方体的8个顶点中选4个点作一个四面体，可作_个四面体.例23由数字1，2，3，4，5组成无重复数

8、字的五位数.（1）共可以组成多少个五位数？（2）其中奇数有多少个？（3）如果将所有的五位数按从小到大的顺序排列，43125是第几个数？说明理由.专题9 间接法模型例1为抗击新冠病毒，某部门安排甲、乙、丙、丁、戊五名专家到三地指导防疫工作.因工作需要，每地至少需安排一名专家，其中甲、乙两名专家必须安排在同一地工作，丙、丁两名专家不能安排在同一地工作，则不同的分配方法总数为（ ） A18B24C30D36【解析】因为甲、乙两名专家必须安排在同一地工作，此时甲、乙两名专家看成一个整体即相当于一个人，所以相当于只有四名专家，先计算四名专家中有两名在同一地工作的排列数，即从四个中选二个和其余二个看成三个

9、元素的全排列共有：种；又因为丙、丁两名专家不能安排在同一地工作，所以再去掉丙、丁两名专家在同一地工作的排列数有种，所以不同的分配方法种数有：故选：C例2某校从8名教师中选派4名同时去4个边远地区支教（每地1名教师），其中甲和乙不能都去，甲和丙只能都去或都不去，则不同的选派方案有（ ）A900种B600种C300种D150种【解析】第一类，甲去，则丙一定去，乙一定不去，再从剩余的5名教师中选2名，有（种）不同选法，第二类，甲不去，则丙一定不去，乙可能去也可能不去，从6名教师中选4名，有（种）不同选法，所以不同的选派方案共有(10+15)（种）.故选B.例3某市政府决定派遣名干部（男女）分成两个小

10、组，到该市甲、乙两个县去检查扶贫工作，若要求每组至少人，且女干部不能单独成组，则不同的派遣方案共有（ ）种ABCD【解析】两组至少都是人，则分组中两组的人数分别为、或、，又因为名女干部不能单独成一组，则不同的派遣方案种数为.故选：C.例4某校高一开设4门选修课，有4名同学选修，每人只选1门，恰有2门课程没有同学选修，则不同的选课方案有（ ）A96种B84种C78种D16种【解析】先确定选的两门: ,再确定学生选: ,所以不同的选课方案有选B. 例5从5名男生和5名女生中选3人组队参加某集体项目的比赛，其中至少有一名女生入选的组队方案数为A100B110C120D180【解析】试题分析：10人中

11、任选3人的组队方案有，没有女生的方案有，所以符合要求的组队方案数为110种例6某教师一天上3个班级的课，每班上1节，如果一天共9节课，上午5节，下午4节，并且教师不能连上3节课（第5节和第6节不算连上），那么这位教师一天的课表的所有不同排法有（ ）A474种B77种C462种D79种【解析】试题分析：根据题意，由于某教师一天上3个班级的课，每班一节，如果一天共9节课，上午5节、下午4节，并且教师不能连上3节课（第5和第6节不算连上），所有的上课方法有，那么连着上3节课的情况有5种，则利用间接法可知所求的方法有-5=474，故答案为A.例7从甲、乙、丙、丁、戊五名志愿者中选派三人分别从事翻译、导

12、游、礼仪三项不同工作，若其中乙和丙只能从事前两项工作，其余三人均能从事这三项工作，则不同的选派方案共有( )A36种B12种C18种D24种【解析】利用分类加法原理，对所选的3人中分三种情况：乙和丙有2人，对两个人进行排列，第三项工作再从乘下的3人中选1人，即；乙和丙有1人，则有2种情况，这个人可以从两项工作中任取一项有2种情况，则乘下的两项工作由3个人来排列，即；乙和丙都没有，三项工作就由其他3个人来进行排列，即；.故选：A例8某教育局公开招聘了4名数学老师，其中2名是刚毕业的“新教师”，另2名是有了一段教学时间的“老教师”，现随机分配到A、B两个学校任教，每个学校2名，其中分配给学校A恰有

13、1名“新教师”和1名“老教师”的概率是（ ）ABCD【解析】分配给学校A两个“新教师”与两个“老教师”的概率之和为.故分配给学校A恰有1名“新教师”和1名“老教师”的概率是.故选：D例9某校教师迎春晚会由个节目组成，为考虑整体效果，对节目演出顺序有如下要求，节目甲不排在第一位和最后一位，节目丙、丁必须排在一起，则该校迎春晚会节目演出顺序的编排方案共有（ ）A种B种C种D种【解析】利用间接法求解，先考虑将丙、丁排在一起，将这两个节目进行捆绑，形成一个大元素，共有种.若甲排在第一位和最后一位，且丙、丁排在一起，将这两个节目进行捆绑，形成一个大元素，此时，排法种数为.综上所述，符合条件的排法种数为（

14、种）.故选：C.例10某公园新购进盆锦紫苏、盆虞美人、盆郁金香，盆盆栽，现将这盆盆栽摆成一排，要求郁金香不在两边，任两盆锦紫苏不相邻的摆法共（ ）种ABCD【解析】使用插空法，先排盆虞美人、盆郁金香有种，然后将盆锦紫苏放入到4个位置中有种，根据分步乘法计数原理有，扣除郁金香在两边，排盆虞美人、盆郁金香有种，再将盆锦紫苏放入到3个位置中有，根据分步计数原理有，所以共有种.故选:B.例112019年4月23日中国人民海军建军70周年.为展现人民海军70年来的辉煌历程和取得的巨大成就，我国在山东青岛及附近海空举行盛大的阅兵仪式.我国第一艘航空母舰“辽宁舰”作战群将参加军演，要求2艘攻击型核潜艇一前一

15、后，3艘驱逐舰和3艘护卫舰分列左右，每侧3艘，同侧不能都是同种舰艇，则舰艇分配方案的方法种数为（ ）A1296B648C324D72【解析】由题意可得：2艘攻击型核潜艇一前一后，有种方法排列，6艘舰艇的任意排列，有种方法排列，6艘舰艇每侧3艘且同侧是同种舰艇，有种方法排列，6艘舰艇每侧3艘，同侧不能都是同种舰艇，有种方法排列，舰艇分配方案的方法种数有： 故选：A例12现“学习强国”平台设有“阅读文章”、“视听学习”等多个栏目.在某时段时，更新了2篇文章和4个视频，一位学习者准备学习这2篇文章和其中2个视频，则这2篇文章学习顺序不相邻的学法有（ ）种.A24B36C72D144【解析】根据题意，

16、分2步进行分析：，在4个视频中任选2个进行学习，有种情况，将选出的2个视频与2篇文章依次进行学习，共有种情况，其中2篇文章学习顺序相邻的情况有种情况，故2篇文章学习顺序不相邻的情况有12种，则这2篇文章学习顺序不相邻的学法有种；故选：C例13在报名的名男教师和名女教师中，选取人参加义务献血，要求男、女教师都有，则不同的选取方式的种数为（ ）ABCD【解析】试题分析：由题可从反面处理，即从选法中减去全是女生的选法，则可得有；种选法例14某部门在一周的7天内给3名实习生每人安排1天的工作，若每天最多安排一名实习生，且这3名实习生不能安排在连续的3天，则不同的安排方案的种数为（ ）A30B120C1

17、80D210【解析】由题意，将3名实习生随机安排在一周的7天内，共有种安排方案，将3名实习生安排在连续的3天的安排方案有种，所以满足题意的不同安排方案有（种）故选：C例15我省某医院呼吸科要从2名男医生，3名女医生中选派3人支持湖北省参加疫情防控工作，若这3人中至少有1名男医生，则选派方案有（ ）A60种B12种C10种D9种【解析】根据题意，有2名男医生，3名女医生，共5名医生中选派3人，有种选法，其中没有男医生，即全部为女医生的选法有种，则有种不同的选法；故选：D例16有13名医生，其中女医生6人，现从中抽调5名医生组成医疗小组前往湖北疫区，若医疗小组至少有2名男医生，同时至多有3名女医生

18、，设不同的选派方法种数为，则下列等式能成为的算式是（ ）.A；B；C；D；【解析】解：13名医生，其中女医生6人，男医生7人利用直接法，2男3女：；3男2女：；4男1女：；5男：，所以；利用间接法：13名医生，任取5人，减去4、5名女医生的情况，即；所以能成为的算式是BC故选：BC例17在100件产品中，有98件合格品，2件不合格品，从这100件产品中任意抽出3件，则( )A抽出的3件中恰好有1件是不合格品的抽法有种B抽出的3件中恰好有1件是不合格品的抽法有种C抽出的3件中至少有1件是不合格品的抽法有种D抽出的3件中至少有1件是不合格品的抽法有种【解析】由题意知，抽出的三件产品恰好有一件不合格

19、品,则包括一件不合格品和两件合格品,共有种结果，则选项A正确，B不正确；根据题意,至少有1件不合格品可分为有1件不合格品与有2件不合格品两种情况,有1件不合格品的抽取方法有种,有2不合格次品的抽取方法有种,则共有种不同的抽取方法,选项C正确；至少有1件不合格品的对立事件是三件都是合格品，三件都是合格品的抽取方法有种,抽出的3件中至少有1件是不合格品的抽法有，选项D正确；故选：ACD.例18新型冠状病毒疫情期间，位党员需要被安排到个不同的路口执勤，每个路口至少安排一人，其中党员甲和乙不能被安排到同一个路口，那么总共有_种不同安排方法（用数字作答）【解析】先考虑没有限制条件下的排法种数，将人分为三

20、组，三组的人数分别为、或、，此时，所有的排法种数为.其次考虑甲、乙两人安排在同一路口时的排法种数，此时有种排法.综上所述，共有种.故答案为：.例19某单位拟安排6位员工在今年6月14号至16号（某节假期）值班，每天安排2人，每人值班1天.若6位员工中的甲不值16号，乙不值14号，则不同的安排方法共有_种.【解析】解：根据题意，不同的安排方法的数目为：所有排法减去甲值16号或乙值14号的排法数，再加上甲值16号且乙值14号的排法，即，故答案为：42例20从数字0，1，2，3，4，5，6中任取3个，这3个数的乘积为偶数时的不同取法共有_种（用数字作答）.【解析】从数字0，1，2，3，4，5，6中任

21、取3个，共有，乘积为奇数只有一种情况故这3个数的乘积为偶数时的不同取法共有种.故答案为：例21中国有十二生肖，又叫十二属相，是以十二种动物（鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪）形象化代表人的出生年份，现有十二生肖的吉祥物各一个，三位属相不同的小朋友依次每人选一个，则三位小朋友都不选和自己属相相同的吉祥物的选法有_种【解析】解：三位小朋友选择的总情况共有（种）三人都选与自己属相相同的吉祥物，有1种选法；三人中有二人选与自己属相相同的吉祥物，选法共有（种）；三人中有一人选与自己属相相同的吉祥物，选法有（种），所以三位小朋友都不选和自己属相相同的吉祥物的选法有（种）故答案为：例22从正方

22、体的8个顶点中选4个点作一个平面，可作_个不同的平面，从正方体的8个顶点中选4个点作一个四面体，可作_个四面体.【解析】正方体的8个顶点中选4个点作一个平面，共有正方体的6个面和6个对角面，共12个不同平面，故可作个四面体.故答案为：12；58.例23由数字1，2，3，4，5组成无重复数字的五位数.（1）共可以组成多少个五位数？（2）其中奇数有多少个？（3）如果将所有的五位数按从小到大的顺序排列，43125是第几个数？说明理由.【解析】（1）由数字1，2，3，4，5组成无重复数字的五位数，共可以组成A55120个五位数（2）由1、2、3、4、5组成的无重复数字的五位数的奇数，第五个数字必须从1

23、、3、5中选出，共有C31种结果，其余四个位置可以用四个元素在四个位置进行全排列，共有A44种结果，根据分步计数原理得到共有C31A4472；（3）根据题意，用1、2、3、4、5这五个数字组成无重复数字的五位数，有A55120种情况，即一共有120个五位数，再考虑大于43125的数，分为以下四类讨论：1、5在首位，将其他4个数字全排列即可，有A4424个，2、4在首位，5在千位，将其他3个数字全排列即可，有A336个，3、4在首位，3在千位，5在百位，将其他2个数字全排列即可，有A222个，4、43215，43251，43152，共3个故不大于43125的五位数有120（24+6+2+3）85

24、个，即43125是第85项专题10 几何问题 例1从正方体六个面的对角线中任取两条作为一对其中所成的角为的共有A24对B30对C48对D60对例2四面体的一个顶点为，从其它顶点与各棱的中点中取3个点，使它们和点在同一平面上，不同的取法有A30种B33种C36种D39种例3从四面体的顶点及各棱的中点这十个点中，任取3个点确定一个平面，则不同平面个数为A17B23C25D29例4四面体的顶点和各棱中点共10个点，在其中取4个不共面的点，则不同的取法共有A150种B147种C144种D141种例5如果一条直线与一个平面平行，那么称此直线与平面构成一个“平行线面组”，在一个长方体中，由两个顶点确定的直

25、线与含有四个顶点的平面构成的“平行线面组”的个数是A60B48C36D24例6正八边形的8个顶点，以其中3个点为顶点的不同位置的直角三角形共有 个例7如图所示，在连接正八边形的三个顶点而成的三角形中，与正八边形有公共边的三角形有多少个例8.不共面的四点确定四面体(记得易除共面的情况）(I)以正方体的顶点为顶点,可以确定多少个四面体?（II）以正方体的顶点为顶点,可以确定多少个四棱锥?例9.考虑的正方形方格表中的25个格点,则通过至少3个格点有不同直线的数目为 例10.如图，给定由10个点(任意相邻两点距离为1)组成的正三角形点阵，在其中任意取三个点，以这三个点为顶点构成的正三角形的个数是 专题

26、10 几何问题例1从正方体六个面的对角线中任取两条作为一对其中所成的角为的共有 A24对B30对C48对D60对【解析】正方体的面对角线共有12条，两条为一对，共有对，同一面上的对角线不满足题意，对面的面对角线也不满足题意，一组平行平面共有6对不满足题意的直线对数，不满足题意的共有：从正方体六个面的对角线中任取两条作为一对其中所成的角为的共有：故选：例2四面体的一个顶点为，从其它顶点与各棱的中点中取3个点，使它们和点在同一平面上，不同的取法有A30种B33种C36种D39种【解析】根据题意，如图，分析可得，所取的3点在3个侧面上时，每个侧面有种取法，共种情况；所取的3点不在侧面上时，含顶点的三

27、条棱上各有三个点，它们与所对的棱的中点共面，共有3种取法；综合可得，共种，故选：例3从四面体的顶点及各棱的中点这十个点中，任取3个点确定一个平面，则不同平面个数为A17B23C25D29【解析】考虑点的选择：（1）三个点都是顶点：一共有4种，就是四面体的四个表面；（2）两个顶点，一个棱中点：为了不和上面的四个面重合，当两个顶点确定时，只有一个选择（此时的面就是一条棱和它的对棱的中点确定的面），所以这种情况一共有6种；（3）一个顶点，两个棱中点：为了不和上面重合，确定一个顶点后，则只能选取它的对面的三个中点了，有3种情况，共有种；（4）三个都是棱中点：可以在正四面体中想，这样的面要么和外表面平行

28、要么和一对对棱平行，所以有种，综上，共有种故选：例4四面体的顶点和各棱中点共10个点，在其中取4个不共面的点，则不同的取法共有A150种B147种C144种D141种【解析】从10个点中任取4个点有种取法，其中4点共面的情况有三类第一类，取出的4个点位于四面体的同一个面上，有种；第二类，取任一条棱上的3个点及该棱对棱的中点，这4点共面，有6种；第三类，由中位线构成的平行四边形（其两组对边分别平行于四面体相对的两条棱），它的4顶点共面，有3种以上三类情况不合要求应减掉，不同的取法共有种故选：例5如果一条直线与一个平面平行，那么称此直线与平面构成一个“平行线面组”，在一个长方体中，由两个顶点确定的

29、直线与含有四个顶点的平面构成的“平行线面组”的个数是A60B48C36D24【解析】由题意知本题是一个分类计数问题，一个长方体的面可以和它相对的面上的4条棱和两条对角线组成6个，一共有6个面，共有种结果，长方体的对角面组成两组，共有6个对角面，共有12种结果，根据分类计数原理知共有种结果，故选：例6正八边形的8个顶点，以其中3个点为顶点的不同位置的直角三角形共有 个【解析】正八边形的8个顶点在同一个圆上，8个等分点可得4条直径，可构成直角三角形有个，故答案为：24例7如图所示，在连接正八边形的三个顶点而成的三角形中，与正八边形有公共边的三角形有多少个【解析】把与正八边形有公共边的三角形分为两类

30、：第一类，有一条公共边的三角形共有（个；第二类，有两条公共边的三角形共有8（个由分类加法计数原理知，共有（个例8.不共面的四点确定四面体(记得易除共面的情况）(I)以正方体的顶点为顶点,可以确定多少个四面体?（II）以正方体的顶点为顶点,可以确定多少个四棱锥?【解析】（I）正方体的8个顶点可构成个四点组,其中共面的四点组有正方体的6个表面及正方体6组相对棱分别所在的6个平面的四个顶点,故可以确定四面体的个数为(II)由(I)知，正方体共面的四点组有12个,以这每一个四点组构成的四边形为底面,以其余的四个点中任意一点为顶点都可以确定一个四棱锥,故可以确定四棱锥的个数为例9.考虑的正方形方格表中的25个格点,则通过至少3个格点有不同直线的数目为 【解析】水平和竖直的直线共有10条,两条对角线和与两条对角线平行的直线共有10条,在的正方形中有6个的长方形,每个的长方形有2条对角线，即条,因此共有32条.例10.如图，给定由10个点(任意相邻两点距离为1)组成的正三角形点阵，在其中任意取三个点，以这三个点为顶点构成的正三角形的个数是 【解析】如图：边长为1的正三角形共有1+3+5=9个；边长为2的正三角形共有3个；边长为3的正三角形共有1个；边长为的正三角形有2个.综上可知:共有9+3+1+2=15个.18