2024年新高考数学题型全归纳之排列组合专题17 构造法模型和递推模型含答案.docx

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1、2024年新高考数学题型全归纳之排列组合专题17 构造法模型和递推模型类型1：构造法模型 例1某人连续射击8次有四次命中，其中有三次连续命中，按“中”与“不中”报告结果，不同的结果有多少种例2.个人参加秋游带10瓶饮料，每人至少带1瓶，一共有多少钟不同的带法例3.从1，2，3，1000个自然数中任取10个不连续的自然数，有多少种不同的去法例4.某城市街道呈棋盘形，南北向大街5条，东西向大街4条，一人欲从西南角走到东北角，路程最短的走法有多少种例5.一个楼梯共18个台阶12步登完，可一步登一个台阶也可一步登两个台阶，一共有多少种不同的走法例6. 求（a+b+c）10的展开式的项数例7. 亚、欧乒

2、乓球对抗赛，各队均有5名队员，按事先排好的顺序参加擂台赛，双方先由1号队员比赛，负者淘汰，胜者再与负方2号队员比赛，直到一方全被淘汰为止，另一方获胜，形成一种比赛过程那么所有可能出现的比赛过程有多少种？例8.马路上有编号为1,2,3,4,5,6,7,8,9的九只路灯,现要关掉其中的3盏,但不能关掉相邻的2盏或3盏,也不能关掉两端的2盏,求满足条件的关灯方法有多少种？ 例9.25人排成55方阵,现从中选3人,要求3人不在同一行也不在同一列,不同的选法有多少种？类型2：递推模型例15个人站成一列，重新站队时各人都不站在原来的位置上，共有种不同的站法A42B44C46D48例2欲登上第10级楼梯，如

3、果规定每步只能跨上一级或二级，问共有89种不同的走法制发例3.甲、乙、丙三人互相传球，先由甲开始作第一次传球，则5次后球仍回到甲手中的不同传球方式有A6 种B8种C10种D16种例4甲，乙，丙三人练习传球，首先由甲发球，连续10次传球后，球又回到甲手中的不同传球路线有342种例5某校有教职员工150人，为了丰富教工的课余生活，每天下午同时开放健身房和娱乐室，要求所有教工每天必须参加一个活动据调查统计，每次去健身房的人有下次去娱乐室，而在娱乐室的人有下次去健身房请问，随着时间的推移，去健身房的人数能否趋于稳定？例6.五个人排成一列,重新站队时,各人都不站在原来的位置上,那么不同的站队方式共有（

4、）A.60种 B.44种C.36种 D.24种例7.有排成一行的个方格,用红、黄、蓝三色涂每个格子,每格涂一色，要求任何相邻的格不同色，且首尾两格也不同色,阳有多少种涂法?例8.一只猴子爬一个8级的梯子,每次可爬一级或上跃二级,最多上跃三级.从地面上到最上一级,一共可以有多少种不同的爬跃方式？例9.用4种不同颜色涂四边形的4个顶点,要求每点染一种颜色,相邻的顶点染不同的颜色，求不同的染色方法？例10.五个人排成一列,重新站队时,各人都不站在原来的位置上,那么不同的站队方式共有多少种?专题17 构造法模型和递推模型类型1：构造法模型 例1某人连续射击8次有四次命中，其中有三次连续命中，按“中”与

5、“不中”报告结果，不同的结果有多少种【解析】把问题转化为四个相同的黑球与四个相同白球，其中只有三个黑球相邻的排列问题=20种例2.个人参加秋游带10瓶饮料，每人至少带1瓶，一共有多少钟不同的带法【解析】把问题转化为5个相同的白球不相邻地插入已经排好的10个相同的黑球之间的9个空隙种的排列问题=126种例3.从1，2，3，1000个自然数中任取10个不连续的自然数，有多少种不同的去法【解析】把稳体转化为10个相同的黑球与990个相同白球，其其中黑球不相邻的排列问题。例4.某城市街道呈棋盘形，南北向大街5条，东西向大街4条，一人欲从西南角走到东北角，路程最短的走法有多少种【解析】无论怎样走必须经过

6、三横四纵，因此，把问题转化为3个相同的白球与四个相同的黑球的排列问题=35（种）例5.一个楼梯共18个台阶12步登完，可一步登一个台阶也可一步登两个台阶，一共有多少种不同的走法【解析】根据题意要想12步登完只能6个一步登一个台阶，6个一步登两个台阶，因此，把问题转化为6个相同的黑球与6个相同的白球的排列问题=924（种）例6. 求（a+b+c）10的展开式的项数【解析】展开使的项为abc,且+=10，因此，把问题转化为2个相同的黑球与10个相同的白球的排列问题=66（种）例7. 亚、欧乒乓球对抗赛，各队均有5名队员，按事先排好的顺序参加擂台赛，双方先由1号队员比赛，负者淘汰，胜者再与负方2号队

7、员比赛，直到一方全被淘汰为止，另一方获胜，形成一种比赛过程那么所有可能出现的比赛过程有多少种？【解析】设亚洲队队员为a1,a2，,a5,欧洲队队员为b1，b2，b5，下标表示事先排列的出场顺序，若以依次被淘汰的队员为顺序比赛过程转化为这10个字母互相穿插的一个排列，最后师胜队种步被淘汰的队员和可能未参加参赛的队员，所以比赛过程可表示为5个相同的白球和5个相同黑球排列问题，比赛过程的总数为=252（种）例8.马路上有编号为1,2,3,4,5,6,7,8,9的九只路灯,现要关掉其中的3盏,但不能关掉相邻的2盏或3盏,也不能关掉两端的2盏,求满足条件的关灯方法有多少种？【解析】把此问题当作一个排队模

8、型在6盏亮灯的5个空隙中插入3个不亮的灯有 种 例9.25人排成55方阵,现从中选3人,要求3人不在同一行也不在同一列,不同的选法有多少种？【解析】将这个问题退化成9人排成33方阵,现从中选3人,要求3人不在同一行也不在同一列,有多少选法.这样每行必有1人从其中的一行中选取1人后,把这人所在的行列都划掉，如此继续下去.从33方队中选3人的方法有种。再从55方阵选出33方阵便可解决问题.从55方队中选取3行3列有选法所以从55方阵选不在同一行也不在同一列的3人有选法。类型2：递推模型例15个人站成一列，重新站队时各人都不站在原来的位置上，共有种不同的站法A42B44C46D48【解析】首先我们把

9、人数推广到个人，即个人排成一列，重新站队时，各人都不站在原来的位置上设满足这样的站队方式有种，现在我们来通过合理分步，恰当分类找出递推关系：第一步：第一个人不站在原来的第一个位置，有种站法第二步：假设第一个人站在第2个位置，则第二个人的站法又可以分为两类：第一类，第二个人恰好站在第一个位置，则余下的个人有种站队方式；第二类，第二个人不站在第一个位置，则就是第二个人不站在第一个位置，第三个人不站在第三个位置，第四个人不站在第四个位置，第个人不站在第个位置，所以有种站队方式由分步计数原理和分类计数原理，我们便得到了数列的递推关系式：，显然，有44种排法故选：例2欲登上第10级楼梯，如果规定每步只能

10、跨上一级或二级，问共有89种不同的走法【解析】最后走到第十阶，可能是从第八阶直接上去，也可以从第九阶上去，设上级楼梯的走法是，则的值与等于与的值的和，一阶为1种走法：（1）二阶为2种走法：（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）（9）故答案为：89制发例3.甲、乙、丙三人互相传球，先由甲开始作第一次传球，则5次后球仍回到甲手中的不同传球方式有A6 种B8种C10种D16种【解析】根据题意，设在第次传球后，有种情况球在甲手中，即经过次传递后，球又被传回给甲，而前次传球中，每次传球都有2种方法，则前次传球的不同的传球方法共有种，那么在第次传球后，球不在甲手中的情况有种情况，即球在乙或丙手中，只有

11、在这些情况时，在第次传球后，球才会被传回甲，即；易得，则，故选：例4甲，乙，丙三人练习传球，首先由甲发球，连续10次传球后，球又回到甲手中的不同传球路线有342种【解析】解：设经过次传球后球回到甲手中的传法有种则经过次传球后球回到甲手中的传法有种而次传球一共有次传法，所以经过次传球后球没有回到甲手中的传法有，故答案为342例5某校有教职员工150人，为了丰富教工的课余生活，每天下午同时开放健身房和娱乐室，要求所有教工每天必须参加一个活动据调查统计，每次去健身房的人有下次去娱乐室，而在娱乐室的人有下次去健身房请问，随着时间的推移，去健身房的人数能否趋于稳定？【解析】记第天去健身房的人数为，去娱乐

12、室的人数为，则；当时，则，当时，则，即；数列是为首项，以0.7为公比的等比数列；，即；当时，；即随着时间的推移，去健身房的人数应稳定于100人左右例6.五个人排成一列,重新站队时,各人都不站在原来的位置上,那么不同的站队方式共有（ ）A.60种 B.44种C.36种 D.24种【解析】首先我们把人数推广到个人,即个人排成一列,重新站队时,各人都不站在原来的位置上.设满足这样的站队方式有种,现在我们来通过合理分步,恰当分类找出递推关系:第一步:第一个人不站在原来的第一个位置,有种站法.第二步:假设第一个人站在第2个位置,则第二个人的站法又可以分为两类:第一类,第二个人恰好站在第个位置,则余下的个

13、人有种站队方式;第二类,第二个人不站在第一个位置,则就是第二个人不站在第一个位置,第三个人不站在第三个位置,第四个人不站在第四个位置,第个人不站在第个位置,所以有种站队方式.由分步计数原理和分类计数原理,我们便得到了数列的递推关系式:显然再由递推关系有故应选B.例7.有排成一行的个方格,用红、黄、蓝三色涂每个格子,每格涂一色，要求任何相邻的格不同色，且首尾两格也不同色,阳有多少种涂法?【解析】设共有种不同涂法.易得，且当时,将个格子依此编号后,则格1与格()不相邻.(1)若格涂色与格1不同,此时格只有一色可涂,且前格满足首尾两格不同色,故有种不同涂法.(2)若格(-1)涂色与格1相同,此时格(

14、-2)与格1涂色必然不同,否则格与格相同,于是前格有种不同涂法.因为格与格1不同色,有两种涂法,故有种不同涂法.综上可得递推关系式并可得.例8.一只猴子爬一个8级的梯子,每次可爬一级或上跃二级,最多上跃三级.从地面上到最上一级,一共可以有多少种不同的爬跃方式？【解析】易得.把问题一般化,设一共有级梯子,每次可爬一级或上跃二级,最多上跃三级.设共有种不同的爬跃方式.若第一次爬了一级,则有种方式;若第一次上跃二级，则有种方式;若第一次上跃三级,则有种方式.因此:易得.即共有81种不同的爬跃方式.例9.用4种不同颜色涂四边形的4个顶点,要求每点染一种颜色,相邻的顶点染不同的颜色，求不同的染色方法？【

15、解析】我们先把这个题目推广:用种不同颜色给边形的个顶点染色（其中且为常数),每点染一种颜色,相邻的顶点染不同的颜色,不同的染色方法有多少种?设不同的染色方法有种，现在我们来通过合理分布，恰当分类找出递推关系：第一步:染有种染法第二步:染,有种染法同理，染均有种染法，最后染如果仅考虑与不同色，则仍有种染法，相乘得种染法,但要去掉与同色的染法数,此时可将与合并看成一个点,得出需要排除的染法数为,所以有显然.又本题中,颜色数所以递推关系为又所以种),故不同的染色方法种数有84种.例10.五个人排成一列,重新站队时,各人都不站在原来的位置上,那么不同的站队方式共有多少种?【解析】首先我们把人数推广到个

16、人,即个人排成一列,重新站队时,各人都不站在原来的位置上.设满足这样的站队方式有种，现在我们来通过合理分步,恰当分类找出递推美系：第一步:第一个人不站在原来的第一个位置,有种站法.第二步：假设第一个人站在第2个位置，则第二个人的站法又可以分为两类:第一类,第二个人恰好站在第一个位置，则余下的-2个人有种站队方式;第二类，第二个人不站在第一个位置,则就是第二个人不站在第一个位置，第三个人不站在第三个位置，第四个人不站在第四个位置，第个人不站在第个位置,所以有种站队方式.由分步计数原理和分类计数原理，,我们便得到了数列的递推关系式：再由递推关系有故共有44种.专题18 环排问题例17颗颜色不同的珠

17、子，可穿成种不同的珠子圈 例26颗颜色不同的钻石，可穿成几种钻石圈？例3有5个匣子，每个匣子有一把钥匙，并且钥匙不能通用，如果在每一个匣子内各放入一把钥匙，然后把匣子全部锁上，要求砸开一个匣子后，能继续用钥匙打开其余4个匣子，那么钥匙的放法有种例4. 8人围桌而坐,共有多少种坐法?例5A，B，C，D，E，F六人围坐在一张圆桌周围开会，A是会议的中心发言人，必须坐最北面的椅子，B，C二人必须坐相邻的两把椅子，其余三人坐剩余的三把椅子，则不同的座次有（ ）A60种B48种C30种D24种例6现有一圆桌，周边有标号为1，2，3，4的四个座位，甲、乙、丙、丁四位同学坐在一起探讨一个数学课题，每人只能坐

18、一个座位，甲先选座位，且甲、乙不能相邻，则所有选座方法有_种（用数字作答）例78人围圆桌开会，其中正、副组长各1人，记录员1人.(1)若正、副组长相邻而坐，有多少种坐法？(2)若记录员坐于正、副组长之间，有多少种坐法？专题18 环排问题例17颗颜色不同的珠子，可穿成种不同的珠子圈 【解析】因为由于环状排列没有首尾之分，将个元素围成的环状排列剪开看成个元素排成一排，即共有 种排法由于个元素共有种不同的剪法，则环状排列共有种排法，而珠子圈没有反正，故7颗颜色不同的珠子，可穿成种不同的珠子圈故答案为：360例26颗颜色不同的钻石，可穿成几种钻石圈？【解析】因为由于环状排列没有首尾之分，将个元素围成的

19、环状排列剪开看成个元素排成一排，即共有种种排法由于个元素共有种不同的剪法，则环状排列共有有种种排法，而钻石圈没有反正，故6颗颜色不同的钻石，可穿成种不同的钻石圈例3有5个匣子，每个匣子有一把钥匙，并且钥匙不能通用，如果在每一个匣子内各放入一把钥匙，然后把匣子全部锁上，要求砸开一个匣子后，能继续用钥匙打开其余4个匣子，那么钥匙的放法有种【解析】在砸开的匣子中必放有另一个匣子的钥匙，在匣子中又放有匣子的钥匙，在匣子中放有匣子的钥匙，在匣子中放有匣子的钥匙，在匣子中放有被砸开的匣子的钥匙记这个砸开的匣子为这就相当于1，2，3，4，5形成一个环状排列，反过来，对由1，2，3，4，5排成的每一种环状排列

20、，也就可以对应成一种相继打开各个匣子的一种放钥匙的方法先让5个匣子沿着圆环对号入座，再在每个匣子中放入其下方的匣子的钥匙（如图），这就得到种相继打开各个匣子的放钥匙的方法所以，可使所有匣子相继打开的放钥匙的方法数恰与1，2，3，4，5的环状排列数相等，由于每个环状排列（如图）可以剪开拉直为5个排列：，；，；，；，；，；反之，5个这样的排列对应着一个环状排列，因而5个元素的环状排列数为：（种一般地，个元素的环状排列数为种故答案为：24例4. 8人围桌而坐,共有多少种坐法?【解析】围桌而坐与坐成一排的不同点在于，坐成圆形没有首尾之分，所以固定一人并从此位置把圆形展成直线其余7人共有（8-1）！种排

21、法即！ 例5A，B，C，D，E，F六人围坐在一张圆桌周围开会，A是会议的中心发言人，必须坐最北面的椅子，B，C二人必须坐相邻的两把椅子，其余三人坐剩余的三把椅子，则不同的座次有（ ）A60种B48种C30种D24种【解析】首先，A是会议的中心发言人，必须坐最北面的椅子，考虑B、C两人的情况，只能选择相邻的两个座位，位置可以互换，根据排列数的计算公式，得到，接下来，考虑其余三人的情况，其余位置可以互换，可得种，最后根据分步计数原理，得到种，故选B.例6现有一圆桌，周边有标号为1，2，3，4的四个座位，甲、乙、丙、丁四位同学坐在一起探讨一个数学课题，每人只能坐一个座位，甲先选座位，且甲、乙不能相邻

22、，则所有选座方法有_种（用数字作答）【解析】先按排甲，其选座方法有种，由于甲、乙不能相邻，所以乙只能坐甲对面，而丙、丁两位同学坐另两个位置的坐法有种，所以共有坐法种数为种故答案为8例78人围圆桌开会，其中正、副组长各1人，记录员1人.(1)若正、副组长相邻而坐，有多少种坐法？(2)若记录员坐于正、副组长之间，有多少种坐法？【解析】(1)正、副组长相邻而坐，可将此2人当作1人看，即7人围一圆桌，有(71)！6！种坐法，又因为正、副组长2人可换位，有2！种坐法故所求坐法为(71)！2！1440种(2)记录员坐在正、副组长中间，可将此3人视作1人，即6人围一圆桌，有(61)！5！种坐法，又因为正、副组长2人可以换位，有2！种坐法，故所求坐法为5！2！240种15