重难点突破--高二数学上册常考题专练（人教A版2019选修一）专题15圆锥曲线常考题型03——定点问题含答案.docx

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1、重难点突破-高二数学上册常考题专练（人教A版2019选修一）专题15 圆锥曲线常考题型03定点问题圆锥曲线中的定点问题是高考命题的一个热点，也是圆锥曲线问题中的一个难点解决这个难点没有常规的方法，但解决这个难点的基本思想是明确的，定点问题必然是在变化中所表现出来的不变的量，那么就可以用变量表示问题中的直线方程、数量积、比例关系等，而这些直线方程、数量积、比例关系中不受变量影响的某个点，就是要求的定点求解这类难点问题的关键就是引进变化的参数表示直线方程、数量积、比例关系等，根据等式恒成立、数式变换等寻找不受参数影响的量1如图，已知抛物线上一点到焦点的距离为3，直线与抛物线交于，两点，且，为坐标原

2、点）（1）求抛物线的方程；（2）求证：直线过定点2已知抛物线（1）若与圆在第一象限内交于，两点，求直线的方程；（2）直线过点交于，两点，点关于轴的对称点为，直线交轴于点，求证：为定点3设，和，是抛物线上的两点，且（）若，求直线的方程；（）证明：当点，在上运动时，线段的垂直平分线过定点4已知曲线上的任意一点到点的距离比到直线的距离小1（）求曲线的方程；（）若不经过坐标原点的直线与曲线交于，两点，以线段为直径的圆过点，求证：直线过定点5如图，过顶点在原点、对称轴为轴的抛物线上的点作斜率分别为，的直线，分别交抛物线于，两点（1）求抛物线的标准方程和准线方程；（2）若，证明：直线恒过定点6已知动圆过定

3、点，且在轴上截得的弦的长为8（）求动圆圆心的轨迹的方程；（）已知点，设不垂直于轴的直线与轨迹交于不同的两点，若轴是的角平分线，证明直线过定点7已知抛物线的焦点为，且点与圆上点的距离的最大值为（1）求；（2）已知直线与相交于，两点，过点作平行于轴的直线交直线于点问：直线是否过轴上的一定点？若过定点，求出该定点的坐标；若不过定点，试说明理由8已知直线与抛物线相交于，两点，满足定点，是抛物线上一动点，设直线，与抛物线的另一个交点分别是，（1）求抛物线的方程；（2）求证：当点在抛物线上变动时（只要点、存在且不重合），直线恒过一个定点；并求出这个定点的坐标9在平面直角坐标系中，已知动点到点的距离为，到直

4、线距离为，且，记动点的轨迹为曲线（1）求曲线的方程；（2）已知斜率之和为的两条直线，相交于点，直线，与曲线分别相交于，四点，且线段、线段的中点分别为，问：直线是否过定点？若过定点，请求出该定点的坐标；若不过定点，请说明理由10在平面直角坐标系中，已知动点到点的距离与它到直线的距离之比为记点的轨迹为曲线（1）求曲线的方程；（2）过点作两条互相垂直的直线，交曲线于，两点，交曲线于，两点，线段的中点为，线段的中点为证明：直线过定点，并求出该定点坐标11已知曲线上的任意一点到点的距离与到直线的距离相等（）求曲线的方程；（）若不经过坐标原点的直线与曲线交于，两点，且求证：直线过定点12已知双曲线的离心率

5、为，且该双曲线经过点（1）求双曲线的方程；（2）设斜率分别为，的两条直线，均经过点，且直线，与双曲线分别交于，两点，异于点，若，试判断直线是否经过定点，若存在定点，求出该定点坐标；若不存在，说明理由13设是椭圆上异于长轴顶点，的任意一点，过作的切线与分别过，的切线交于，两点已知，椭圆的离心率为（1）求椭圆的方程；（2）以为直径的圆是否过轴上的定点？如果过定点，请予以证明，并求出定点；如果不过定点，说明理由14设为坐标原点，椭圆的焦距为，离心率为，直线与交于，两点（1）求椭圆的方程；（2）设点，求证：直线过定点，并求出定点的坐标15已知椭圆的左、右焦点分别为，设点，在中，周长为（1）求椭圆的方程

6、；（2）设不经过点的直线与椭圆相交于，两点，若直线与的斜率之和为，求证：直线过定点，并求出该定点的坐标16已知斜率为的直线经过点与抛物线，为常数）交于不同的两点，当时，弦的长为（1）求抛物线的标准方程；（2）过点的直线交抛物线于另一点，且直线经过点，判断直线是否过定点？若过定点，求出该点坐标；若不过定点，请说明理由17过点的动直线与抛物线相交于、两点，已知当的斜率为时，（1）求抛物线的方程；（2）设圆，已知，是抛物线上的两动点，且直线，都与圆相切是坐标原点），求证：直线经过一定点，并求出该定点坐标18从抛物线上任意一点向轴作垂线段，垂足为，点是线段上的一点，且满足（1）求点的轨迹的方程；（2）

7、设直线与轨迹交于，两点，为上异于，的任意一点，直线，分别与直线交于，两点，以为直径的圆是否过轴上的定点？若过定点，求出符合条件的所有定点坐标；若不过定点，请说明理由19已知椭圆的右焦点为，且经过点（）求椭圆的方程；（）设为原点，直线与椭圆交于两个不同点、，直线与轴交于点，直线与轴交于点若，求证：直线经过定点20已知椭圆，四点，中恰有三点在椭圆上（1）求的方程；（2）设直线不经过点且与相交于，两点若直线与直线的斜率的和为，证明：过定点21已知椭圆的离心率为，为椭圆的左，右焦点，过斜率不为零的直线交椭圆于，两点，的周长为8（1）求椭圆的方程；（2）设为椭圆的右顶点，直线，分别交直线于，两点，试判断

8、以为直径的圆是否恒过椭圆长轴上一个定点，并说明理由22已知平面内的两点，过点的直线与过点的直线相交于点，若直线与直线的斜率乘积为，设点的轨迹为（1）求的方程（2）设是与轴正半轴的交点，过点作两条直线分别与交于点，若直线，斜率之积为，求证：直线恒过一个定点，并求出这个定点的坐标23已知的两个顶点，的坐标分别是，且直线，的斜率之积是（1）是否存在定点，使得为定值？（2）设点的轨迹为，点，是上互异的三点，且，关于轴对称，求证：直线恒过定点专题15 圆锥曲线常考题型03定点问题圆锥曲线中的定点问题是高考命题的一个热点，也是圆锥曲线问题中的一个难点解决这个难点没有常规的方法，但解决这个难点的基本思想是明

9、确的，定点问题必然是在变化中所表现出来的不变的量，那么就可以用变量表示问题中的直线方程、数量积、比例关系等，而这些直线方程、数量积、比例关系中不受变量影响的某个点，就是要求的定点求解这类难点问题的关键就是引进变化的参数表示直线方程、数量积、比例关系等，根据等式恒成立、数式变换等寻找不受参数影响的量1如图，已知抛物线上一点到焦点的距离为3，直线与抛物线交于，两点，且，为坐标原点）（1）求抛物线的方程；（2）求证：直线过定点【解答】解：（1）由抛物线的方程可得准线的方程为：，再由抛物线的性质：抛物线上的点到焦点的距离等于到直线的距离，所以由题意可得，解得，所以抛物线的方程为：；（2）证明：设直线的

10、方程为，联立，整理可得：，可得：，解得，所以直线的方程为：，所以直线恒过定点2已知抛物线（1）若与圆在第一象限内交于，两点，求直线的方程；（2）直线过点交于，两点，点关于轴的对称点为，直线交轴于点，求证：为定点【解答】解：（1）联立，解得或，故，可得直线的方程为，即，（2）证明：由题意，可设直线方程为，联立直线与抛物线方程，化简整理可得，由韦达定理可得，由题意，可设直线方程为，化简整理可得，解得，方程为，直线必过点，为定点，即得证3设，和，是抛物线上的两点，且（）若，求直线的方程；（）证明：当点，在上运动时，线段的垂直平分线过定点【解答】解：（），和，是抛物线上的两点，且，由，可得，则，或，可

11、得直线的方程为，即为；或，即为；（）证明：由题意可得，相减可得，可得的斜率，可得中点的横坐标为5，可得的垂直平分线方程为，即为，可得，则线段的垂直平分线过定点，4已知曲线上的任意一点到点的距离比到直线的距离小1（）求曲线的方程；（）若不经过坐标原点的直线与曲线交于，两点，以线段为直径的圆过点，求证：直线过定点【解答】解：（）因为曲线上的任意一点到点的距离比到直线的距离小1，所以曲线上的任意一点到点的距离与到直线的距离相等，所以曲线为以为焦点，直线为准线的抛物线，即，所以曲线的方程为（）证明：根据题意当的斜率部位0时，设直线方程为，联立，可得，所以，因为以线段为直径的圆过点，所以，所以，即（舍去

12、）或，所以直线的方程为，即，所以直线经过定点当的斜率为0时，由对称性知，此时也过，所以直线经过定点综上直线经过定点5如图，过顶点在原点、对称轴为轴的抛物线上的点作斜率分别为，的直线，分别交抛物线于，两点（1）求抛物线的标准方程和准线方程；（2）若，证明：直线恒过定点【解答】（1）解：设抛物线的方程为，则代入，可得，抛物线的标准方程为，准线方程为；（2）证明：设，则直线方程，方程，联立直线方程与抛物线方程，消去，得，同理而直线方程为，由，整理得由且，得，故直线经过定点6已知动圆过定点，且在轴上截得的弦的长为8（）求动圆圆心的轨迹的方程；（）已知点，设不垂直于轴的直线与轨迹交于不同的两点，若轴是的

13、角平分线，证明直线过定点【解答】解：（）设圆心，过点作 轴，垂足为，则，化为当时，也满足上式动圆圆心的轨迹的方程为（）设，由题意可知，轴是的角平分线，化为直线的方程为，化为，化为，令，则，直线过定点7已知抛物线的焦点为，且点与圆上点的距离的最大值为（1）求；（2）已知直线与相交于，两点，过点作平行于轴的直线交直线于点问：直线是否过轴上的一定点？若过定点，求出该定点的坐标；若不过定点，试说明理由【解答】解：（1）由抛物线的方程可得焦点，圆可得圆心，半径，到圆的最大距离为：，由题意可得，解得：；（2）由（1）得抛物线的方程为：，设，联立，整理可得：，由题意可得，所以直线的方程为：，令，可得，所以直

14、线恒过轴上的一定点8已知直线与抛物线相交于，两点，满足定点，是抛物线上一动点，设直线，与抛物线的另一个交点分别是，（1）求抛物线的方程；（2）求证：当点在抛物线上变动时（只要点、存在且不重合），直线恒过一个定点；并求出这个定点的坐标【解答】解：（1）设，联立，整理可得：，所以可得，进而可得，由，可得：，即，可得，所以抛物线的方程为：；（2）证明：设，由，三点共线可得，即，整理可得：，所以，同理可得，三点共线，所以直线的方程：，整理可得：，将，的值代入直线方程可得：，所以解得：，所以直线过定点9在平面直角坐标系中，已知动点到点的距离为，到直线距离为，且，记动点的轨迹为曲线（1）求曲线的方程；（2

15、）已知斜率之和为的两条直线，相交于点，直线，与曲线分别相交于，四点，且线段、线段的中点分别为，问：直线是否过定点？若过定点，请求出该定点的坐标；若不过定点，请说明理由【解答】解：（1）因为动点到点的距离为，到直线距离为，且，则动点到点的距离等于到直线的距离，所以点的轨迹为抛物线，其焦点坐标为，故曲线的方程为；（2）设，的方程分别为，联立方程组，可得，所以，则，同理可得，所以，由，所以，则直线的方程为，整理可得，故直线恒过定点10在平面直角坐标系中，已知动点到点的距离与它到直线的距离之比为记点的轨迹为曲线（1）求曲线的方程；（2）过点作两条互相垂直的直线，交曲线于，两点，交曲线于，两点，线段的中

16、点为，线段的中点为证明：直线过定点，并求出该定点坐标【解答】解：（1）设，根据题意可得，化简得曲线的方程为（2）证明：设，若直线，都存且不为零，设直线的方程为，则直线的方程为，由，得，当时，这个方程变为只有一解，直线与曲线只有一个交点，不合题意，当时，直线与曲线恒有两个交点，由韦达定理，故线段的中点为，同理，线段的中点为，若，则，直线的方程为，即，此时，直线恒过点若，则，或，直线的方程为，此时直线过点，若直线，中其中一条的斜率为0，另一条的斜率不存在，不妨设的斜率为0，则直线，此时，直线的方程为，此时，直线也过点，综上，直线也过点11已知曲线上的任意一点到点的距离与到直线的距离相等（）求曲线的

17、方程；（）若不经过坐标原点的直线与曲线交于，两点，且求证：直线过定点【解答】（）解：因为曲线上的任意一点到点的距离与到直线的距离相等，根据抛物线的定义可知，曲线的轨迹是以为焦点，直线为准线的抛物线，故曲线的方程为；（）证明：设直线，联立方程组，可得，所以，所以，因为线段为直线的圆过点，所以为直角三角形，故有，所以，化简可得，又因为，所以，所以，因为，所以，所以，解得或，因为直线不过原点，所以，故，所以直线，令，则，所以直线恒过定点12已知双曲线的离心率为，且该双曲线经过点（1）求双曲线的方程；（2）设斜率分别为，的两条直线，均经过点，且直线，与双曲线分别交于，两点，异于点，若，试判断直线是否经

18、过定点，若存在定点，求出该定点坐标；若不存在，说明理由【解答】解：（1）由离心率为，且，得，即双曲线方程为又点在双曲线上，解得，双曲线的方程为；（2）当直线的斜率不存在时，点，关于轴对称，设，则由，得，即，解得，不符合题意，故直线的斜率存在不妨设直线的方程为，代入，整理得，设，则，由，得，即，整理得，整理得：，即，或当时，直线的方程为，经过定点；当时，直线的方程为，经过定点，不符合题意综上，直线过定点13设是椭圆上异于长轴顶点，的任意一点，过作的切线与分别过，的切线交于，两点已知，椭圆的离心率为（1）求椭圆的方程；（2）以为直径的圆是否过轴上的定点？如果过定点，请予以证明，并求出定点；如果不过

19、定点，说明理由【解答】解：（1）由题可知，解得，所以，所以的方程为（2）设，由于是异于长轴顶点，的任意一点，故切线斜率存在设过的椭圆的切线为，联立方程，得，结合，解得过点的切线方程为由于分别过，的切线分别为，解得，的坐标为，在轴上取点，则，所以，当时，所以，以为直径的圆过轴上的定点为，14设为坐标原点，椭圆的焦距为，离心率为，直线与交于，两点（1）求椭圆的方程；（2）设点，求证：直线过定点，并求出定点的坐标【解答】解：（1）椭圆的焦距为，离心率为，即，又椭圆离心率为，故椭圆的方程为：（2）设，联立，消去整理得：，所以，所以，因为，所以，所以，整理得：，解得：或（舍去），所以直线过定点15已知椭

20、圆的左、右焦点分别为，设点，在中，周长为（1）求椭圆的方程；（2）设不经过点的直线与椭圆相交于，两点，若直线与的斜率之和为，求证：直线过定点，并求出该定点的坐标【解答】（1）解：由，又的周长为，联立，解得，椭圆方程为；（2）证明：当直线的斜率不存在时，设，由，得，此时，重合，不符合题意；当直线的斜率存在时，设直线方程：，交点，由，依题：，直线方程为：，则过定点16已知斜率为的直线经过点与抛物线，为常数）交于不同的两点，当时，弦的长为（1）求抛物线的标准方程；（2）过点的直线交抛物线于另一点，且直线经过点，判断直线是否过定点？若过定点，求出该点坐标；若不过定点，请说明理由【解答】解：（1）斜率为

21、的直线经过点，直线方程为，联立，得，即（舍或设，则，弦的长为，整理，得，解得或（舍，抛物线的标准方程为（2）设的方程为，代入抛物线的方程，可得设，则，由，直线的方程为，可得，直线的方程为可得，直线过定点17过点的动直线与抛物线相交于、两点，已知当的斜率为时，（1）求抛物线的方程；（2）设圆，已知，是抛物线上的两动点，且直线，都与圆相切是坐标原点），求证：直线经过一定点，并求出该定点坐标【解答】解：（1）由题意可得直线的方程为，设，联立，整理可得，所以，所以，因为，所以，所以由可得，所以抛物线的方程为；（2）证明：显然直线的斜率存在，设直线的方程为，设，联立直线与抛物线的方程可得，所以，所以直线

22、的方程为，即，直线的方程为，即，因为直线，都与圆相切，圆心到直线，的距离相等，所以，整理可得，代入可得，所以，所以直线的方程为，所以直线恒过定点18从抛物线上任意一点向轴作垂线段，垂足为，点是线段上的一点，且满足（1）求点的轨迹的方程；（2）设直线与轨迹交于，两点，为上异于，的任意一点，直线，分别与直线交于，两点，以为直径的圆是否过轴上的定点？若过定点，求出符合条件的所有定点坐标；若不过定点，请说明理由【解答】解：（1）设，则点的坐标为，因为，所以，（2分）即，（3分）因为点在抛物线上，所以，即所以点的轨迹的方程为（5分）（2）以为直径的圆过轴上的定点和理由如下：设直线与曲线的交点坐标为，由得

23、由韦达定理得，（7分）设点，则所以直线的方程为令，得点的坐标为（9分）同理可得点的坐标为（10分）如果以为直径的圆过轴某一定点，则满足因为所以即，解得或故以为直径的圆过轴上的定点和（12分）19已知椭圆的右焦点为，且经过点（）求椭圆的方程；（）设为原点，直线与椭圆交于两个不同点、，直线与轴交于点，直线与轴交于点若，求证：直线经过定点【解答】解：（）椭圆的右焦点为，且经过点可得，则椭圆方程为；（）证明：与椭圆方程联立，可得，设，的方程为，令，可得，即，；的方程为，令，可得即，即为，即有，由，解得，满足，即有直线方程为，恒过原点20已知椭圆，四点，中恰有三点在椭圆上（1）求的方程；（2）设直线不经

24、过点且与相交于，两点若直线与直线的斜率的和为，证明：过定点【解答】解：（1）根据椭圆的对称性，两点必在椭圆上，又的横坐标为1，椭圆必不过，三点在椭圆上把，代入椭圆，得：，解得，椭圆的方程为证明：（2）证法一：当斜率不存在时，设，直线与直线的斜率的和为，解得，此时过椭圆右顶点，不存在两个交点，故不满足当斜率存在时，设，联立，整理，得，则，又，此时，存在，使得成立，直线的方程为，当时，过定点证法二：将坐标系向上平移一个单位，如图：椭圆方程化为，即，设直线对应的直线为，则化齐次联立，得：，整理得，结合两直线斜率之和为，得，直线恒过点，在原坐标系中，直线过点21已知椭圆的离心率为，为椭圆的左，右焦点，

25、过斜率不为零的直线交椭圆于，两点，的周长为8（1）求椭圆的方程；（2）设为椭圆的右顶点，直线，分别交直线于，两点，试判断以为直径的圆是否恒过椭圆长轴上一个定点，并说明理由【解答】解：（1）由题意，因为，所以，而，所以，故椭圆的方程为：，（2）由（1）知，设的方程为：，代入得：，设，则，因为，所以，所以直线的方程为：，令，得，所以，同理可得，若以为直径的圆过长轴上定点，则，设，则，于是对任意实数恒成立，所以，而所以，解得或，因为，所以，以为直径的圆是否恒过椭圆长轴上一个定点，且定点为22已知平面内的两点，过点的直线与过点的直线相交于点，若直线与直线的斜率乘积为，设点的轨迹为（1）求的方程（2）设

26、是与轴正半轴的交点，过点作两条直线分别与交于点，若直线，斜率之积为，求证：直线恒过一个定点，并求出这个定点的坐标【解答】解：（1）设，由直线与直线的斜率乘积为，可得，化为，即为；（2）证明：设直线，则，即，设，而，则由，得，则，即，整理得，解得或（舍去），所以直线，知直线恒过点，23已知的两个顶点，的坐标分别是，且直线，的斜率之积是（1）是否存在定点，使得为定值？（2）设点的轨迹为，点，是上互异的三点，且，关于轴对称，求证：直线恒过定点【解答】解：（1）设，由已知得，则，得，化简得：，由椭圆的定义可知，存在定点定点，使得为定值（2）证明：由于，是上互异的三点，所以，斜率存在，由条件，得设的方程

27、为，将代入，消去得，即，得，由，展开，整理得，解得（舍去）或所以过定点，专题17 圆锥曲线常考题型04定值问题圆锥曲线中的定值问题是圆锥曲线问题中的另一个难点解决这个难点的基本思想是函数思想，可以用变量表示问题中的直线方程、数量积、比例关系等，这些直线方程、数量积、比例关系中不受变量影响的某个值，就是要求的定值具体地说，就是将要证明或要求解的量表示为某个合适变量的函数，化简消去变量即得定值1过抛物线的焦点为且斜率为的直线交曲线于，、，两点，交圆于，两点，两点相邻）求证：为定值；2已知椭圆的左、右顶点分别为、，设是曲线上的任意一点当点异于、时，直线，的斜率分别为，则是否为定值？请说明理由；3椭圆

28、，的离心率，点在上（1）求椭圆的方程；（2）直线不过原点且不平行于坐标轴，与有两个交点，线段的中点为证明：直线的斜率与的斜率的乘积为定值4已知抛物线与双曲线有相同的焦点（1）求的方程，并求其准线的方程；（2）过且斜率存在的直线与交于不同的两点，证明：，均为定值专题17 圆锥曲线常考题型04定值问题圆锥曲线中的定值问题是圆锥曲线问题中的另一个难点解决这个难点的基本思想是函数思想，可以用变量表示问题中的直线方程、数量积、比例关系等，这些直线方程、数量积、比例关系中不受变量影响的某个值，就是要求的定值具体地说，就是将要证明或要求解的量表示为某个合适变量的函数，化简消去变量即得定值1过抛物线的焦点为且

29、斜率为的直线交曲线于，、，两点，交圆于，两点，两点相邻）求证：为定值；【解答】证明：依题意直线的方程为，代入，得，则，为定值；2已知椭圆的左、右顶点分别为、，设是曲线上的任意一点当点异于、时，直线，的斜率分别为，则是否为定值？请说明理由；【解答】解：由椭圆的方程及题意可得：，设，因为在椭圆上，所以，所以则，所以由题意可得是为定值，且定值为；3椭圆，的离心率，点在上（1）求椭圆的方程；（2）直线不过原点且不平行于坐标轴，与有两个交点，线段的中点为证明：直线的斜率与的斜率的乘积为定值【解答】（1）解：椭圆，的离心率，点在上，可得，解得，所求椭圆方程为：（2）证明：设直线，把直线代入可得，故，于是在

30、的斜率为：，即直线的斜率与的斜率的乘积为定值4已知抛物线与双曲线有相同的焦点（1）求的方程，并求其准线的方程；（2）过且斜率存在的直线与交于不同的两点，证明：，均为定值【解答】（1）解：双曲线，可得双曲线的右焦点为，则，即，故的方程为，其准线的方程为；（2）证明：由题意直线过点且斜率存在，设其方程为，联立，整理得，为定值，则为定值5已知椭圆的焦点与双曲线的焦点相同，且的离心率为（1）求与的方程；（2）若，直线与交于，两点，且直线，的斜率都存在求的取值范围；试问两直线，的斜率之积是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由【解答】解：（1）因为的离心率为，所以，解得，则的方程为因为的焦点与的

31、焦点相同，所以，所以，则的方程为（2）联立得，其中，解得又直线，的斜率都存在，所以，故的取值范围是设，则，则，故直线，的斜率之积不是定值6设点为双曲线上任意一点，双曲线的离心率为，右焦点与椭圆的右焦点重合（1）求双曲线的标准方程；（2）过点作双曲线两条渐近线的平行线，分别与两渐近线交于点，求证：平行四边形的面积为定值，并求出此定值【解答】解：（1）由双曲线的离心率为，右焦点与椭圆的右焦点重合，得，解得，所以双曲线的方程为（2）设点坐标为，过点与渐近线平行的直线分别为，方程分别为，联立，解得，同理联立，解得，又渐近线方程为，则，所以，又点在双曲线上，则，所以，所以平行四边形的面积为定值，且定值为

32、7已知椭圆的离心率为，点在椭圆上（1）求椭圆的方程；（2）设动直线与椭圆有且仅有一个公共点，判断是否存在以原点为圆心的圆，满足此圆与相交两点，（两点均不在坐标轴上），且使得直线，的斜率之积为定值？若存在，求此圆的方程与定值；若不存在，请说明理由【解答】解：（1）由题意可得，解得：，所以椭圆的方程为：；（2）结论：存在符合条件的圆，且此圆的方程为：，证明如下：假设存在符合条件的圆，且此圆为，当直线的斜率存在，设直线的方程为，联立，整理可得：，因为直线与椭圆有且仅有一个公共点，所以，即，由方程组得，则，设，则，设直线，直线的斜率为，所以，将，代入上式得，要使得以为定值，则，即，所以当圆的方程为时，

33、圆与的斜率不存在时，由题意知的方程为，此时圆与的交点，也满足以为定值，综上，当圆的方程为时，圆与的交点，满足定值8已知抛物线的准线过点（1）求抛物线的标准方程；（2）过点作直线交抛物线于，两点，证明：为定值【解答】（1）解：由题意可得，抛物线的准线方程为，故抛物线的方程为；（2）证明：当直线的斜率不存在时，直线方程为，此时，；当直线的斜率存在时，设直线的方程为，联立，得则为定值9已知平面上的动点及两定点，直线，的斜率分别是，且（1）求动点的轨迹的方程；（2）设直线与曲线交于不同的两点，若为坐标原点），证明点到直线的距离为定值，并求出这个定值若直线，的斜率都存在并满足，证明直线过定点，并求出这个

34、定点【解答】解：（1）由题意得，即动点的轨迹的方程是（2）设点，联立，化为，若，则，化为，此时点到直线的距离，代入化为，化简得，解得或当时，直线恒过原点；当时，直线恒过点，此时直线与曲线最多有一个公共点，不符合题意，综上可知：直线恒过定点10如图，已知椭圆经过点，离心率为，直线经过椭圆的右焦点，交椭圆于，两点（）求椭圆的方程（）若直线交轴于点，且，当直线的倾斜角变化时，是否为定值？若是，请求出的值；否则，请说明理由【解答】解：（）设椭圆的半焦距为，则有，解得，所以椭圆的方程为；（）由（）知，由条件得直线的斜率必存在，设方程为，又，设，则由，解得，所以，因为，则有，所以，同理可得，所以，即是定值

35、11已知椭圆的离心率为，其右顶点为，下顶点为，定点，的面积为3，过点作与轴不重合的直线交椭圆于，两点，直线，分别与轴交于，两点（1）求椭圆的方程；（2）试探究，的横坐标的乘积是否为定值，说明理由【解答】解：（1）由题意可知：点，的面积为3，又，解得，椭圆的方程为：；（2）由题意可知，直线的斜率存在，故设直线的方程为，点，则直线的方程为，令，得点的横坐标，直线的方程为，令，得点的横坐标，把直线代入椭圆得：，12已知椭圆，、分别是椭圆短轴的上下两个端点；是椭圆的左焦点，是椭圆上异于点、的点，是边长为4的等边三角形（）写出椭圆的标准方程；（）设点满足：，求证：与的面积之比为定值【解答】解：（）因为是

36、边长为4的等边三角形，所以所以所以，椭圆的标准方程为（）设直线，的斜率分别为，则直线的方程为由，直线的方程为将代入，得，因为是椭圆上异于点，的点，所以所以由，所以直线的方程为由，得所以13给定椭圆，称圆心在原点，半径为的圆是椭圆的“卫星圆”若椭圆的离心率，点在上求椭圆的方程和其“卫星圆”方程；（）点是椭圆的“卫星圆”上的一个动点，过点作直线，使得，与椭圆都只有一个交点，且，分别交其“卫星圆”于点，证明：弦长为定值【解答】解：（）由条件可得：解得所以椭圆的方程为，（3分）卫星圆的方程为（4分）证明：当，中有一条无斜率时，不妨设无斜率，因为与椭圆只有一个公共点，则其方程为或，当方程为时，此时与“卫

37、星圆”交于点和，此时经过点且与椭圆只有一个公共点的直线是或，即为或，所以，所以线段应为“卫星圆”的直径，所以（7分）当，都有斜率时，设点，其中，设经过点，与椭圆只有一个公共点的直线为，则，联立方程组，消去，整理得，（9分）所以（10分）所以（11分）所以，满足条件的两直线，垂直所以线段应为“卫星圆”的直径，所以综合知：因为，经过点，又分别交其“卫星圆”于点，且，垂直，所以线段为“卫星圆” 的直径，所以为定值（12分）14已知椭圆的左、右焦点分别是、，离心率，过点的直线交椭圆于、两点，的周长为16（1）求椭圆的方程；（2）已知为原点，圆与椭圆交于、两点，点为椭圆上一动点，若直线、与轴分别交于、两

38、点，求证：为定值【解答】解：（1）由题意和椭圆的定义得，则，由，解得，则，所以椭圆的方程为；（2）证明：由条件可知，两点关于轴对称，设，则，由题可知，所以，又直线的方程为，令得点的横坐标，同理可得点的横坐标，所以，即为定值15已知椭圆的两个焦点分别为，以椭圆短轴为直径的圆经过点（1）求椭圆的方程；（2）过点的直线与椭圆相交于、两点，设点，记直线，的斜率分别为，问：是否为定值？并证明你的结论【解答】解：（1）椭圆的两个焦点分别为，以椭圆短轴为直径的圆经过点，解得，椭圆的方程为（2）是定值证明如下：设过的直线：或者时，代入椭圆，令，代入椭圆，设，则，16如图，椭圆经过点，且离心率为（）求椭圆的方程

39、；（）经过点，且斜率为的直线与椭圆交于不同两点，（均异于点，问直线与的斜率之和是否为定值，若是，求出这个定值；若不是，请说明理由【解答】解：（）由题意知，结合，解得，椭圆的方程为；（）由题设知，直线的方程为，代入，得，由已知，设，则，从而直线与的斜率之和：17已知直线与椭圆相交于，两点，是椭圆上一点（）当时，求面积的最大值；（）设直线和与轴分别相交于点，为原点证明：为定值【解答】解：（）当时，将代入，解得：， 当为椭圆的顶点时，到直线的距离取得最大值3， 面积的最大值是（）设，两点坐标分别为，从而 设，则有， 直线的方程为， 令，得，从而 直线的方程为，（10分）令，得，从而 所以， 为定值

40、18如图，已知点是抛物线上一点，过点作两条斜率相反的直线分别与抛物线交于、两点，直线的斜率为（）若直线、恰好为圆的切线，求直线的斜率；（）求证：直线的斜率为定值并求出当为直角三角形时，的面积【解答】解：（）依题意，由直线与圆相切，可得，解得（）设，联立直线与抛物线方程，消去可得：，用代替可得：，因此，即直线的斜率为定值，当时，由得，此时，求得，当时，可得，此时，求得，当时，无解综上所述，当为直角三角形时，的面积为或1219已知椭圆的两个焦点是，点，在椭圆上，且（）求椭圆的方程；（）设点关于轴的对称点为，是椭圆上一点，直线和与轴分别相交于点，为原点证明：为定值【解答】解：（）由椭圆的定义，得，即（2分）将点，的坐标代入，得，解得：（4分）椭圆的方程是（5分）（）证明：由关于轴于对称，得，设，则有，（6分）直线的方程为，（7分）令，得，（8分）直线的方程为：，（9分）令，得，（10分）（12分）为定值（14分）20椭圆焦点在轴上，离心率为，上焦点到上顶